北师大版八年级数学上册 第二章 实数 单元检测试题(含答案)

第二章 实数 单元检测试题
（满分120分；时间：120分钟）
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）
1. 给出下列实数：227、−√25、√93、√1.44、π2、0.1.6.、−0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
2. 计算：√53÷√13的结果是（ ） A.√3
B.√5
C.5
D.√53 3. 若a 2的算术平方根是4，则a 为（ ）
A.16
B.4
C.±2
D.±4
4. 把
√x+y 分母有理化得（ ） A.√x+y x+y
B.√x +y
C.(x +y)√x +y
D.1
5. 阅读下面的推理过程： ①：因为2√3=√22×3=√12②：所以−2√3=√(−2)2×3=√12 ③：所以2√3=−2√3④：所以2=−2以上推理过程中的错误出现在第几步（ ）
A.①
B.②
C.③
D.④
6. 下列说法正确的是（ ）
A.125的平方根是15
B.−9是81的一个平方根
C.0.2是0.4的算术平方根
D.负数没有立方根
7. 若a =√3+2，b =√3−2，那么a 和b 的关系是（ ） A.a =b
B.a +b =0
C.ab =1
D.ab =−1
8. √1+√2+√2+√3⋯√99+√100的整数部分是（ ） A.3
B.5
C.9
D.6
9. 下列说法正确的是（ ）
A.(−4)2的平方根是−4
B.32的算术平方根是+3
C.√−33没有意义
D.√503
小于4 10. √6−√35√6+√35的值为（ ）
A.√7+√5
B.√14
C.12(√7−√5)
D.1
二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ， ）
11. a 、b 是两个连续的自然数，若a <√17<b ，则a +b 的平方根是________． 12. 比较大小：−
√32________−√73． 13. 计算：
√40+√5√5=________．
14. 已知数轴上一点A 到原点O 的距离等于√5，那么点A 所表示的数是________．
15. 已知A =√n −√n −1，B =√n −2−√n −3(n ≥3)，请用计算器计算当n ≥3时，A 、B 的若干个值，并由此归纳出当n ≥3时，A 、B 间的大小关系为________．
=________．
16. 已知x=√3，xy=1，则x
y
17. 已知：10+√5=x+y，其中x是整数，且0<y<1，则x−y=________．
3=4，且(y−2x+1)2+√z−3=0，则x+y+z的值是________．
18. 已知√x
三、解答题（本题共计7 小题，共计66分，）
19. 如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数是−√2，设点B表示的数是m．
（1）求m的值；
（2）|m−1|+m2的值．
(3+√7)的整数部分为a，小数部分为b，求2a2+(1+√7)ab的值．
20. 若1
2
21. 把下列各数分别填入相应的集合里．
−5，−2.626 626 662⋯，0，π，−7
，0.12，|−6|，−23−(−10)．
4
(1)负数集合：{ ...}；
(2)非负整数集合：{ ...}；
(3)有理数集合：{ ...}；
(4)无理数集合：{ ...}．
22. 已知a、b是有理数，且(1
3+√3
2
)a+(1
4
−√3
12
)b−21
4
−19
20
√3=0，求a、b的值．
23. 已知y=√2x−6+√3−x−1，求x+y的平方根．
24. 已知a，b在数轴上的位置，如图所示，试化简：√a2+√b2−√(a−b)2−√(a+b)2．
25. 观察下列等式：√1+1
12+1
22
=1+1−1
2
，√1+1
22
+1
32
=1+1
2
−1
3
，√1+1
32
+1
42
=
1+1
3−1
4
，…
（1）猜想并写出第n个等式；（2）证明你写出的等式的正确性．
参考答案与试题解析
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.
【答案】
B
【解答】
−√25=−5，√1.44=1.2，
实数：227、−√25、√93、√1.44、π2、0.1.6.
、−0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有√93、π2、−0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）共3个． 2.
【答案】
D
【解答】
解：√53÷√13=
√153×√33=√53． 故选：D ．
3.
【答案】
D
【解答】
解：∵ a 2的算术平方根是4，
∵ √a 2=4，
∵ a =±4，
故选D ．
4.
【答案】
B
【解答】
解：原式=
(x+y)√x+y x+y =√x +y ，故选B ．
5.
【答案】
B
【解答】
解：错在第(2)步．正确的是−2√3=−√22×3=−√12． 故选B ．
6.
【答案】
B
【解答】
∵ 125的平方根是±15，
∵ 选项A 不符合题意；
∵ −9是81的一个平方根，
∵ 选项B 符合题意；
∵ (0.2)2＝0.04，0.2不是0.4的算术平方根，
∵ 选项C 不符合题意；
∵ 负数有立方根，
∵ 选项D 不符合题意．
7.
【答案】
B
【解答】
解：a =√3−2(√3+2)(√3−2) =
√3−23−4 =
√3−2−1 =2−√3，
∵ a +b =2−√3+√3−2=0，
∵ B 正确，故选B ．
8.
【答案】
C
【解答】
解：∵ √2+√1=√2−1，√2+√3=√3−√2，⋯√99+√100=−√99+√100， ∵ 原式=√2−1+√3−√2+⋯−√99+√100=−1+10=9. 故选C .
9.
【答案】
D
【解答】
解：A.(−4)2=16的平方根是±4，故本选项错误；
B .32的平方的算数平方根是3，故本选项错误；
C .√−33有意义，故本选项错误；
D .∵ √503<√643，即√503<4，故本选项正确.
故选D .
10.
【答案】
B
【解答】
解：设y =√6−√35+√6+√35，
y 2=(6−√35)+(6+√35)+2√(6−√35)(6+√35)，
=12+2=14，
∵ y >0，∵ y =√14．
故选B ．
二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ） 11.
【答案】
±3
【解答】
解：∵ a 、b 是两个连续的自然数，a <√17<b ，
∵ 4<√17<5，
∵ a =4，b =5，
则a +b =9，故a +b 的平方根是：±3．
故答案为：±3．
12.
【答案】
>
【解答】
解：∵ (−
√32)2=34，(−√73)2=79，34<79， ∵ −√32>−√73
， 故答案为：>．
13.
【答案】
2√2+1【解答】
解：原式=√40
5+√5
5
=2√2+1．
故答案为：2√2+1．
14.
【答案】
±√5
【解答】
解：∵ 数轴上一点A到原点O的距离等于√5，
∵ OA=√5，即点A所表示的数的绝对值为√5，
∵ 点A所表示的数是±√5．
故答案为±√5．
15.
【答案】
A<B
【解答】
解：n=3时，A=√3−√2≈0.3178，B=1−0=1，
∵ A<B，
n=4时，A=√4−√3≈0.2679，B=√2−1≈0.4142，
∵ A<B，
n=5时，A=√5−√4≈0.2361，B=√3−√2≈0.3178，
∵ A<B，
n=6时，A=√6−√5≈0.2134，B=√4−√3≈0.2679，
A<B，
以此类推，随着n的增多，A在不断变小，而B的变化比A慢两个数，∵ 当n≥3时，A、B间的大小关系为：A<B．
故答案为：A<B．
16.
【答案】
3
【解答】
解：∵ x=√3，xy=1，
∵ x
y =x2
xy
=(√3)2
1
=3．
故答案为：3．17.
【答案】
14−√5【解答】
解：2<√5<3，
得12<10+√5<13，
x=12，y=10+√5−12=√5−2，
x−y=12−(√5−2)=14−√5，
故答案为：14−√5．
18.
【答案】
194【解答】
解：∵ √x
3=4，
∵ x=64，
根据题意得：{y−2x+1=0
z−3=0
x=64
，
解得：{x=64
y=127
z=3
，
则x+y+z=194．
故答案是：194．
三、解答题（本题共计7 小题，每题10 分，共计70分）
19.
【答案】
解：（1）∵ 蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，
∵ 点B所表示的数比点A表示的数大2，
∵ 点A表示−√2，点B所表示的数为m，
∵ m=−√2+2；
（2）|m−1|+m2
=|−√2+2−1|+(−√2+2)2
=√2−1+2+4−4√2
=5−3√2．
【解答】
解：（1）∵ 蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，
∵ 点B所表示的数比点A表示的数大2，
∵ 点A表示−√2，点B所表示的数为m，
∵ m=−√2+2；
（2）|m−1|+m2
=|−√2+2−1|+(−√2+2)2
=√2−1+2+4−4√2
=5−3√2．
20.
【答案】
解：∵ 2<√7<3
1
2
(3+√7)的整数部分为a，小数部分为b，
∵ a=2，b=1
2(3+√7)−2=√7
2
−1
2
，
∵ 2a2+(1+√7)ab=2×4+2(1+√7)(√7
2−1
2
)=8+6=14．
【解答】
解：∵ 2<√7<3
1
2
(3+√7)的整数部分为a，小数部分为b，
∵ a=2，b=1
2(3+√7)−2=√7
2
−1
2
，
∵ 2a2+(1+√7)ab=2×4+2(1+√7)(√7
2−1
2
)=8+6=14．
21.
【答案】
解：(1)负数集合{−5, −2.626 626 662⋯, −7
4
}；
(2)非负整数集合{ 0, |−6|, −23−(−10)}；
(3)有理数集合{−5, 0, −7
4
, 0.12, |−6|, −23−(−10)}；
(4)无理数集合{−2.626 626 662⋯, π}；
【解答】
解：(1)负数集合{−5, −2.626 626 662⋯, −7
4
}；
(2)非负整数集合{ 0, |−6|, −23−(−10)}；
(3)有理数集合{−5, 0, −7
4
, 0.12, |−6|, −23−(−10)}；
(4)无理数集合{−2.626 626 662⋯, π}；
22.
【答案】
解：已知等式整理得：(13a +14b −214)+(12a −112b −1920)√3=0 因为a ，b 是有理数，所以：13a +14b −214=0且12a −112b −1920=0
解得：{a =335b =415
【解答】
解：已知等式整理得：(13a +14b −214)+(12a −112b −1920)√3=0 因为a ，b 是有理数，所以：13a +14b −214=0且12a −112b −1920=0
解得：{a =335b =415
23.
【答案】
解：由题意得，2x −6≥0且3−x ≥0，
所以，x ≥3且x ≤3，
所以，x =3，
y =−1，
x +y =3+(−1)=2，
所以，x +y 的平方根是±√2．
【解答】
解：由题意得，2x −6≥0且3−x ≥0，
所以，x ≥3且x ≤3，
所以，x =3，
y =−1，
x +y =3+(−1)=2，
所以，x +y 的平方根是±√2．
24.
【答案】
解：∵ 从数轴可知a <0<b ，|a|<|b|，
∵ 原式=|a|+|b|−|a −b|−|a +b|
=−a +b −(b −a)−(a +b)
=−a+b−b+a−a−b
=−a−b．
【解答】
解：∵ 从数轴可知a<0<b，|a|<|b|，
∵ 原式=|a|+|b|−|a−b|−|a+b|
=−a+b−(b−a)−(a+b)
=−a+b−b+a−a−b
=−a−b．
25.
【答案】
解：（1）猜想：√1+1
n2+1
(n+1)2
=1+1
n
−1
n+1
；
（2）证明：∵ 1+1
n2+1
(n+1)2
=1+[1
n
−1
(n+1)
]2+2×1
n(n+1)
=1+[1
n
−
1
(n+1)
]2+2[
1
n
−
1
(n+1)
]=[1+
1
n
−
1
(n+1)
]2
∵ √1+1
n2+1
(n+1)2
=1+1
n
−1
n+1
．
【解答】
解：（1）猜想：√1+1
n2+1
(n+1)2
=1+1
n
−1
n+1
；
（2）证明：∵ 1+1
n2+1
(n+1)2
=1+[1
n
−1
(n+1)
]2+2×1
n(n+1)
=1+[1
n
−
1
(n+1)
]2+2[
1
n
−
1
(n+1)
]=[1+
1
n
−
1
(n+1)
]2
∵ √1+
n2+
(n+1)2
=1+1
n
−1
n+1
．。