高考数学-等差数列、等比数列与数列求和

（3）若数列 是等差数列， 是其前n项的和， ，那么 ， ， 成数列
（4）{an}是等差数列则{Sn/n}也是等差数列，首项与 相同，公差是 的1/2
2．数列求和的常用方法
(1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝ ＝na1＋ d；
②等比数列的前n项和公式：
(2)等差数列{bn}的各项为正，其前和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
【考点3】裂项相消法求和
【例3】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S ＝an .
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝ ，求{bn}的前n项和Tn.
[方法总结]使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
(1)若qk＝2(k∈N*)，求a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1；
(2)若对任意的k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2成等差数列，其公差为dk，设bk＝ .
求证：{bk}是等差数列，并指出其公差；
【变式】数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
15．已知数列{an}是首项为a1＝ ，公比q＝ 的等比数列，设bn＋2＝3log an(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝an·bn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
16．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．
【变式】在数列{an}中，an＝ ＋ ＋…＋ ，又bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Sn.
【考点4】错位相减法求和
【例4】设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝ ，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项；
(2)设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Sn.
【变式】(2011·辽宁卷)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
11．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列 的前n项和Sn＝________.
14.(2012·盐城市二模)在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，记数列 的前n项和为Sn，若S2n＋1－Sn≤ 对n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为________．
1．(2012·辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列，且a ＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
4．(2012·重庆卷)已知数列{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．
(2)是否存在两个等比数列{an}，{bn}，使得b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列？若存在，求{an}，{bn}的通项公式；若不存在，说明理由．
【变式】(2012·苏州市自主学习调查)已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，点(an，Sn)在曲线(x＋1)2＝4y上．
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.
【考点6】倒序相加法求和
例3已知函数f(x)＝ (x∈R)．
(1)证明：f(x)＋f(1－x)＝ ；
(2)若数列{an}的通项公式为an＝f( )(m∈N*，n＝1,2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm；
【高考经典题】
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列 的前n项和．
【考点5】分组转化法求和
【例5】等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)求数列{an}的通项公式；
等差、等比数列与数列求和
等差、等比数列与数列求和
【基础知识】
1．等差数列与等比数列
(1)等差数列与等比数列的联系
等差数列{an}中的加、减、乘、除运算与等比数列{an}中的乘、除、乘方、开方对应．
(2)等差数列与等比数列的探求
要判定一个数列是等差数列或等比数列，可用定义法或等差(比)中项法、而要说明一个数列不是等差数列或等比数列，只要说明某连续三项不成等差数列或等比数列即可．
(4)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(5)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．
(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
【高考命题】
一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
三个裂项公式
(1) ＝ － ；
(2) ＝ ；
(3) ＝ －
（4） 为等差数列，公差为d，则 =
【小测】
1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则 ＝________.
3．(2012·无锡市第一学期期末考试)设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝2am，则m＝________.
4．数列{an}是等差数列，若 ＜－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝________.
【考点1】等差数列与等比数列的综合
【例1】(2011·江西卷)(1)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数列{an}唯一，求a的值；
7．(2012·常州一中期中)已知数列{an}与{2an＋3}均为等比数列，且a1＝1，则a168＝________.
9．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{an＋bn}的前20项的和为________．
10．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a ＋a ＋…＋a ＝________.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足b1＝3，令bn＋1＝abn，设数列{bn}的前n项和为Tn，求数列{Tn－6n}中最小项的值．
【考点2】等差数列与等比数列的判定或证明
【例2】(2012·盐城调研二)在数列{an}中，a1＝1，且对任意的k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等比数列，其公比为qk.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}对n∈N*均有 ＋ ＋…＋ ＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 013.
Sn＝
(2)倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．