高考数学一轮备考(精华版)
2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第2章 §2
x2＋4
2 的最大值为__5__.
x2＋5
令 x2＋4＝t，则 t≥2，
∴x2＝t2－4，∴y＝t2＋t 1＝t＋1 1t ， 设 h(t)＝t＋1t ，
则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
∴h(t)min＝h(2)＝52， ∴y≤15＝25(x＝0 时取等号).
2 即 y 的最大值为25.
命题点3 解不等式
的取值范围是
√A.(－∞，－2]
C.(－∞，2]
B.(－∞，－2) D.(－∞，2)
函数f(x)＝ln(x2－ax－3)为复合函数，令u(x)＝x2－ax－3， y＝ln u为增函数， 故只要 u(x)＝x2－ax－3 在(1，＋∞)上单调递增即可，只要a2≤1，
u1≥0， 解得a≤－2.
2.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝ ab， ，aa≤ >bb. ，设函数f(x)＝－x＋3， g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__1__.
那么就称函数f(x)在区间D上单 那么就称函数f(x)在区间D上单
调递增
调递减
图象 描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
1
1
0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln 2 )，b＝f( 33 )，c＝f( e3 )，
则a，b，c的大小关系是
A.c<b<a
√B.a<c<b
2024年高考数学第一轮复习重点总结
2024年高考数学第一轮复习重点总结一、函数与导数1. 函数的基本概念：函数的定义、自变量和因变量、函数的图像、奇函数和偶函数等。
2. 函数的运算：函数的加减乘除、复合函数、反函数等。
3. 导数的概念：导数的定义、几何意义、导数的性质等。
4. 导数的计算法则：基本导数公式、常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
5. 导数与函数的关系：导函数与原函数、导函数与函数的单调性、极值点与导数。
6. 函数图像的性质：函数的增减性、极值点、拐点等。
二、习题解析与归纳1. 基本属性与等式：乘方运算的基本性质、平方根与立方根的性质、指数与对数的关系等。
2. 中心对称与轴对称：中心对称与轴对称的概念、图形关于中心对称与轴对称的性质。
3. 几何变换与相似三角形：平移、旋转、翻折的概念与性质、相似三角形的判定与计算。
4. 几何实际问题解决：几何实际问题的建模与解决，如图形的面积、体积、最优解等。
5. 数据的统计与分析：样本的搜集、描述统计指标与图表、数据的分析与解读。
三、三角函数1. 三角函数的定义与基本关系：正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义与基本关系。
2. 三角函数与导数：三角函数的导数公式、导数与函数图像的关系。
3. 三角函数的图像性质：函数图像的周期性、单调性、奇偶性等。
4. 三角函数的计算与应用：函数值的计算、特殊角的三角函数值、角度的变换与运算、解三角方程等。
四、平面解析几何1. 坐标系与平面几何：直角坐标系与极坐标系的关系、平面直角坐标系与空间直角坐标系的关系、直线与曲线的方程表示。
2. 直线与平面的性质与方程：直线的特殊情况、平面与直线的位置关系、直线与平面的交点、曲线与曲线的位置关系。
3. 曲线与曲面的性质与方程：一元二次方程的图像、标准二次曲线的性质、二元二次方程的图像、平面曲线的参数方程表示等。
五、概率与统计1. 随机事件与概率：随机事件与样本空间、事件的概率、事件的运算。
2023年高考数学一轮复习(全国版理)-第11章-11.3-用样本估计总体
§11.3用样本估计总体考试要求 1.会用统计图表对总体进行估计.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．知识梳理1．平均数、中位数和众数(1)平均数：x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)．(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．2．方差和标准差(1)方差：s2＝1n错误!(x i －x)2或1n错误!2i－x2.(2)标准差：s＝错误!.常用结论巧用三个有关的结论(1)若x1，x2，…，x n的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mx n＋a的平均数为m＋a；(2)数据x1，x2，…，x n与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，x n′＝x n＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x1，x2，…，x n的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的方差为a2s2.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(×)(2)方差与标准差具有相同的单位．(×)(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(√)(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(√)教材改编题1．给出一组数据：1,3,3,5,5,5，下列说法不正确的是()A．这组数据的极差为4B．这组数据的平均数为3C．这组数据的中位数为4 D．这组数据的众数为5答案B解析这组数据的极差为5－1＝4，A正确；平均数为1＋3×2＋5×36＝113，B错误；中位数为3＋52＝4，C正确；众数为5，D正确．2．下列说法正确的是()A．众数可以准确地反映出总体的情况B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越小答案C解析对于A，众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体特征，所以A错误；对于B，一组数的平均数不可能大于这组数据中的每一个数据，所以B错误；对于C，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，所以C正确；对于D，方差可以用来衡量一组数据波动的大小，方差越小，数据波动越小，方差越大，数据波动越大，所以D错误．3．设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为()A．0.01B．0.1C．1D．10答案C解析∵样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，根据任何一组数据同时扩大几倍，方差将变为平方倍增长，∴数据10x1，10x2，…，10x n的方差为100×0.01＝1.题型一样本的数字特征例1(1)在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为()A．92,2.8B．92,2C．93,2D．93,2.8答案A解析由题意得所剩数据为90,90,93,94,93.所以平均数x ＝90＋90＋93＋94＋935＝92.方差s 2＝15[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2]＝2.8.(2)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为s 2，则()A.x ＝4，s 2<2B.x ＝4，s 2＝2C.x >4，s 2<2D.x >4，s 2>2答案A解析设7个数为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 77＝4，(x 1－4)2＋(x 2－4)2＋(x 3－4)2＋(x 4－4)2＋(x 5－4)2＋(x 6－4)2＋(x 7－4)27＝2，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＝28，(x 1－4)2＋(x 2－4)2＋(x 3－4)2＋(x 4－4)2＋(x 5－4)2＋(x 6－4)2＋(x 7－4)2＝14，则这8个数的平均数为x ＝18(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋4)＝18×(28＋4)＝4，方差为s 2＝18×[(x 1－4)2＋(x 2－4)2＋(x 3－4)2＋(x 4－4)2＋(x 5－4)2＋(x 6－4)2＋(x 7－4)2＋(4－4)2]＝18×(14＋0)＝74<2.教师备选某高校分配给某中学一个保送名额，该中学进行校内举荐评选，评选条件除了要求该生获得该校“三好学生”称号，还要求学生在近期连续3次大型考试中，每次考试的名次都在全校前5名(每次考试无并列名次)．现有甲、乙、丙、丁四位同学都获得了“三好学生”称号，四位同学在近期连续3次大型考试名次的数据分别为甲同学：平均数为3，众数为2；乙同学：中位数为3，众数为3；丙同学：众数为3，方差小于3；丁同学：平均数为3，方差小于3.则一定符合推荐要求的同学有()A ．甲和乙B ．乙和丁C ．丙和丁D ．甲和丁答案D解析对于甲同学，平均数为3，众数为2，则3次考试的成绩的名次为2,2,5，满足要求；对于乙同学，中位数为3，众数为3，可举反例：3,3,6，不满足要求；对于丙同学，众数为3，方差小于3，可举特例：3,3,6，则平均数为4，方差s 2＝13×[2×(3－4)2＋(6－4)2]＝2<3，不满足要求；对于丁同学，平均数为3，方差小于3，设丁同学3次考试的名次分别为x 1，x 2，x 3，若x 1，x 2，x 3中至少有一个大于等于6，则方差s 2＝13[(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋(x 3－3)2]>3，与已知条件矛盾，所以x 1，x 2，x 3均不大于5，满足要求．思维升华平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其离散程度．跟踪训练1(1)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)分布情况汇总如下，身高(100，110](110，120](120，130](130，140](140，150]频数535302010由此表估计这100名小学生身高的中位数为(结果保留4位有效数字)()A ．119.3B ．119.7C ．123.3D ．126.7答案C解析由题意知身高在(100,110]，(110,120]，(120,130]内的频率依次为0.05,0.35,0.3，前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x ，则(x －120)×0.310＝0.1，解得x ≈123.3.(2)(2021·新高考全国Ⅰ改编)有一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，由这组数据得到新样本数据y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝x i ＋c (i ＝1,2，…，n )，c 为非零常数，则()A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差不同答案C解析设样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数、中位数、标准差、极差分别为x ，m ，σ，t ，依题意得，新样本数据y1，y2，…，y n的平均数、中位数、标准差、极差分别为x＋c，m＋c，σ，t，因为c≠0，所以C正确，D不正确．题型二总体集中趋势的估计例2棉花是我国纺织工业重要的原料．新疆作为我国最大的产棉区，对国家棉花产业发展、确保棉粮安全以及促进新疆农民增收、实现乡村振兴战略都具有重要意义．准确掌握棉花质量现状、动态，可以促进棉花产业健康和稳定的发展．在新疆某地收购的一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度(单位：mm)，得到样本的频数分布表如下：纤维长度频数频率[0,50)40.04[50,100)80.08[100,150)100.10[150,200)100.10[200,250)160.16[250,300)400.40[300,350]120.12(1)在图中作出样本的频率分布直方图；(2)根据(1)中作出的频率分布直方图求这一棉花样本的众数、中位数与平均数，并对这批棉花的众数、中位数和平均数进行估计．解(1)样本的频率分布直方图如图所示．(2)由样本的频率分布直方图，得众数为250＋3002＝275(mm)；设中位数为x，(x－250)×0.008＝50%－48%，解得x＝252.5，即中位数为252.5mm；设平均数为x，则x＝25×0.04＋75×0.08＋125×0.1＋175×0.1＋225×0.16＋275×0.4＋325×0.12＝222(mm)，故平均数为222mm.由样本的这些数据，可得购进的这批棉花的众数、中位数和平均数分别约为275mm、252.5mm和222mm.教师备选某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40,100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，则下列说法不正确的是()A．频率分布直方图中第三组的频数为10B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分答案D解析分数在[60,70)内的频率为1－10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.10，所以第三组的频数为100×0.10＝10，故A正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；因为(0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.35<0.5，(0.005＋0.020＋0.010＋0.030)×10＝0.65>0.5，所以中位数位于[70,80)内，设中位数为x，则0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位数的估计值为75分，故C正确；样本平均数的估计值为45×(10×0.005)＋55×(10×0.020)＋65×(10×0.010)＋75×(10×0.030)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.010)＝73(分)，故D错误．思维升华频率分布直方图的数字特征(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．跟踪训练2首次实施新高考的八省(市)于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求出图中a的值并估计本次考试及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)；(2)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．解(1)由频率分布直方图的性质，可得(0.004＋a＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.所以及格率为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.(2)由图可得，众数估计值为100分．平均数估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6(分)．题型三总体离散程度的估计例3(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s21和s22.(1)求x，y，s21，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y－x≥2s21＋s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．解(1)由表格中的数据易得x＝110×(－0.2＋0.3＋0＋0.2－0.1－0.2＋0＋0.1＋0.2－0.3)＋10.0＝10.0，y＝110×(0.1＋0.4＋0.1＋0＋0.1＋0.3＋0.6＋0.5＋0.4＋0.5)＋10.0＝10.3，s21＝110×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，s22＝110×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.(2)由(1)中数据可得y－x＝10.3－10.0＝0.3，而2s21＋s2210＝25(s21＋s22)＝0.0304，显然有y－x>2s21＋s2210成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．教师备选从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125]频数62638228(1)根据上表补全如图所示的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解(1)补全后的频率分布直方图如图所示．(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．思维升华总体离散程度的估计标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．跟踪训练3(2022·蚌埠质检)某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛，为此某班开展了10次模拟测试，以此选拔选手代表班级参赛，下表为甲、乙两名学生的历次模拟测试成绩．场次12345678910甲98949797959393959395乙92949394959496979798甲、乙两名学生测试成绩的平均数分别记作x，y，方差分别记作s21，s22.(1)求x，y，s21，s22；(2)以这10次模拟测试成绩及(1)中的结果为参考，请你从甲、乙两名学生中选出一人代表班级参加比赛，并说明你作出选择的理由．解(1)x＝110(98＋94＋97＋97＋95＋93＋93＋95＋93＋95)＝95，y＝110(92＋94＋93＋94＋95＋94＋96＋97＋97＋98)＝95，s21＝110[32＋(－1)2＋22＋22＋0＋(－2)2＋(－2)2＋0＋(－2)2＋0]＝3，s22＝110[(－3)2＋(－1)2＋(－2)2＋(－1)2＋0＋(－1)2＋12＋22＋22＋32]＝3.4.(2)答案一：由(1)可知，x＝y，s21<s22，甲、乙两人平均分相同，但甲发挥更稳定，所以可以派甲同学代表班级参赛.答案二：由(1)可知，x＝y，s21<s22，甲、乙两人平均分相同，两人成绩的方差差距不大，但从10次测试成绩的增减趋势可以发现，甲的成绩总体呈下降趋势，乙的成绩总体呈上升趋势，说明乙的状态越来越好，所以可以派乙同学代表班级参赛．课时精练1．某机构调査了10种食品的卡路里含量，结果如下：107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.则这组数据的中位数是()A．160.5B．146C．175D．135答案A 解析中位数为146＋1752＝160.5.2．给定一组数据5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，则这组数据()A ．众数为2B ．平均数为2.5C ．方差为1.6D ．标准差为4答案C解析由题中数据可得，众数为2和3，故A 错误；平均数为x ＝5＋5＋…＋2＋110＝3，故B 错误；方差s 2＝(5－3)2＋(5－3)2＋…＋(2－3)2＋(1－3)210＝1.6，标准差为 1.6≠4，故C 正确，D 错误．3．若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则4x 1－3,4x 2－3，…，4x n －3的平均数和标准差分别为()A.x ，s B ．4x －3，s C ．4x －3,4sD ．4x －3，16s 2－24s ＋9答案C解析因为x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )，s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，所以4x 1－3,4x 2－3，…，4x n －3的平均数为x ′＝1n [(4x 1－3)＋(4x 2－3)＋…＋(4x n －3)]＝1n [4(x 1＋x 2＋…＋x n )－3n ]＝4x －3，标准差为1n[(4x 1－3－4x ＋3)2＋(4x 2－3－4x ＋3)2＋…＋(4x n －3－4x ＋3)2]＝41n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]＝4s2＝4s.4．某市为推进垃圾分类工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动．现对该市甲、乙两个小区进行评比，从中各随机选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分，评分后得到如下茎叶图．通过茎叶图比较甲、乙两个小区成绩的平均数及方差大小()A.x甲<x乙，s2甲<s2乙B.x甲>x乙，s2甲<s2乙C.x甲<x乙，s2甲>s2乙D.x甲>x乙，s2甲>s2乙答案C解析由茎叶图知，乙小区成绩低的户数少于甲小区，且成绩大多高于甲小区，所以乙小区成绩的平均数大于甲小区．因为乙小区成绩分布比较集中，所以乙小区成绩的方差比甲小区小．5．某大学共有12000名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取1000名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)()A．中位数为6B．众数为10C．平均数为6.88D．该校读书不低于8本的人数约为3600答案C解析由图知，中位数x在[4,8)内，所以0.06×4＋0.1×(x－4)＝0.5，解得x＝6.6，A错误；由图知，众数在[4,8)内，故众数为6，B错误；平均数为4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，C正确；由图知，该校读书不低于8本的频率之和为1－0.16×4＝0.36，所以该校读书不低于8本的人数约为0.36×12000＝4320，D错误．6．(2022·深圳模拟)若甲组样本数据x1，x2，…，x n(数据各不相同)的平均数为2，方差为4，乙组样本数据3x1＋a，3x2＋a，…，3x n＋a的平均数为4，则下列说法不正确的是() A．a的值为－2B．乙组样本数据的方差为36C．两组样本数据的样本中位数一定相同D．两组样本数据的样本极差不同答案C解析由题意可知，3×2＋a＝4，故a＝－2，故A正确；乙组样本数据方差为9×4＝36，故B正确；设甲组样本数据的中位数为x i，则乙组样本数据的中位数为3x i－2，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误；甲组数据的极差为x max－x min，则乙组数据的极差为(3x max－2)－(3x min－2)＝3(x max－x min)，所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确．7．2021年高考某题的第(1)问的得分情况如下：得分(分)01234百分率(%)37.08.6 6.028.220.2其中得分的众数是________．答案0解析众数是指一组数据中出现次数最多的数据，根据所给表格知，百分率最高的是0. 8．已知数据x1，x2，…，x9的方差为5，则数据3x1＋1，3x2＋1，…，3x9＋1的方差为________．答案45解析原数据的方差为5，则线性变换后的数据的方差为32×5＝45.9．自中国进入工业化进程以来，个人的文化水平往往影响或在某种程度上决定了个人的薪酬高低，文化水平较高的人往往收入较高．将个人的文化水平用数字表示，记“没有接受过系统学习或自学的成年人”为最低分25分，“顶级尖端人才”为最高分95分．为了分析A市居民的受教育程度，从A 市居民中随机抽取1000人的文化水平数据X ，将样本分成小学[25,35)，初中[35,45)，高中[45,55)，专科[55,65)，本科[65,75)，硕士[75,85)，博士[85,95]七组，整理后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求样本数据的众数和中位数(保留一位小数)；(2)请估计该市居民的平均文化水平．(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)解(1)样本数据的众数为65＋752＝70.0.X ∈[25,65)的频率为0.05＋0.05＋0.15＋0.20＝0.45<0.50，X ∈[25,75)的频率为0.05＋0.05＋0.15＋0.20＋0.30＝0.75>0.50.所以中位数在区间[65,75)上，中位数为65＋10×0.50－0.450.30＝65＋53≈66.7.(2)平均文化水平X ＝30×0.05＋40×0.05＋50×0.15＋60×0.20＋70×0.30＋80×0.20＋90×0.05＝64.5.10．某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如图．(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能90%地满足顾客的需求(在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求)．请问每天应该进多少千克苹果？解(1)由题图可知，区间[80,90)的频率最大，所以众数为85，中位数设为x ，则0.025＋0.1＋(x －80)×0.04＝0.5，可得x ＝89.375.平均数为x ＝(65×0.0025＋75×0.01＋85×0.04＋95×0.035＋105×0.01＋115×0.0025)×10＝89.75.(2)日销售量[60,100)的频率为0.875<0.9，日销售量[60,110)的频率为0.975>0.9，故所求的量位于[100,110)．由0.9－0.025－0.1－0.4－0.35＝0.025，得100＋0.0250.01＝102.5，故每天应该进102.5千克苹果．11．已知一组数据1,2，a ，b ，5,8的平均数和中位数均为4，其中a ，b ∈N *，在去掉其中的一个最大数后，该组数据一定不变的是()A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．标准差答案B解析由题意知，16＋a ＋b6＝4，可得a ＋b ＝8，又中位数为4，＝3，＝5＝4，＝4，＝3，＝5，＝3，＝5＝3，＝5，时，众数为5，标准差为433；＝4，＝4时，众数为4，标准差为 5.∴去掉其中的一个最大数后，数据为1,2，a ，b ，5，＝3，＝5＝3，＝5，时，平均数为165，众数为5，中位数为3，标准差为85；＝4，＝4时，平均数为165，众数为4，中位数为4，标准差为365.综上，数据变化前后一定不变的是众数．12．(2022·东三省四市联考)某同学掷骰子5次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为2.4的统计结果，则下列点数中一定不出现的是()A ．1B ．2C ．5D ．6答案D解析因为(6－2)25＝3.2，根据方差的计算公式知，方差大于2.4，因此不能出现点数6，因为(5－2)25 1.8<2.4，(2－2)25＝0<2.4，(1－2)25＝0.2<2.4，则其余的点数1,2,5都有可能出现．13．小华同学每天晚上睡觉前要求自己背诵15个英文单词，若超出记为“＋”，不足记为“－”，则上周一至周五，他的完成情况分别为－2，－1，x ，＋4，y ，已知这五个数据的平均数是0，方差是5.2，则上周一至周五，小华背诵的单词数量的众数和中位数分别是()A ．13,14B ．－2，－1C ．13,13D ．－2，－2答案A解析因为－2，－1，x ，＋4，y 这五个数据的平均数是0，方差是5.2，所以有5.2，＝－2，＝1＝1，＝－2，不管取哪一组解，这5天的单词量均是以下几个数，13,14,13,19,16，所以众数和中位数分别是13,14.14．已知一组数据a ，b ，3,5的中位数为7，平均数为8，则ab ＝________.答案135解析因为一组数据a ，b ，3,5的平均数为8，所以14(a ＋b ＋3＋5)＝8，解得a ＋b ＝24，若a ＝b ，则a ＝b ＝12，此时4个数为3,5,12,12，显然中位数不是7，不妨设a <b ，若a ≤3，则b ≥21，此时4个数排列为a ，3,5，b ，中位数为4，不符合题意，若3<a ≤5，则19≤b <21，此时4个数排列为3，a ，5，b ，显然中位数不是7，若a >5，则4个数排列为3,5，a ，b ，则中位数为5＋a2＝7，解得a ＝9，则b ＝15，所以ab ＝9×15＝135.15．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44，若用样本估计总体，则年龄在(x －s ，x ＋s )内的人数占公司人数的百分比是()(其中x 是平均数，s 为标准差，结果精确到1%)A ．14%B ．25%C ．56%D ．67%答案C解析因为x ＝36＋36＋37＋37＋40＋43＋43＋44＋449＝40，s 2＝19×(16＋16＋9＋9＋0＋9＋9＋16＋16)＝1009，即s ＝103，所以年龄在(x －s ，x ＋s )，即1103，1303内的人数为5，所以年龄在(x －s ，x ＋s )内的人数占公司人数的百分比为59≈56%.16．中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期．其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸．宣纸按质量等级分为正牌(优等品)、副牌(合格品)、废品三等．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10000刀(1刀＝100张)，该公司按照某种质量指标x 给宣纸确定等级如表所示：x 的范围(44,48]∪(52,56](48,52][0,44]∪(56,60]质量等级副牌正牌废品在该公司所生产的宣纸中随机抽取了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为15元，副牌宣纸的利润为8元，废品的利润为－20元．(1)试估计该公司的年利润；(2)市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量．据调查这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示：x的范围(x－2，x＋2)(x－6，x＋6)频率0.68270.9545其中x为质量指标x的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张，请问该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由．(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)解(1)由频率分布直方图得，一刀宣纸有正牌100×0.1×4＝40(张)，有副牌100×0.05×4×2＝40(张)，有废品100×0.025×4×2＝20(张)，∴该公司一刀宣纸的利润的估计值为40×15＋40×8－20×20＝520(元)，∴估计该公司的年利润为520万元．(2)由频率分布直方图得，x＝42×0.025×4＋46×0.05×4＋50×0.1×4＋54×0.05×4＋58×0.025×4＝50.这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示：x的范围(48,52)(44,56)频率0.68270.9545∴一刀宣纸中正牌的张数估计为100×0.6827＝68.27，废品的张数估计为100×(1－0.9545)＝4.55，副牌的张数为100×(0.9545－0.6827)＝27.18，∴一刀宣纸的利润为68．27×12＋27.18×5－4.55×20＝864.14(元)，∴公司改进后该公司的利润为864．14－100＝764.14(万元)，∵764.14>520，∴建议该公司购买这种机器．。
高考数学第一轮复习知识点总结
高考数学第一轮复习知识点总结高考数学第一轮复习知识点总结高考数学作为重中之重的一门课程，对于很多考生来说是一道难关。
数学题目难，考点多，所以在备考过程中复习知识点是非常关键的一环。
在高考数学中，第一轮复习是非常重要的，因为它是考生们对于数学知识点的回顾和积累过程，对于巩固基础打下坚实的基础非常关键。
在这篇文章中，我们将对高考数学第一轮复习的知识点进行总结，帮助考生们更好地备考。
一、集合和函数1. 集合的基本概念和表示方法。
2. 集合的运算：交、并、差、补、对称差。
3. 集合的关系：包含关系、相等关系。
4. 数学函数的定义。
5. 常用函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
6. 函数的性质：奇偶性、周期性、单调性、最值等。
7. 反函数。
二、数列1. 数列的定义。
2. 等差数列和等比数列的性质。
3. 数列的通项公式和前n项和公式。
4. 数列极限的定义和性质。
5. 数列的收敛和发散。
三、函数图像与方程1. 一次函数。
2. 二次函数。
3. 线性方程组。
4. 二元一次方程和一元二次方程。
5. 一元两次方程，求根公式，有理系数情况的根的奇偶性判断，一次两个根判别式，一元二次方程的最值问题。
四、三角函数1. 弧度制和角度制的互相转换。
2. 常用角的正弦、余弦、正切、余切。
3. 三角函数的基本关系式。
4. 三角函数的图像和性质。
5. 三角函数的反函数。
五、立体几何1. 空间向量的概念。
2. 空间向量之间的运算。
3. 空间中直线和平面的基本概念。
4. 平面与平面的位置关系：平行、共面、垂直等。
5. 空间中直线与直线、直线与平面的位置关系：共面、垂直等。
6. 空间向量与平面的位置关系：平行、垂直等。
七、概率统计1. 随机事件及其概率。
2. 条件概率及其应用。
3. 离散型随机变量及其概率分布。
4. 连续型随机变量及其概率密度函数。
5. 随机事件的运算。
以上是高考数学第一轮复习的知识点总结。
复习数学可以多练习题，特别是选择题，可以涉及到很多数学知识点。
2024年高考数学第一轮复习解题思路总结
2024年高考数学第一轮复习解题思路总结可以总结如下：
1.掌握基本概念和公式：在复习过程中，要重点掌握数学的基本概念和公式，比如函数的性质、三角函数的基本关系、几何图形的性质等。
理解清楚这些基本概念和公式，才能够灵活应用到解题中。
2.抓住题型特点：不同的题型有不同的解题方法，因此复习中要抓住题型的特点，理解各种题型的解题思路。
比如代数题多涉及方程和不等式的解法，几何题多涉及图形的性质和推理等。
3.注重练习题目：做大量的习题是提高数学解题能力的关键。
在复习中要注重练习各种类型的题目，尤其是历年真题和模拟题。
通过不断练习，可以熟悉题目的出题风格，增强解题的灵活性。
4.总结解题方法：在复习过程中，要不断总结解题方法和技巧。
比如一些常用的解方程的方法，如因式分解、配方法、置换法等。
通过总结解题方法，可以提高解题效率，更快地解决问题。
5.注意归纳和总结：在复习过程中，要及时归纳总结自己遇到的难题和易错题的解题思路和方法。
通过总结，可以加深对知识的理解和记忆，并且在考试中遇到类似的题目时能够有思路。
综上所述，2024年高考数学第一轮复习解题思路总结包括掌握基本概念和公式、抓住题型特点、注重练习题目、总结解题方法和注意归纳和总结。
通过有针对性的复习和练习，可以提高数学解题的能力和应对考试的水平。
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高考数学一轮复习知识点总结模板5篇
高考数学一轮复习知识点总结模板5篇高考数学一轮复习知识点总结模板5篇复习总结需要有耐心和恒心，不要一口吃成胖子，要分批进行，逐步完成。
复习总结还需要注意细节，比如字迹清晰、排版整齐等，使自己的总结更加美观整洁。
下面就让小编给大家带来高考数学一轮复习知识点总结，希望大家喜欢!高考数学一轮复习知识点总结篇1一、集合与函数1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解。
2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别。
6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。
7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。
8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域。
9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。
例如：。
10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值，作差，判正负)和导数法11. 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示。
12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。
17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。
2024年高考数学第一轮复习重点总结
2024年高考数学第一轮复习重点总结
2024年高考数学第一轮复习的重点可以总结为以下几个方面：
1. 几何与图形：重点关注平面几何中的圆的性质和定理、三角形的面积和周长计算、相似与全等三角形的性质等内容；空间几何中的立体几何、空间向量与多面体等内容。
2. 函数与方程：重点关注函数的性质与图像，包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等；方程与不等式的解法与性质，特别是一元二次方程、分式方程、绝对值方程等。
3. 数列与数学归纳法：重点关注数列的概念与性质，包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等；数学归纳法的原理与应用。
4. 概率与统计：重点关注事件的概率计算与性质，包括互斥事件、独立事件、条件概率等；统计学中的数据收集与分析、频率分布与直方图、均值、中位数、众数等概念和计算。
5. 解析几何：重点关注直线与圆的方程与性质，包括直线的斜率、截距和两直线的位置关系、圆的标准方程、切线和法线等。
此外，还需要掌握数学知识的运用能力，能够灵活应用各种数学概念、方法和技巧解决问题。
同时，多做一些高考真题和模拟题进行练习，熟悉考题形式和解题思路，提高解题速度和准确性。
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(完整版)高三数学一轮复习基础知识归纳
高三数学一轮复习：基础知识归纳第一部分 集合1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2.数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素与集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. （2）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . （3）A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况.（4）集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；非空真子集有2n –2个.4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分 函数与导数1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、 绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（xa 、x sin 、x cos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y = ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
高考数学一轮备考知识点(通用)
高考数学一轮备考知识点（通用）数学可以应用于现实世界的任何问题，全部的数学对象本质上都是人为定义的。
从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。
下面我给大家带来高考数学一轮备考知识点，期望大家宠爱!高三数学知识点整理1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不行缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，生疏公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，把握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高规律思维能力和空间想象能力。
2.判定两个平面平行的方法：(1)依据定义--证明两平面没有公共点;(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;(3)证明两平面同垂直于一条直线。
3.两个平面平行的主要性质：(1)由定义知：“两平行平面没有公共点”;(2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面”;(3)两个平面平行的性质定理：“假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”;(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面;(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等;(6)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
高三数学知识点归纳总结1.等差数列的定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d.3.等差中项假如A=(a+b)/2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n，m∈N_).(2)若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N_).(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N_)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2;若n为奇数，则S奇-S偶=a中(中间项).留意：一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an，①Sn=an+an-1+…+a1，②①+②得：Sn=n(a1+an)/2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要擅长设元.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数;(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N_)都成立;(3)通项公式法：验证an=pn+q;(4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.高考数学必背考点一、正余弦定理正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc__cosA二、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 三、倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a四、半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))五、和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB高考数学一轮备考知识点。
高考数学第一轮复习资料汇总
高考数学第一轮复习资料汇总高考数学第一轮复习资料 1数列的基本概念等差数列（1）数列的通项公式an=f（n）（2）数列的递推公式（3）数列的通项公式与前n项和的关系an+1—an=dan=a1+（n—1）da，A，b成等差2A=a+bm+n=k+l am+an=ak+al等比数列常用求和公式an=a1qn_1a，G，b成等比G2=abm+n=k+l aman=akal不等式不等式的基本性质重要不等式a>b ba>b，b>c a>ca>b a+c>b+ca+b>c a>c—ba>b，c>d a+c>b+da>b，c>0 ac>bca>b，c<0 aca>b>0，c>d>0 aca>b>0 dn>bn（n∈Z，n>1）a>b>0 > （n∈Z，n>1）（a—b）2≥0a，b∈R a2+b2≥2ab|a|—|b|≤|a±b|≤|a|+|b|证明不等式的基本方法比较法（1）要证明不等式a>b（或aa—b>0（或a—b<0=即可（2）若b>0，要证a>b，只需证明。
要证a综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式（由因导果）的方法。
分析法分析法是从寻求结论成立的充分条件入手，逐步寻求所需条件成立的充分条件，直至所需的条件已知正确时为止，明显地表现出“持果索因”高考数学第一轮复习资料 21、直线两点距离、定比分点直线方程|AB|=| ||P1P2|=y—y1=k（x—x1）y=kx+b两直线的位置关系夹角和距离或k1=k2，且b1≠b2l1与l2重合或k1=k2且b1=b2l1与l2相交或k1≠k2l2⊥l2或k1k2=—1 l1到l2的角l1与l2的夹角点到直线的距离2、圆锥曲线圆椭圆标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2圆心为（a，b），半径为R一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0其中圆心为（），半径r（1）用圆心到直线的距离d和圆的半径r判断或用判别式判断直线与圆的位置关系（2）两圆的位置关系用圆心距d与半径和与差判断椭圆焦点F1（—c，0），F2（c，0）（b2=a2—c2）离心率准线方程焦半径|MF1|=a+ex0，|MF2|=a—ex0双曲线抛物线双曲线焦点F1（—c，0），F2（c，0）（a，b>0，b2=c2—a2）离心率准线方程焦半径|MF1|=ex0+a，|MF2|=ex0—a抛物线y2=2px（p>0）焦点F准线方程坐标轴的平移这里（h，k）是新坐标系的原点在原坐标系中的坐标。
高考数学一轮复习知识点归纳总结
高考数学一轮复习知识点归纳总结在高考备考过程中，数学是一个重要的科目。
为了能够顺利地完成高考数学科目的复习备考，有必要对之前学习过的知识点进行归纳总结，以便于加深理解和记忆。
本文将对高考数学一轮复习的知识点进行归纳总结，帮助考生进行有效的复习。
1. 函数与方程1.1 函数的定义和性质1.2 一次函数及其图像1.3 二次函数及其图像1.4 指数函数与对数函数1.5 三角函数及其图像1.6 方程与不等式的解法2. 数列与数列的应用2.1 等差数列2.2 等比数列2.3 数列的通项公式与前n项和公式2.4 等差数列和等比数列的应用3. 三角函数与解三角形3.1 三角函数的定义和基本性质3.2 三角函数的基本关系式3.3 解三角形的基本方法4. 平面向量与坐标系4.1 平面向量的定义和运算4.2 向量的坐标表示与方向角表示 4.3 向量共线与平行4.4 坐标系与平面几何5. 空间几何与立体几何5.1 空间几何中的点、直线和面5.2 空间几何中的位置关系5.3 立体几何中的体积与表面积计算6. 概率与统计6.1 随机事件与概率6.2 条件概率和独立事件6.3 统计与抽样调查7. 导数与微分7.1 导数的概念和性质7.2 常见函数的导数计算7.3 函数的极值与最值7.4 微分与应用8. 积分与定积分8.1 定积分的概念和性质8.2 定积分的计算方法8.3 曲线的长度与旋转体的体积以上是高考数学一轮复习的主要知识点。
在复习过程中，考生可以根据自己的掌握情况，有针对性地选择学习重点，并结合相关题目进行练习和巩固。
同时，复习过程中要注重总结归纳，将重要的公式和解题方法进行整理，以便于在考试中能够快速准确地运用到。
此外，做题时要注重思路和方法的灵活运用，培养解决问题的能力和思维能力。
希望本文所提供的高考数学一轮复习知识点归纳总结对考生们进行复习备考有所帮助，祝愿各位考生能够取得优异的成绩！。
高考数学第一轮复习知识点总结
高考数学第一轮复习知识点总结高考数学第一轮复习主要包括数与式、函数与方程、几何与测度三个部分内容。
下面将对每个部分的重要知识点进行总结说明。
一、数与式1. 整数与分数- 整数的概念及性质：包括整数的概念、绝对值及其性质，整数的比较和运算规则等。
- 分数的概念及性质：包括分数的概念、单位分数、真分数和假分数的关系，分数与整数的相互转化等。
- 整数与分数的四则运算：包括整数与分数的加减乘除运算，整数的乘方和分数的乘方等。
2. 百分数与比例- 百分数的概念及性质：包括百分数的概念、比例与百分数的关系，百分数的运算规则等。
- 百分数的应用：包括百分数在实际问题中的应用，如百分数的增长与减少、百分数的比较等。
- 比例的概念及应用：包括比例的概念、比例的性质与判断方法，比例在实际问题中的应用等。
3. 代数式与字母表达式- 代数式与项的概念：包括代数式的概念，项的概念与分类等。
- 字母表达式的概念及应用：包括字母表达式的概念与性质，代数式的运算法则，字母表达式在实际问题中的应用等。
4. 等式与方程- 等式的概念及性质：包括等式的概念、等式的性质和判断方法等。
- 方程的解与解方程：包括方程的解的概念及求解方法，一元一次方程与一元二次方程的解法，解方程在实际问题中的应用等。
二、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的概念与表达：包括函数的定义、自变量和因变量的关系，函数关系的表示方法等。
- 函数的分类与性质：包括函数的分类（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等），函数的性质（奇偶性、单调性、周期性等）等。
2. 一次函数与二次函数- 一次函数的性质与应用：包括一次函数的一般式与斜率截距式，一次函数图像的性质与图像的应用等。
- 二次函数的性质与应用：包括二次函数的一般式、根式与顶点式，二次函数图像的性质（开口方向、顶点、对称轴等）与图像的应用等。
3. 指数函数与对数函数- 指数函数的性质与应用：包括指数函数的定义与性质，指数函数的图像和性质（增减性、单调性、对称性等）等。
2023高考一轮复习数学知识点及最新题型归纳
2023高考一轮复习数学知识点及最新题
型归纳
1. 数集与函数
- 数集的表示方法
- 集合的运算与性质
- 函数的概念与性质
- 常用函数的图像与性质
- 特殊函数的特征与应用
2. 数与式与方程
- 数的性质及运算规则
- 代数式的运算与化简
- 一元一次方程与一次不等式的解法
- 二次函数与二次方程的性质与解法
- 绝对值与分式方程的性质与解法
3. 三角函数与解三角形
- 三角函数的定义与性质
- 三角函数的运算与应用
- 三角函数的图像与性质
- 三角形的性质与解法
- 平面向量与解平面向量问题
4. 几何变换与空间几何
- 平移、旋转和对称的性质与运用
- 直线与圆的性质与运用
- 空间直线与平面的关系与性质
- 空间的位置关系与运动模型
- 空间图形的投影与视图
5. 概率与统计
- 随机事件与概率计算
- 事件间的关系与概率计算
- 统计调查与统计分析
- 分布列与统计图的应用
- 样本与总体的关系与测度
以上是2023高考数学一轮复的主要知识点和最新题型归纳，希望能够帮助到你的复。
祝你考试顺利，取得好成绩！
（注意：该文档内容仅供参考，具体要求以教材和教师的指导为准。
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高考数学一轮复习知识点总结优秀7篇
高考数学一轮复习知识点总结优秀7篇高考数学一轮复习知识点总结优秀7篇复习时要注意记忆技巧，如归纳总结、图表绘制等。
复习过程中坚持做习题，巩固知识点。
下面就让小编给大家带来高考数学一轮复习知识点总结，希望大家喜欢!高考数学一轮复习知识点总结1圆与圆的位置关系的判断方法一、设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
则有以下五种关系：1、d>R+r两圆外离;两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。
2、d=R+r两圆外切;两圆的.圆心距离之和等于两圆的半径之和。
3、d=R—r两圆内切;两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。
4、d5、d二、圆和圆的位置关系，还可用有无公共点来判断：1、无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。
2、有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。
3、有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
高考数学知识点总结 9表达式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式公式运用可用于某些分母含有根号的.分式：1/(3-4倍根号2)化简：1×(3+4倍根号2)/(3-4倍根号2)^2;=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2)/-23[解方程]x^2-y^2=1991[思路分析]利用平方差公式求解[解题过程]x^2-y^2=1991(x+y)(x-y)=1991因为1991可以分成1×1991，11×181所以如果x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995如果x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也可以是负数所以解有x=996，y=995，或x=996，y=-995，或x=-996，y=995或x=-996，y=-995或x=96，y=85，或x=96，y=-85或x=-96，y=85或x=-96，y=-85有时应注意加减的过程。
2025年高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 §1.2 常用逻辑用语
√A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
f(x)是奇函数等价于cos(－2x＋φ)＝－cos(2x＋φ)，
即cos(－2x＋φ)＝cos(π－2x－φ)， 故－2x＋φ＝π－2x－φ＋2kπ，k∈Z， 所以 φ＝π2＋kπ，k∈Z. 则“φ＝π2”是“f(x)是奇函数”的充分不必要条件.
自主诊断
2.(必修第一册P30例4(1)改编)(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下
列说法正确的是
A.p是真命题
√C.綈p是真命题
B.綈p：∀x∈R，x＋2>0
√D.綈p：∃x∈R，x＋2>0
当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误； 由 含量词命题的否定可知 ， p ： ∀x∈R，x＋2≤0的否定为 綈p ： ∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误； 綈p是真命题，故C正确.
由(x＋1)(x－3)<0， 解得－1<x<3， 所以B＝{x|－1<x<3}， 当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}， 所以A∩B＝{x|2≤x<3}.
自主诊断
3.(必修第一册P22T2(5)改编)设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
√C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
自主诊断 4.已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件， 则a的取值范围为_(_－__∞__，__3_)_.
第一章
§1.2 常用逻辑用语
课标要求
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理 与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
高考数学一轮复习知识点(精选5篇)
高考数学一轮复习知识点(精选5篇)高考数学一轮复习知识点篇11、基础不牢，地动山摇。
数学想考高分，基础是最重要的，这也是很多学生数学成绩一直不好的核心原因，牢记基本公式和基本定理，根据课本目录，能熟练回忆出课本上所有知识点，真正打牢基础，你才有学好数学的可能。
2、从基础题由浅入深进行练习。
不少人对数学学习彻底失去了信心，甚至感觉自己就不是学习数学的料，其实都是平时不会选题，基础差还总爱做难题，最后被打击的自信心全无。
正确的做法是从最基础的题目开始做，先完成老师布置的作业，然后再每天给自己准备一定数量的题目，题目的选择应该从浅入深，基础不好就先做简单的题目，一点一点加深难度。
3、不要怕问。
数学想考满分，你的知识体系必须非常完美，知识没有任何漏洞才行。
遇到问题千万不要放弃，一定要多问多想，遇到不会的难题，不要硬靠自己，要敢于走出去找老师解答，在这个过程中，你可以体会老师的解题方法和老师的解题思想，更有效地利用做题时间。
4、错题本必须要有。
有人经常说，数学学霸们的学习方法并不适合所有人，但错题本学习法确实是人人都应该掌握的一个高效学习法。
如果不想错题一错再错，错题本是必须要有的。
最重要的是经常出错的题要多看，也可以的错题进行归类，不然你整理再多错题作用也不大。
高考数学一轮复习知识点篇2越是容易的题要越小心，因为这样的题很可能有陷阱。
出现怪异的答案的题要小心，因为很有可能计算错误。
任何带有数字的题要多问一下自己，有没有遗漏答案，如出现2的答案，就要考虑-2有没有可能也是答案。
最后一道填空题很有可能是难题，如果不能马上解出，应迅速放在一边进行下面答题，毕竟这道题再难也分数也有限，不应恋战。
高考数学一轮复习知识点篇3三角函数或数列数列是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础。
是高考数学必考题型。
高考对其的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。
近几年来，高考关于数列方面的命题有以下三个方面。
2020年高考数学一轮备考(精华版)
f 2k
2sin 2k
3
sin 2 2k
3
3 3 . 3 2
备考2020年三角函数
【解法 2】妙用“平均值不等式”！
因为 f x 2sin x sin 2x 2sin x1 cos x ，
所以 f 2 x 22 sin 2 x1 cos x2 41 cos x1 cos x3
一轮复习中还要加强构建思维导图
每个专题讲解结束后，要引导学生进行知识梳理、方法提 炼、思想总结，将知识与方法连成片、形成网，构造出自己的知识 体系。讲课时要根据学生大脑中已有的知识经验，开始你的教学， 要站在学生的角度去上课：想学生所乐、想学生所想、想学生所惑、 想学生所难，引导学生做到对基本知识与方法入脑入心。
能力怎么变成“素养”?
安全驾驶 礼貌行车 尊重生命
关键能力 必备品格 价值观念
（1）空间想象 （2）抽象概括 （3）推理论证 （4）运算求解 （5）数据处理
两 （1）应用意识 个
意 识
（2）创新意识
实践能力
1.会用数学的眼睛
观察世界：
思维能力
2.会用数学的思维
如数列，我们就要记住：
（1）等差数列与等比数列；定义、通项公式、求和公式、中项、 性质等； （2）数列求和的各种方法：倒序、错位相减、分解、裂项、分类、 归纳等； （3）数列与函数、不等式； （4）数列的应用； （5）递推问题．
总之，一轮复习中开始向学生渗透：
全面考查“双基” 突出中学数学的主干内容 淡化技巧，注重通性通法 多考一点想，少考一点算 在知识交汇点上命题 突出能力立意
1.周髀算经；
2.必修2第30页：祖暅原理
2.九章算术；
3.必修2第124页：坐标法与机器证明（吴文俊） 3.数学九章；
高考数学一轮总复习重点知识点梳理
高考数学一轮总复习重点知识点梳理高考是人生的一次重要考验，对于学生来说，备考高考数学是一项重要任务。
为了帮助大家更好地备考数学，下面将对高考数学一轮总复习的重点知识点进行梳理。
本文将分为四个部分，分别是代数与函数、几何与向量、概率与统计以及解题方法与技巧。
一、代数与函数1. 四则运算与整式的基本操作2. 二次函数与一次函数的性质及其图像3. 幂函数与反比例函数的性质及其图像4. 复数的运算及其性质5. 等差数列与等比数列的性质及其应用6. 二项式与多项式的展开及其应用7. 三角函数的性质与应用二、几何与向量1. 平面几何基本概念与性质2. 相似三角形与勾股定理的应用3. 圆的基本性质与圆的应用4. 向量的定义、运算与性质5. 空间几何基本概念与性质6. 空间中直线与平面的位置关系及其应用7. 空间向量的定义及其应用三、概率与统计1. 随机事件与概率的基本概念2. 随机事件的运算及其概率性质3. 事件的独立性与计算4. 排列与组合的基本概念及其计算5. 随机变量与概率分布的基本概念6. 正态分布与二项分布的概念及其应用7. 抽样与统计的基本概念及其应用四、解题方法与技巧1. 解方程与解不等式的基本方法及应用2. 解析几何的基本方法及应用3. 函数的性质与应用4. 统计图的分析与应用5. 考点梳理与答题技巧通过对以上知识点的梳理，可以发现高考数学的重点主要集中在代数与函数、几何与向量、概率与统计以及解题方法与技巧等方面。
在备考过程中，同学们应该加强对这些知识点的理解与掌握，注重解题方法与技巧的培养，提高解题效率。
总的来说，高考数学一轮总复习的重点知识点梳理旨在帮助同学们合理安排学习时间，重点攻克难点知识，提高数学成绩。
希望同学们能够认真备考，保持良好的心态，相信自己的实力，顺利迎接高考的到来。
祝愿大家取得优异的成绩！。
2023年高考数学一轮复习(全国版文)-第1章-1.1-集-合
§1.1集合考试要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn 图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN *(或N ＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或BA )．(3)相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B .(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B交集所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，且x ∈B }A ∩B补集全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合{x |x ∈U ，且x ∉A }∁U A常用结论1．若集合A 有n (n ≥1)个元素，则集合A 有2n 个子集，2n －1个真子集．2．A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x ∈N |x 3＝x }，用列举法表示为{－1,0,1}．(×)(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．(×)(3)若1∈{x 2，x }，则x ＝－1或x ＝1.(×)(4)对任意集合A ，B ，都有(A ∩B )⊆(A ∪B )．(√)教材改编题1．若集合A ＝{x ∈N |2x ＋10>3x }，则下列结论正确的是()A ．22∈AB ．8⊆AC ．{4}∈AD ．{0}⊆A答案D2．已知集合M ＝{a ＋1，－2}，N ＝{b,2}，若M ＝N ，则a ＋b ＝________.答案－1解析∵M ＝N ，1＝2，2，＝1，＝－2，∴a ＋b ＝－1.3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∩B ＝____________，A ∪(∁U B )＝____________.答案{x |2≤x ≤3}{x |－2<x ≤3}解析∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}＝{x |x ≤－2或x ≥2}，∴∁U B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}，A ∪(∁U B )＝{x |－2<x ≤3}.题型一集合的含义与表示例1(1)(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．6答案C解析A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．(2)若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________.答案0或1解析①当a －3＝－3时，a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}，②当2a －1＝－3时，a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}舍去，③当a 2－4＝－3时，a ＝±1，由②可知a ＝－1舍去，则当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，综上，a ＝0或1.教师备选若集合A ＝{x |kx 2＋x ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数k 的取值集合是________．答案，解析依题意知，方程kx 2＋x ＋1＝0有且仅有一个实数根，∴k ＝0≠0，＝1－4k ＝0，∴k ＝0或k ＝14，∴k 思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．跟踪训练1(1)已知集合A ∈N |4x －2∈ZA 中的元素个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案C解析∵4x －2∈Z ，∴x －2的取值有－4，－2，－1,1,2,4，∴x 的值分别为－2,0,1,3,4,6，又x ∈N ，故x 的值为0,1,3,4,6.故集合A 中有5个元素．(2)已知a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }，b a ，a 2023＋b 2023＝________.答案0解析∵{1，a ＋b ，a }，ba，a ≠0，∴a ＋b ＝0，∴a ＝－b ，∴{1,0，－b }＝{0，－1，b }，∴b ＝1，a ＝－1，∴a 2023＋b 2023＝0.题型二集合间的基本关系例2(1)设集合P ＝{y |y ＝x 2＋1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}，则集合M 与集合P 的关系是()A ．M ＝PB ．P ∈MC ．M PD ．PM答案D解析因为P ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R ，因此P M .(2)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析∵B ⊆A ，①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，解得m >2；②当B ≠∅m －1≤m ＋1，m －1≥－3，＋1≤4，解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．延伸探究在本例(2)中，若把B ⊆A 改为BA ，则实数m 的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，∴m >2；②当B ≠∅时，m－1≤m＋1，m－1≥－3，＋1<4m－1≤m＋1，m－1>－3，＋1≤4.解得－1≤m≤2.综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．教师备选已知M，N均为R的子集，若N∪(∁R M)＝N，则()A．M⊆N B．N⊆MC．M⊆∁R N D．∁R N⊆M答案D解析由题意知，∁R M⊆N，其Venn图如图所示，∴只有∁R N⊆M正确．思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练2(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x<0}，则满足A C⊆B的集合C的个数为()A．4B．6C．7D．8答案C解析∵A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且A C⊆B，∴集合C的所有可能为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．(2)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为________．答案0，±1解析∵M＝{－1,1}，且M∩N＝N，∴N⊆M.若N＝∅，则a＝0；若N≠∅，则N∴1a＝1或1a＝－1，∴a＝±1综上有a＝±1或a＝0.题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例3(1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，集合N＝{3,4}，则∁U(M∪N)等于()A．{5}B．{1,2}C．{3,4}D．{1,2,3,4}答案A解析方法一(先求并再求补)因为集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．又全集U＝{1,2,3,4,5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．方法二(先转化再求解)因为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)，∁U M＝{3,4,5}，∁U N＝{1,2,5}，所以∁U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．(2)集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|1<x<5}，则集合(∁R A)∩B＝________.答案{x|1<x≤4}解析A＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x<－1或x>4}，∴∁R A＝{x|－1≤x≤4}，∴(∁R A)∩B＝{x|1<x≤4}．命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)(2022·厦门模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0]B．(0,1)∪(1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)答案D解析由题意得，B ＝{x |log 2x <1}＝{x |0<x <2}，∵A ∩B 有2个子集，∴A ∩B 中的元素个数为1；∵1∈(A ∩B )，∴a ∉(A ∩B )，即a ∉B ，∴a ≤0或a ≥2，即实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |a －1≤x ≤a ＋1}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－3)∪(4，＋∞)解析A ＝{x |x 2－x －6≤0}＝{x |－2≤x ≤3}，∵A ∩B ＝∅，∴a －1>3或a ＋1<－2，即a >4或a <－3.教师备选(2022·铜陵模拟)已知A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a －1或x ≥a ＋1}，若A ∩(∁R B )≠∅，则实数a 的取值范围是()A ．1≤a ≤2B ．1<a <2C ．a ≤1或a ≥2D ．a <1或a >2答案D解析A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a －1或x ≥a ＋1}，所以∁R B ＝{x |a －1<x <a ＋1}；又A ∩(∁R B )≠∅，所以a －1<0或a ＋1>3，解得a <1或a >2，所以实数a 的取值范围是a <1或a >2.思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．跟踪训练3(1)(2021·全国甲卷)设集合M ＝{x |0<x <4}，N |13≤x ≤5M ∩N 等于()|0<x ≤13|13≤x <4C ．{x |4≤x <5}D ．{x |0<x ≤5}答案B解析因为M ＝{x |0<x <4}，N |13≤x ≤5所以M ∩N |13≤x <4(2)(2022·南通模拟)设集合A ＝{1，a ＋6，a 2}，B ＝{2a ＋1，a ＋b }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝________，b ＝________.答案22解析由题意知，4∈A ，所以a ＋6＝4或a 2＝4，当a ＋6＝4时，则a ＝－2，得A ＝{1,4,4}，故应舍去；当a 2＝4时，则a ＝2或a ＝－2(舍去)，当a ＝2时，A ＝{1,4,8}，B ＝{5,2＋b }，又4∈B ，所以2＋b ＝4，得b ＝2.所以a ＝2，b ＝2.题型四集合的新定义问题例5(1)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为()A ．15B ．16C ．20D ．21答案D解析由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.(2)若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2＝A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1＝A 2时，(A 1，A 2)与(A 2，A 1)是集合A 的同一种分拆．若集合A 有三个元素，则集合A 的不同分拆种数是________．答案27解析不妨令A ＝{1,2,3}，∵A 1∪A 2＝A ，当A 1＝∅时，A 2＝{1,2,3}，当A 1＝{1}时，A 2可为{2,3}，{1,2,3}共2种，同理A 1＝{2}，{3}时，A 2各有2种，当A 1＝{1,2}时，A 2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，同理A 1＝{1,3}，{2,3}时，A 2各有4种，当A 1＝{1,2,3}时，A 2可为A 1的子集，共8种，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(种)不同的分拆．教师备选非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若∀x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}；②{x |x 2－6x ＋1≤0}|y ＝2x，x ∈[1，4]的序号是________．答案②③解析①中，{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a 2－4，故－2<a <2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意；②中，{x |x 2－6x ＋1≤0}，即{x |3－22≤x ≤3＋22}，显然0∉A ，又13＋22≤1x ≤13－22，即3－22≤1x ≤3＋22，故1x 也在集合中，符合题意；③|y ＝2x ，x ∈[1，4]|12≤y ≤20∉A ，又12≤1y≤2，故1y 也在集合A 中，符合题意．思维升华解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．跟踪训练4对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝____________.答案{x |－3≤x <0或x >3}解析∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，∴A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}．∴A *B ＝{x |－3≤x <0或x >3}．课时精练1．(2022·天津模拟)设全集U＝{x∈N|x<6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，则∁U(A∪B)等于()A．{5}B．{0,5}C．{0,3,4,5}D．{－5，－4，－3，－2，－1,0,5}答案B解析∵集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，∴A∪B＝{1,2,3,4}，∵U＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{0,5}．2．已知集合U＝R，集合A＝{x|x＋3>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩(∁U B)等于() A．R B．(1,2]C．(1,2)D．[2，＋∞)答案C解析A＝{x|x＋3>2}＝(1，＋∞)，B＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，∴∁U B＝(－∞，2)，∴A∩(∁U B)＝(1,2)．3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M，x＋y∈M}，则集合N中的元素个数为()A．2B．3C．8D．9答案B解析由题意知，集合N＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合N的元素个数为3. 4．(2022·青岛模拟)已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1＋a2＋a3等于()A．1B．2C．3D．6答案C解析集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集为{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，则所有非空真子集的元素之和为a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a1＋a3＋a2＋a3＝3(a1＋a2＋a3)＝9，所以a 1＋a 2＋a 3＝3.5．已知集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则下列说法正确的是()①P ∪Q ＝R ；②P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}；③P ∩Q ＝{(x ，y )|x ＝0或1，y ＝0或1}；④P ∩Q 的真子集有3个．A ．①②④B ．②③④C ．②④D ．③④答案C解析＋y ＝1，2＋y 2＝1，＝1，＝0＝0，＝1，∴P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}，故②正确，③错误；又P ，Q 为点集，∴①错误；又P ∩Q 有两个元素，∴P ∩Q 有3个真子集，∴④正确．6．已知集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是()A ．a <－2B ．a ≤－2C ．a >－4D ．a ≤－4答案D 解析集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B |x ≤－a 2A ∪B ＝B 可得A ⊆B ，作出数轴如图．可知－a 2≥2，即a ≤－4.7．(2022·重庆模拟)已知全集U ＝{x ∈N |log 2x <3}，A ＝{1,2,3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B 不可能为()A ．{3,6}B ．{3,4,5}C ．{2,3,6}D ．{3,5,6}答案C 解析由log 2x <3得0<x <23，即0<x <8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，因为∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则有A∩B＝{3},3∈B；对于A选项，若B＝{3,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，A可能；对于B选项，若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B可能；对于C选项，若B＝{2,3,6}，则A∩B＝{2,3}，所以∁U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，故C不可能；对于D选项，若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D可能．8．已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B＝B，则下列关系一定正确的个数是()①A∩B＝∅；②A∩B＝B；③A∪B＝U；④(∁U B)∪A＝A.A．1B．2C．3D．4答案B解析令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁U A)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故①②均不正确；由(∁U A)∪B＝B，知(∁U A)⊆B，∴U＝A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由(∁U A)⊆B，知(∁U B)⊆A，∴(∁U B)∪A＝A，故③④均正确．9．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.答案－3解析由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}，即0,3为方程x2＋mx＝0的两个根，所以m＝－3.10．(2022·宁夏模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则下列Venn图中阴影部分的集合为________．答案{－1,2,3}解析集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3<x－1<3}＝{x∈Z|－2<x<4}＝{－1,0,1,2,3}，Venn图中阴影部分表示的集合是M∩(∁R N)＝{－1,2,3}．11．已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，则A∪B＝________.答案{－5，－2,4}解析∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，若m＝－2，则A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2,4}；若m－3＝－2，则m＝1，∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，∴A∩B＝{1，－2}(舍去)，综上，有A∪B＝{－5，－2,4}．12．已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1<x<2}，且(∁R B)∪A＝R，则实数a的取值范围是____________．答案[2，＋∞)解析由已知可得A＝(－∞，a)，∁R B＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∵(∁R B)∪A＝R，∴a≥2.13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.答案－11解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.14．对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有___人．答案18解析赞成A 的人数为40×35＝24，赞成B 的人数为24＋3＝27，设对A ，B 都赞成的学生有x 人，则13x ＋1＋27－x ＋x ＋24－x ＝40，解得x ＝18.15．若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是“伙伴关系”集合，集合M 1，0，13，12，1，2，3，的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为()A ．15B ．16C ．32D ．256答案A 解析由题意知，满足“伙伴关系”的集合由以下元素构成：－1,1，12，2，13，3，其中12和2，13和3必须同时出现，所有满足条件的集合个数为24－1＝15.16．已知集合A ＝{x |8<x <10}，设集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，若(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，则实数a 的取值范围是______________．答案－∞，92解析当B ＝∅时，2a －1≤a ，解得a ≤1，此时∁U B ＝U ，(∁U B )∩A ＝U ∩A ＝{x |8<x <9}，符合题意；当B ≠∅时，2a －1>a ，解得a >1，因为集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，所以∁U B ＝{x |0<x ≤a 或2a －1≤x <9}，因为(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，所以2a －1≤8，解得a ≤92，所以B≠∅时，1<a≤9 2，综上所述，实数a ∞，92.。
高考数学第一轮复习重点总结（2篇）
高考数学第一轮复习重点总结数学的备考重点在于巩固基础和掌握解题技巧。
因此复习可分为两个阶段。
一是逐个知识点复习，巩固基础阶段；这一阶段的要点是：全面复习落实双基；解题规范，训练思维；掌握方法，运用思想；重视运算，提高能力；掌握技巧，提高速度。
二是精选习题，提高解题技能阶段。
在逐个知识点复习过程中，要紧抓课本，深刻理解和掌握各种数学概念、定理、性质、公式、法则以及各部分知识间的内在联系和规律，并进行归纳、类比，达到沟通、串联，形成合理的认识结构及知识网络。
复习题选择要紧扣大纲，要具有典型性、综合性。
要有利于双基化的掌握和巩固，也要利于能力的提高。
同时，探索“一题多解”和“多题一解”是培养创造性思维及综合运用能力的重要途径。
具体来说，对基础知识、基本技能、基本方法的复习，应立足于巩固、熟练、综合。
(____)将相近、易混的基础知识，进行横向比较以达到准确理解和掌握知识的目的。
(____)及时、认真地做好基础知识的查漏补缺，通过做相关习题或以前练习试卷中解错的题，找出自己知识和技能上的薄弱环节，然后有针对性地进行复习和巩固。
(3)通过综合性的练习，使基础知识、基本技能和方法得到巩固。
要注重数学与生产生活以及相关学科的联系，提高数学的综合应用能力。
熟悉各种不同题型的特点和常用解法及求解要求。
最后张老师总结说：提高能力要通过综合运用数学知识、数学思想方法，分析、解决问题能力的训练来实现。
(____)要挖掘知识之间的内在联系，形成知识网络。
立足于高中数学的整体，挖掘各章之间的横向联系，形成知识的横向网络。
(____)重视数学基本思想、方法的掌握和运用。
在做每一道综合练习题时，都要有意识地运用数学思想促使问题由已知向未知转化，由繁向简转化，寻找出由已知向未知的通道，切忌盲目性。
(3)通过解题实践，提高综合运用数学知识分析、解决问题的能力。
在求解综合题时，应首先搞清楚题中所涉及的各知识点的概念及相关知识，回忆求解(证)该种类型的习题的常规解法，确定求解(证)的关键和难点，然后，以主要精力去探索解决难点的方法。
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数学抽象
直观想象
获得数学概念和规则，提出数学命题与模型， 形成数学方法与思想，认识数学结构与体系.
建立数与形的联系，利用几何图形描述问题， 借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物.
逻辑推理
掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题， 探索和表述论证过程，理解命题体系， 有逻辑地表达与交流
数学学科 核心素养
备考2020年三角函数
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高考常考三角函数题型：
1.三角函数基本公式（同角三角函数关系、和差角 公式、二倍角公式，半角公式，三角恒等变换）； 2.三角函数图像及其性质（最值、周期性、对称性、 单调性、奇偶性）； 3.辅助角公式的熟练运用以及辅助角的意义； 4.三角形形状的判定（按角分类、按边分类）； 5.三角形面积求值以及最值； 6.三角形中边和角的大小求值以及最值； 7.正、余弦定理公式的灵活运用；
43
精选习题，注重综合 。复习中要选有一定的代表性、层次 性和变式性的题目去训练学生综合分析问题的能力。 要上好复习课和讲评课。复习课，既讲题也讲法，注重知识的 梳理，形成条理、系统的结构框架，章节过后学生头脑中要清 晰.
要讲知识的重、难点和学生容易错的地方，要引导学生对 知识横向推广，纵向深入。复习不等于重复也不等于单纯的解 题，应温故知新，温故求新，以题目论方法，利用变式，深化 提高。讲出题目的价值，讲出思维的过程 ，甚至是学生在解题 中的失败的教训和走过的弯路。功夫花在如何提高学生的分析 问题和解决问题的能力上 讲评课要紧紧的抓住典型的题目讲 评，凡是出错率高的题目必须讲，必须再练习。讲解时要注意 从学生出错的根源上剖析透彻 ，彻底根治。
精研考题 科学备考
——高三数学一轮复习备考策略
衡水市第十三中学：王 宁
相互学习 取长补短 友好交流 共谋发展
一、研究高考真题，明确备考方向 二、深化备考策略，落实科学备考
一、考题分析以及备考经验 二、经典考题、考点 三、我校备考的一些做法
4
从五年课标卷总结得： 考题就是学生数学素养的写照
数学建模
发现和提出问题，建立和求解模型， 检验和完善模型，分析和解决问题.
数学运算
理解运算对象，掌握运算法则，探索运算思路， 选择运算方法，设计运算程式，求得运算结果.
数据分析
收集数据，整理数据，提取信息，构建模型， 进行推断，获得结论.
数学能力、数学思想可以看成是数学核心素养的具体体现
关键能力
能力层次
2
由 f x 0, 得 1 cosx 1, 即 2k x 2k , k Z,
2
3
3
由 f x 0, 得 1 cos x 1 ,
2
即 2k x 2k 或2k x 2k , k Z,
3
3
所以当 x 2k k Z 时， f x 取得最小值，且
3
f xmin
一轮复习指导思想： 夯实基础，知识与并重，注意数学核心素养
的初步涉及。 一轮复习的任务：
正确理解、灵活运用基本概念的内涵和外延 ；
熟练地掌握和运用相关的公式与定理； 掌握并运用常规解题技能和方法. 一轮复习的目的： 基础知识体系化；各章内容综合化； 基本方法类型化；解题步骤规范化.
二、三轮复习与一轮复习的区别
1.周髀算经；
2.必修2第30页：祖暅原理
2.九章算术；
3.必修2第124页：坐标法与机器证明（吴文俊） 3.数学九章；
4.必修3第36页：《九章算术》更相减损术
4.勾股定理； 国内古名著
5.必修3第37页：秦九韶算法
5.祖暅原理……
6.必修3第45页：割圆术 7.必修5第21页：海伦和秦九韶 8.必修5第48页：一尺之锤，日取其半……
知识立意
问题立意
能力立意
坚持以能力立意命题，丰富能力内涵
就是首先确定在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求， 选择适当的考查内容，设计适当的设问方式.以能力立意命题，不
仅是命题方式的变化，更是命题理念和原则的变化.
对出题人重要 能力立意也是要通过题目和知识点来体现, 对老师来讲要找准对应的题目来提升学生的对应 能力。
思考世界：
3.会用数学的语言
表达世界
知识立意
问题立意
能力立意
坚持以能力立意命题，丰富能力内涵
就是首先确定在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求， 选择适当的考查内容，设计适当的设问方式.以能力立意命题，不
仅是命题方式的变化，更是命题理念和原则的变化.
对出题人重要 能力立意也是要通过题目和知识点来体现, 对老师来讲要找准对应的题目来提升学生的对应 能力。
一轮复习的时间： 7月左右开始，至第二年 1月底结束 二轮复习的时间：第二年 2月左右开始，至4月底结束 三轮复习的时间： 5月左右开始，高考前结束
各轮复习对解题的要求：
会解题,解对题
会考试,考好试 能得分,得高分
基础知识结构 基本解题技能 基本学科素养
解题能力 解题质量 解题速度 规范解题
考试能力 考试素质 考试技巧 规范应试
预计在2020年高考数学题会更加注重数学文化，体现育人导向。
课本中的数学文化-----数学的科学、文化价值
数学文化单独拿出来提出，主要是一个导向，一个标杆 强调数学文化不单是一种知识和方法，还是人类共享的文化； 数学文化渗透于主干知识考查，难度不大，不安排单独训练专题。
1.必修1第91页：中外历史上的方程求解
能力怎么变成“素养”?
安全驾驶 礼貌行车 尊重生命
关键能力 必备品格 价值观念
（1）空间想象 （2）抽象概括 （3）推理论证 （4）运算求解 （5）数据处理
两 （1）应用意识 个
意 识
（2）创新意识
实践能力
1.会用数学的眼睛
观察世界：
思维能力
2.会用数学的思维
备考2020年三角函数
三角形中的三条重要的线：
f 2k
2sin 2k
3
sin 2 2k
3
3 3 . 3 2
备考2020年三角函数
【解法 2】妙用“平均值不等式”！
因为 f x 2sin x sin 2x 2sin x1 cos x ，
所以 f 2 x 22 sin 2 x1 cos x2 41 cos x1 cos x3
复习中的注意点：
所谓“会了”，就是听了老师的讲解之后提炼、升 华成理性认识，存下规律性的东西，在新问题、新 试题时能举一反三。
关注教材的基础作用和示范作用，注意挖掘课本习 题的复习功能。
使学生自主养成良好的学习习惯：认真仔细阅读题 目，规范解题格式，主动对知识、方法进行归纳、 概括、总结等，力争会做，就能得满分。
一轮复习中还要加强构建思维导图
每个专题讲解结束后，要引导学生进行知识梳理、方法提 炼、思想总结，将知识与方法连成片、形成网，构造出自己的知识 体系。讲课时要根据学生大脑中已有的知识经验，开始你的教学， 要站在学生的角度去上课：想学生所乐、想学生所想、想学生所惑、 想学生所难，引导学生做到对基本知识与方法入脑入心。
备考2020年三角函数
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【解法 1】导数法
因为 f x 2sin x sin 2x ，
所以 f x 2 cos x 2 cos 2x 4 cos2 x 2 cos x 2 4 cos x 1 cos x 1,
能力要求
逻辑思维能力
会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、 归纳和类比进行推理；能准确、清晰、有条理地进行表述。
运算求解能力
会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件， 寻找与设计合理、简捷的运算途径；根据要求对数据进行估计和近似计算。
能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析 空间想象能力 出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形
备考2020年三角函数 〖解题感悟〗在数学解题过程中，解决问题以后，再回过头来 对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究，是非常必要的 一个重要环节．是对提高学生分析和解决问题能力最有意义的阶 段．解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果，真正的目的 是为了提高学生分析和解决问题的能力，培养学生的创造精神， 而这一教学目的恰恰主要通过回顾解题的过程来实现．所以，在 数学教学中要十分重视解题的回顾，师生一起，或学生独立解题 后对解题的结果和解法进行细致的分析，对解题的主要思想、关 键因素和同一类型问题的解法进行概括，可以帮助学生从解题中 总结出数学的基本思想和通性通法并加以掌握，并将它们用到新 的问题中去，成为以后分析和解决问题的有力武器．
习题处理要做到：重点讲评、纠错讲评和辩论 式讲评相结合，或者让学生讲题，给学生排疑 解难，帮助学生获得成功。
一轮复习中要注意：重温课本，补缺查漏（补充数学发展历史， 增厚数学文化底蕴）
回归教材会解决考纲对能力内涵方面的基础性、应用性和创 新性的要求，解决学生对数学文化的初步感知，进一步强化数学 学科核心素养，聚力共性通法。针对考纲的变化，高中阶段要重 视“数学文化”教学。近两年高考已考了秦九韶多项式和《九章 算术》中的“更相减损术”，预计今年高考试卷可能会有杨辉三 角、祖暅原理、割圆术等相关内容出现。教师可以参考《周髀算 经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《夏侯阳 算经》《缀术》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《五经算 术》、《缉古算经》等算经十书及《四元玉鉴》、《算学启蒙》、 《数书九章》、《测圆海镜》等古典数学名著。