中考数学压轴题专题复习—圆与相似的综合附答案解析

中考数学压轴题专题复习—圆与相似的综合附答案解析

一、相似

1．如图，在一块长为a(cm)，宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板，得到一个新的矩形．

（1）试用含a，b，x的代数式表示新矩形的长和宽；

（2）试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由．

【答案】（1）解：由原矩形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)，木板宽为x(cm)，

可得新矩形的长为(a＋2x)cm，宽为(b＋2x)cm

（2）解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，则有，

由比例的基本性质，得ab＋2bx＝ab＋2ax，∴2(a－b)x＝0.

∵a>b，

∴a－b≠0，

∴x＝0，

又∵x>0，

∴原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段．

【解析】【分析】（1）根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。

（2）假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出x=0，即可判断。

2．如图,在一个长40 m、宽30 m的矩形小操场上,王刚从A点出发,沿着A→B→C的路线以3 m/s的速度跑向C地.当他出发4 s后,张华有东西需要交给他,就从A地出发沿王刚走的路

线追赶,当张华跑到距B地2 m的D处时,他和王刚在阳光下的影子恰好落在一条直线上.

（1）此时两人相距多少米(DE的长)?

（2）张华追赶王刚的速度是多少?

【答案】（1）解：在Rt△ABC中：

∵AB=40，BC=30，

∴AC=50 m.

由题意可得DE∥AC，

∴Rt△BDE∽Rt△BAC，

∴ = ，

即 = .

解得DE= m.

答：此时两人相距 m.

（2）解：在Rt△BDE中：

∵DB=2，DE=，

∴BE=2 m.

∴王刚走的总路程为AB+BE=42 m.

∴王刚走这段路程用的时间为 =14(s).

∴张华用的时间为14-4=10(s)，

∵张华走的总路程为AD=AB-BD=40-2=37（m）,

∴张华追赶王刚的速度是37÷10≈3.7（m/s）.

答：张华追赶王刚的速度约是3.7m/s.

【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC=50 m，利用平行投影的性质得DE∥AC，再利用相似三角形的性质得出对应边的比相等可求得DE长.

（2）在Rt△BDE中,根据勾股定理得BE=2 m，根据题意得王刚走的总路程为42 m，根据时间=路程÷速度求得王刚用的时间，减去4即为张华用的时间，

再根据速度=路程÷时间解之即可得出答案.

3．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C（2,0），点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD，作，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.

（1）填空：点B的坐标为________；

（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；

（3）①求证：；

②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值

【答案】（1）

（2）解：存在，理由如下：

∵OA=2,OC=2，

∵tan∠ACO==,

∴∠ACO=30°,∠ACB=60°

①如图（1）中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，

∴∠DCE=∠EDC=30°,

∴∠DBC=∠BCD=60°,

∴△DBC是等边三角形，

∴DC=BC=2，

在Rt△AOC中，

∵∠ACO=30°，OA=2，

∴AC=2AO=4，

∴AD=AC-CD=4-2=2，

∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形，

②如图（2）中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°,

∴∠ABD=∠ADB=75°,

∴AB=AD=2，

综上所述，满足条件的AD的值为2或2.

（3）①如图，过点D作MN⊥AB于点M，交OC于点N。

∵A(0.2)和C(23 ,0)，

∴直线AC的解析式为y=-33x+2，

设D（a，-33a+2），

∴DN=-33a+2,BM=23-a

∵∠BDE=90°,

∴∠BDM+∠NDE=90°,∠BDM+∠DBM=90°,

∴∠DBM=∠EDN,

∵∠BMD=∠DNE=90°,

∴△BMD~△DNE,

∴DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.

②如图（2）中，作DH⊥AB于H。

在Rt△ADH中，

∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°,

∴DH=12AD=12x，AH=AD2-DH2=32x，

∴BH=23-32x，

在Rt△BDH中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2,

∴DE=33BD=33·12x2+23-32x2,

∴矩形BDEF的面积为y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,

即y=33x2-23x+43,

∴y=33x-32+3

∵33>0,

∴x=3时，y有最小值3.

【解析】【解答】（1）∵四边形AOCB是矩形，

∴BC=OA=2，OC=AB=，∠BCO=∠BAO=90°,

∴B（， 2）