《杨辉三角》教案1

《杨辉三角》教案1

【教学目标】

1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；

2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；

3.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。

【教学重难点】

教学重点：二项式系数的性质及其应用；

教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

【教学过程】

一、复习引入

1、二项式定理：________________________________________________；

二项式系数：______________________________________________；

2、( 1+x) n=________________________________________________；

二、杨辉三角的来历及规律

练一练：把( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式：

(a+b)1 …………………………………………………1 1

(a+b)2 (121)

(a+b)3 (1331)

(a+b)4 (14641)

(a+b)5 (15101051)

(a+b)6 (1615201561)

……………………………

爱国教育，杨辉三角因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多。“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？

蕴含规律：1、同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；

2、相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。

3、设表中任一不为1的数为C r n 1+，那么它肩上的两个数分别为C 1-r n 及C r n ，即C r n 1+= C 1-r n +C r n ，

对于( a+b) n 展开式的二项式系数0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ，从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，令f(r)= r n C ，定义域为{0，1，2，…，n}

画一画：当n=6时，作出函数f （r ）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。

三、二项式系数的重要性质

1、对称性： 二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。即m n C =m n n C -

练习：求(a+b)6的展开式中的倒数第3项的二项式系数。

答案：15.

2、增减性与最大值

由于

=-+-⋯--=

k k k n n n n C k n ！）（)1(1)2)(1(k

k n C k n )1(1+-- 所以k n C 相对于1-k n C 增减情况由k k n )1(+-决定，由

k k n )1(+->121+

1+

当n 是偶数时，中间的一项2n n C

取得最大值； 当n 是奇数时，中间的两项21-n n C 和21+n n C 相等，且同时取得最大值。 3、各项二项式系数的和

( 1+x) n =0n C +1n C x+2n C x 2+…+r n C x r +…+n

n C x n ,

思考： 0n C +1n C +2n C +…+n n C =？

由于x 为任意实数，上式中令x=1，则得：2n =0n C +1n C +2n C +…+n n C

说明：这种方法是赋值法，是解决二项展开系数有关问题的重要手段。