复合函数微分不定积分定积分

例2
求

3
1 2
dx. x
解
1 1 1 (3 2x),
3 2x 2 3 2x

3
1 2
dx x

1 2

3
1 2
x

(3

2
x)dx

1 2

1du u

1 ln u 2

C

1 ln(3 2

2x)

C.
例16 求
1 dx (a 0).
x2 a2
解 令 x a tan t dx a sec2 tdt
t



2
,
2

1 x2 dx 1 sin2 t costdt
cos2 tdt (1 cos2t)dt / 2
1
x
t / 2 sin 2t / 4
t
1 x2
基 (16)
本 积 (17)
分 表
(18)
tan xdx ln cos x C; cot xdx ln sin x C; sec xdx ln(sec x tan x) C;
二、复合函数的求导法则
设 y f (u) ， u ( x) 都 可 导 ， 则 复 合 函 数 y f ( ( x)) 也可导，且
y f Biblioteka Baidu(u) ( x)
或 dy dy du dx du dx
（复合函数)最终变量 =（复合函数)中 间变量 ×（中间变量)最终变量
t



2
,
2


x
1 2
a
2
dx


a
1 sec
t

a
sec2
tdt
sectdt ln(sec t tan t) C

ln
x a

x
2 a
a
2


C
.
x2 a2
x
t a
例17 求 1 x2 dx.
解 令 x sin t
dx costdt
推广 设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy dy du dv . dx du dv dx
例4 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
解
dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1) dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2

cos
2
xdx

1 2

cos
tdt

1 2
sin
t

C
1 2
sin
2
x

C
.
例1 求 sin 2xdx.
解（一）

sin 1
2
xdx

1 2

sin
1 dx arcsin x C;
a2 x2
a
(24)

1
1 x2
,


1
1 x
2
dx

arctan
x

C
.
二、 基本积分表
实例
x1 x
1

xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1)
本 积
(2)
分 (3) 表
kdx kx C (k是常数);
xdx x1 C ( 1); 1

dx x

ln
x

C;
x0

(4)

1
1 x
2
dx

arctan
x

C
;
(5)

1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
cos 2x C;
2
xd
(2
x
)
2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 sin xd(sin x) sin x2 C; 解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd(cos x) cos x2 C.
(7) sin xdx cos x C;
(8)

dx cos2
x


sec2
xdx

tan
x

C;
(9)

dx sin 2
x


csc2
xdx

cot
x

C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)

a
xdx

ax ln a

C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
根据积分公式（2）
x dx
一、原函数与不定积分的概念
微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
例 sin x cos x
sin x是cos x的原函数.
例
ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
(19) csc xdx ln(csc x cot x) C;
(20)
a2
1
x 2 dx

1 a
arctan
x a

C;
(21)
x2
1
a 2 dx

1 2a
ln
x x

a a

C;
(22)
a2
1
x 2 dx

1 2a
ln
a a

x x

C;
(23)

x 1
1

C

51
x2 51

C

2 7
7
x2

C.
2
三、 不定积分的性质
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx.
（k 是常数，k 0)
一、第一类换元法
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x5dx.
解


x
6


x5,
6
x5dx x6 C .
6
例2
求

1
1 x2
dx.
解

arctan
x