高二数学 椭圆的标准方程学案
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课时：2课时年级：高中数学教材版本：人教版教学目标：1. 理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其两种形式。
2. 掌握椭圆标准方程的推导过程，能够根据条件确定椭圆的标准方程。
3. 通过椭圆的定义和标准方程的学习，培养学生的观察能力和探索能力。
4. 培养学生运用坐标法解决几何问题的能力，渗透数形结合和等价转化的思想方法。
教学重难点：重点：椭圆的定义、标准方程的推导过程。
难点：椭圆标准方程的建立和推导，坐标法在几何问题中的应用。
教学准备：1. 教学课件2. 练习题3. 教学辅助工具（如教具、黑板等）教学过程：第一课时一、导入1. 通过介绍哈雷彗星的运行轨迹，引导学生思考椭圆的定义及其在现实生活中的应用。
2. 引出课题：椭圆的标准方程。
二、新知探索1. 复习回顾：回顾椭圆的定义，让学生动手画椭圆。
2. 标准方程的推导：a. 建系：让学生根据所画的椭圆，选取适当的坐标系。
b. 设点：设定椭圆上的两个特殊点（如焦点）。
c. 列式：根据椭圆的定义，列出方程。
d. 化简：对方程进行化简，得到椭圆的标准方程。
三、课堂练习1. 完成教材中的例题，巩固所学知识。
2. 解答学生提出的疑问。
四、课堂小结1. 总结本节课的学习内容，强调椭圆的定义和标准方程的推导过程。
2. 鼓励学生在课后进行自主学习和巩固。
第二课时一、复习导入1. 复习上节课的学习内容，检查学生对椭圆的定义和标准方程的掌握情况。
2. 引出本节课的学习内容：椭圆的简单几何性质及其应用。
二、新知探索1. 椭圆的简单几何性质：a. 理解椭圆的焦点、顶点、长轴、短轴、焦距和离心率等概念。
b. 掌握a、b、c之间的关系，会由其中的两个求出第三个。
2. 椭圆简单几何性质的应用：a. 通过例题学习，掌握椭圆简单几何性质的应用。
b. 根据性质用待定系数法求椭圆的标准方程。
三、课堂练习1. 完成教材中的例题和练习题，巩固所学知识。
2. 解答学生提出的疑问。
四、课堂小结1. 总结本节课的学习内容，强调椭圆的简单几何性质及其应用。
高二数学椭圆及其标准方程教案 苏教版 教案
高二数学椭圆及其标准方程教案【学习目标】 1．重点理解理解椭圆定义及其限制条件；理解椭圆标准方程的推导；理解椭圆标准方程中a 、b 、c 的大小关系． 2．重点掌握掌握椭圆定义；掌握求椭圆标准方程的方法；进一步掌握求曲线方程的方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力．3．能力培养培养应用代数知识进行代数式的同解变形能力和化简能力．【学习障碍】 1．理解障碍(1)求椭圆标准方程可采取“先定位，后定量”的方法，如何定位是关键．(2)对于直线和椭圆的位置关系，可用一元二次方程的Δ来判定，其理论根据是交点个数，这一点应理解准确．(3)直线和椭圆相交时，常常借助韦达定理解决弦长问题．应深刻理解弦长公式的推导过程及各字母含义． (4)给出椭圆标准方程，其焦点是在x 轴还是在y 轴，怎样判别，其理论依据是什么． (5)理解椭圆两种形式的标准方程的统一形式，应理解为什么可以这样设． 2．解题障碍(1)确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(如焦点的位置)和两个定形条件(如a 、b )，a 、b 是椭圆的定形条件，焦点是椭圆的定位条件．(2)点(x 0，y 0)在椭圆内⇔220220b y a x +＜1；点(x 0，y 0)在椭圆上⇔ 22220b y a x +＝1；点(x 0，y 0)在椭圆外⇔22220b y a x +＞1． (3)椭圆定义是解题的常用工具，但如何转化为定义，如何应用定义需要有明确的思维方向．【学习策略】1．坐标法解析几何的最大特点就是通过建立平面直角坐标系，把一个难以解决的平面问题转化为代数问题，通过坐标和计算得出结论．坐标系建的好坏，直接影响到解题过程的繁简以及结果的好坏．通常建立平面直角坐标系时，可利用图形的对称性，或利用图形中的垂直关系，或使尽量多的点落在坐标轴上．2．求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法．所谓定位，就是研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点到底是在x 轴上还是在y 轴上；所谓定量就是求出椭圆的a 、b 、c ，从而写出椭圆方程．3．定义是解决椭圆问题的常用工具，如果题目的条件能转化为动点到两定点距离和为常数的问题可考虑能否利用椭圆定义；或者牵扯到椭圆上的点到焦点的距离，也可考虑椭圆定义．4．研究直线与椭圆的位置关系，或者利用弦长公式计算弦长．事先都要先把直线方程和椭圆方程联立，消去y (或x )得x (或y )的一元二次方程，再利用其Δ或韦达定理进行．5．直线与椭圆相交，如果涉及到中点及直线的斜率可考虑平方差法．6．Ax 2＋By 2＝C (其中A 、B 、C 为同号且不为零的常数，A ≠B )，它包含焦点在x 轴或y 轴上两种情形．方程可变形为BC y A C x 2+2＝1．当A C ＞B C 时，椭圆的焦点在x 轴上；当A C ＜B C时，椭圆的焦点在y 轴上．【例题分析】［例1］求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－23，25)； (3)焦点在坐标轴上，且经过点A (3，－2)和B (－23，1)策略：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a 、b 即可．若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式．解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)∵2a ＝10，2c ＝8，∴a ＝5，c ＝4 ∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9所以所求的椭圆的标准方程为9252x y +2＝1．(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为222bx a y +2＝1(a ＞b ＞0)由椭圆的定义知，2a ＝10210211023)225()23()225()23(222=+=-+-+++-2又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6所以所求的椭圆的标准方程为61022x y +＝1． (3)解法一：若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为222bx a y +2＝1(a ＞b ＞0) 由A (3，－2)和B (－23，1)两点在椭圆上可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+11)32(1)2()3(22222222b a ba 解之得⎩⎨⎧==51522b a 若焦点在y 轴上，设所求椭圆方程为222b x a y +2＝1(a ＞b ＞0)，同上可解得⎩⎨⎧==15522b a ，不合题意，舍去．故所求的椭圆方程为5522y x +＝1． 解法二：设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1，(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． 由A (3，－2)和B (－23，1)两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅11)32(1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+112143n m n m ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==51151n m故所求的椭圆方程为51522y x +＝1． 评注：(1)求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求a 、b ．(2)第(3)小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)，不必考虑焦点位置，直接可求得方程．想一想，为什么？［例2］已知B 、C 是两个定点，|BC |＝6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程．策略：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系．为选择适当的坐标系，常常需要画出草图．如图8—1—1所示，由△ABC 的周长等于16，|BC |＝6可知，点A 到B 、C 两点的距离的和是常数，即|AB |＋|AC |＝16－6＝10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图．解：如图8—1—1所示，建立坐标系，使x 轴经过点B 、Ｃ，原点Ｏ与BC 的中点重合．由已知|AB |＋|AC |＋|BC |＝16，|BC |＝6，有|AB |＋|AC |＝10，即点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且2c ＝6，2a ＝10，∴c ＝3，a ＝5，b 2＝52－32＝16．由于点A 在直线BC 上时，即y ＝0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是162522y x +＝1(y ≠0)． 评注：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用．另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在方程后注明，常用限制条件来注明．［例3］一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．策略：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件． 解：两定圆的圆心和半径分别为O 1(－3，0)，r 1＝1；O 2(3，0)，r 2＝9设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10．由椭圆的定义知：M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3． ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16故动圆圆心的轨迹方程为162522y x +＝1． 评注：正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量R ，运用椭圆定义是解决本题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法．［例4］已知P 是椭圆162522y x +＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△PF 1F 2的面积．策略：如图8—1—2所示，已知∠P ＝30°，要求△PF 1F 2的面积，如用21|F 1F 2|·|y P |，因为求P 点坐标较繁，所以用S △＝21|PF 1|·|PF 2|·sin30°较好，为此必须先求出|PF 1|·|PF 2|，从结构形式可看出用余弦定理可得出夹30°角的两边的乘积．解：由方程162522y x +＝1，得a ＝5，b ＝4， ∴c ＝3，∴|F 1F 2|＝2c ＝6 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10∵∠F 1PF 2＝30°．在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos30° 即62＝|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|－3·|PF 1|·|PF 2| (2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－36＝100－36＝64， ∴|PF 1|·|PF 2|＝3264+＝64(2－3)∴21PF F S ∆＝21|PF 1|·|PF 2|·sin30°＝21·64(2－3)·21＝16(2－3)． 评注：在解答解析几何的习题中要善于根据曲线和图形的性质，用平面几何的知识加以解答，本题用余弦定理和椭圆的定义，从而简化了运算，达到化繁为简的目的．［例5］椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y ＝1相交于P 、Q 两点，若|PQ |＝22．且PQ 的中点C 与椭圆中心连线的斜率为22，求椭圆方程． 策略：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a 、b 之值即可．解：由⎩⎨⎧=+=+1122y x by ax 得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝b a b +2，x 1x 2＝ba b +-1∴|PQ |＝211+24)(21221=-+x x x x ·ba b b a b +-⋅-+14)2(2 ＝2222=+-+ba abb a∴ab b a -+＝a ＋b ①又PQ 的中点C (b a b +，1－b a b +)，即C (b a b +，ba a +) ∴k OC ＝22==++b a ba b b a a②由①②得a ＝31，b ＝32∴所求椭圆方程为32322y x +＝1． 评注：本题是一个小型综合题，此类问题一般先将两个独立的条件都用待定系数a ，b 表示出来，再联立解方程组，可得所求椭圆方程．［例6］中心在原点的椭圆C 的一个焦点是F (0，50)，又这个椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标是21，求该椭圆方程． 策略：本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法”． 解：据题意，此椭圆为焦点在y 轴上的标准形式的椭圆，设其方程为2222b xa y +＝1(a ＞b ＞0) 设直线l 与椭圆C 的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：221221b x a y +＝1，1222222=+bx a y 两式相减得：2212122121))(())((b x x x x a y y y y -++-+＝0 ∴)()(2122122121y y b x x a x x y y +-+=--即3＝)1(122-⨯-⨯b a ∴a 2＝3b 2 ① 又因为椭圆焦点为F (0，50) ∴c ＝50 则a 2－b 2＝50②由①②解得：a 2＝75，b 2＝25∴该椭圆方程为257522x y +＝1． 评注：此题也可以把直线方程与椭圆方程联立后，得到x 的一元二次方程，利用x 1＋x 2＝1来求，但过程较繁，利用平方差法简便易行．【同步达纲练习】1．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是A ．(0，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，＋∞)D ．(0，1)2．已知椭圆92522y x +＝1，F 1、F 2分别为它的两焦点，过F 1的焦点弦CD 与x 轴成α角(0＜α＜π)，则△F 2CD 的周长为A ．10B ．12C ．20D ．不能确定3．椭圆31222y x +＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是A ．±43 B ．±23 C ．±42 D ．±43 4．设椭圆204522y x +＝1的两焦点分别是F 1和F 2，P 为椭圆上一点，并且PF 1⊥PF 2，则||PF 1|－|PF 2||等于 A ．65B ．25C ．35D ．352 5．直线y ＝x 与椭圆42x ＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |等于A ．2B ．554 C ．5104 D ．5108 6．点P 是椭圆6410022y x +＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为___________．7．△ABC 的两顶点B (－8，0)，C (8，0)，AC 边上的中线BM 与AB 边上的中线CN 的长度之和为30，则顶点A 的轨迹方程为___________．8．F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则M 点的轨迹是___________． 9．以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P (53，－4)和Q (－54，3)，则此椭圆的方程是___________． 10．在椭圆41622y x +＝1内，过点(2，1)且被这点平分的弦所在的直线方程是___________． 11．△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0，6)和C (0，－6)，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是－94，求顶点A 的轨迹方程．12．在面积为1的△PMN 中，tan M ＝21，tan N ＝－2，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点并且过点P 的椭圆方程．[参考答案]【同步达纲练习】1．解析：将方程x 2＋ky 2＝2化为椭圆的标准方程为ky x 2222+＝1，又焦点在y 轴上， ∴k2>2，解之得0<k <1． 答案：D2．解析：由椭圆方程知a ＝5，|CF 1|＋|CF 2|＝2a ＝10，|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝10，则△F 2CD 的周长|F 2C |＋|F 2D |＋|CD |＝|CF 1|＋|CF 2|＋|DF 1|＋|DF 2|＝10＋10＝20．答案：C3．解析：由椭圆的标准方程易知c ＝3，不妨设F 1(－3，0)、F 2(3，0)，因为线段PF 1的中点在y 轴上，由中点坐标公式知x P ＝3，由椭圆方程31222y x +＝1解得y p ＝±23，故M 点纵坐标为±43．答案：A4．解析：从方程中可得a ＝35，b ＝25，c ＝5 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝65，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝180 即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝180由已知PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c)2＝100代入上式得2|PF 1|·|PF 2|＝80 ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝20 ∴||PF 1|－|PF 2||＝25． 答案：B5．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=224yx xy 得245x ＝1∴x ＝±,552y ＝±552， 即A (552,552)，B (－552，－552) 由两点间距离公式可得|AB |＝5104． 答案：C6．解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，在△F 1PF 2中，由余弦定理有m 2＋n 2－2mn cos60°＝|F 1F 2|2＝122，即m 2＋n 2－mn ＝144 ① 由椭圆定义知m ＋n ＝20，则m 2＋n 2＋2mn ＝400 ② 由②－①得，3mn ＝256，故mn ＝3256因此，33642332562160sin 2121=⋅⋅=︒=∆mn S PF F ． 答案：3364 7．解析：如图23所示，设B 、C 为B ′C ′的两个三等分点，则B ′(－24，0)，C ′(24，0)，连接AB ′，AC ′，设A (x ，y )，BM 、CN 又分别为△ACB ′与△ABC ′的中位线．∴|AB ′|＝2|BM |，|AC ′|＝2|CN | ∴|AB ′|＋|AC ′|＝2(|BM |＋|CN |)＝60由椭圆定义，动点A 到两定点B ′、C ′的距离的和为定长60，所以点A 在以B ′、C ′为焦点，中心在原点的椭圆上运动．∵2a ＝60，∴a ＝30由|B ′C ′|＝48，得c ＝24 ∴b 2＝a 2－c 2＝900－576＝324．则点A 的轨迹方程是32490022y x +＝1(y ≠0)． 答案：32490022y x + ＝1(y ≠0) 8．解析：尽管动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6，但2a ＝|F 1F 2|，∴M 点轨迹应为F 1、F 2两点间的线段． 答案：F 1、F 2两点间的线段9．解析：设此椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )把P (53，－4)，Q (－54，3)代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+192516116259n m n m解得m ＝1，n ＝251，故椭圆方程为x 2＋252y ＝1．答案：x 2＋252y＝110．解析：设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有4162121y x +＝1，4162222yx +＝1 两式相减得4))((16))((21212121y y y y x x x x -+-=-+ ∴2121644)(16)(421212121-=⨯-⨯=+-+=--y y x x x x y y即弦所在直线的斜率为－21，又弦过(2，1)点，故弦所在直线的方程是x ＋2y －4＝0． 答案：x ＋2y －4＝011．解：设顶点A 的坐标为(x ，y )，由题意得：9466-=+⋅-x y x y ．∴顶点A 的轨迹方程为：368122y x + ＝1(y ≠±6)． 12．解：以直线MN 为x 轴，以线段MN 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图24所示．设所求椭圆方程为2222by a x +＝1(a >b >0)，分别记M 、N 、P 点的坐标为(－c ，0)、(c ，0)和(x 0，y 0)．∵tan α＝tan(π－∠N )＝2∴由题设知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(21)(210000c x y c x y解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==cy c x 343500即P )34,35(c c在△MNP 中，|MN |＝2c ，MN 上的高为34c， ∴S △MNP ＝34221cc ⨯⨯＝1，解得c ＝23 即P (332,635)，由此得|PM |＝3152，|PN |＝315∴a ＝21(|PM |＋|PN |)＝215，从而b 2＝a 2－c 2＝3故所求的椭圆方程为315422y x +＝1．。
高中数学椭圆方程教案
高中数学椭圆方程教案
教学内容：椭圆的方程
教学目标：1. 理解椭圆的定义和特点
2. 掌握椭圆的标准方程和一般方程
3. 能够将一个椭圆的方程转化成标准方程
教学重点：椭圆的标准方程和一般方程
教学难点：将一个椭圆的方程转化成标准方程
教学工具：教材、黑板、彩色粉笔
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师介绍椭圆的定义和特点，引导学生了解椭圆是一种与两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
二、讲解椭圆的标准方程（15分钟）
1. 教师讲解椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心，a和b 分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
2. 老师通过示例讲解如何由一个椭圆的一般方程转化成标准方程。
三、讲解椭圆的一般方程（15分钟）
1. 教师讲解椭圆的一般方程为Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为常数。
2. 教师通过示例讲解如何由一个椭圆的一般方程转化成标准方程。
四、练习与讨论（15分钟）
1. 学生共同解决几道关于椭圆方程的练习题，加深对椭圆方程的理解。
2. 学生就转化方程的方法进行讨论并互相交流经验。
五、小结与作业布置（5分钟）
1. 教师对本节课内容进行小结，并强调重点和难点。
2. 布置作业：完成《椭圆方程练习题》。
教学反思：在教学过程中，需要让学生能够灵活运用椭圆的标准方程和一般方程，加强练习和训练，提高解题能力。
学案3：2.2.1 椭圆的标准方程
2.2.1 椭圆的标准方程学习目标核心素养1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助于标准方程的推导过程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.新知初探1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．(2)相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的．思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c) a，b，c的关系a2＝初试身手1．已知点M 到两个定点A (－1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是( ) A 一个椭圆 B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线AB2．以下方程表示椭圆的是( ) A.x 225＋y 225＝1 B.2x 2－3y 2＝2 C.－2x 2－3y 2＝－1D.x 2n 2＋y 2n 2＋2＝0 3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( ) A.x 25＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1 C.x 25＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 D.x 29＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． 规律方法确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 跟踪训练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (2)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142.类型2 椭圆的定义及其应用 [探究问题]1．如何用集合语言描述椭圆的定义？2．如何判断椭圆的焦点位置？3．椭圆标准方程中，a ，b ，c 三个量的关系是什么？例2 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 为椭圆上的点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．母题探究(改变问法)在例题题设条件不变的情况下，求点P的坐标．类型3 与椭圆有关的轨迹问题例3如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．规律方法在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法.跟踪训练2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．规律方法椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，这样可以减少运算量. 当堂达标 1．思考辨析(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( ) (2)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是(±3,0)． ( )(3)y 2a 2＋x 2b2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆． ( )2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为( )A ．1B ．5C ．2D ．73．椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为( )A ．10B ．20C ．40D ．504．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________．参考答案新知初探 1．(1)和等于常数 (2)焦点 焦距思考1：[提示] 2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：思考2：[提示] a ，b 的值及焦点所在的位置． 初试身手 1．【答案】B【解析】定值2等于|AB |，故点M 只能在线段AB 上． 2．【答案】C【解析】A 中方程为圆的方程，B ，D 中方程不是椭圆方程． 3．【答案】C【解析】若椭圆的焦点在x 轴上，则c ＝1，b ＝2，得a 2＝5，此时椭圆方程是x 25＋y 24＝1；若焦点在y 轴上，则a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，此时椭圆方程是x 23＋y 24＝1.] 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 解：(1)由于椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，∴a ＝5. 又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一：①当焦点在x 轴上时，a b依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.因为a >b >0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.跟踪训练1．解：(1)法一：因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6. 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(2)法一：若椭圆的焦点在x 轴上，a b由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.类型2 椭圆的定义及其应用 [探究问题]1．[提示] P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}．2．[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．3．[提示] 椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a ，b ，c (都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a >b ，a >c ，且a 2＝b 2＋c 2(如图所示)．例2 解：由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|. ①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|. ②②代入①解得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是35 3.母题探究解：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由本例解答可知S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝353，解得|y 0|＝353，即y 0＝±353， 将y 0＝±353代入x 24＋y 23＝1得x ＝±85，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫±85，±353. 类型3 与椭圆有关的轨迹问题例3 解：由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |， |CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝5.∴M 点的轨迹为椭圆，其中2a ＝5， 焦点为C (－1,0)，A (1,0)， ∴a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求轨迹方程为：x 2254＋y 2214＝1.跟踪训练2．解：如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意动圆M 内切于圆C 1， ∴|MC 1|＝13－r . 圆M 外切于圆C 2，∴|MC 2|＝3＋r .∴|MC 1|＋|MC 2|＝16＞|C 1C 2|＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16,2c ＝8， b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48， 故所求轨迹方程为x 264＋y 248＝1.当堂达标1．[提示] (1)× 需2a ＞|F 1F 2|. (2)× (0，±3)．(3)× a ＞b ＞0时表示焦点在y 轴上的椭圆． 2．【答案】D【解析】由|PF 1|＋|PF 2|＝10可知到另一焦点的距离为7. 3．【答案】B【解析】由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝20，故选B. 4．【答案】x 24＋y 23＝1【解析】由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2，∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A ⎝⎛⎭⎫1，32代入方程得b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.。
高中数学椭圆及其标准方程导学案
2.椭圆及其标准方程〔第一课时〕导学案【学习目标】1. 掌握椭圆的定义和标准方程；2. 会求简单的椭圆方程；3.经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。
4.稳固用坐标化的方法求动点轨迹方程。
【重点难点】重点：椭圆定义的理解和标准方程的运用难点：标准方程的建立与推导【课前探究】阅读并预习教材，找出疑惑之处，完成以下问题1、自制工具，使用拉线法在纸板上演示椭圆定义做出椭圆思考:改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？2、圆的定义：椭圆的定义：3、类比圆的方程的推导过程，尝试自己推导椭圆的标准方程【课中探究】研讨互动，问题生成1、椭圆定义：平面内与两个定点F1，F2的距离和等于常数2a 〔大于12F F 〕的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2c。
2、椭圆的标准方程：思考1：根据椭圆的定义，找出椭圆中的等量关系，并用集合表示？思考2：建系设点，推导椭圆的标准方程？以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1,F2的中点为原点建立直角坐标系设M〔x , y〕,则F1(-c,0),F2(c,0)，设122MF MF a+=思考3：如果椭圆的焦点在y轴上呢？请大家小组讨论，猜测椭圆的方程有何改变？椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)y x a b ab+=>>课中反应练习：1、请判断以下哪些方程表示椭圆，如果是，则判断焦点在哪个轴上？指出22,a b 。
〔1〕22110036x y += 〔2〕22136100x y += 〔3〕2213636x y += 〔4〕22110036x y -=请同学们总结分析椭圆标准方程的结构特点：，焦点在坐标轴上，则椭圆的标准方程为 。
高二数学《椭圆的标准方程》教案、导学案
椭圆的标准方程教学设计一、教材分析《椭圆标准方程》是人教B版选修2-1第二章第二节，是本章所研究的三种圆锥曲线的重点，高考中多以压轴题出现。
本章是在学生学习了直线和圆的方程基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
通过学习，培养学生用代数方法解几何问题的能力，同时培养学生的代数运算和等价变形能力，强化培养学生的数形转换能力。
二、学生分析：学生已经学习了《圆》的有关知识，上节课又学习了《曲线与方程》。
所以学生对求轨迹方程问题已经有了一定的基础，但是学生的代数运算能力还有待于提高，尤其是本节有关带根式的方程化简是个难点。
三、设计思想基于对以上几点分析，我这节课的设计主要突出以下几点：一是对椭圆的定义的引入，通过借助天体运动轨迹，让学生从感性认识入手，再通过实验探究，进行小组合作互助画出椭圆图像，这样一方面提高学生学习兴趣，又让学生上升到理性认识，形成正确的概念。
二是通过问题式探究，学生进行椭圆标准方程的推导。
注重学生自我的探究能力、运算能力、处理数据能力。
学会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法。
培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
而教师起到指导性作用，整个课堂做到以学生为主体。
三是通过学生阅读课本的探索与研究，使学生自己认识到焦点在y轴上的椭圆的标准方程，通过对比探索出两种标准方程的异同点。
并总结提升形成理论。
四、教学目标1、通过实验探究，总结出椭圆的定义，并通过练习1、2、3能指出椭圆的定义满足的条件，并能把文字语言转换成符号语言；2、探究出标准方程的推导方法，能写出标准方程，并能够说出三个量a, b,c 之间的关系；3、会由标准方程求焦点及a,b,c；4、根据已知的条件，会求椭圆的标准方程，并能总结出求标准方程的步骤。
五、教学重点与难点：教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。
《椭圆及其标准方程》教学设计(精选3篇)
《椭圆及其标准方程》教学设计（精选3篇）《椭圆及其标准方程》教学设计篇1一、教材内容分析本节是整个解析几何部分的重要基础学问。
这一节课是在《直线和圆的方程》的基础上，将讨论曲线的方法拓展到椭圆，又是连续学习椭圆几何性质的基础，同时还为后面学习双曲线和抛物线作好预备。
它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，所以椭圆是同学学习解析几何由浅入深的一个台阶，它在整章中具有承前起后的作用。
二、学情分析高中二班级同学正值身心进展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应学问基础，所以他们乐于探究、敢于探究。
但高中生的规律思维力量尚属阅历型，运算力量不是很强，有待于训练。
基于上述分析，我实行的是“创设问题情景-----自主探究讨论-----结论应用巩固”的一种讨论性教学方法，教学中采纳激发爱好、主动参加、乐观体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。
使同学真正成为课堂的主体。
三、设计思想1、把章头图和引言用微机以影像、录音和图片的形式给出，生动体现出数学的有用性；2、进行分组试验，让同学亲自动手，体验学问的发生过程，并培育团队协作精神；3、利用《几何画板》进行动态演示，增加直观性；四、教学目标1、学问与技能目标：理解椭圆定义、把握标准方程及其推导。
2、过程与方法目标：注意数形结合，把握解析法讨论几何问题的一般方法，注意探究力量的培育。
3、情感、态度和价值观目标：(1)探究方法激发同学的求知欲，培育深厚的学习爱好。
(2)进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。
五、教学的重点和难点教学重点：椭圆定义的理解及标准方程的推导。
教学难点：标准方程的推导。
四、说教学过程（一）、创设情景，导入新课。
（3分钟)1、利用微机放映“彗星运行”资料片，引入课题——椭圆及其标准方程。
2、提问：同学们在日常生活中都见过哪些带有椭圆外形的物体？对同学的回答进行筛选，并利用微机放映几个例子的图片。
设计意图：通过观看影音资料，一方面使同学简洁了解椭圆的实际应用，另一方面产生问题意识，对讨论椭圆产生心理期盼。
高中数学椭圆的方程教案
高中数学椭圆的方程教案
一、椭圆的定义和性质
1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
2. 椭圆的性质：椭圆的离心率0<e<1，长轴2a，短轴2b，焦点与中心之间的距离为c，满足关系式c^2 = a^2 - b^2。
二、标准方程
1. 椭圆的标准方程(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为椭圆长轴的长度的一半，b为椭圆短轴的长度的一半。
2. 椭圆的标准方程x²/a² + y²/b² = 1，当椭圆的中心在坐标原点时成立。
三、椭圆的方程转化
1. 将椭圆的方程从标准方程转化为一般方程时，要注意保持等面积关系不变。
2. 将椭圆的一般方程转化为标准方程时，可以通过配方、合并同类项等方法进行推导。
四、椭圆的性质和应用
1. 椭圆是一个闭合的几何图形，具有对称性和周期性。
2. 椭圆在工程、建筑、设计等领域有着广泛的应用，如抛物线天线、椭圆形跑道等设计中
都能看到椭圆的影子。
五、例题演练
1. 已知椭圆的长轴长为6，短轴长为4，中心在原点，求其标准方程。
2. 设椭圆的中心坐标为(2，-3)，长轴长为8，短轴长为6，求其标准方程。
六、作业
1. 椭圆的离心率e满足哪些条件？
2. 求椭圆的标准方程：中心坐标为(0，0)，焦点距离为10，长轴长为8。
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。
高中数学《椭圆及其标准方程》教案（精选7篇）
高中数学《椭圆及其标准方程》教案作为一名专为他人授业解惑的人民教师，就难以避免地要准备教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。
教案要怎么写呢？下面是小编精心整理的高中数学《椭圆及其标准方程》教案，欢迎阅读与收藏。
高中数学《椭圆及其标准方程》教案篇1一、教材分析1、教材的地位及作用圆锥曲线是高考重点考查内容。
“椭圆及其标准方程”是《圆锥曲线与方程》第一节内容,是继学习圆以后运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例。
从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式；所以，无论从教材内容，还是从教学方法上都起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。
因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。
2、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：（1）、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法。
（2）、能力目标：让学生通过自我探究、合作学习等，提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。
（3）、情感目标：在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数与形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于钻研的精神。
3、教学重点、难点教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程。
教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。
在学习本课前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。
但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，对坐标法解决几何问题掌握还不够。
另外，学生对含有两个根式之和（差）等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当等是导致“标准方程的推导”成为学习难点的直接原因。
据以上对教材及学情的分析，确定椭圆的定义及其标准方程为本课的教学重点；椭圆标准方程的推导为本课的难点。
3.1.1椭圆及其标准方程学案
3.1.1椭圆及其标准方程学案
【学习目标】
1.理解椭圆的概念，掌握椭圆的标准方程及其几何特征。
2.理解焦点、焦距的含义及其在椭圆中的作用。
3.掌握椭圆的标准方程的推导过程。
4.会利用椭圆的标准方程解决一些实际问题。
【学习重点】
1.椭圆的概念和标准方程。
2.椭圆的标准方程的推导过程。
3.利用椭圆的标准方程解决实际问题。
【学习难点】
1.椭圆的几何特征的理解。
2.椭圆标准方程的灵活运用。
【学习过程】
一、引入（5分钟）
1.回顾与椭圆的相关的知识点，如椭圆的定义，焦点，焦距等概念。
2.展示一些与椭圆相关的图片或实物，让学生更直观地感受椭圆。
3.引导学生思考：什么是椭圆？它有哪些特征？如何表示椭圆？
二、新课学习（30分钟）
1.阅读教材，深入理解椭圆的概念和标准方程。
2.通过实例和练习，掌握椭圆的标准方程及其几何特征。
3.学习椭圆的焦点和焦距的含义及其在椭圆中的作用。
4.掌握椭圆的标准方程的推导过程，了解推导过程中的注意事项。
5.通过例题解析，掌握如何利用椭圆的标准方程解决实际问题。
三、自主练习（15分钟）
1.根据所学知识，尝试自己解答教材中的相关练习题。
2.对于有困难的问题，可以寻求同学或老师的帮助。
3.对自己的学习情况进行自我评价，找出自己的不足之处。
四、小结与反思（10分钟）
1.回顾本节课学习的重点和难点，总结学习收获。
2.思考自己在哪些方面还需要加强，制定下一步的学习计划。
学案2：2.1.1椭圆及其标准方程
2．1.1 椭圆及其标准方程学习目标：1.掌握椭圆的定义，会用待定系数法求椭圆的标准方程．2．了解椭圆标准方程的推导、坐标法的应用．预习提示：1．给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？2．在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？3．观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？4．椭圆方程中，a 、b 以及参数c 有什么几何意义，它们满足什么关系？5．椭圆定义中，为什么要限制常数|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＞|F 1F 2|?课堂探究：例1、 (1)已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，则到F 1、F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________；(2)椭圆x 216＋y 225＝1的两焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 1的周长为________．变式训练：椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D ．32例2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两焦点坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且过点(5,0)；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点．变式训练：本例(2)若改为“经过(－23，1)和(3，－2)两点”，其他条件不变，试求椭圆的标准方程．例3、已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，垂足为P ′，点M在PP ′上，并且PM →＝2MP′→，求点M 的轨迹．变式训练：设A 是椭圆x 225＋y 216＝1与x 轴的左交点，P 是椭圆上一个动点，试求AP 中点M 的轨迹方程．例4、 已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长为18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．变式训练：已知动圆与定圆C ：x 2＋y 2＋4y －32＝0内切，且过定圆内的一个定点A (0,2)，求动圆圆心P 的轨迹方程．当堂达标：1．平面内到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4的点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．圆D ．以上都不对2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( ) A ．(±4,0) B ．(0，±4) C ．(±3,0) D ．(0，±3) 3．一椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A.x 2100＋y 236＝1B.y 2400＋x 2336＝1C.y 2100＋x 236＝1D.y 220＋x 212＝1 4．已知一椭圆标准方程中b ＝3，c ＝4，求此椭圆的标准方程．答案：1．【提示】固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键．2．【提示】笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．3．【提示】以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x(y)轴，线段F1F2的垂直平分线为y(x)轴建系．4．【提示】椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.5．【提示】只有当2a＞|F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a＜|F1F2|时满足条件的点不存在．课堂探究：例1、【自主解答】(1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.(2)由椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF1|＝2a，∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝20，∴△ABF1的周长为20.【答案】(1)线段F1F2(2)20变式训练：【解析】如图，F2为椭圆右焦点，连MF2，则ON是△F1MF2的中位线，∴|ON|＝12|MF2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4.【答案】 B例2、【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， ∴2a ＝(5＋4)2＋ (5－4)2＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)法一 当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． ∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1. ∴所求椭圆的方程为：x 24＋y 2＝1； 当椭圆的焦点在y 轴上时， 设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)． ∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧ 0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.与a ＞b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ＝1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝14，n ＝1，综上可知，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1. 变式训练：【解】 设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，将点(－23，1)，(3，－2)代入上述方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝115，n ＝15，故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. 例3、【自主解答】 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝x ，y 0＝3y . ∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上，∴x 20＋y 20＝9. 将x 0＝x ，y 0＝3y 代入得x 2＋9y 2＝9，即x 29＋y 2＝1. ∴点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2＝1. 变式训练：【解】 设P (x 0，y 0)，AP 的中点M (x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝x 0－52，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x ＋5，y 0＝2y ，代入椭圆方程x 225＋y 216＝1， 得(2x ＋5)225＋y 24＝1， 所以AP 中点M 的轨迹方程是(2x ＋5)225＋y 24＝1. 例4、【自主解答】 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)．由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18，得|AB |＋|AC |＝10＞|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． 变式训练：【解】 如图所示．由定圆C ：x 2＋(y ＋2)2＝36知圆心C (0，－2)，半径r ＝6.设动圆圆心P 的坐标为(x ，y )，半径为|P A |.∵圆P 与圆C 内切，∴|PC |＝r －|P A |，即|P A |＋|PC |＝r ＝6.∴动圆圆心P 到两定点A (0,2)，C (0，－2)的距离之和为6，且6＞4.故动圆圆心P 的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，∴b 2＝5.∴ 所求动圆圆心P 的轨迹方程为x25＋y29＝1. 当堂达标：1．【解析】 因|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|＝4，故点M 的轨迹是线段．【答案】 B2．【解析】 ∵a 2＝25，b 2＝16且焦点在y 轴上，∴c ＝3，焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．【答案】 D3．【解析】 由题意c ＝8，a ＝10且焦点在y 轴上，∴b 2＝a 2－c 2＝100－64＝36，∴方程为y 2100＋x 236＝1. 【答案】 C4．【解】 ∵b 2＝9，c 2＝16，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∵此椭圆的焦点不确定，∴标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.。
椭圆的标准方程学案(共3课时)-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
第3章:椭圆与方程第1课：椭圆的标准方程一．学习目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程. 二．概念梳理.1.平面内 ，叫做椭圆. 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距.2.根据椭圆的定义可知：集合{}a MF MF M P 221=+=，0,0,221>>=c a c F F ，且c a , 为常数.当a F F 221<时，集合P 为_______；当a F F =21时，集合P 为 当a F F 221>时，集合P 为 .3.焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 .焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 .其中c b a ,,满足关系为 . 三．典例分析.例1.求下列椭圆的焦点坐标.(1).13422=+y x (2).14322=+y x (3).13422=+y x (4).123422=+y x例2.已知方程125922=-++my m x . (1) 若上述方程表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围； (2) 若上述方程表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围； (3) 若上述方程表示椭圆，求实数m 的取值范围.例3.(多选题)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地球转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子正确的是( )A ．a 1＋c 1＝a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．c 1a 2>a 1c 2D ．c 1a 1<c 2a 2例4.求下列椭圆的标准方程1．两个焦点坐标分别为)0,4(),0,4(21F F -,且椭圆上一点P 到两个焦点的距离之和为10； 2.已知椭圆上点)3,2(M ，且两焦点是)0,2(),0,2(21F F -； 3.经过两点)214,1(),2,2(--； 4.与椭圆192522=+y x 有相同焦点，且经过点)15,3(.四．练习题1.椭圆1222=+y m x 与椭圆116822=+y x 的焦距相等，则m 的值是 2.如果方程16222=++a y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是_______.3.椭圆12-5122=+-my m x ，焦点在y 轴上，则m 的取值范围是 . 4.椭圆243822=+y x 的焦点坐标为 5.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 两个焦点的坐标分别是(－4，0)和（4，0），且椭圆经过点（5，0）； (2) 中心在原点，且经过点)0,3(P ，b a 3=.第2课：椭圆的焦点三角形初探一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论. 二．概念梳理:焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：21F PF ∆中， (1). c F F a PF PF 2||,2||||2121==+. (2). 焦点三角形的周长为.22c a L +=(3).21221cos 12||||PF F b PF PF ∠+=. (4). 焦点三角形的面积为：2tan sin ||||212122121PF F b PF F PF PF S ∠=∠=. ①．当||||21PF PF =，即点P 为短轴端点时，θ最大；②．S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；(5). 假设焦点21F PF ∆的内切圆半径为r ，则r c a S )(+=. 三．典例分析.例1．(多选题)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( ) A ．椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B ．椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1C ．|PQ |＝233D ．△PF 2Q的周长为43例2.(多选题)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A (离地面最近的点)距地面m 千米，远地点B (离地面最远的点)距地面n 千米，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c ，则( )A ．a －c ＝m ＋RB ．a ＋c ＝n ＋RC ．2a ＝m ＋nD ．b ＝(m ＋R )(n ＋R )例3.(1).椭圆12422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，且2||||21=-→→PF PF ，求→→⋅21PF PF .(2).椭圆13422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，且 12021=∠F PF ，则12PF F 的面积为多少？四.练习题.1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1 B ．31C ．34 D ．32 5. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 246．已知椭圆2212516x y +=的两个焦点分别为1F ， 2F ，斜率不为0的直线l 过点1F ，且交椭圆于A ， B 两点，则2ABF 的周长为（ ）． A ．10 B ．16 C ．20 D ．257．(多选题)如图，两个椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，下列四个选项正确的为( )A ．P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值B ．曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称 C ．曲线C 所围区域面积必小于36D ．曲线C 总长度不大于6π8.已知椭圆11625:22=+y x C 内有一点)3,2(M ，1F 、2F 分别为其左右焦点，P 是椭圆上一点，求：(1).||||1PF PM -的最大值与最小值； (2).||||1PF PM +的最大值与最小值.第3课：基于椭圆的轨迹问题研究一．学习目标:能够在不同情境中应用椭圆的定义求出相关的轨迹方程，会用求轨迹的基本方法求解轨迹方程，了解椭圆的第二，三定义.三．典例分析.1.基于第一定义的椭圆轨迹问题.例1.已知C B,是两个定点，8=BC ，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点Ａ的轨迹方程.例2.已知点A 为圆32)2(:22=++y x B 上任意一点，点)0,2(C ，线段AC 的中垂线交AB 于点M ，求动点M 的轨迹方程.例3.已知动圆P 与圆25)3(:22=++y x E 内切，与圆1)3(:22=+-y x F 外切，记圆心P 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程.2.基于第二定义的椭圆轨迹问题.例4.已知曲线M 上的动点(,)P x y 到定点()1,0F 距离是它到定直线:4l x =距离的一半． 求曲线M 的方程.3.基于第三定义的椭圆轨迹问题.例5.在平面直角坐标系中，动点M 分别与两个定点()2,0A -，()2,0B 的连线的斜率之积为12-.求动点M 的轨迹C 的方程.4.相关点法求轨迹.例6.已知A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =求动点P 的轨迹方程.四.练习题110=为不含根式的形式是（ ）A.2212516x y += B.221259x y += C.2251162x y += D.221925x y +=2．设圆(x ＋1)2＋y 2＋25的圆心为C ＋A (1,0)是圆内一定点＋Q 为圆周上任一点＋线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ＋则M 的轨迹方程为( )A.224412125x y -=B.224412125x y +=C.224412521x y -=D.224412521x y += 3．(多选题)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c ，下列结论正确的是( )A ．卫星向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小4.已知动点(),M x y 与定点()1,0F 的距离和它到直线3x =．求动点M 的轨迹方程C .5.在圆48)22(:221=++yxC内有一点)0,22(P,Q为圆1C上一动点，线段PQ的垂直平分线与QC1的连线交于点C．求点C的轨迹方程．6.设M为圆4:22=+yxC的动点，M在x轴的投影为N，动点P满足→→=MNPN32，动点P的轨迹为E.求E的方程.。
高二数学椭圆的标准方程教案 新课标 人教版 教案
高二数学椭圆的标准方程教案教学目标⑴知识目标：①正确理解椭圆的定义；②掌握椭圆的标准方程，理解参数a,b,c的几何意义；③理解椭圆标准方程的推导；④能根据条件写出椭圆的标准方程；⑤能根据椭圆的标准方程求参数a,b,c。
⑵能力目标：①通过动手实践探索，得到椭圆的定义，培养了学生的学习兴趣；同时也加强了其动手能力②通过寻求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；③在相互交流学习中，使学生养成表述、抽象、总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行合作推理的能力，及应用代数知识进行同解变形和化简的能力．⑶情感目标：在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心；培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度．重点、难点：重点：椭圆的标准方程的应用；难点：椭圆标准方程的推导；教学方法启发、探索教学手段运用多媒体辅助教学教学过程（一）情景引入：1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息：从1997年2月中旬起，海尔·波普彗星将逐渐接近地球，4月以后又将渐渐离去，并预测3000年后，它还将光临地球上空．问题：紫金山天文台预测3000年以后它还将光临地球上空的依据是什么？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行的周期及轨道的周期，预测它接近地球或渐渐离去的时间．由此我们可以知道轨迹方程有很大作用，那怎样才能算出彗星运行轨道椭圆的方程呢？这就是我们今天要探究的问题——椭圆的标准方程．㈡新课讲解[数学实验] 让学生把课前准备的绳子和两颗钉子拿出来，同桌合作根据下列做法画图：把绳子的两端用钉子固定在桌上的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，问：画出的轨迹是什么图形？（设绳长为2a，两钉子距离为2c）[学生探索] 在绳长不变的情况下，分别按照下表要求画图，则画出的图形是什么呢？2a > 2c2a = 2c c = 0 2a < 2c 2c越小2c越大线段圆无轨迹椭圆越圆椭圆越扁思考：得到椭圆要满足的条件是什么？椭圆的定义：平面内到两个定点1F和2F的距离之和等于常数（大于21FF）的点的轨迹，叫做椭圆，其中定点1F、2F叫椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫椭圆的焦距。
高二数学椭圆及其标准方程优质课教案
课题：椭圆及其标准方程一、教学目标学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。
二、教学重点、难点（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。
（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。
三、教学过程（一）创设情境，引入概念1、动画演示，生活中的椭圆。
- 天体运动轨道是椭圆，有些镜子做成椭圆形状。
2动画演示思考:什么是椭圆？怎样画椭圆？ （二）实验探究，形成概念1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。
实验探究：保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？ 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 2、概括椭圆定义引导学生概括椭圆定义 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。
教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？ 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ 思考：1、定义中的常数为什么要大于焦距？2、若常数等于焦距，轨迹是线段3、若常数小于焦距，轨迹不存在 注: 定义是判断椭圆的方法定义是椭圆的一个性质 （三）研讨探究，推导方程1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是【学情预设】学生可能会建系如下几种情况： 方案一：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2的中点为原点； 方案二：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1为原点； 方案三：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 2为原点；（学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？） 经过比较确M定方案一. 2．推导标准方程．选取建系方案,让学生动手，尝试推导.按方案一：以过1F 、2F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分或线为y 轴，建立平面直角坐标系．设)0(221>=c c F F ，点),(y x M 为椭圆上任意一点，则 {}a MF MF M P 221=+=， ∴ 得()()a y c x y c x 22222=++++-，（想一想：下面怎样化简？）（１）教师为突破难点，进行引导设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得)()(22222222c a a y a x c a -=+-．（2）b 的引入．由椭圆的定义可知，c a 22>, ∴220a c ->．让点M 运动到y 轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得a ，c 的几何意义，进而自然引进b ，此时设222c a b -=，于是得222222b a y a x b =+， 两边同时除以22b a ，得到方程：()222210x y a b a b+=>>（称为椭圆的标准方程）．（3）建立焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．要建立焦点在y 轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何做？ 方法：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母x ，y 交换了位置），直接得到方程()222210y x a b a b+=>>．图1 图34．归纳概括，掌握特征．（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1； （2）椭圆标准方程中三个参数a , b , c 的关系：222c a b -=)0(>>b a ；图2（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.（四）归纳概括，方程特征1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b的值。
2019-2020学年高二数学上学期《椭圆的标准方程》学案.doc
2019-2020学年高二数学上学期《椭圆的标准方程》学案学习目标：1、理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念，能正确推导椭圆的标准方程；2、掌握求椭圆标准方程的定义法和待定系数法；重点难点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想； 难点是：椭圆标准方程的推导与化简.知识链接：1、取一定长的细绳，把它的两个端点固定在纸板的同一点处，用铅笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上慢慢移动一周，会得到什么图形？2、把绳子的两个端点拉开一段距离，再用铅笔尖把细绳拉紧慢慢移动一周，又会得到什么图形？3、继续拉远两个端点的距离，直到把绳子拉直，又会得到什么图形？学习过程： 一、 课内探究创设情境，引入概念交流实验结果，总结规律：合作探究，形成概念对实验结果进行讨论，给出椭圆的定义：椭圆标准方程的推导现在我们根据椭圆的定义及求曲线方程的步骤建立椭圆的方程.推导过程：二、典例剖析例1：你能判断下列椭圆的焦点位置吗？并写出焦点坐标.(1) 221259x y +=； (2)222516400x y +=.变式训练：已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离为( )A 、2B 、3C 、5D 、7例2：写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点坐标分别是(-3,0)、（3，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于8.（2）两个焦点坐标分别是(0,-4)、（0，4）归纳总结：例3已知,B C 是两个定点，8BC =，且ABC ∆的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程。
三、小结反思：1．椭圆的定义（注意几何特征和三个条件）．2．推导椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系，直接法求轨迹方程）．3．求椭圆方程的方法（待定系数法求轨迹方程）．四、当堂检测：1．判断下列方程是否是椭圆的方程，若是，求出c b a ,,的值 ①12222=+y x ； ②12422=+y x ； ③12422=-y x ； ④9422=+x y ２．椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 3．椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为4. 动点P 到两定点1F (-4,0)，2F (4,0)的距离的和是8，则动点P 的轨迹为 _______五、课后巩固：1．已知椭圆的两焦点为1F （－２，０），2F （２，０），Ｐ为椭圆上的一点，且12|F F ｜是1||PF与2||PF 的等差中项，该椭圆的方程是（ ） Ａ．2211264x y += Ｂ．2211612x y += Ｃ．221416x y += Ｄ．221412x y += ２．若方程22148sin x y α+=表示焦点在ｙ轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是（ ） Ａ．（,32ππ） Ｂ．［,32ππ） Ｃ．（,62ππ） Ｄ．［,62ππ） ３．已知两椭圆228ax y +=与22925100x y +=的焦距相等，则a 的值为（ ）A ．９或917 Ｂ．34或32 Ｃ．９或34 Ｄ．917或324．根据下列条件，求椭圆的标准方程：（1）1a b ==，焦点在x 轴上；（2）b =3,经过（0,4），焦点在y 轴上；（3）焦点坐标是（-5,0）和（5,0），椭圆上一点与两焦点的距离的和是26；（4）焦点坐标是（0,-，且经过点（．5．求下列方程表示的椭圆的焦点坐标： (1)2212812x y +=； (2) 22241x y += ６．已知两圆222212:(4)169,:(4)9C x y C x y -+=++=，一动圆在圆1C 内部，且与圆1C 相内切，与圆2C 相外切，求动圆圆心的轨迹方程．六、学习后记（新宋体小4号)参考答案：例１：①焦点在x 轴，()12(4,0),4,0F F -②焦点在y 轴，()12(0,3),0,3F F -变式：Ｄ 例２：见课本例１例３：见课本例２当堂检测：１．①否 ②是，2,a b c ==③否 ④是，3,2,a b c === ２．14３．12(F F ，164．线段12F F课后巩固：１．Ｂ２．Ｃ３．Ａ ４．①2213x y += ②221916x y += ③221169144x y += ④221820x y += ５．①12(4,0),(4,0)F F - ②1211(,0),(,0)22F F - ６．2216448x y +=。
高二数学教案-椭圆及其标准方程9篇精选全文
可编辑修改精选全文完整版高二数学教案椭圆及其标准方程9篇椭圆及其标准方程 1教学目标1.把握椭圆的定义,把握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程;2.能根据条件确定椭圆的标准方程,把握运用待定系数法求椭圆的标准方程;3.通过对椭圆概念的引入教学,培养学生的观察能力和探索能力;4.通过椭圆的标准方程的推导,使学生进一步把握求曲线方程的一般方法,并渗透数形结合和等价转化的思想方法,提高运用坐标法解决几何问题的能力;5.通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程,激发学生学习数学的积极性,培养学生的学习爱好和创新意识.教学建议教材分析1. 知识结构2.重点难点分析重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式.难点是椭圆标准方程的建立和推导.关键是把握建立坐标系与根式化简的方法.椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容:一是椭圆的定义;二是椭圆的标准方程.椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先碰到的,所以教材把对椭圆的研究放在了重点,在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用.先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然.学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的.(1)对于椭圆的定义的理解,要抓住椭圆上的点所要满足的条件,即椭圆上点的几何性质,可以对比圆的定义来理解.另外要注重到定义中对“常数”的限定即常数要大于 .这样规定是为了避免出现两种非凡情况,即:“当常数等于时轨迹是一条线段;当常数小于时无轨迹”.这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质.但讲解椭圆的定义时注重不要忽略这两种非凡情况,以保证对椭圆定义的准确性.(2)根据椭圆的定义求标准方程,应注重下面几点:①曲线的方程依靠于坐标系,建立适当的坐标系,是求曲线方程首先应该注重的地方.应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理,发现椭圆有两条互相垂直的对称轴,以这两条对称轴作为坐标系的两轴,不但可以使方程的推导过程变得简单,而且也可以使最终得出的方程形式整洁和简洁.②设椭圆的焦距为 ,椭圆上任一点到两个焦点的距离为 ,令 ,这些措施,都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整洁、简洁,要让学生认真领会.③在方程的推导过程中碰到了无理方程的化简,这既是我们今后在求轨迹方程时经常碰到的问题,又是学生的难点.要注重说明这类方程的化简方法:①方程中只有一个根式时,需将它单独留在方程的一侧,把其他项移至另一侧;②方程中有两个根式时,需将它们分别放在方程的两侧,并使其中一侧只有一项.④教科书上对椭圆标准方程的推导,实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证实,”方程的解为坐标的点都在椭圆上”.这实际上是方程的同解变形问题,难度较大,对同学们不作要求.(3)两种标准方程的椭圆异同点中心在原点、焦点分别在轴上, 轴上的椭圆标准方程分别为: , .它们的相同点是:外形相同、大小相同,都有 , .不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同.椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大.另外,形如中,只要 , , 同号,就是椭圆方程,它可以化为 .(4)教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法.例3有三个作用:第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法;第二是向学生说明,假如求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同,那么这个轨迹是椭圆;第三是使学生知道,一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.教法建议(1)使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用,激发学生的学习爱好.为激发学生学习圆锥曲线的爱好,体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用,可由实际问题引入,从中提出圆锥曲线要研究的问题,使学生对所要研究的内容心中有数,如书中所给的例子,还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。
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M
P ′P 2-2x O y 椭圆及其标准方程学案
问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？ 实验：
知识提要
1、椭圆的定义：
2、标准方程
3．两种标准方程的比较(引导学生归纳)
例题与练习
例1 平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程． 分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．
例2如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ˊ，求线段PP ˊ的中点M 的轨迹.
例3 已知定圆05562=--+x y x ，动圆M 和已知
圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M 的轨迹及其方程
r ＝8
M P Q x
O y
练习
1 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是 [ ]
2、已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离是 （ ）
A.2
B.3
C.5
D.7
3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长．
5、如果方程22
2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是
A.（0，+∞）
B.(0,2)
C.(1,+∞)
D.(0,1) 6、已知椭圆的两个焦点坐标是F 1（-2，0），F 2（2，0），并且经过点P （
23,25-），则椭圆标准方程是_____
7、过点A （-1，-2）且与椭圆19
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2=+y x 的两个焦点相同的椭圆标准方程是____ 8、过点P （3，-2），Q （-23，1）两点的椭圆标准方程是______。