函数的渐近线
知识点42渐近线的分类与求法
知识点42渐近线的分类与求法渐近线是指曲线在无限远处的表现形式，它可以分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
下面将分别介绍这三种渐近线的求法及其特征。
一、水平渐近线水平渐近线是指当曲线无限延伸时，与水平方向趋于平行的一条直线。
水平渐近线只有在曲线的左右两侧取到一个足够远的点时，与水平方向趋于平行。
对于函数$f(x)$来说，水平渐近线的求法如下：1. 当存在一个常数$L$使得$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$或$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$存在时，$y = L$即为水平渐近线。
2. 当存在一个常数$L$使得$\lim_{x \to \infty} f(x) =\infty$或$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$存在时，曲线在无限远处无水平渐近线。
特征：水平渐近线可用于确定曲线在无限远处的运动趋势。
二、垂直渐近线垂直渐近线是指当曲线无限延伸时，与垂直方向趋于平行的一条直线。
垂直渐近线发生的位置为函数定义域中的一些点。
对于函数$f(x)$来说，垂直渐近线的求法如下：1.当$x=a$为函数$f(x)$的定义域中的一个间断点时，直线$x=a$即为垂直渐近线。
2. 当函数$f(x)$无定义域，即存在$x=b$使得$\lim_{x \to b} f(x) = \infty$或$\lim_{x \to b} f(x) = -\infty$，则$x=b$为垂直渐近线。
特征：垂直渐近线可用于确定函数的间断点，并帮助理解函数在此处的特殊行为。
三、斜渐近线斜渐近线是指当曲线无限延伸时，在无穷远处与直线趋于平行，但不与坐标轴相交的直线。
斜渐近线只存在于部分直线型函数，如幂函数和指数函数。
对于函数$f(x)$来说，斜渐近线的求法如下：1. 当存在实数$a$和$b$使得$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$或$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = a$且$\lim_{x \to\infty} (f(x)-ax) = b$或$\lim_{x \to -\infty} (f(x)-ax) = b$存在时，$y=ax+b$即为斜渐近线。
极限计算与函数的渐近线
极限计算与函数的渐近线在数学学科中，极限是一个重要的概念，用来描述函数在无穷接近某一点时的行为。
而函数的渐近线则与极限紧密相关，是指函数图像在无穷远处逐渐趋近的一条直线。
一、极限的定义和性质在介绍函数的渐近线之前，我们先回顾一下极限的定义和性质。
对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果存在一个常数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在对应的正数δ，使得当|x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，则称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
在极限的计算中常用的方法有代数运算法则、夹逼定理、洛必达法则等。
二、函数的渐近线函数的渐近线指的是函数图像在无穷远处逐渐趋近的一条直线。
根据函数图像的特点，可以将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
1. 水平渐近线：当函数f(x)当x趋于正无穷或负无穷时，若存在一条水平直线y=k（k为常数），使得函数f(x)的图像无限趋近于该水平直线，则该直线称为函数f(x)的水平渐近线。
2. 垂直渐近线：当函数f(x)当x趋于某一实数a时，若函数在x=a处无定义或极限不存在，但其左右极限有至少一个是无穷大，则直线x=a称为函数f(x)的垂直渐近线。
3. 斜渐近线：当函数f(x)当x趋于正无穷或负无穷时，若存在一条斜直线y=kx+b（k为非零常数，b为常数），使得函数f(x)的图像无限趋近于该斜直线，则该直线称为函数f(x)的斜渐近线。
可以通过求出函数的极限来判断函数的渐近线的存在以及具体方程。
三、极限计算与渐近线的关系极限计算是判断函数是否有渐近线的重要方法，也是求出渐近线方程的关键。
以水平渐近线为例，若要判断函数f(x)在x趋于正无穷或负无穷时是否有水平渐近线y=k，需要计算lim┬(x→±∞)〖f(x)〗，若极限存在且等于k，则函数f(x)有水平渐近线y=k；若极限不存在或极限存在但不等于k，则函数f(x)无水平渐近线。
导数与函数的渐近线
导数与函数的渐近线在微积分中，导数与函数的渐近线是两个重要的概念。
导数描述了函数在某一点处的变化率，而函数的渐近线则描述了函数在某一区间上的趋势。
本文将介绍导数的计算方法以及渐近线的概念和性质。
一、导数的计算方法导数是描述函数变化率的工具，它表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的计算方法有多种，下面我们将介绍其中几种常见的方法。
1.1 用极限的定义计算导数根据导数的定义，函数f(x)在某一点x处的导数可以通过极限的计算得到。
具体而言，导数可以定义为：f'(x) = lim (f(x + h) - f(x))/h (h→0)其中h为无穷小量，表示x的增量。
通过求取极限，我们可以计算出函数在某一点处的导数。
1.2 利用公式计算导数除了使用极限的定义计算导数之外，还可以利用一些常用的导数公式来直接计算导数。
如：- 常数函数的导数为0- 幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)- 自然指数函数e^x的导数为e^x- 对数函数ln(x)的导数为1/x通过运用这些公式，我们可以更便捷地计算函数的导数。
二、函数的渐近线函数的渐近线是指函数图像在某一区间上的趋势线。
渐近线对函数的图像特征起到了重要的作用，它们可以帮助我们更好地理解函数的行为。
2.1 水平渐近线当函数的导数为0时，函数的图像可能会与某一水平线无限接近，这时该水平线就是函数的水平渐近线。
水平渐近线可以通过求解函数导数为0的点来确定。
2.2 垂直渐近线当函数的导数不存在时，函数的图像可能会出现垂直方向上的无穷大变化，这时该垂直线就是函数的垂直渐近线。
垂直渐近线可以通过求解函数导数不存在的点来确定。
2.3 斜渐近线如果函数的趋势逐渐接近某一斜线，该斜线就是函数的斜渐近线。
斜渐近线可以通过求解函数的极限来确定。
三、导数与函数的渐近线的关系导数与函数的渐近线之间存在着紧密的关系。
通过函数的导数，我们可以推断出函数的渐近线。
三次函数 渐近线
三次函数渐近线渐近线是三次函数的重要概念之一，它在数学和物理等领域都有广泛的应用。
本文将介绍渐近线的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
一、渐近线的定义渐近线是指一条直线或曲线，它与给定函数图像在无穷远处有着特定的关系。
对于三次函数而言，渐近线可以是水平渐近线、垂直渐近线或斜渐近线。
1.1 水平渐近线当三次函数的函数值在无穷远处趋近于一个常数时，我们称这个常数所对应的水平线为函数的水平渐近线。
水平渐近线与函数图像的交点可以是无穷个，也可以没有交点。
1.2 垂直渐近线当三次函数的自变量趋近于一个常数时，函数值趋于无穷大或无穷小，我们称这个常数所对应的直线为函数的垂直渐近线。
垂直渐近线与函数图像的交点只有一个，或者没有交点。
1.3 斜渐近线当三次函数的函数值在无穷远处趋近于一条直线时，我们称这条直线为函数的斜渐近线。
斜渐近线与函数图像的交点只有一个，或者没有交点。
二、渐近线的性质2.1 渐近线的存在性对于任意给定的三次函数，它可能存在水平渐近线、垂直渐近线或斜渐近线。
要判断渐近线的存在性，可以通过求解极限来得到。
2.2 渐近线的方程对于一条直线来说，我们可以通过两点确定一条直线的方程。
而对于渐近线来说，它是通过一组特殊的点来确定的。
对于水平渐近线，它的方程可以表示为y=k；对于垂直渐近线，它的方程可以表示为x=k；对于斜渐近线，它的方程可以表示为y=kx+b。
2.3 渐近线与函数图像的关系渐近线与函数图像的关系可以通过函数的性质来进行判断。
例如，如果函数的次数较低，渐近线与函数图像的交点较少；如果函数有奇点，渐近线与函数图像的交点可能不存在。
三、渐近线的应用渐近线在实际问题中有着广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明。
3.1 经济学中的应用在经济学中，有时候需要对一些变量进行预测和分析。
通过拟合三次函数，并求得其渐近线，可以对未来的趋势进行预测。
例如，可以根据过去几年的销售数据，拟合出销售额与时间的函数关系，并求得其渐近线，从而预测未来的销售额。
函数三种渐近线的求法公式
函数三种渐近线的求法公式渐近线是指函数图像在无穷远处的趋势线，它可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
在数学中，常见的渐近线有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
下面将分别介绍这三种渐近线的求法公式。
一、水平渐近线当函数f(x)在无穷远处的函数值趋近于一个常数L时，我们称L为f(x)的水平渐近线。
水平渐近线通常是y=L的形式。
求法公式：1. 若极限lim[x→∞]f(x)存在且等于L，则y = L是f(x)的水平渐近线。
2. 若极限lim[x→-∞]f(x)存在且等于L，则y = L是f(x)的水平渐近线。
注：若f(x)在无穷大处不存在极限，则没有水平渐近线。
例题1：求函数f(x)=(3x^2+2)/(x^2+1)的水平渐近线。
解：由于当x趋近于无穷大时，常数项对于分子和分母的影响越来越小，因此该函数的水平渐近线应为y=3/1=3二、垂直渐近线当函数f(x)在一些点x=a处的函数值趋近于无穷大或负无穷大时，我们称x=a为f(x)的垂直渐近线。
求法公式：对于函数f(x)：1. 若lim[x→a]f(x)存在且为无穷大或负无穷大，则x = a是f(x)的垂直渐近线。
2. 若lim[x→a+]f(x)存在且为无穷大或负无穷大，则x = a+是f(x)的垂直渐近线。
3. 若lim[x→a-]f(x)存在且为无穷大或负无穷大，则x = a-是f(x)的垂直渐近线。
注：若f(x)在特定点附近没有无穷大的极限值，则没有垂直渐近线。
例题2：求函数f(x)=1/(x-1)的垂直渐近线。
解：由于当x趋近于1时，分母趋向0，因此该函数在x=1处有垂直渐近线。
三、斜渐近线当函数f(x)在无穷远处的函数值趋近于一个斜线L时，我们称L为f(x)的斜渐近线。
斜渐近线通常是y = mx + b的形式。
求法公式：1.对于函数f(x)：若lim[x→∞][f(x) - (mx + b)] = 0，则y = mx + b是f(x)的斜渐近线。
函数渐近线及函数图形的描绘
使用图形计算器绘制函数图形
简单易用、无需额外设置
图形计算器的操作通常非常简单，只需要选择相应的函数 类型或输入函数表达式，就可以自动绘制出相应的图形。 用户无需进行复杂的设置或调整参数，使得绘图过程更加 快速和简便。
使用图形计算器绘制函数图形
功能相对有限
VS
相对于数学软件，图形计算器的功能 相对有限。它们通常只能绘制基本的 函数图形，如直线、二次函数、三角 函数等，而无法绘制更复杂的函数图 形或进行高级的图形定制。
功能强大、精确度高
数学软件如Matlab、Mathematica和Maple等，提供了强大的绘图工具和函数 库，可以绘制各种复杂的函数图形，包括三维图形和极坐标图形。这些软件通常 具有高精度的计算和绘图能力，能够准确地表示函数的形状和变化趋势。
使用数学软件绘制函数图形
操作简便、可视化效果好
这些软件通常具有直观的用户界面和易于操作的命令语言，使得用户可以轻松地绘制函数图形。同时，这些软件还提供了丰 富的颜色、线条样式和标记工具，使得绘制的图形更加生动和易于理解。
验证模型
通过比较函数渐近线和实际数据，可以验证数学模型的准确 性和可靠性。
在科学计算中的应用
数据拟合
在科学实验中，利用函数渐近线可以 对实验数据进行拟合，得到更准确的 结论。
理论推导
在理论推导中，函数渐近线可以作为 理论依据，帮助推导出新的科学理论。
04 函数图形的描绘工具和技 术
使用数学软件绘制函数图形
平移变换
对称变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定 的距离。
将函数图像关于原点、x轴或y轴进行 对称。
伸缩变换
将函数图像在x轴或y轴方向上伸缩一 定的比例。
考研数学：求函数渐近线的方法
求函数的渐近线是考研数学中经常出现的一个考点，这个知识点不难理解和掌握，考生只要将这个知识点适当加以梳理和练习，就可以稳拿这类考题的分数，但有些考生，由于复习过程中的疏忽和遗漏，没有将这个知识点理解透彻，结果导致丢失这部分分数，实为遗憾。为了帮助各位考生掌握好求函数渐近线的方法，文都考研辅导老师在这里向大家介绍函数渐近线的基本含义、类型和计算时应注意的相关问题，供各位考生参考。
典型例题：
例1.曲线 的渐近线的条数为（）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
解析：∵ 为函数的间断点，且 ，∴ =1为垂直渐进线，而 ，故 不是渐进线，又∵ ，∴ =1为水平渐近线。函数没有斜渐近线，选（C）
例2.下列曲线中有渐近线的是（）
(A) (B)
(C) (D)
解析：∵ ， =0，∴y=x是y=x+ 的斜渐近线，选（C）
函数（曲线）渐近线的定义：
设点 为函数 对应曲线上的动点，若当点 无限远离原点时， 到直线L的距离趋于0，则称直线L为此函数（或曲线）的一条渐近线。
函数（曲线）渐近线的类型：
1）水平渐近线：若 存在，或 与 二者之一存在，则称直线 为函数 的水平渐近线。
2）铅直（或垂直）渐近线：若 ，或 与 二者之一成立，则称直线 为函数 的铅直（垂直）渐近线。
3）斜渐近线：若 ， ，或 与 、 与 ，这二者之一成立，则称 为函数 的斜渐近侧的，也可能是单侧的。若上面极限只是在单个方向上存在（+∞或-∞，左极限或右极限），则渐近线是单侧的，否则是双侧的。
2）求铅直渐近线时，首先要找出函数的间断点，然后判断 或 、 是否成立，若有一个成立，则 为函数 的铅直（垂直）渐近线。
例3.曲线 的渐近线的条数为（）
大一高数渐近线知识点
大一高数渐近线知识点在大一的高等数学课程中，渐近线是一个重要的概念。
它是用来描述函数在无穷远处的行为趋势的，能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
本文将介绍大一高数中与渐近线相关的知识点，包括渐近线的定义、分类和性质。
一、渐近线的定义渐近线是指函数图像在趋于无穷远处的行为趋势。
通常来说，我们关注的是当自变量趋于正无穷或负无穷时，函数值的趋势。
根据函数在无穷远处的趋势，我们可以将渐近线分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
1. 水平渐近线：函数拥有水平渐近线意味着函数在无穷远处的函数值趋于一个常数L。
换句话说，当自变量趋于正无穷或负无穷时，函数的图像趋近于水平线y=L。
函数有水平渐近线的条件是lim(x→±∞) f(x) = L。
2. 垂直渐近线：函数拥有垂直渐近线意味着函数在某些点上的函数值趋于无穷大或无穷小。
具体来说，当自变量趋于一个常数a时，函数的图像趋近于一条垂直的直线x=a。
函数有垂直渐近线的条件是lim(x→a) f(x) = ±∞。
3. 斜渐近线：函数拥有斜渐近线意味着函数在无穷远处的函数值趋于一斜线。
具体来说，当x趋于正无穷或负无穷时，函数的图像趋近于一条直线y=kx+b。
函数有斜渐近线的条件是lim(x→±∞) [f(x) - (kx+b)] = 0。
二、渐近线的分类根据函数在无穷远处的趋势，渐近线可以分为以下几种情况：1. 函数有一条水平渐近线：当lim(x→±∞) f(x) = L时，函数的图像将趋近于水平线y=L。
这意味着函数在无穷远处的行为趋势呈现出水平的特征。
2. 函数有两条垂直渐近线：当lim(x→a) f(x) = ±∞时，函数的图像将趋近于垂直线x=a。
这意味着函数在某些点上的函数值趋近于无穷大或无穷小。
3. 函数有一条垂直渐近线和一条水平渐近线：当lim(x→±∞) f(x) = L且lim(x→a) f(x) = ±∞时，函数的图像将同时趋近于水平线y=L和垂直线x=a。
导数与函数的渐近线关系解析与归纳
导数与函数的渐近线关系解析与归纳简介：在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。
与导数相关联的一个重要概念是渐近线，它描述了函数在无穷远处的行为。
本文旨在解析和归纳导数与函数的渐近线之间的关系。
一、导数与函数的定义导数是描述函数斜率的概念。
对于一个可导的函数f(x)，其导数表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数可以通过极限的方式定义为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h函数是描述输入和输出关系的规则，可以表示为y = f(x)。
导数描述了函数在任意点x处的变化率。
二、函数的渐近线定义渐近线是描述函数在无穷远处的趋势的线。
具体来说，当x趋近于正无穷或负无穷时，函数趋近于渐近线。
1. 水平渐近线如果函数f(x)在无穷远处趋近于某一个横线y=c（c为常数），那么这条横线就是函数的水平渐近线。
2. 垂直渐近线如果函数f(x)在某个点x=a的附近无限趋近于正无穷或负无穷，那么直线x=a就是函数的垂直渐近线。
3. 斜渐近线如果函数f(x)在无穷远处趋近于一条倾斜的直线L，那么直线L就是函数的斜渐近线。
三、导数与渐近线的关系导数可以帮助我们确定函数的渐近线类型和位置。
下面分别从水平、垂直和斜渐近线的角度来探讨导数与渐近线之间的关系。
1. 水平渐近线与导数函数有水平渐近线的条件是导数为零或不存在。
因为当导数为零或不存在时，函数在无穷远处不会有明显的变化，因此趋近于某一水平横线。
2. 垂直渐近线与导数函数有垂直渐近线的条件是导数趋近于正无穷或负无穷。
当导数趋近于正无穷或负无穷时，函数在该点附近无限增长或减小，因此趋近于某一垂直线。
3. 斜渐近线与导数函数有斜渐近线的条件是导数的极限值存在有限值。
当导数的极限值存在有限值时，函数在无穷远处趋近于一条倾斜的直线。
四、归纳与总结通过对导数与函数的渐近线关系的解析，可以归纳出以下结论：1. 水平渐近线由导数为零或不存在的点确定；2. 垂直渐近线由导数趋于正无穷或负无穷的点确定；3. 斜渐近线由导数的极限值存在有限值的点确定。
第8讲 函数图像的渐近线及其应用(教师版)
§8 函数图像的渐近线及其应用秒杀知识点①②知识点1：（渐近线的定义与类型）1．若曲线C 上的动点P 沿着曲线无限地远离原点时，点P 与某一固定直线l 的距离趋于零，则称直线l 为曲线C 的渐近线．2．渐近线分类：共分三类：水平渐近线（0α=），垂直渐近线π2α⎛⎫= ⎪⎝⎭和斜渐近线（0πα<<），其中α为渐近线的倾斜角．知识点2：（渐近线的求法）设曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+．如图所示，曲线上动点P 到渐近线的距离()()cos PN PM f x kx b α==-+．① 根据渐近线定义，当x →+∞（对x →-∞的情形也有相应结果）时，0PN →，从而应有()()lim 0x f x kx b →+∞-+=⎡⎤⎣⎦，②或()lim x f x kx b →+∞-⎡⎤⎦=⎣，③ 又由()()()1lim lim 00x x f x k f x kx b x x→+∞→+∞⎛⎫-=-=⋅=⎪⎝⎭． 得()limx f x k x→+∞=．④于是，若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+，则k ，b 可由③，④确定，反之，若由④和③式求得k ，b ，再由②和①式得0PN →，从而直线y kx b =+为曲线()y f x =的渐近线．即斜渐近线问题就是③和④的极限问题．若曲线()y f x =存在水平渐近线y b =，则有()lim x f x b →+∞=或()lim x f x b →-∞=，反之，则y b =是曲线()y f x =的水平渐近线．若曲线()y f x =存在垂直渐近线0x x =，则有()0lim x x f x →=∞或()0lim x x f x +→=∞，()0lim x x f x -→=∞，反之，则说明0x x =是曲线()y f x =的垂直渐近线．知识点3：（正确认识渐近线——关于渐近线的几点注记）第一，并不是所有无限伸展或远离原点的曲线都有渐近线，如2y x =，sin y x =等都没有渐近线． 第二，在定义“无限地远离原点”中的原点，也未必是原点，可以是任意一个给定的点，两者是等价的，只不过原点比较有名且明确而已．如1x =是()211y x =-的垂直渐近线，“无限地远离原点”和无限地远离点()1,0，甚至点(),a b 没有本质区别．第三，定义中，当曲线上的动点无限地远离原点时，只需要以某种方式远离即可，不需要以任意方式都远离．如0y =是2x y =的水平渐近线，动点P 无限地远离原点，即这只是当x →-∞时，2x y =无限接近于x 轴，而当x →+∞时，2x y =无限远离x 轴．第四，若曲线存在渐近线，则当x 充分大（或充分小），或无限趋于0x （0x x =是其垂直渐近线）时，曲线基本就像相应渐近线那样近似于一条直线，如，双曲线存在渐近线，而抛物线则没有，从渐近线的角度很容易明白两者的区别．第五，曲线与其渐近线是可以相交的，甚至曲线在“渐近”的过程中与其渐近线可无限次地穿过来穿过去． 高中教材唯一一次挑明渐近线身份是学习双曲线时，给出指示性定义后教材补充一句“也就是说，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交”．因此可能会给学生造成一般的渐近线都不能与曲线相交的错误认识．如sin x y x =，因为sin lim 0x x x →∞=，所以0y =是该偶函数的水平渐近线，但sin x y x =在区间()0,+∞内有无数个零点，如图所示．第六，曲线与其渐近线可以是相切的，而且可以有无数个切点．如sin 1x y x +=，因为sin 1lim 0x x x →∞+=，0sin 1lim x x x→+=∞，所以0y =，0x =分别是该函数的水平渐近线和垂直渐近线．但该函数与其水平渐近线0y =有无数个切点3π2π,02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k +∈N ，如图所示．第七，根据以上讨论知，曲线并不都是一直“单调”接近渐近线的．知识点4：（求渐近线举例）【示例】求曲线()3223x f x x x =+-的渐近线． 【解析】由④()33223f x x xx x x=+-，所以332lim 123x x x x x →∞=+-，即1k =． 由③及1k =得：()()32lim lim 223x x x f x kx x x x →∞→∞⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，即2b =-． 从而曲线的渐近线方程为2y x =-．又()3223x f x x x =+-，得()3lim x f x →-=∞，()1lim x f x →=∞．所以垂直渐近线为3x =-和1x =．（如上图所示）秒杀思路分析一般用渐近线分析函数性质，常见的有()b f x ax x =+和()()f x yg x =（其中()f x ，()g x 都是关于x 的非零多项式）两种类型．（1）关于型如()b f x ax x =+的分析：当0a =，0b ≠时，()b f x x=为反比例函数；当0a ≠，0b =时，()f x ax =为正比例函数（一次函数）； 当0ab ≠时，0lim x b ax x →⎛⎫+=∞ ⎪⎝⎭，则0x =是其一条垂直渐近线． 又lim x b ax x a x →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，lim 0x b ax ax x →∞⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则y ax =是其一条斜渐近线，即()b f x ax x =+的图像是夹在两条渐近线0x =和y ax =之间的双曲线，具体情况如下图所示．（2）对于有理分式函数()()f x yg x =的渐近线有如下一般结论：第一，若0x 是方程()0g x =的实数解，且()00f x ≠，则有理分式函数图像存在垂直渐近线0x x =； 第二，若多项式()f x 和()g x 的次数相等，且它们的最高次项系数分别为a ，b ，则该函数图像存在水平渐近线a y b=；第三，若多项式()f x 的次数小于()g x 的次数，则0y =为该函数图像的水平渐近线；第四，若多项式()f x 的次数比()g x 的次数大1，则该函数图像存在斜渐近线，可用公式④和③求解． 【示例】讨论下列三个函数图像的渐近线．（1）()2221x x f x x x +=-+； （2）()221x g x x x =+-； （3）()3221x x h x x x +=+-． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ，图像如图（1）所示，存在水平渐近线12y =．（2）函数()g x 的定义域为{}112x x x ≠-≠且，图像如图（2）所示，存在水平渐近线0y =和垂直渐近线1x =-，12x =．（3）函数()h x 的定义域为{}112x x x ≠-≠且，图像如图（3）所示，存在垂直渐近线1x =-，12x =和斜渐近线1124y x =-．方法对比【例1】（2015年安徽卷理9）函数()()2ax b f x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <【例2】（2002年全国卷）函数111y x =--的图像是（如图所示）（ ）A ．B ．C ．D ．【例3】（2004年湖北卷文）已知52x ≥，则()24524x x f x x-+=-有（ ）A ．最大值5B ．最小值5C ．最大值1D ．最小值1秒杀训练【试题1】曲线()1ln 1e x y x =++渐近线的条数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】()001lim lim ln 1e x x x y x →→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，则0x =是垂直渐近线；()1lim lim ln 1e 0x x x y x →-∞→-∞⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦，则0y =是曲线的水平渐近线； ()2ln 1e 1lim lim 1x x x y x x x →+∞→+∞⎡⎤+⎢⎥+=⎢⎥⎣⎦=，则y x =是其斜渐近线． 综上，共有3条渐近线，故选D ． 【试题2】已知函数()321x y x =-，求函数图像的渐近线． 【解析】()321lim 1x x x →=+∞-，1x =是垂直渐近线． ()22lim lim 11x x y x x x →∞→∞==-，且()()32lim lim 21x x x y x x x →∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 从而2y x =+是图像的斜渐近线．【试题3】如图所示的是一个函数的图像，在下面的四个函数中，其图像是所给图像的是（ ）A ．ln y x x =+B ．ln y x x =-C ．ln y x x =-+D ．ln y x x =--【解析】易知选择B ．真题回放【试题1】（2017年全国卷Ⅲ文7）函数2sin 1x y x x=++的部分图像大致为（如图所示）（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】31sin limlim 11x x y x x x x →+∞→+∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭．()2sin lim lim 11x x x y x x →+∞→+∞⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭． 所以1y x =+是其斜渐近线，排除C ，B ．又20sin lim 1x x x x +→⎛⎫++=+∞ ⎪⎝⎭，故选择D ． 【试题2】（2010福建卷理10）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐近线”．给出定义域均为{}1D x x =>的四组函数如下：①()2f x x =，()g x = ②()102x f x -=+，()23x g x x-=；③()21x f x x +=，()ln 1ln x x g x x +=； ④()221x f x x =+，()()21e x g x x -=--． 其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④【解析】①两个函数图像都没有渐近线；②当x →+∞时，()f x 从直线2y =上方趋近2，而()g x 从直线2y =下方趋近2，故2y =是两函数图像的“分渐近线”；③()f x 是双曲线型函数，存在渐近线0x =，y x =，而()g x 存在渐近线1x =，y x =．但是，当x →+∞时，()f x x >，()g x x >．即()f x 和()g x 都是从直线y x =上方趋于渐近线y x =，故不满足题意． ④当x →+∞时，()()()221211f x x x x =-+→-+，()()()22121e x g x x x =--→-．并且()()21f x x >-，()()21g x x <-．所以()21y x =-是()f x 和()g x 的斜渐近线且分别从两侧趋于()21y x =-．故选C ．。
利用导数求解函数的渐近线与曲线段问题
利用导数求解函数的渐近线与曲线段问题在微积分中，导数是一种重要的工具，可以帮助我们研究函数的性质与行为。
在本文中，我们将探讨如何利用导数来求解函数的渐近线与曲线段问题。
一、渐近线渐近线是指函数曲线在无限远处逐渐趋近的直线。
具体来说，对于函数f(x)，如果当x趋于无穷大或负无穷大时，函数值f(x)与一条直线L的距离趋近于0，那么该直线L就是函数f(x)的水平渐近线。
类似地，如果当x趋于无穷大或负无穷大时，函数值f(x)在某个方向上无限趋近于正无穷大或负无穷大，那么该方向上的直线L就是函数f(x)的斜渐近线。
要求解函数的渐近线，我们可以通过计算函数的导数来进行推导。
具体步骤如下：步骤1：首先计算函数f(x)的导数f'(x)。
步骤2：对于水平渐近线的情况，我们需要将f(x)的导数f'(x)置为0，并求出x的值。
然后将x带入原函数f(x)中，得到相应的y值。
这个点(x,y)即为水平渐近线与曲线的交点。
步骤3：对于斜渐近线的情况，我们需要将f(x)的导数f'(x)在无穷大或负无穷大的极限中求出。
然后根据极限的定义，我们可以得到斜渐近线的方程。
二、曲线段曲线段问题是指给定函数f(x)，我们需要找出在某个特定区间上与x轴或y轴相交的曲线段。
通过求解导数，我们可以找到函数的最值点，进而确定曲线段的起点和终点。
具体步骤如下：步骤1：计算函数f(x)的导数f'(x)。
步骤2：求解f'(x)=0的解，得到函数f(x)的极值点。
步骤3：确定曲线段的起点和终点。
根据问题的要求，我们可以分别将特定区间的两端点带入函数f(x)中，得到相应的函数值。
这两个点即为曲线段的起点和终点。
通过以上步骤，我们可以利用导数有效地求解函数的渐近线与曲线段问题。
这为我们研究函数的行为和特性提供了有力工具。
函数的水平渐近线
函数的水平渐近线函数的水平渐近线 1设函数为y=f(x),若lim_{x趋向x0} f(x)=无穷,则x=x0为f(x)的铅直渐近线,若lim_{x趋向无穷} f(x)=c (c为常数),则y=c为f(x)的水平渐近线.拓展阅读：什么是渐近线渐近线定义为曲线上的一点与直线之间的距离在趋近于无穷大时趋于零的曲线的渐近线。
特征无限接近，永不相交，不违反定义。
分为垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
需要注意的是，并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线无限延伸时的变化。
根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
例如，直线是双曲线的渐近线，因为双曲线上的点M到直线的距离MQ < MN;当MN无限趋近于0时，MQ也无限趋近于0。
所以按照定义，直线是该双曲线的渐近线。
同理，双曲线也是该直线的渐近线。
对于来说，如果当x—>x0时,limf(x)=∞(+∞或-∞)，x0一般为间断点，就把x = x0叫做的垂直渐近线;如果当x—>+∞(-∞)时，limf(x)=y0，就把y = y0叫做的水平渐近线。
例如，y = 3是曲线xy = 3x + 2的水平渐近线。
什么是水平渐近线和铅直渐近线x→+∞或-∞时，y→c,y=c 就是f(x)的水平渐近线;比如y=0是y=e^x的水平渐近线;x→a时，y→+∞或-∞,x=a就是f(x)的铅直平渐近线;比如x=0是y=1/x的铅直渐近线。
渐近线可分为垂直(铅直)渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
渐近线是指：曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
函数曲线的渐近线
M
L：y= a x+ b
当L是一条水平线时，称 L 为曲线 C 的水平渐近线； 当 L 是一条铅垂线时，称 L 为曲线 C 的垂直渐近线； 当 L 是一条斜线时，称 L 为曲线 C 的斜渐近线；
1
1.水平渐近线
M
y
x
b
+∞
M
y
-∞
x
当x→+∞，且y →b时， y=b是曲线y=f (x)的水平渐近线。
或
如果 a lim f ( x) 存在，且 b பைடு நூலகம்lim ( f ( x) ax)
x x
x
则 直线 y=ax+b 是曲线 y=f(x) 的垂直渐近线
存在
例题1 !
例1 求曲线
y
x x2 1
的渐近线。
解：
当x→∞时，
y
x x2 1
1 x1
1 x2 1 0
所以y=0是曲线的水平渐近线。
当x→–∞，且y →b时， y=b是曲线y=f (x)的水平渐近线。
注：在某一方向，如果曲线有水平渐近线，所以没有斜渐近
线。
1
2
2.铅垂渐近线
+∞
当x →a+，且y → ±∞ 时， x=a 是曲线 y=f (x) 的铅垂渐近线。
y
M
或 当x→a﹣，且y → ±∞时，
x
aa
x
x=a 是曲线 y=f (x) 的铅垂渐近线。
x 当x→1时， y x2 1
所以 x=1 是曲线的垂直渐近线。
x 当x→-1时， y x2 1
所以 x= -1 是曲线的垂直渐近线。
函数三种渐近线的求法公式
函数三种渐近线的求法公式函数的渐近线是指当自变量趋近于无穷大时，函数值也趋近于一些特定值的线。
常见的函数渐近线有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
下面将详细介绍这三种渐近线的求法公式。
1.水平渐近线当函数的自变量趋近于无穷大时，函数值趋近于其中一个常数值，即y=b（b为常数），那么函数的水平渐近线就是y=b。
求解水平渐近线的步骤如下：a) 找出函数的极限值lim(f(x))，其中x趋近于无穷大。
b) 当lim(f(x))存在时，水平渐近线的方程为y = lim(f(x))。
例如，对于函数y=1/x，当x趋近于无穷大时，函数值趋近于0。
因此，y=0就是函数y=1/x的水平渐近线。
2.垂直渐近线垂直渐近线是指当函数的自变量趋近于一些特定值时，函数值趋近于无穷大或负无穷大的直线。
求解垂直渐近线的步骤如下：a)找出函数的定义域。
通常，函数在定义域的一些点或区间上不能取到函数值。
b) 找出函数的极限值lim(f(x))，其中x趋近于函数的定义域的边界值。
c) 当lim(f(x))等于无穷大或负无穷大时，垂直渐近线的方程为x = b（b为定义域的边界值）。
例如，对于函数y=√(x-1)，函数的定义域为x≥1、当x趋近于1时，函数值无限逼近于无穷大。
因此，x=1就是函数y=√(x-1)的垂直渐近线。
3.斜渐近线斜渐近线是指当函数的自变量趋近于无穷大时，函数的值趋近于斜率为a的直线的情况。
求解斜渐近线的步骤如下：a) 找出函数的极限值lim(f(x)/x)，其中x趋近于无穷大。
b) 当lim(f(x)/x)存在且不为无穷大时，斜渐近线的方程为y = a*x + b，其中a = lim(f(x)/x)，b为y轴截距。
例如，对于函数y = (2x + 1)/(3x - 2)，当x趋近于无穷大时，函数的极限为lim((2x + 1)/(3x - 2)) = 2/3、因此，斜渐近线的方程为y = (2/3)*x + b。
函数渐近线怎么求
函数渐近线怎么求函数的渐近线是指在指定条件下，函数在无穷远处的行为趋于其中一特定线条的现象。
常见的函数渐近线包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
一、水平渐近线水平渐近线是指当自变量趋于无穷大或负无穷大时，函数的值趋近于其中一固定值的线。
要求得函数的水平渐近线，可以选择以下几种方法：1.消去法：对于给定的函数f(x)，设y=k为水平渐近线，则必须满足当x趋向正无穷或负无穷时，f(x)-k趋于0。
通过求解f(x)-k=0方程，可以得到x=g(k)，其中g(k)代表确定的一组数值，那么函数的水平渐近线就是y=k。
2. 极限法：设y = k为水平渐近线，则有lim（x→±∞）f(x) = k。
通过求函数f(x)在无穷大的极限，即计算lim（x→±∞）f(x)，可以得到k的值。
若极限存在，则y = k为函数的水平渐近线。
例如，对于函数f(x)=(2x+1)/(x-3)，当x趋向正无穷时，f(x)趋向2，当x趋向负无穷时，f(x)同样趋向2，所以y=2为函数的水平渐近线。
二、垂直渐近线垂直渐近线是指函数在一点或多点处的斜率趋于无穷大或负无穷大的线。
要求得函数的垂直渐近线，可以选择以下几种方法：1.主导项法：对于给定的函数f(x)，设x=a为垂直渐近线，则在x=a的邻域内，函数的值趋于正无穷大或负无穷大。
通过分析函数的主导项，即最高次项，可以确定垂直渐近线的位置。
2. 极限法：设x = a为垂直渐近线，则有lim（x→a）f(x) = ±∞。
通过计算lim（x→a）f(x)，可以确定a的值。
若极限存在，则x = a为函数的垂直渐近线。
例如，对于函数f(x)=1/(x-2)，当x趋向2时，f(x)趋向正无穷大，所以x=2为函数的垂直渐近线。
三、斜渐近线斜渐近线是指函数在无穷远处趋近于其中一斜线的现象。
要求得函数的斜渐近线，可以选择以下方法：1. 分式拆分法：对于给定的函数f(x)，如果f(x)可以进行分式拆分，将其写成f(x) = g(x) + h(x)，并满足lim（x→±∞）h(x) = 0，则y= g(x)为函数的斜渐近线。
函数三种渐近线的求法公式
函数三种渐近线的求法公式函数的渐近线是指函数在无穷远处的表现，它可以分为三种类型：水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
本文将分别介绍这三种渐近线的求法公式。
一、水平渐近线的求法公式水平渐近线是指函数在无穷远处与x轴平行的直线。
要求水平渐近线，需要考察函数的极限情况。
具体求法如下：1. 对于一元函数：如果函数f(x)在x趋向于正无穷或负无穷时的极限存在且相等于L，那么y=L就是函数f(x)的水平渐近线。
2. 对于二元函数：如果函数f(x,y)在x趋向于正无穷或负无穷时的极限存在且相等于L，那么y=L就是函数f(x,y)的水平渐近线。
二、垂直渐近线的求法公式垂直渐近线是指函数在无穷远处与y轴平行的直线。
要求垂直渐近线，需要考察函数的极限情况。
具体求法如下：1. 对于一元函数：如果函数f(x)在x=c处的极限不存在或为无穷大，那么x=c就是函数f(x)的垂直渐近线。
2. 对于二元函数：如果函数f(x,y)在x=a处的极限不存在或为无穷大，那么x=a就是函数f(x,y)的垂直渐近线。
三、斜渐近线的求法公式斜渐近线是指函数在无穷远处与一条斜直线趋于重合的情况。
要求斜渐近线，需要考察函数在无穷远处的性质。
具体求法如下：1. 对于一元函数：如果函数f(x)在x趋向于正无穷或负无穷时的极限为无穷大，且函数f(x)可以表示为g(x)+h(x)，其中g(x)是一个与h(x)相对应的线性函数，那么y=g(x)就是函数f(x)的斜渐近线。
2. 对于二元函数：如果函数f(x,y)在x趋向于正无穷或负无穷时的极限为无穷大，且函数f(x,y)可以表示为g(x,y)+h(x,y)，其中g(x,y)是一个与h(x,y)相对应的线性函数，那么y=g(x,y)就是函数f(x,y)的斜渐近线。
函数的渐近线可以通过考察函数的极限情况来求解。
水平渐近线的求法公式是函数在无穷远处与x轴平行的直线；垂直渐近线的求法公式是函数在无穷远处与y轴平行的直线；斜渐近线的求法公式是函数在无穷远处与一条斜直线趋于重合的情况。
渐近线
那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
斜渐近线求法:
lim
x
f ( x) a, x
lim[ f ( x ) ax] b.
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
注意:
如果 f ( x) (1) lim 不存在; x x
那么 x x0 就是 y f ( x ) 的一条铅直渐近线 .
例如
1 y , ( x 2)( x 3)
有铅直渐近线两条:
x 2,
x 3.
2.水平渐近线
(平行于 x 轴的渐近线 )
x
如果
x
lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b
x ( ,3) 3 ( 3,2) 2 ( 2,0)
f ( x ) f ( x )
f ( x)
0
不存在
( 0, )
0
拐点Fra bibliotek0
间 断 点
26 ( 3, ) 9
极值点
3
补充点 : (1
A ( 1,2),
3,0),
B (1,6),
(1
3,0);
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] 2, 2 x x x
得水平渐近线 y 2;
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] , 2 x 0 x 0 x
得铅直渐近线 x 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
D : x 0,
4( x 1) 2 的图形. 2 x
二次函数的渐近线
二次函数的渐近线二次函数是指含有二次项的一元多次方程。
在数学中，二次函数的图象通常是一个开口向上或向下的抛物线。
除了抛物线之外，二次函数还有一些特殊的线性表示，即渐近线。
渐近线是指在无穷远处接近于某一直线的线段。
一、概念解析二次函数的渐近线可以分为两种情况：水平渐近线和垂直渐近线。
1. 水平渐近线：当二次函数的系数满足特定的条件时，抛物线将有一条或两条水平渐近线。
水平渐近线的方程可以通过函数的极限求得。
对于一般形式为y = ax^2 + bx + c的二次函数，当a趋近于零时，抛物线将有一个水平渐近线，方程为y = c。
当a无穷大时，抛物线将有两条水平渐近线，方程分别为y = +∞和y = -∞。
2. 垂直渐近线：当二次函数的自变量x趋近于特定值时，函数值y将无穷大。
这时，我们可以得到垂直渐近线的方程。
对于一般形式为y = ax^2 + bx + c的二次函数，当x趋近于+∞或-∞时，抛物线将有一条垂直渐近线，其方程为x = - b / (2a)。
二、图示解析为了更直观地理解二次函数的渐近线，我们可以通过图示来说明。
1. 水平渐近线：对于一般形式为y = ax^2 + bx + c的二次函数，当a趋近于零时，抛物线将趋近于水平。
具体来说，当a > 0时，抛物线将开口向上，且y轴正半轴方向有一条水平渐近线；当a < 0时，抛物线将开口向下，且y轴负半轴方向有一条水平渐近线。
2. 垂直渐近线：对于一般形式为y = ax^2 + bx + c的二次函数，当a 不为零时，抛物线将在x = - b / (2a)处有一条垂直渐近线。
这时即使x 无穷大或无穷小，y也会趋近于无穷大或无穷小。
需要注意的是，如果x的极限点在定义域范围内，那么在该点处的函数值将无穷大。
三、示例解析下面通过一个具体的例子来进一步说明二次函数的渐近线。
例：对于函数y = 2x^2 - 3x + 1，求出其渐近线。
解：首先，我们根据函数的形式得知a = 2，b = -3，c = 1。
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湖南机电职业技术学院教案
备课组长签名：教师签名：王喜斌
当01+→x 时，曲线)1ln(-=x y 无限接近于直线1=x ，因此直线1=x 是曲线的一条渐近线。
定义1若则称ax+b 为f(x)的一条渐进线.； 定义2若则称x=c 为f(x)的一条垂直渐进线.。
定理：若f(x)的一条渐进线为ax+b 则, 证明：由定义知即
所以即带回定义得 例1 求曲线2
12x x y +=的渐近线。
例2 求曲线)
1)(1(-+=x x x y 的渐近线。
2、函数图象描述的基本步骤
1.确定y=f(x)的定义域并讨论函数的基本性质：如奇偶性、对称性、周期性等；
2.求出与及与不存在的各点；
3.由2的结果求函数的上升、下降区间及图形的凹凸区间以及各极值点；
4.定出函数的渐近线；
5.描点作图。
例3 作函数2)
3(361++=x x y 的图象。
3、本章知识总结及习题讲解
四、小结巩固
曲线渐近线与函数作图（基本上是对本章的综合）
五、作业：p.149 2(3)
六、课后分析：。