光接收灵敏度

⎟⎟⎠⎞
2
Q
4G
2
x
I2
1
−
4⎜⎜⎝⎛
hυ η
⎟⎟⎠⎞
2
Q
2
Z G2
=0
解上述关于 Em 的一元二次方程，可得一个“1”码光脉冲具有的光能量：
E
m
=
hυ η
Q
2
G
x
⎜⎛ ⎜⎜⎝
∑
1
+
2
∑
2
1
−
I12
4
+
Z Q2G2 + 2x
⎟⎞ ⎟⎟⎠
于是在一般情况下，APD 光接收机灵敏度的通用表达式为：
Pr ’ =
−
1
2N
e
1 dv
（1.5.25）与（1.5.26）式中的 0.5，是认为对“1”码进行误判的误码率近似等于 对“0”码进行误判的误码率。
这二个错误判决之和就为系统的误码率总 Pe = Pe0 + Pe1。 把(1.5.25）与(1.5.26）代入，并进行变量变换处理并化简可得：
(1.5.27） 式中：
p= 0
1 2π σ
0
(v−v )2
−
0
2σ 2
e
0
式中：
σ0 为“0”码时的均方噪声,即 N0 =σ02；
v0 为“0”码时的瞬时信号电压。 p0 的分布如图 1.5.3 所示。
p0
p1
Pe1 Pe0
t
∞
V0
d
V1
∞
图 1.5.3：判决点的噪声概率密度分布（高斯分布）
而由（1.5.14）与（1.5.19）式知，当判决点为“1”码时，判决点总的噪声功率（包 括雪崩噪声与热噪声）为：
§5.5 Σ1、I1、I2、I3 的通用数据表格
为了便于对雪崩噪声 NS0、NS1 及热噪声因子 Z 的计算，通常把各噪声参量 Σ1、I1、 I2、I3 的具体数值预先算出并形成表格。
此时显示出来归一化处理的优越性，即把各噪声参量 Σ1、I1、I2、I3 的表达式不 是用园频率 ω 而是用归一化频率 Φ（相对于传输速率的相对参量 Φ=ω/2πB）来表示。 因为若不做归一化处理，则在不同的传输速率情况下，各噪声参量 Σ1、I1、I2、I3 会 具有不同的数值，根本无法做出通用表格。而进行归一化处理之后，只要令 Φ 取值 0.1~1.0，则不管系统的传输速率是多少，都可以算出各噪声参量的具体数值。
因此，在进行一般性计算时，若收发间的距离小于 40km，可取 hP(t)的相对脉宽 α=0.2；若收发间的距离大于 40km 但小于 80km，可取 hP(t)的相对脉宽 α=0.3。
表 1.5.1：输入为高斯波，输出为升余弦波时，各噪声参量数值
升余弦 波(β)
0.5
1.0
高斯波形 （α=σ/T）
因为我们的最终目的是求光接收机的灵敏度，而灵敏度的定义是在规定误码率要求 的条件下，光接收机所需要的最小光功率；因此所以相关参量都应该以光接收机的输入 端为参考点来表示，即折算到光接收机的输入端。
假定无论是雪崩噪声还是热噪声，其概率密度分布皆服从高斯分布，则判决点 为“0”码时的总噪声概率密度为：
对于光接收机的输出波形 ho(t)，我们希望经均衡器的均衡之后的输出波形为滚降 因子 β =10.5 或 β =1 的升余弦波。
于是根据(1.5.10）、(1.5.12）、(1.5.20）式，可以算出参量 Σ1、I1、I2、I3 的具 体数值，如表 1.5.1 所示。
至于光接收机输入高斯波形 hP(t)的相对脉宽 α，其数值大小与收发间的距离、光 纤的传输特性（如根均方带宽 σ f 、色散系数）等密切相关。收发间的距离越长、光纤 的根均方带宽 σ f 越大或色散系数越大，高斯波的相对脉宽 α 越大。
(1.5.28）
Em =
Q N1 + N0
Q 为品质因数，即“1”码光脉冲的光能量 Em 与总均方根噪声功率之比。 把(1.5.28）式消除根号，并代入 N1 与 N0 的表达式即(1.5.23)与(1.5.24)式，并进 行整理、化简得：
E2
m
− 2 hυ Q2 ∑ G x E
η
1
m
+
⎜⎜⎝⎛
hυ η
实践与理论证明，APD 存在着一个最佳增益 GOPT，当 APD 光二极管处于最佳增 益状态时，它的光电流最大，而产生的雪崩噪声最小。
对(1.5.28）式关于 G 进行求导，并令：∂ Em / ∂ G = 0；并求解最后可得：
(1.5.30) 其中：
(1.5.31)
1
GOPT =
⎜⎜⎝⎛
Zr1 Qr 2
1.APD 光接收机
(1). APD 光接收机灵敏度的一般表达式 由（1.5.13）与（1.5.19）式知，当判决点为“0”码时，判决点总的噪声功率（包 括雪崩噪声与热噪声）为：
(1.5.23）
N0=
hυ G x Em
η
Σ1
− 2
Βιβλιοθήκη BaiduI1
+
⎜⎜⎝⎛
hυ η
⎟⎟⎠⎞ 2
Z G2
上式中的第二项即热噪声的表达式，已经折算到光接收机的输入端。
x
2
r
2
2+ x
⎟⎞1+ ⎟⎠
x
(w) (1.5.33)
式中： h 为 普朗克常数，h＝6.62×10-34 焦耳ּ秒； 4 为光波频率，4 = c / λ，c 为光在真空中的传播速度，c =2.99792458×108 米/秒，λ 为光波波长； η 为 APD 光二极管的量子效率； B 为传输速率(毕特 / 秒)；
I3
0.0803 0.0930 0.1122 0.1420 0.1898 0.2707 0.4162 0.0859 0.1081 0.1474 0.2232 0.3867 0.7940 2.0029
§5.6 光接收机灵敏度
我们已经得到了光接收机的热噪声与雪崩噪声的数学表达式，其中热噪声的概率分 布是服从高斯分布的，但雪崩噪声却不然，[url=http://www.nuaa001.com/]魔兽 sf[/url] 至今尚未找到一种分布规律来确切地描述雪崩噪声的概率分布。
知道了系统发送端的光脉冲波形 hS(t)与光纤的传输特性如冲击响应 hf(t)，再假定 发送端的光脉冲波形为矩形波，则由（1.4.6）式通过卷积计算就可以得到光接收机输入 端高斯波形 hP(t)的相对脉宽 α。只不过其计算相当繁琐。
玻尔松尼克（S.D.Personick）通过实验后提出了一个结论：要保证系统的可用性， 一般要求光接收机输入端高斯波的相对根均方宽度 σ < 0.30。
Q 为由误码率 BER 决定的因数，当 BER=1×10-10 时，Q =6.35；当 BER=1 ×10-9 时，Q=6.00；
Z 为放大器热噪声因子； X 为 APD 的雪崩噪声指数因子。
上述 Pr ’的表达式是以瓦特为单位，[url=http://www.nuaa001.com/]魔兽私服 [/url]但为了计算方便通常用 dBm 为单位，因为定义 1 毫瓦为 0dBm，所以可用下式换 算：
如果把雪崩噪声的概率分布也用高斯分布来近似描述，可使理论分析大大简化，它 由玻尔松尼克（S.D.Personick）在 1973 年提出，实践证明，这种近似是比较合理的。
1980 年，CCITT 对该方法略加修正，推荐给大家使用。 CCITT 对该方法的修正，就是在计算光接收机的雪崩噪声时，原方法计算的是全“1” 码流情况下的雪崩噪声（最坏情况噪声）；修正后计算的雪崩噪声则是“1”码与“ 0” 码等概率出现情况下的雪崩噪声，见（1.5.13）与（1.5.14）式。 实际上修正前后的灵敏度计算结果差别并不大，但修正后的理论处理更合理。
(1.5.25）
∫ 1 +∞
Pe0 = 2 d
1 2π σ
0
(v − v )2
−
0
2N
e
0 dv
式中的 d 为判决门限。 同理，对“1”码错误判决的概率是如图 1.5.3 中 Pe1 所代表的面积部分 ，即对 p1 的积分：
(1.5.26）
∫ 1 d
Pe1 = 2 −∞
1 2π σ
1
(v − v )2
Pe =
1× 2
1
2π
d − v0
∫ N0 −∞
Z2
−
e
2 dz +
1×
2
1
2π
∫+∞
v1−d
N1
Z2
−
e 2 dz
Z2
∫ = 1
+∞ −
e 2 dz
2π Q
Q = v1 − v0 N1 + N0
假定在光脉冲为“0”码时，光脉冲的光功率为 0（实际情况是光功率很小，此 处忽略；若考虑其影响则对灵敏度稍有劣化，近 1dB），则光接收机的输出瞬时电压也 为 0。此外与热噪声的表达类似，应该把输出瞬时信号电压 v1 折算到光接收机的输入 端进行表示；于是 v1 的含义发生变化，成为“1”码光脉冲的光能量 Em，上式变为：
(1.5.24）
N1=
hυ G x Em
η
Σ1
+ 2
I1
+
⎜⎜⎝⎛
hυ η
⎟⎟⎠⎞ 2
Z G2
则判决点为“1”码时的总噪声概率密度为：
式中：
(v−v )2
p= 1
−
1
2σ 2
e
1
1 2π σ
1
σ1 为“1”码时的均方噪声, 即 N1 =σ12；
v1 为“1”码时的瞬时信号电压。 p1 的分布也如图 1.5.3 所示。 根据判决规则，当判决时刻的瞬时电压 V 小于判决门限 d 时，应判为“0”码；当 判决时刻的瞬时电压 V 大于判决门限 d 时，则应判为“1”码。 因此对“0”码错误判决的概率是如图 1.5.3 中 Pe0 所代表的面积 [url=http://www.nuaa001.com/]魔兽世界私服[/url]部分，即对 p0 的积分：
把(1.5.30)式代入 Em 的表达式可得：
(1.5.32)
1
E
m
=
⎜⎜⎝⎛
hυ η
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Q2+x Z
xx
2 r1 2
r 2 2+ x
⎟⎞ 1+ x ⎟⎠
于是 APD 处最佳增益时的光接收机灵敏度为：
Pr ’ =
1 2
BEm
1
=
1 2
B⎜⎜⎝⎛
hυ η
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
Q
2+ x
Z
x
2
r1
⎟⎟⎠⎞1+
x
r1
=
∑12
2 −
I 12
⎜⎛ ⎜⎝
−
∑1
+
∑ 12
+
(∑
2
1
−
I12
)
4(1 + x2
x)
⎟⎞ ⎟⎠
r2 =
∑1 + 2
I1
+
1
r1
+
∑1 − 2
I1
+
1
r1
从（1.5.30）式可以看出，APD 最佳增益 GOPT 的大小取决于多种因素，如放 大器的热噪声因子 Z，误码率要求（即 Q 值），光接收机的雪崩噪声（即 r1、r2）等。
（1.5.34）
Pr = 10 ㏒（Pr’ /10-3）
(3). 影响 APD 光接收机灵敏度的因素
从(1.5.33)式可以看出，APD 光接收机的灵敏度与下列因素有关： ①.APD 光二极管的量子效率 η 量子效率 η 越高，接收机的灵敏度越高；两者成正比关系，即量子效率每提高 一倍，灵敏度改善 3dB。 ②.APD 的雪崩噪声指数因子 X 对灵敏度的影响比较复杂，难以用简单的代数 关系表示。但总的来讲 X 值越小越好，X 值降低 0.1，灵敏度提高约 1dB。 Si－APD 的 X 值最小，为 0.3~0.5；但由于材料性能所限，它只能用于短波长。Ge －APD 虽能用于长波长，但其 X＝1.0 为最大。只有 InGaAs－APD 既能用于长波长， 其 X 值也适中，X＝0.5~0.8。 ③.放大器热噪声因子 Z Z 值越小，灵敏度越高。Z 值每降低一个数量级，灵敏度会改善 1.5~2dB。因此仔 细设计放大器，努力降低其热噪声性能，仍然是提高 APD 光接收机的重要手段。 降低 Z 值的途径一是选择优质的器件，如选择高跨导的 FET 或高放大倍数的双极 性晶体管；二降低光接收机输入端总电容 CT。 由(1.5.19)式知，Z 值近似与 CT 的平方成正比，因此降低 CT，Z 值会大大减小， 自然会改善灵敏度。因为 CT 是光接收机输入端的总电容，即 APD 光二极管的结电容 Cd、放大器输入电容 Ci 和杂散电容 CS 的总和。因此为了降低 CT，最好采用集成工艺 把 APD 光二极管与前置放大级集成在一起。这样可以使 CT 从原来的 10PF 降低到 5PF 以 下，灵敏度会改善 1.5~3dB。
I1
1.0114 1.0281 1.0595 1.1143 1.2061 1.3585 1.6152 1.0217 1.0547 1.1200 1.2447 1.4877 1.9972 3.2102
I2
0.9874 1.0641 1.1751 1.3372 1.5807 1.9622 2.5947 0.8635 0.9491 1.0863 1.3196 1.7572 2.6989 5.1242
由(1.5.10）、(1.5.12）、(1.5.20）式知，各噪声参量 Σ1、I1、I2、I3 与光接收机 的输入波形 hP(t)及输出波形 ho(t)密切相关，所以要想做出 Σ1、I1、I2、I3 的通用数 据表格，还应该知道 hP(t)与 ho(t)。
对于光接收机的输入波形 hP(t)，我们可以假定它为高斯波形。但虽然都为高斯波， 但其具体形状却有区别，它主要由其根均方宽度 σ 描述。同样是为了做出通用表格，我 们用相对脉宽 α=σ / T 来描述光接收机输入端的高斯波特性，即高斯波形的根均方宽度 σ 相对于传输速率的码元宽度 T 的相对量。
0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50
Σ1
1.0727 1.1330 1.2281 1.3761 1.6079 1.9803 2.6062 1.0412 1.0961 1.2030 1.4087 1.8228 2.7455 5.1563
1 2
BEm
(w) (1.5.29)
=
1 2
hυ η
BQ 2G
x
⎜⎛ ⎜⎜⎝
∑1
+
2
∑
2
1
−
I
2
1
4
+
Z Q2G2 + 2x
⎟⎞ ⎟⎟⎠
(2). 最佳增益 APD 光接收机灵敏度
从(1.5.29)可以看出，APD 光二极管的增益 G 对光接收机灵敏度 Pr 的影响是矛盾 的，即并非 G 值越大越好。而且以前我们也曾经讨论过，G 值越大，APD 光二极管产 生的光电流虽然越大，但与此同时产生的雪崩噪声也越大。