高中数学学案:函数的表示方法
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高中数学学案:函数的表示方法
1. 了解构成函数的三要素,进一步理解函数的概念.
2. 掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法),会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
3. 掌握求解函数解析式的几种类型及常用方法.
4. 了解简单的分段函数,并能简单地应用.
1. 阅读:阅读必修1第33~34页.
2. 解悟:①函数的表示方法有哪些?回顾例1并比较三种表示方法的优劣;②你能在书本中找到分段函数的定义吗?分段函数是一个函数还是多个函数?③如何求分段函数的值域或最值?④函数的解析式是函数的一种表示方法,那么求函数解析式,你知道哪些方法?
3. 践习:在教材空白处,完成第35页练习第3题和习题第2、4题.
基础诊断
1. 已知函数f(x)=
1
1+x
,g(x)=x2+2,则f(2)=__
1
3__;g(2)=__6__;f(g(2))=__
1
7__;f(g(x))
=__
1
x+3
__.
解析:f(2)=
1
1+2=
1
3;
g(2)=22+2=6;
f(g(2))=f(6)=
1
1+6=
1
7;
f(g(x))=
1
1+x2+2=
1
x2+3
.
2. 已知函数f(x)=
⎩
⎨
⎧log3x, x>0,
2x, x≤0,
则f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
9=__
1
4__.
解析:因为f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
9=log3
1
9=-2,
所以f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
f⎝ ⎛⎭⎪⎫
1
9=f(-2)=2-2=
1
4.
3. 若f(x+1)=x2+4x+1,则f(x)=x2+2x-2.
解析:因为f(x+1)=x2+4x+1,令t=x+1,则x=t-1,所以f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1=t2+
2t -2,故f(x)=x 2+2x -2.
4. 若等腰三角形的周长是20,底边长y 是一腰长x 的函数,则y =__20-2x,x ∈(5,10)__. 解析:因为△ABC 是等腰三角形且周长为20,△ABC 的周长=2×腰长+底边长,所以20=2x +y,即y =20-2x.又y<2x<20,解得5 5. 设二次函数f(x)的最大值是13,f(3)=f(-1)=5,则f(x)的解析式为__f(x)=-2x 2+4x +11__. 解析:由题意可设f(x)=a(x -1)2+13,因为f(3)=f(-1)=5,所以a ×(-1-1)2+13=5,解得a =-2, 所以f(x)=-2(x -1)2+13=-2x 2+4x +11. 范例导航 考向❶ 求函数的解析式 例1 (1) 已知f(x)是一次函数,且满足3f(x +1)-2f(x -1)=2x +17,求函数f(x)的解析式; (2) 已知函数f(x)满足2f(x)+f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1x =3x,求函数f(x)的解析式. 解析:(1) 设f(x)=kx +b, 则由题意得3[k(x +1)+b]-2[k(x -1)+b]=2x +17,即kx +5k +b =2x +17, 所以⎩⎨⎧k =2,5k +b =17,解得⎩⎨⎧k =2,b =7, 所以f(x)=2x +7. (2) 因为2f(x)+f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1x =3x,① 用1x 代替x,则2f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1x +f(x)=3x ,② 由①×2-②得,4f(x)-f(x)=6x -3x , 即3f(x)=6x -3x ,所以f(x)=2x -1x . (1) 已知f(x) 为二次函数,且满足f(0)=0,f(x +1)-f(x)=x +1,求函数f(x)的解析式; (2) 设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x 2+x +2,求函数f(x)和g(x)的解析式. 解析:(1) 由题意可设f(x)=ax 2+bx. 因为f(x +1)-f(x)=x +1, 所以a(x +1)2+b(x +1)-(ax 2+bx)=x +1, 整理得2ax +a +b =x +1, 所以⎩⎨⎧2a =1,a +b =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =12, 所以f(x)=12x 2+12x. (2) 由题意可知f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x). 因为f(x)+g(x)=x 2+x +2,① 所以f(-x)+g(-x)=x 2-x +2, 即f(x)-g(x)=x 2-x +2.② 由①+②得,2f(x)=2x 2+4,即f(x)=x 2+2, 由①-②得,2g(x)=2x,即g(x)=x, 所以f(x)=x 2+2,g(x)=x. 考向❷ 分段函数的解析式 例2 如图是函数f(x)的图象,OC 段是射线,曲线OBA 是抛物线的一部分,试写出f(x)的函数表达式. 解析:当x ≤0时,由图象过点(-2,-2),(0,0)可知,直线OC 的斜率为1,所以射线OC 的函数表达式为y =x(x ≤0); 当x>0时,f(x)是二次函数, 所以设f(x)=a(x -1)2+b. 由图可知,则⎩⎨⎧a ×(1-1)2+b =-1,a ×(2-1)2+b =0, 解得⎩⎨⎧a =1,b =-1, 所以f(x)=(x -1)2-1=x 2-2x.