数学归纳法测试题及答案

选修2-2 2. 3 数学归纳法

一、选择题

1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1

1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13

＜2 C ．1＋12＋13＜3 D ．1＋12＋13＋14

＜3 [答案] B

[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为

1

22－1＝13， 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a

n ＋1＝1－a n ＋21－a

(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( ) A ．1 B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a D ．1＋a ＋a 2＋a 3

[答案] B

[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.

3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2

C.12n ＋1＋12n ＋2

D.12n ＋1－12n ＋2

[答案] D

[解析] f (n ＋1)－f (n )

＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1

＝1

2n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )

A ．当n ＝6时该命题不成立

B ．当n ＝6时该命题成立

C．当n＝4时该命题不成立

D．当n＝4时该命题成立

[答案] C

[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.

5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()

A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立

B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立

C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立

D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立

[答案] C

[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.

6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()

A．f(n)＋n＋1

B．f(n)＋n

C．f(n)＋n－1

D．f(n)＋n－2

[答案] C

[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.

7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证() A．n＝1时命题成立

B．n＝1，n＝2时命题成立

C．n＝3时命题成立

D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立

[答案] D

[解析]假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，

当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)

由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0

⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.

8．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )

A ．30

B ．26

C ．36

D ．6

[答案] C

[解析] 因为f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，所以f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，推测最大的m 值为36.

9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )

A.2(n ＋1)2

B.2n (n ＋1)

C.22n －1

D.22n －1

[答案] B

[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1

∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n

∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n

∴a n ＋1＝n

n ＋2a n (n ≥2)． 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13

a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110

. 由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110

猜想a n ＝2n (n ＋1)

，故选B. 10．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下：

(1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．

(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k

∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )