5-3 二次型及其矩阵表示
二次型
§1 二次型及其矩阵表示◎ 本节重点：二次型的矩阵表示，合同关系；本节难点：合同关系.一、二次型的表示1.一般式：（略） 特点：n 个变量，每个单项式都是二次的.（系数2是为了讨论方便）2.矩阵式： 11,21),,,(⨯'==∑AX X x x a x x x f ji j i ij n （X 列向量；A 对称矩阵，一一对应关系）3.二次型矩阵的求法：设n n ij a A ⨯=)(，则ii a ＝2i x 的系数，而ji ij a a =＝j i x x 项的系数的一半．．. 二、线性替换（目的：化简二次型）1.表示： （注意：新变量组的个数与原变量组个数相等）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n y c y c y c x yc y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111⇔ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 记为CY X =2.非退化线性替换：CY X =，其中0≠ij c （即C 为可逆矩阵） （非退化的目的：保证可还原，保持变换前后的一些性质不变，比如秩）3.性质：线性替换把二次型变成二次型.（为什么？问题：AX X '何时表示二次型？） 【问题】如果二次型AX X '作线性替换CY X =，得到二次型BY Y '，那么B A ,的关系？AC C B '=三、矩阵的合同关系1.定义：（略）【合同关系与所考虑的数域有关. 合同必等秩（为什么？P180定理4）】2.性质：合同具有以下性质:1) 自反性2) 对称性3) 传递性 【等价关系.其他例子】3.命题：经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同.4.合同的证明方法：1）利用定义；2）利用以上命题.证明⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a c b a c b c b a ,,合同. 四、课后思考题◎ 二次型DZ Z BY Y AX X ZC Y Y C X '−−→−'−−→−'==21，问D A B A ,;,之间关系？ ――211222C AC C C BC CD ''='=§2 标准形本节主题：讨论标准形的化简方法,这是本章的重点之一. 一、标准形的定义定义：2222211nn x d x d x d +++ （只含有平方项，没有交叉项） 【问题】标准形的矩阵＝？ 二、标准形的存在性定理1：任意二次型都可以经过非化线性替换变成平方和形式（标准形）.证明：对变量个数作数学归纳法…配方法…注意体会怎么配方？有何规律？（P211）（P213）化标准形，并求相应的线性替换.【问题】n 元二次型的标准形的平方项个数？（n ≤）(不可能配方越配越多)用矩阵的语言，定理1可以叙述为：定理2：任一个对称矩阵都合同于某一个对角矩阵. （也可直接证明：作一系列合同变换） 【问题】已知对称矩阵A ，如何求一个可逆矩阵C ＝?,使AC C '成对角矩阵？(相当于化标准形――方法参见下面的矩阵法). 三、标准形的求法1.配方法：要点～消去交叉项！2.矩阵法：实际上是配方法过程的矩阵表示.注意教材中几种情况下1C 的取法.P218上例的另解，注意理解i C 是怎么选取的） 3.合同变换法（补充）[原理] 对称矩阵A ⇒可逆矩阵C ,使AC C 'D =（对角矩阵）而可逆矩阵可以分解成初等矩阵的乘积（P191），所以取r E E E C ...21=,代入考察两个式子：D E E AE E E E r r='''......2112, C E E E E r =⋅...21 说明：对A 作同型成对的初等变换（称为合同变换）时，相应的列变换把单位矩阵E 变成了C .[求法] ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−−−−−−−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E A E A 只作相应的列变换换；对作同型成对的行、列变对，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O d d D r (1).有如下结论：1） 确定了线性替换CY X =，使二次型2211r r y d y d AX X ++='2） 确定了可逆矩阵C ,使AC C '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O d d r...13） D C ,不唯一确定，但一定满足AC C 'D =可见合同变换法同时解决了两个问题:确定了标准形以及相应的线性替换.【易错点】对A 必须作行、列同型成对．．．．．．．（才能保证合同性，所得结果才是标准形）的初等变换， 对E 只能作相应的列变换.注意对角元实际上只变一次！‘§3 唯一性◎ 本节重点：规范形的求法，惯性定理；本节难点：惯性定理的证明. 一、标准形是否唯一？【问题】二次型2211r r y d y d AX X ++==' ，问1) A 合同于（？） 2）?=r 3）i d 大小唯一？ 4）i d 符号唯一？ 5)平方项总数唯一？ ――合同的矩阵有相同的秩.==)(A r r 平方项的个数，唯一确定（也成为二次型的秩）在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化线性替换有关. 二、复规范形复数域的重要特征是每个数都可以开平方，因此标准形可以化得很彻底.形如22221r z z z +++ （r 唯一确定）. 称为复二次型),,,(21n x x x f 的规范形.定理3：任意一个复系数的二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.从矩阵的角度看，定理3就是：任一复数的对称矩阵合同于的对角矩阵)0,,0,1,,1( diag . 从而有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等. 三、实规范形【本节重点】对实系数的二次型，可以经过非退化线性替换并适当排列文字的次序，使标准形的正负项分开：,22122221r p p z z z z z ---++++它就称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然规范形完全被p r ,这两个数所决定.惯性定理：任一实系数二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的. 证明：唯一性的证明有技巧（P223）23322231212132158222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=， 求f 的实规范形以及相应的线性替换；秩与符号差.―― ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321510053105211y y y x x x ，232221321),,(y y y x x x f -+=【问题】1）怎样求一个线性替换，使二次型变成规范形？ （合同变换法，只需继续化简对角形…） 2）规范形与标准形有何区别？四、数域R C ,上的合同类定理5（1）任一复对称矩阵A 都合同于对角矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛000r E ，其中对角线上1 的个数等于A 的秩. （2）任一实对称矩阵A 都合同对角矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0pr pE E 其中对角线上1的个数p 及-1的个数p r -（r 等于A 的秩）都是唯一确定的，分别称为A 的正、负惯性指数，它们的差r p -2称为A 的符号差.【问题】两个矩阵在实数域上合同的充要条件的什么？（等秩且等符号差或等惯性指数） n 元实对称矩阵共有多少个合同类？解 由以上结论，合同类个数取决于),(p r 有多少取法：),(),...,1,(),0,(,);1,1(),0,1(1);0,0(0n n n n n r r r --=--=--= ，共)1(21++++n 个.§4 正定二次型◎ 本节重点：正定二次型，正定矩阵；本节难点：正定矩阵的证明.主要讨论实数域（可以比较大小）上特殊而又重要的二次型：正定二次型；相应矩阵是正定矩阵. 一、正定二次型的判别1.定义 实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的⇔对于任意一组不全为零．．．．的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f .（0≥半正定；0<负定；0≤半负定；00<>也不定）[矩阵形式] n 元实二次型AX X '正定0,0,>'≠∈∀⇔ααααA R n 都有. （用于证明） 2.标准形的正定性：222221121),,,(nn n x d x d x d x x x f +++= 是正定的⇔n i d i ,,2,1,0 =>. ――取)0,...,0,1,0,...,0(代入，即得n i d i ,,2,1,0 => ――用这个方法易证正定二次型的每个平方项系数全大于0. 【问题】二次型→标准形，正定性保持吗？ 3.命题：非退化线性替换保持正定性.根据以上两点，即得：4.定理6 n 元实二次型正定⇔正惯性指数为n ⇔实规范形为22221ny y y +++ ◎ 具体应用：要判定，先化简（标准形），再确定正惯性指数（方法1）. 二、正定矩阵的判别1.定义 A 是正定矩阵⇔A 实对称（前提条件！），且对应的二次型AX X '正定. 问：AX X '正定，它的规范形是什么？两者的矩阵什么关系？（合同） 即得： 2.命题 实对称矩阵是正定的⇔它与单位矩阵合同.（方法2.常用于证明）【充分性另证：0)()(0,0.,>'='∴≠≠∀≠'=CX CX AX X CX X C C C A 即正定】 3.推论 正定矩阵的行列式大于零（从而正定必可逆）. （证明……；反之不然！） 注意：正定矩阵⇒实对称、可逆.（必要条件））B A 与合同，A 正定B ⇒也正定. （先证对称，再利用命题）2）B A ,正定ABA ⇒正定. 证1：合同法.BA A ABA '=合同于B .证2：定义法.0)()(0,0>'−−→−∈≠−−→−∈≠∀AX B AX R AX R X X B n A n 正定可逆.3）A 正定32,A A ⇒也正定.（EA A A '=2或C C CE C A ''=2.23233EA A A =?不行…方幂无意义）【易错点】（作业）对称矩阵A ＝n n ij a ⨯)(（或二次型∑j i j iij x x a,）正定不能推出每个系数0>ij a ；每个0>ij a 也不能推出对称A ＝n n ij a ⨯)(（或∑ji j iij x x a,）正定. （反例P231）那么，正定和系数之间到底有什么联系呢？先介绍顺序主子式（个数n =）?=k P4.定理7： 实对称矩阵A 正定⇔实二次型AX X '正定⇔矩阵A 的顺序主子式全大于零. （法3）说明：本定理（特别是充分性）证明过程很经典，值得学习、掌握. 推广：主子式也成立（教材习题9）证明：必要性.注意顺序主子式对应的二次型相当于原来二次型后面几个变量取0，再利用推论.充分性.数学归纳法.考虑矩阵的分块运算，得到一个1-n 级的正定矩阵，再利用归纳假设.1=n ,命题成立.设1-n 时命题成立（什么意思？） 步骤1：构造符合归纳假设的1-n 矩阵.作分块⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=nn a A A αα1，1A 的顺序主子式全大于零1A −−−→−归纳假设正定 于是G E G A G n ,11-'＝是1-n 级可逆矩阵.步骤2：化A 为合同的对角矩阵（为什么要求合同？保持正定性）.取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001G C ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''='-nn n nn a G G E a GG G A G AC C αααα1111（记为,B 不是对角形，再化） 取⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-=-1012αG E C n （分析分块矩阵初等变换与初等矩阵的关系即得） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-='--a E G G a E BC C n nn n 00001122αα,（记为D ）（分析：ααG G ''是数） 令21C C C =，得D AC C ='，两边取行列式，已知n 级顺序主子式0>A 0>→a 所以D 正定A D A −−−→−合同,正定. 证毕. ◎ 至此，关于正定的判定有哪些方法？（小结） 三、负定的判别1.定义：对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21<n c c c f （负定）2.判别：),,,(21n x x x f 负定⇔),,,(21n x x x f -正定 【问题】负定矩阵的顺序主子式有何特点？――奇数阶的全小于0、偶数阶的大于0 （理由：考虑f -正定的顺序主子式） 四、半正定的判别（参见定理8） 1.区别：半正定、正定的判别条件. 2.应用：《数学分析》二元函数的极值问题. 五、课后思考题◎正定矩阵的前提条件是实对称？两个正定矩阵的乘积还是正定的？ 【本节重点】正定二次型、正定矩阵的判别与证明.厦门大学2004考研题：写出实对称矩阵A 是正定矩阵的5个充要条件.（20分）《二次型》复习一、二次型的表示 1.一般形式：∑ji j iij x x a,2.矩阵形式：AX X '（要求A 对称、X 是列向量） 1)A 的求法:ii a ＝2i x 的系数，而ji ija a =＝j i x x 项的系数的一半2) 二次型与对称矩阵之间具有一一对应关系，并且两者的问题可互相转化.（怎么转化？） 3.标准形：（不含交叉项，只含平方项，总项数＝对应矩阵的秩） 4.规范形：系数为1或－1的标准形 二、合同关系1.A 与B 合同⇔AC C B '=，C 可逆. （合同与数域有关）2.如果二次型AX X '作线性替换CY X =，得到二次型BY Y '，那么AC C B '=（合同） 3.合同关系保持秩不变，也保持对称性、正定性不变.4.任一对称矩阵都合同于某一个对角矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛O d d r...1,其中A r =的秩 任一复对称矩阵A 都合同于对角矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE ,其中A r =的秩 任一实对称矩阵A 都合同对角矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0pr pE E ，其中A r =的秩 三、标准形（规范形）的求法【本章重点】 1.配方法2.合同变换法 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−−−−−−−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E A E A 只作相应的列变换换；对作同型成对的行、列变对，对应的线性替换为CY X =【易错点】对A 必须作行、列同型成对．．．．．．．的初等变换，对E 只能作相应的列变换. 四、正定的判别与证明【本章重点】1.实对称矩阵A 正定⇔二次型AX X '正定0,0,>'≠∈∀⇔ααααA R n都有. 2.必要条件：正定矩阵⇒实对称、可逆3.判别方法：1）定义法；2）化为标准形，正惯性指数n =；3）与单位矩阵合同；4）顺序主子式全部大于0（包括0>A ）.4.注意事项：正定矩阵的前提条件是实对称；两个（对称）正定矩阵的乘积不一定也（对称）正定.。
二次型及其矩阵表示
什么是二次型
VS
二次型在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用，如物理学中的能量表达式、电气工程中的阻抗矩阵等。
理论发展推动
二次型的理论发展推动了线性代数、微积分等多个数学分支的发展，为这些学科提供了重要的理论支撑和实践指导。
应用领域广泛
Байду номын сангаас
二次型的重要性
二次型的矩阵表示
将二次型转换为矩阵形式可以借助矩阵运算实现简化，方便进行计算和推导。
通过二次型矩阵的特征值和特征向量，可以研究矩阵的性质和结构。
矩阵的相似
利用二次型矩阵的相似变换，可以对矩阵进行分类和整理。
矩阵的合同
通过二次型矩阵的合同变换，可以研究矩阵的正定性、半正定性和半负定性。
在线性代数中的应用
03
二次型微积分
利用二次型矩阵的微积分性质，可以研究函数的曲线、曲面和体积等问题。
二次型与矩阵的转换
二次型矩阵是对称矩阵，其特征值和特征向量具有重要物理意义，可以描述系统的性质和行为。
二次型矩阵的特性
二次型的定义与性质
02
二次型
实数域上的二次型，是一种特殊的方阵，代表一个二次齐次函数。
矩阵表示
二次型可以用实对称矩阵来表示，即对于一个二次型f(x1,x2,...,xn)=X^tAX，其中X是n维向量，A是n阶实对称矩阵。
例2
二次型的矩阵表示的总结与展望
05
二次型与线性代数紧密相连，是研究多变量二次关系的重要工具。
二次型矩阵表示的小结
二次型的矩阵表示具有直观、简便、易于操作等特点，有利于快速求解二次型的数值解。
通过引入矩阵这一数学工具，可以将二次型表示为矩阵的形式，从而对其进行深入分析和计算。
线性代数：第五章二次型
线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。
这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。
最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。
从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。
⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。
东北农业大学《线性代数》课件-第6章二次型
(
x1 ,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
(
x1 ,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
c11x c21x
c12 y c22 y
可以化其为标准形式：
Ax2 By2 d
由此可方便地得到其几何特征。 化标准型的实质是对方程（1）左边的二次齐
次多项式
ax2 bxy cy2
实施合适的线性变换，使其化为只含有平方项的 标准形
Ax2 By2
在高维空间也有类似问题。如何处理，是这 一章要讨论的问题。
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
即
y1 y2
1 0
0 1
1 z1 2 z2
y3 z3
y3
0
0
1
z
3
得 f 2z12 2z22 6z32 .
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形．
二、二次型的矩阵表示方法
对于二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
6考研基础复习(线性代数)二次型
一、二次型的基本内容
3、用正交变换法化二次型为标准形
二 次 型 f ( x1 ,, xn ) xT Ax 经 过 正 交 变换 x Py （ P 为正交阵）化为：
r
f xT Ax yT (P T AP ) y
di
y
2 i
，
i 1
称为化二次型为标准形的正交变换法.
3、用正交变换法化二次型为标准形
对于任意一组不全为零的实数 x ( x1 ,, xn )T ，都有
f ( x1 ,, xn ) xT Ax 0 ( 0) ，
则称该二次型为正（负）定二次型，正（负） 定二次型的矩阵 A 称为正（负）定矩阵.
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
如果实二次型 f ( x1 ,, xn ) xT Ax ， 对于任意一组不全为零的实数 x ( x1 ,, xn )T ，都有
i 的单位正交特征向量；
3、用正交变换法化二次型为标准形
（4）以 1 , 2 , , t 的单位正交特 征向量为列向量，可构造出正交矩阵 P ，
， P ( p11 , p12 , , pt1 , , ptnt )
P 就是所求的正交变换矩阵，使：
P 1 AP PT AP
为对角阵，其中： diag{1 , , 2 , , , t }.
相似于对角阵 ，即：
PT AP P 1 AP diag{1 , 2 , , n } ， 其中： i 0(i 1,2,n) .
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
③ A 负定； 特征值全负；
一切奇数阶主子式全 0 ， 且一切偶数阶主子式全 0；
一切奇数阶顺序主子式全 0 ， 且一切偶数阶顺序主子式全 0；
z
柱面方程 2 4 2 4 ，求 a, b 的值和正 交矩阵 P .
6.1 二次型及其矩阵表示
6
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
二、二次型的矩阵表示
推导 f ( x1 , x2 , L , xn ) =
2 a11 x1 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 x n 2 + a 21 x 2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 x n
LLLLLLLLLL 2 + a n1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
定义 含有 n 个变量的二次齐次多项式称为 n 元二次型。 个变量的二次齐次 二次齐次多项式称为 二次型。
(一般) 一般)
2 2 例如 (1) f ( x , y ) = 3 x + 8 x y + 2 y
是一个二 二次型。 是一个二元二次型。
2 2 2 (2) f ( x , y , z ) = x + 2 x y + 6 x z + 2 y + 4 y z + 4 z
2 2
3 4 x = ( x, y ) . 4 2 y
4
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
试试看： 试试看： (2) f ( x , y , z ) = x 2 + 2 x y + 6 x z + 2 y 2 + 4 y z + 4 z 2
=
x1 (a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n x n )
线性代数 二次型及其矩阵表示
记作 X PY , X x1 , x2 ,L xn , Y y1 , y2 ,L yn 注 非退化线性变换的逆变换仍为非退化的；连续多次 施行非退化线性变换其结果仍为一个非退化的线性变换，
T T
且系数矩阵等于非退化线性变换矩阵的乘积．
n
n
②
２、二次型 f ( x1 , x2 , 的矩阵表示
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2
a1n x1 xn
x1
x2
x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn xn an1 x1 an 2 x2 ann xn a11 a12 L a1n x1 a a22 L a2 n x2 ③ 21 L xn M M M M an1 an 2 L ann xn
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn 2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn
aij xi x j
i 1 j 1
f称为对称矩阵Ａ的二次型； Ａ称为二次型f的矩阵； 练习 写出下列二次型的对称矩阵．
例１
2 2 1）实数域Ｒ上的２元二次型 f ax 2bxy cy
2）实数域上Ｒ的３元二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 4 x1 x2 6 x1 x3 5 x2 4 x2 x3 3）复数域Ｃ上的４元二次型 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ix1 x2 3 x1 x4 5 x2 (3 i ) x2 x3 a b A 解： 1） b c
第六章 二次型
定义2：设A,B为n阶方阵，若存在可逆方阵C，使得
CTAC=B 则称方阵A与方阵B合同，记做A∽B
合同矩阵必相似，但相似不一定合同。
性质： （1）反身性：A∽A
（Hale Waihona Puke ）对称性：若A∽B,则B∽A（3）传递性：若A∽B，B∽C,则若A∽C
8
定理1： 若A与B合同且A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，且R(A)=R(B).
2 2 2 那么上式就变为f d 1 y1 d 2 y2 ... d n yn
上面的问题就转化为：
求一个正交矩阵 , 使得Q T AQ ,即 Q 将f ( x ) X T AX标准化 求正交矩阵Q将实对称矩阵 对角化 A
7
由前章的内容知，任意实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q，使 QTAQ=，因而实二次型f (x)=XTAX一定可以化为标准型。
例1：将二次型写成矩阵形式
2 2 2 f ( x) 2 x1 3 x2 x3 4 x1 x2 10x2 x3
通常，称二次型
2 2 2 f x1 , x 2 ,... x n d 1 x1 d 2 x 2 ... d n x n
d1 X T X (
4
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( x1 , x 2 ,..., x n ) .......... .......... .......... .. a x a x ... a x n2 2 nn n n1 1 a11 a12 ... a1n x1 a 21 a 22 ... a 2 n x 2 x1 , x 2 ,..., x n ... ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn x n 令 a11 a 21 A ... a n1 则 a12 a 22 ... an2 ... a1n x1 ... a 2 n x2 , x ... ... ... x ... a nn n
线性代数课件456二次型与标准形xg
2
解之 x1 2x2 2x3 其基础解系 1 1
0
先将1,2 正交化。
2
2 0
1
1 1,
2
2
2 , 1,
1 1
1
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
1 5
2
单位化
p1
1
2 1 ,
5 0
2
p2
1 35
4, 5
24
当 1 7 时解 7E AX 0
为标准形, 并求出所作的可逆线性变换.
解 x1 y1 y2
令
x2 y1 y2
x3
y3
f (x1, x2, x3) 2 y12 2 y22 4 y1y3 4 y2 y3
2( y12 2y1y3 y32 ) 2y22 4y2 y3 2y32
2( y1 y3)2 2( y2 y3)2
2 1
0 2
0 2 0
(2) 求出A 的全部特征值及其对应的标准正交的
特征向量。
2 2 0
E A 2 1 2 2 1 4
0 2
1 2 2 1 3 4
17
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
1
P1
3
1 2
2
1
P2
3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
为 x1, x2,, xn 的标准二次型（二次型的标准形）
可见 f 为对角形。
注：由（1）可见，每一项中变量的方次之和均为2。
如：
f
x12
x1x2
3x2 3
二次型及其矩阵表示
二次型的标准型的意 义
标准型在二次型的理论和应用中具有 重要意义。例如，通过研究标准型， 我们可以更好地了解二次型的性质和 特点。此外，标准型也常常用于求解 二次型的最小二乘问题等应用中。
二次型的标准化的方 法
二次型的标准化方法包括将二次型转 化为标准型的过程。这个过程可以通 过正交变换来实现，具体来说就是通 过一系列可逆变换将二次型转化为其 同类中最为简单的一种形式。
02
二次型的矩阵表示
二次型的矩阵形式
二次型的矩阵形式
二次型可以表示为矩阵的形式，其中矩阵元素是二次项系数。对于一个二次型 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，其矩阵形式可以表示为 $f = x^T A x$，其中 $A$ 是一个对称矩阵。
矩阵的对称性
对于一个二次型 $f = x^T A x$，如果存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $f = (Px)^T A (Px)$ ，则称该二次型是正定的。正定二次型的矩阵 $A$ 是对称正定的。
正定二次型的性质
正定二次型具有一些特殊的性质。例如，正定二次型的标准型是唯一的，并且可以通过正 交变换将任何一个正定二次型转化为标准型。此外，正定二次型的矩阵是正定的，即其所 有特征值都是正的。
二次型的标准型介绍
二次型的标准型定义
二次型的标准型是指将二次型转化为 其同类中最为简单的一种形式。通过 作可逆变换，任何一个二次型都可以 化为标准型。
03
二次型的计算方法
二次型的矩阵计算
矩阵的二次型
对于一个给定的矩阵A，其二次型可以通过对其进行矩阵乘法 得到。
矩阵的奇异值分解
奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法，这种 方法可以用于计算二次型的值。
第四节_二次型及其矩阵表示
18
21．试证：若A 是n 阶方阵，n 是奇数，且满足 T A A E, A 1, 则 E A 0 . 证：
E A AAT A A AT E
A A E A E 1 E A
n
∵ n 是奇数，故有
EA EA
E A 0.
19
23． 设A为n 阶方阵，Ak O (k 2的正数 ),
求: E A . k 解： A O ,
1
Ak E k E k E E k Ak
1
E A E A A2 Ak 1
R( A) R( A) 2 3
方程组有无穷多解，
x1 1 (x3 为自由未知量) 其一般解为 x2 1 x3
23
⒈ 若C 可逆，则称线性替换 ⑴为可逆线性替换 (或非退化线性替换) ,简称为可逆替换. ⒉ 若矩阵C 是正交矩阵，则称⑴为正交线性替 换，简称为正交替换.
11
定理: 可逆线性替换将二次型变成二次型.
T f ( x , x , , x ) X AX , 证： 设二次型 1 2 n
X CY 为可逆替换，则有
6
如
3 A 2 0
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 3 x1 x2 7 x2 x3 3 2 x1 x1 x2 0 x1 x3 2 3 7 2 x1 x2 2 x2 x2 x3 2 2 7 2 0 x1 x3 x2 x3 0 x3 3 2 0 1
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX
§1 二次型及其矩阵表示、化二次型为标准形
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
3、二次型经过可逆线性变换仍为二次型
事实上，
f ( x1, x2,..., xn ) xT Ax
x Cy
— —— —— —— —
| C | 0
(Cy)T A(Cy)
yT (CT AC ) y yT By g( y1, y2,..., yn )
①
L L L L
ann xn2
称为n元二次型(或简称二次型)．
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
注意
1) 为了计算和讨论的方便,式①中 xij (i j) 的系数
写成 2aij .
2) 式① 也可写成
n
f ( x1, x2 ,L , xn ) aii xi2 2
aij xi x j
an1
a22 M an2
... ...
a2n x2
M ann
xMn
n
a1 j x j
( x1,
x2 ,...,
xn )
j1 n
a2 j x j
j1
M
n
anj x j
j1
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
原二次型矩阵是合同的.
进而，有: 若AT A, BT B,
二次型 xT Ax 可经可逆的线性变换化为二次型 yT By
A与B合同.
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
四、 化二次型为标准形
二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型
二次型及其矩阵表示
f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 a12 x1x2 L L a1n x1xn
a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn L L L L L L L L
an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
nn
aij xi x j .
基本结论
1、二次型经过线性替换仍为二次型. 2、二次型X´AX经非退化线性替换化为二次型Y´BY
A 与 B合同，即存在可逆阵 C Pnn，使 B CAC.
3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.
§5.1 二次型及其矩阵表示
f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 2a12 x1x2 L 2a1n x1xn
a22 x22 L L L 2a2n x2 xn
a33 x32 L 2a3n x3 xn
①
Байду номын сангаас
L L L L
ann xn2
称为数域P上的一个n元二次型（Quadratic Form）．
§5.1 二次型及其矩阵表示
)
2 7
4 8
6 5
x2 x3
n
3. xi2
xi x j
i 1
1i jn
n
4. ( xi x)2,
i 1
其中
x
1 n
n i 1
xi .
§5.1 二次型及其矩阵表示
二、非退化线性替换
1、定义 x1, x2 ,L , xn; y1, y2 ,L , yn 是两组文字,
cij P,i, j 1,2,...n
非退化线性替换：
x1 c11 y1 c12 y2 L c1n yn
《线性代数》第六章二次型(1)
9
( 3) f ( x1 ,, xn ) x1 x2 x2 x3 xn1 xn
解：A 0 1 2 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0
f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
都为二次型；
2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3
为二次型的标准形。
4
取 aij a ji
则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
1 2 3 2
0 3 2 0
2 2 (2) f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x12 2 x2 7 x4 2 x1 x2 2 x2 x3 4 x3 x4
解：
1 1 A 0 0
1 2 1 0
0 1 0 2
0 0 2 7
则线性变换（2）可记作：
X CY
12
则称线性变换（2）是非退化线性变换 若C 是可逆矩阵，
若C 是正交矩阵， 则称线性变换（2）是正交线性变换
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换 使二次型只含平方项. 即二次型
f X T AX
i , j 1
a
n
ij
xi x j
经过可逆线性变换 X CY 使得
2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn
这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型
13
3. 矩阵的合同
二次型
第六章 二 次 型I 重要知识点一、二次型及其矩阵表示1、二次型的定义：以数域P 中的数为系数，关于x 1，x 2，…，x n 的二次齐次多项式f (x 1，x 2，…，x n )=a 11x 12+2a 12x 1x 2+ … +2a 1n x 1x n+a 22x 22+ … +a 2n x 2x n + … (3) +a nn x n 2称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。
2、二次型的矩阵表示 设n 阶对称矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a 212221211211 则n 元二次型可表示为下列矩阵形式：f (x 1，x 2，…，x n )=( x 1，x 2，…，x n ) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a212221211211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21=X TAX其中 X =( x 1，x 2，…，x n )T 。
对称矩阵A 称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。
矩阵A 的秩称为二次型f (x 1，x 2，…，x n )的秩。
二次型与非零对称矩阵一一对应。
即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。
3、线性变换设x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 为两组变量，关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 其中c ij (i ，j =1，2，…，n )为实数域R (或复数域C )中的数，称为由x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换，简称线性变换。
线性变换的矩阵表示，设n 阶矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n c c c c c c c c c212222111211则从x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换可表示为下列矩阵形式：X =CY其中X =( x 1，x 2，…，x n )T 和Y =( y 1，y 2，…，y n )T ，C 称为线性变换的系数矩阵。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f x Ax (Cy) A(Cy) y (C AC) y y By
T T T T T
其中
B C T AC
且
BT (C T AC )T C T AC B
即 B 是对称矩阵．
16 上一页 下一页 返 回
定义5.6 设A 和 B 是 n 阶矩阵，若存在 n 阶可逆矩阵 C， 使得 C T AC B, 则称 A 合同于 B，记作 A ~ B.
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为n元二次型，简称二次型.
当aij是复数时, f 称为 复二次型 ; 当aij是实数时, f 称为 实二次型 .
我们只讨论实二次型。
2 上一页 下一页 返 回
只含有平方项的二次型
f k1 y k2 y kn y
为标准二次型.
3 上一页 下一页 返 回
表示方法
1．用对称形式表示
对二次型
2 2 2 f x1 , x 2 ,, x n a11 x1 a 22 x 2 a nn x n
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
x1 (a11 x1 a12 x2 a1n xn ) x2 (a21 x1 a22 x2 a2n xn ) xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
6 上一页 下一页 返 回
a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 22 2 2n n ( x1 , x2 ,, xn ) 21 1 an1 x1 an 2 x2 ann xn
2 2 d1 y12 d 2 y2 d n yn
的二次型，称为二次型的标准形。 注意：标准形对应的矩阵是对角矩阵．因此，二次型 化标准型的问题，就是矩阵与对角阵合同的问题．
18 上一页 下一页 返 回
说明
1. 二次型经可逆变换x Cy后 ,其秩不变 , 但 f 的矩阵由A变为B C T AC ; 2 . 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
就是要使 2 2 2 y TC T ACy k1 y1 k 2 y2 k n yn
k1 y1 k2 y 2 ( y1 , y 2 ,, y n ) , y k n n 也就是要使C T AC成为对角矩阵.
19 上一页 下一页 返 回
（一）.正交变换法
由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵Q ,使 Q AQ ,即Q AQ .
把此结论应用于二次型,有
1 T
20 上一页 下一页 返 回
定理5 .8
对于任一n元二次型 f x Ax ,
T
存在正交变换x Qy , 使得
2 2 2 f x T Ax y T Q T AQ y 1 y1 2 y 2 n y n ,
第三节 二次型
一. 二次型及其矩阵表示 二. 线性变换
三. 二次型的标准形
1 上一页 下一页 返 回
一. 二次型及其矩阵表示
定义5 .4 含有n个变量 x1 , x2 , , xn的二次齐次函数
2 2 f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x2 ann xn
14
23 上一页 下一页 返 回
从而得特征值 2．求特征向量
1 9, 2 3 18.
将 1 9代入 A E x 0, 得基础解系
1 (1 2,1,1) .
T
将2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系
2 ( 2,1,0) , 3 ( 2,0,1) .
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
10 上一页 下一页 返 回
二. 线性变换
定义5.5 关系式
x1 c11 y1 c12 y2 c 1 m ym , x c y c y c y , 2 21 1 22 2 2m m xn cn1 y1 cn2 y2 cnm ym
通过正交变换 x Qy, 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 17 2 2
A E
2 2
14 4
2 4 18 9
8 上一页 下一页 返 回
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对
称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二
次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
2 1 2 2 2 n
称为标准二次型，简称标准形． 例如
2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3
f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
都为二次型； 2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3
合同关系是一种等价关系： (i) 反身性：
A
~
A
(ii) 对称性：若 A ~ B ，则 B ~ A (iii) 传递性：若 A ~ B，B ~ C 则 A ~ C .
17 上一页 下一页 返 回
三. 二次型的标准形
定义5.7 二次型 f x T Ax , 经可逆线性变换 x Cy 后, 变成只含平方项
T
T
24 上一页 下一页 返 回
3．将特征向量正交化
取 1 1,
2 2 ,
( 2 , 3 ) 3 3 2 , ( 2 , 2 )
得正交向量组
T T 1 1 ( 2 , 1, 1) , 2 (2, 1, 0) ,
3 (2 5 , 4 5 , 1)T .
9 上一页 下一页 返 回
例１ 写出二次型
2 2 2 f x1 2 x2 3 x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵. 解 a11 1, a22 2 , a33 3 ,
a12 a21 2 , a13 a31 0 , a23 a32 3.
a11 a12 a 21 a 22 x1 , x 2 ,, x n a n1 a n 2
a1 n x1 a 2 n x 2 a nn x n
7 上一页 下一页 返 回
时，则线性变换的矩阵 C 为 n阶方阵．
13 上一页 下一页 返 回
当｜C｜≠0时，称线性变换为可逆的线性变换， 或称非退化的线性变换． 当C为正交矩阵时，则称线性变换为正交线性变换， 简称正交变换．
14 上一页 下一页 返 回
正交变换保持向量的长度（或范数）不变，
因为 x Cy， C 是正交矩阵，则
a ij x i x j.
i 1 j 1
n
n
5 上一页 下一页 返 回
2．用矩阵表示
2 f a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 x n 2 a x x a x x a x n1 n 1 n2 n 2 nn n
25 上一页 下一页 返 回
或者：取相互正交的特征向量 由 x1 2 x2 2 x3 得正交的基础解系
2 (2, 1, 0), 3 (1, 2, 5 2)
得正交向量组
T T 1 1 ( 2 , 1, 1) , 2 (2, 1, 0) ,
3 (1, 12 a21 a22 A a n1 a n 2
a1n x1 a2 n x2 , x , ann x n
则二次型可记作
f x T Ax ,
其中A为对称矩阵.
4. 将特征向量1 , 2 ,, n 正交化, 单位化, 得
1 ,2 ,,n , 记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy, 则得f的标准形
2 f 1 y12 n yn .
22 上一页 下一页 返 回
例1 将二次型 2 f 17 x12 14 x2 14 x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
C称为线性变换的矩阵．
12 上一页 下一页 返 回
特别，当线性变换为
x1 c11 y1 c12 y 2 c1n yn , x c y c y c y , 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn
其中 1 , 2 ,, n 是 实对称矩阵A的n个特征值，Q 的n个列向量是A对应于特征值1 , 2 ,, n的单位 正交特征向量。
21 上一页 下一页 返 回
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f x T Ax ,求出A;
2. 求出A的所有特征值 1 , 2 ,, n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量1 , 2 ,, n ;
取
则
aij a ji ,
2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,
4 上一页 下一页 返 回
于是
2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a2n x2 xn 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n