4坐标系中的旋转变换(2012年)
全国各地2012年中考数学分类解析 专题54 图形的旋转变换
2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题54：图形的旋转变换一、选择题1. （2012天津市3分）将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转900，所得图形一定与原图形重合的是【 】（A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）正方形 【答案】D 。
【考点】旋转对称图形【分析】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形。
故选D 。
2. （2012广东佛山3分）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】A ．πB ．34π D ．1112π 【答案】D 。
【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。
【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA 1、 BCD 和△ACD 计算即可：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，∴BC=12AB=1，∠B=90°－∠BAC=60°。
∴AC∴ABC 1S BC AC 2∆=⨯⨯=设点B 扫过的路线与AB 的交点为D ，连接CD ， ∵BC=DC，∴△BCD 是等边三角形。
∴BD=CD=1。
∴点D 是AB 的中点。
∴ACD ABC 11S S 22∆∆===S 。
∴1ACD ACA BCD ABC S S S ∆∆=++扇形扇形的面扫过积26013113604612ππππ⨯⨯=++=++=+故选D 。
3. （2012广东汕头4分）如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是【 】A ．110° B．80° C．40° D．30° 【答案】B 。
旋转坐标轴的坐标变换公式
旋转坐标轴的坐标变换公式
在二维平面上旋转坐标轴,可以通过旋转坐标变换公式将旧坐标系下的点(x,y)转化为新坐标系下的点(x',y')。
假设旋转角度为θ(弧度制),正旋转方向为逆时针方向,则坐标变换公式为:
x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)
y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)
反过来,如果已知新坐标系下的点(x',y'),想要求出旧坐标系下的点(x,y),可以使用逆变换公式:
x = x' * cos(θ) + y' * sin(θ)
y = -x' * sin(θ) + y' * cos(θ)
需要注意的是,上述公式适用于绕原点(0,0)旋转坐标轴的情况。
如果绕其他点旋转,还需先将旋转中心平移到原点,进行坐标变换计算后,再将结果平移回原位置。
坐标旋转变换在数学、物理、计算机图形学等许多领域有着广泛的应用。
掌握了旋转坐标变换公式,可以方便地在不同坐标系之间进行数据转换和处理。
平面向量的坐标变换和坐标旋转
平面向量的坐标变换和坐标旋转在二维平面上，平面向量的坐标变换和坐标旋转是数学中重要的概念和技巧。
通过变换和旋转，我们可以改变向量在平面上的位置和方向，从而得到新的向量。
本文将讨论平面向量的坐标变换和坐标旋转的原理和应用。
一、平面向量的坐标变换平面向量的坐标变换是指将一个向量的坐标表示从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。
这种变换常用于解决不同坐标系下的向量运算和几何问题。
假设有一个平面向量A，它在坐标系A下的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B下的坐标表示为(Bx, By)。
我们需要将向量A的坐标从坐标系A转换到坐标系B下。
设坐标系A的基向量为{i_i, i_i}，坐标系B的基向量为{i_i, i_i}。
坐标变换的关键在于找到从基向量{i_i, i_i}到基向量{i_i, i_i}的转换矩阵。
转换矩阵i的列向量就是基向量{i_i, i_i}在坐标系A下的坐标表示。
假设i_i在坐标系A下的坐标表示为(i_ii, i_ii)，i_i在坐标系A下的坐标表示为(i_ii, i_ii)。
则转换矩阵i可以表示为：i = [(i_ii, i_ii), (i_ii, i_ii)]那么向量A在坐标系B下的坐标表示可以通过以下运算得到：(Bx, By) = i * (Ax, Ay)这样，我们就完成了向量A的坐标变换。
二、平面向量的坐标旋转坐标旋转是指在平面上绕一个固定点进行旋转变换的过程。
对于平面向量的坐标旋转，我们常用旋转矩阵来描述旋转的规律。
以逆时针旋转为正方向，设旋转角度为θ。
对于一个向量A，它在坐标系A下的坐标表示为(Ax, Ay)。
我们需要将向量A绕原点逆时针旋转θ角度后的坐标表示为(Bx, By)。
旋转后的坐标可以通过以下公式计算得到：Bx = Ax * cosθ - Ay * sinθBy = Ax * sinθ + Ay * cosθ这样，我们就得到了向量A在旋转后的坐标表示。
三、坐标变换与坐标旋转的应用平面向量的坐标变换和坐标旋转在几何问题和计算机图形学中有广泛的应用。
坐标系变换的方式
坐标系变换的方式坐标系变换是一个在空间中进行定位和测量的重要工具和技术。
它允许我们通过旋转、平移、缩放等操作，将一个坐标系的点映射到另一个坐标系中，以便更好地描述和分析物体的位置和运动。
在三维空间中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述点的位置。
笛卡尔坐标系由三个相互垂直的轴组成：x轴、y轴和z轴。
每个点都可以用一个(x, y, z)的三维向量来表示。
然而，在实际问题中，我们可能需要使用不同的坐标系来描述同一个点，这就需要进行坐标系变换。
坐标系变换可以通过矩阵运算来实现。
矩阵是一个二维数组，可以表示一组线性方程。
在坐标系变换中，我们使用变换矩阵来描述从一个坐标系到另一个坐标系的映射关系。
变换矩阵可以包括旋转、平移和缩放的操作，它们分别对应着不同的矩阵。
首先，我们来看旋转变换。
旋转变换可以使一个坐标系绕某个轴旋转一定的角度。
对于二维空间中的点来说，旋转变换可以通过一个二阶方阵来实现。
对于三维空间中的点来说，旋转变换可以通过一个三阶方阵来实现。
旋转变换矩阵的选择取决于旋转的轴和角度。
其次，我们来看平移变换。
平移变换可以使一个坐标系在三维空间中沿某个方向移动一定的距离。
平移变换只涉及到坐标的加减运算，不涉及到乘法运算。
因此，平移变换矩阵是一个特殊的矩阵，它的最后一列表示了平移的距离。
最后，我们来看缩放变换。
缩放变换可以使一个坐标系在各个方向上按照一定比例进行拉伸或压缩。
缩放变换矩阵是一个对角矩阵，对角线上的元素表示各个方向上的缩放比例。
除了上述几种变换方式，还有镜像变换、剪切变换等其他类型的坐标系变换方式。
这些变换方式的实现都需要使用不同的矩阵运算。
坐标系变换在许多领域中都有重要的应用，特别是在计算机图形学、机器人学和计算机视觉等领域。
在计算机图形学中，我们可以通过坐标系变换来实现三维模型的旋转、平移和缩放等操作。
在机器人学中，我们可以通过坐标系变换来描述机器人的位置和姿态。
在计算机视觉中，我们可以通过坐标系变换来对图像进行校正和矫正。
旋转作图与坐标系中的旋转变换(经典导学案)
《23.1.2旋转作图与坐标系中的旋转变换》一、学习目标1.能按要求作出简单平面图形旋转后的图形.2.能通过图形的旋转设计图案.二、导学指导与检测导学导学检测及课堂展示阅读教材第60页例题完成右边的学习内容1.教材第60页例题自学参考提纲：①因为A是旋转中心，所以A点的对应点是.②根据正方形的性质：AD＝AB，∠OAB＝90°，所以点D的对应点是.③因为旋转前、后的两个图形全等，所以本例根据三角形全等的判定方法.作出△ADE的对应图形为..④E点的对应点E′，还有别的方法作出来吗？（1）作一个图形旋转后的图形，关键是作出对应点，并按原图的顺序依次连接各对应点.（2）在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABP 逆时针旋转，画出旋转后的图形.三．巩固诊断一、基础巩固（70分）1.(10分) 将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A B C D2.(10分) 数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁3.(10分) 如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC=120°）绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC=∠C1．4.(20分) 分别画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°和180°后的图形.5.(20分)把图中的△ABC 作下列旋转:（1）以C 为中心，把这个三角形顺时针旋转60°；（2）在△ABC 外任取一点O 为中心，把这个三角形顺时针旋转120°.二、综合应用（20分）6.(10分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C 为旋转中心，将△ABC 旋转到△A′B′C 的位置，其中A′、B′分别是A 、B 的对应点，且点B 在斜边A′B′上，直角边CA′交AB 于点D ，则旋转角等于（ ）A.70°B.80°C.60°D.50°7.(10分)右图中的风车图案，可以由哪个基本的图形，经过什么样的旋转得到？ABCC三、拓展延伸（10分）8.(10分) 如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，点D在边BC上，BD=2CD．△ABC绕着点D顺时针旋转一定角度后，点B恰好落在初始△ABC的边上，求旋转角α（0°＜α＜180°）的度数.四、堂清、日清记录堂清日清今日之事今日毕日积月累成大器课堂反思：。
坐标旋转变换公式的推导
坐标旋转变换公式的推导
翻译自: -
翻译：汤永康
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1 围绕原点的旋转
如下图，在2维坐标上，有一点p(x, y) , 直线opの长度为r, 直线op和x轴的正向的夹角为a。
直线op围绕原点做逆时针方向b度的旋转，到达p’(s,t)
s = r cos(a + b) = r cos(a)cos(b) – r sin(a)sin(b) (1.1)
t = r sin(a + b) = r sin(a)cos(b) + r cos(a) sin(b) (1.2)
其中x = r cos(a) , y = r sin(a)
代入(1.1), (1.2) ,
s = x cos(b) – y sin(b) (1.3)
t = x sin(b) + y cos(b) (1.4)
用行列式表达如下：
2．座标系的旋转
在原坐标系xoy中, 绕原点沿逆时针方向旋转theta度，变成座标系sot。
设有某点p，在原坐标系中的坐标为(x, y), 旋转后的新坐标为(s, t)。
oa = y sin(theta) (2.1)
as = x cos(theta) (2.2)
综合(2.1)，(2.2) 2式
s = os = oa + as = x cos(theta) + y sin(theta)
t = ot = ay – by = y cos(theta) – x sin(theta)
用行列式表达如下：
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笛卡尔坐标旋转变换
笛卡尔坐标旋转变换一、介绍笛卡尔坐标旋转变换是一种常见的几何变换方法，用于将点或图像绕指定的点或轴旋转一定角度。
本文将详细介绍笛卡尔坐标旋转变换的原理、公式和应用，并结合实例详细说明其具体操作和实现方法。
二、原理及公式2.1 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是平面上最常用的坐标系之一，它由两个互相垂直的轴组成，分别为x轴和y轴。
每个点可以用它在x轴和y轴上的坐标来表示，记作(x, y)。
2.2 坐标旋转变换公式在笛卡尔坐标系中，对一个点P(x, y)进行旋转变换，可以通过以下公式计算旋转后的新坐标P’(x’, y’)：x’ = x * cosθ - y * sinθ y’ = x * sinθ + y * cosθ其中，θ为旋转角度，cosθ和sinθ分别表示θ的余弦和正弦。
2.3 旋转中心点坐标旋转变换通常需要指定一个旋转中心点，该点为坐标系中的一个点，围绕该点进行旋转变换。
这个旋转中心点可以是任意点，根据实际需求选择。
三、操作步骤3.1 确定旋转中心点根据实际需求，确定需要进行旋转变换的图形，然后选择一个旋转中心点。
在平面上可以任意选择一个点，或者指定已知的点作为旋转中心点。
3.2 计算旋转角度确定旋转中心点后，根据实际需求确定旋转角度θ。
旋转角度可以根据需要顺时针或逆时针旋转选择。
根据旋转角度计算该角度的余弦和正弦值。
3.3 进行旋转变换根据公式计算旋转后的坐标。
对于图形上的每个点P(x, y)，根据公式计算旋转后的新坐标P’(x’, y’)。
重复该计算过程，对所有需要进行旋转变换的点进行计算。
3.4 绘制旋转后的图形根据计算得到的新坐标，绘制旋转后的图形。
连接所有点，绘制出旋转后的图形。
四、应用示例4.1 旋转平面上的点假设有一个平面上的点A(2, 3)，现需要将该点绕坐标原点逆时针旋转30度。
根据以上步骤进行计算：•确定旋转中心点：坐标原点•计算旋转角度：30度•进行旋转变换：x’ = 2 * cos30 - 3 * sin30 = 0.732 y’ = 2 * sin30 + 3 * cos30 = 3.598•绘制旋转后的图形：在坐标系上绘制点A’(0.732, 3.598)4.2 旋转平面上的图形假设有一个三角形ABC，其中A(1, 1)，B(2, 3)，C(3, 2)，现需要将该三角形绕点B顺时针旋转45度。
坐标旋转变换
坐标旋转变换空间直角坐标系如果其原点不动，绕着某一个轴旋转而构成的新的坐标系，这个过程就叫做坐标旋转。
在旧坐标系中的坐标与在旋转后新坐标系中的坐标有一定的转换关系，这种转换关系可以用转换矩阵来表示。
如图1，直角坐标系XYZ ，P 点的坐标为),,(z y x ，其相应的在XY 平面，XZ 平面，YZ 平面分别为)0,,(y x M ，),0,(z x Q 和),,0(z y N 。
),,(z y x P Oxyz)0,,(y x M ),,0(z y N ),0,(z x Q图1直角坐标系XYZ设ϑ表示第j 轴的旋转角度，()R j ϑ表示绕第j 轴的旋转，其正方向是沿坐标轴向原点看去的逆时针方向。
很明显当j 轴为旋转轴时，它对应的坐标中的j 分量是不变的。
由于直角坐标系是对称的，下面我们以绕z 轴旋转为例推导其旋转变换矩阵，其它两个轴推导和它是一样的。
设图1的坐标绕Z 轴逆时针旋转θ角度，新坐标为'''Z Y X ，如图2所示：)',','z y x XY)0,',y ,0(N )',0,'(|)z x 'Y图2 坐标绕Z 轴逆时针旋转θ角度由于坐标中的z 分量不变，我们可以简化地在XY 平面进行分分析，如图3所示：X Y'X 'Y θθ)0,','( |)0,,(y x y x M 'X M XM ϕO图3 坐标绕Z 轴逆时针旋转θ角度的XY 平面示意图点X M 和点'X M 分别是M 点在X 轴和'X 轴的投影。
如图3⎩⎨⎧−=∠==−=∠==)sin(sin )cos(cos θϕθϕOM MOM OM MM y OM MOM OM OM x X X X X (1) ⎩⎨⎧=∠===∠==ϕϕsin sin cos cos '''''OM MOM OM MM y OM MOM OM OM x X X X X (2) 把(1)式按照三角函数展开得：⎩⎨⎧−=+=θϕθϕθϕθϕsin cos cos sin sin sin cos cos OM OM y OM OM x (3) 把(2)式代入(3)式得：⎩⎨+−=θθcos 'sin 'y x y (4) 坐标中的z 分量不变，即'z z =这样整个三维坐标变换就可以写成（用新坐标表示就坐标）：⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+='cos 'sin 'sin 'cos 'z z y x y y x x θθθθ (5) 把式(5)用一个坐标旋转变换矩阵()θR Z 表示可以写成：()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''z y x z y x Z θR (6)()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1 0 0 0 cos sin 0 sin cos θθθθθR Z (7) 坐标系'''Z Y X 是坐标系XYZ 绕Z 轴逆时针旋转θ角度而来，从另一个角度来看，也可以说坐标系XYZ 是坐标系'''Z Y X 绕'Z 轴逆时针旋转θ−角度而来，所以根据(6)式有（上标"1"−表示矩阵的逆）：()()()θR θR θR −=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−Z Z Z z y x z y x 1''' (8)用同样的分析办法，当绕X 轴逆时针旋转θ角度其YZ 平面分析如图4所示：Y Z'Y 'Z θθ)',0,'(|),0,(z x z x N 'Y N YN ϕO图4 坐标绕X 轴逆时针旋转θ角度的YZ 平面示意图其坐标转换关系为：⎪⎩⎪⎨=+−='cos 'sin 'x x z y z θθ (9) ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=θθθcos sin 0sin cos 00 0 1θX θR (10) ()()θR θR −=−X X 1 (11)当绕Y 轴逆时针旋转θ角度得其XZ 平面分析如图5所示（注意和前面两个角度方向不一样）：XZ'X 'Z θθ)',',0( |),,0(z y z y Q 'X Q XQ ϕO图5 坐标绕Y 轴逆时针旋转θ角度的XZ 平面示意图⎪⎩⎪⎨⎧=+=−='cos 'sin 'sin 'cos 'y y z x z z x x θθθθ (12) ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=θθθcos 0 sin 0 1 0sin 0 cos θY θR (13) ()()θR θR −=−Y Y1(14)。
4坐标系中的旋转变换(2015年)
1. (2015 辽宁省阜新市) 如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B （﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′，（1）画出△AB′C′；（2）写出点B′，C′的坐标；（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．答案：分析：（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，然后根据网格结构找出点B、C的对应点B′，C′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据图形即可得出点A的坐标；（3）利用AC的长，然后根据弧长公式进行计算即可求出点B转动到点B′所经过的路程．解答：解：（1）△AB′C′如图所示；（2）点B′的坐标为（3，2），点C′的坐标为（3，5）；（3）点C经过的路径为以点A为圆心，AC为半径的圆弧，路径长即为弧长，∵AC=4，∴弧长为：==2π，即点C经过的路径长为2π．点评：本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．2. (2015 湖南省衡阳市) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1；（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．①旋转角为多少度？②写出点B2的坐标．答案：3. (2015 山东省莱芜市) 在平面直角坐标系中，以点)3,4(A 、)0,0(B 、)0,8(C 为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△111C B A （点111C B A 、、分别为点C B A 、、的对应点），然后以点1C 为中心将△111C B A 顺时针旋转 90，得到△122C B A （点22B A 、分别是点11B A 、的对应点），则点2A 的坐标是.答案：)7,11( ；4. (2015 山东省济宁市) 在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A （4，5）逆时针旋转90°，得到的点A ′的坐标为 ．答案：分析：首先根据点A的坐标求出OA的长度，然后根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可得OA′=OA，据此求出点A′的坐标即可．解答：解：如图，过点A作AC⊥y轴于点C，作AB⊥x轴于点B，过A′作A′E⊥y轴于点E，作A′D⊥x轴于点D ，，∵点A（4，5），∴AC=4，AB=5，∵点A（4，5）绕原点逆时针旋转90°得到点A′，∴A′E=AB=5，A′D=AC=4，∴点A′的坐标是（﹣5，4）．故答案为：（﹣5，4）．点评：此题主要考查了坐标与图形变换﹣旋转，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．5. (2015 辽宁省丹东市) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)（每个方格的边长均为1个单位长度）.（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长.答案：解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求. …………………………3分（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求. …………………………6分点B 旋转到点B 2所经过的路径长为： 5 ………………8分6. (2015 湖南省湘西市) 】．在平面直角坐标系中，点A （﹣2，1）与点B 关于原点对称，则点B 的坐标为（ ） A.（﹣2，1） B.（2，﹣1）C.（2，1）D.（﹣2，﹣1）答案：】．分析： 关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点B 的坐标． 解答： 解：∵点A 坐标为（﹣2，1）， ∴点B 的坐标为（2，﹣1）． 故选B ．点评： 本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P ′（﹣x ，﹣y ）．A 2C 2B 2B 1C 1A 1ABCyxO7. (2015 湖南省张家界市) 如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC，顶点A、B、C 及点O均在格点上，请按要求完成以下操作或运算：（1）将△ABC向上平移4个单位，得到△A1B1C1（不写作法，但要标出字母）；（2）将△ABC绕点O旋转180°，得到△A2B2C2（不写作法，但要标出字母）；（3）求点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长．答案：分析：（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可；（2）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点O旋转180°后得到的△A2B2C2；（3）根据弧长的计算公式列式即可求解．解答：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示：（3）∵OA=4，∠AOA2=180°，∴点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长为=4π．点评：本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．也考查了弧长的计算．8. (2015 湖北省孝感市) 在平面直角坐标系中，把点)3 5(，-P 向右平移8个单位得到点1P ，再将点1P 绕原点旋转︒90得到点2P ，则点2P 的坐标是)33(-，B ．)3 3(，-C ．)33()3 3(--，或，D ．)33(-，或)3 3(，-答案：D9. (2015 黑龙江省牡丹江市) 如图，△ABO 中，AB ⊥OB ，AB=，OB=1，把△ABO 绕点O 旋转120°后，得到△A 1B 1O ，则点A 1的坐标为 ．答案：分析： 在Rt △OAB 中利用勾股定理计算出OA=2，则利用含30度的直角三角形三边的关系得∠A=30°，所以∠AOB=60°，然后分类讨论：当△ABO 绕点O 逆时针旋转120°后，点A 的对应点A ′落在x 轴的负半轴上，如图，OA ′=OA=2，易得A ′的坐标为（﹣2，0）；当△ABO 绕点O 顺时针旋转120°后，点A 的对应点A 1落在第三象限，如图，则OA 1=OA=2，∠AOA 1=120°，作OA 1⊥y 轴于C ，计算出∠COA 1=30°，在Rt △COA 1中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CA 1=1，OC=，则A 1（1，﹣），综上所述，A 1的坐标为（﹣2，0）或（1，﹣）．解答： 解：在Rt △OAB 中，∵AB=，OB=1，∴OA==2，∴∠A=30°， ∴∠AOB=60°，当△ABO 绕点O 逆时针旋转120°后，点A 的对应点A ′落在x 轴的负半轴上，如图，OA ′=OA=2，此时A ′的坐标为（﹣2，0）；当△ABO 绕点O 顺时针旋转120°后，点A 的对应点A 1落在第三象限，如图，则OA 1=OA=2，∠AOA 1=120°，作OA 1⊥y 轴于C ， ∴∠COA 1=30°，在Rt △COA 1中，CA 1=OA 1=1，OC=CA 1=，∴A 1（1，﹣），综上所述，A 1的坐标为（﹣2，0）或（1，﹣）．故答案为（﹣2，0）或（1，﹣）．点评： 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．10. (2015 广西南宁市) 如图10，在平面直角坐标系中，已知∆ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，Ｂ（－３,１）Ｃ（－１,４）．（１）画出∆ABC 关于ｙ轴对称的111C B A ∆； （２）将∆ABC 绕着点Ｂ顺时针旋转90o后得到22BC A ∆，请在图中画出22BC A ∆，并求出线段ＢＣ旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．答案：解 （1）如图所示：111C B A ∆与22BC A ∆；（2）2223+1322CB C =90o ，线段BC 旋转过程中所扫过的部分是一个扇形，因此扇形面积S=29013)360π⨯=π41311. (2015 甘肃省庆阳市) 已知点P（a+1，﹣+1）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．答案：分析：首先根据题意判断出P点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号（﹣，+），可得到不等式a+1＜0，﹣+1＞0，然后解出a的范围即可．解答：解：∵P（a+1，﹣+1）关于原点对称的点在第四象限，∴P点在第二象限，∴a+1＜0，﹣+1＞0，解得：m＜﹣1，则a的取值范围在数轴上表示正确的是．故选：C．点评：此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，以及各象限内点的坐标符号，关键是判断出P点所在象限．12. (2015 广东省佛山市) 如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（﹣1，0）．现将△ABC绕点A顺时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是．答案：分析：根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°后的对应点的位置，然后顺次连接即可．解答： 解：如图所示，△AB ′C ′即为△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的图形．．则C ′（2，1），即旋转后点C 的坐标是（2，1）．故答案是：（2，1）．点评：本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．13. (2015 湖南省常德市) 已知A 点的坐标为（－1,3），将A 点绕坐标原点顺时针90°，则点A的对应点的坐标为答案：（3,1）y x BO D C E。
三维坐标系的旋转变换
三维坐标系的旋转变换三维坐标系的旋转变换是计算机图形学和几何学中一个非常重要的概念。
它能够将一个物体在三维空间中绕着指定的轴进行旋转，从而改变它相对于其他物体的位置和方向。
本文将介绍三维坐标系的旋转变换的原理、方法和应用，并提供一些指导意义的实例。
一、三维坐标系的基本概念在介绍旋转变换之前，我们先来了解一下三维坐标系的基本概念。
三维坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成：X轴、Y轴和Z轴。
X轴代表左右方向，Y轴代表前后方向，Z轴代表上下方向。
每个点在三维空间中都可以由三个坐标值来表示，分别表示其在X轴、Y轴和Z轴上的位置。
二、旋转变换的原理旋转变换是通过改变坐标系的方向和角度来实现的。
在三维坐标系中，我们可以选择一条旋转轴，将其视为一个固定不动的轴，然后将其他点围绕着这个轴进行旋转。
旋转角度可以是正数（顺时针方向）或负数（逆时针方向），单位通常是弧度或角度。
三、旋转变换的方法通过旋转变换，我们可以在三维空间中实现各种各样的变换效果，例如旋转、翻转、缩放等。
以下是几种常见的旋转变换方法：1. 绕X轴旋转：围绕X轴进行旋转变换时，我们可以通过改变Y 轴和Z轴的坐标值，来实现点在平面上的旋转效果。
2. 绕Y轴旋转：围绕Y轴进行旋转变换时，我们可以通过改变X 轴和Z轴的坐标值，来实现点在平面上的旋转效果。
3. 绕Z轴旋转：围绕Z轴进行旋转变换时，我们可以通过改变X 轴和Y轴的坐标值，来实现点在平面上的旋转效果。
四、旋转变换的应用旋转变换在计算机图形学和几何学中有广泛的应用。
它可以用来进行三维模型的角度调整，实现刚体变换，以及修正物体在三维空间中的位置和方向。
例如，在计算机游戏中，我们可以通过旋转变换来实现角色的动画效果，使其在三维空间中做出各种各样的动作。
五、旋转变换的指导意义掌握三维坐标系的旋转变换对于计算机图形学和几何学的研究和应用都非常重要。
它可以帮助我们理解和分析三维空间中的物体运动和变化，并通过数学方法实现对其的控制和调整。
坐标变换与旋转
坐标变换与旋转在计算机图形学和几何学领域，坐标变换和旋转是非常重要的概念。
通过对坐标系统进行变换和旋转操作，我们可以实现对图形的平移、旋转、缩放和扭曲等变换，从而得到想要的效果。
一、坐标变换1. 平移变换平移变换是将坐标系统在平面上按照指定的位移量进行移动的操作。
通过平移变换，我们可以将图形在平面上沿指定的方向进行移动，而不改变其形状和大小。
平移变换通常用一个二维向量来表示，其中向量的两个分量分别表示在x轴和y轴上的平移量。
2. 缩放变换缩放变换是将图形在平面上按照指定的比例进行放大或缩小的操作。
通过缩放变换，我们可以改变图形的大小，同时保持其形状不变。
缩放变换通常用一个二维向量来表示，其中向量的两个分量分别表示在x 轴和y轴上的缩放比例。
3. 扭曲变换扭曲变换是将图形在平面上按照指定的变换矩阵进行扭曲的操作。
通过扭曲变换，我们可以实现图形在平面上的形状变换，包括旋转、拉伸和错切等。
扭曲变换通常使用一个二维变换矩阵来表示，其中矩阵的元素表示了图形在进行扭曲变换时的各种变化。
二、旋转操作旋转操作是将图形在平面上按照指定的角度进行旋转的操作。
通过旋转操作，我们可以改变图形在平面上的朝向和角度，从而实现不同的视觉效果。
旋转操作通常使用一个旋转矩阵来表示，其中旋转矩阵的元素通过余弦和正弦函数的计算得到。
三、应用场景1. 计算机图形学在计算机图形学中，坐标变换和旋转是非常重要的操作。
通过对图形进行坐标变换和旋转，可以实现三维图形的显示和交互效果，从而呈现出真实世界的虚拟场景。
同时，在计算机游戏开发和动画制作中，坐标变换和旋转也被广泛应用。
2. 机器人和自动化控制在机器人和自动化控制领域，坐标变换和旋转是实现精准定位和控制的重要工具。
通过对坐标系统进行变换和旋转，可以实现机器人的精准定位和轨迹规划，从而实现各种复杂的自动化任务。
3. 地理信息系统在地理信息系统中，坐标变换和旋转被用于地理空间数据的处理和分析。
坐标旋转变换公式
坐标旋转变换公式
坐标旋转变换公式是一种常用的数学变换，它可以将一个坐标系中的点从一个坐标系中转换到另一个坐标系中。
它的公式如下：
X' = Xcosθ- Ysinθ
Y' = Xsinθ+ Ycosθ
其中，X'和Y'是旋转后的新坐标，X和Y是旋转前的原坐标，θ是旋转角度。
坐标旋转变换公式是一种常用的数学变换，它可以将一个坐标系中的点从一个坐标系中转换到另一个坐标系中。
它的应用非常广泛，在计算机图形学、机器视觉、机器人控制、航空航天、地理信息系统等领域都有着重要的应用。
首先，坐标旋转变换公式可以用来实现坐标系的变换，例如，在计算机图形学中，可以使用坐标旋转变换公式将一个三维坐标系中的点从一个坐标系中转换到另一个坐标系中，从而实现三维坐标系的变换。
其次，坐标旋转变换公式可以用来实现机器视觉中的图像旋转，例如，在机器视觉中，可以使用坐标旋转变换公式将一幅图像从一个坐标系中旋转到另一个坐标系中，从而实现图像旋转。
此外，坐标旋转变换公式还可以用来实现机器人控制中的机器人运动控制，例如，在机器人控制中，可以使用坐标旋转变换公式将机器人从一个坐标系中旋转到另一个坐标系中，从而实现机器人的运动控制。
最后，坐标旋转变换公式还可以用来实现航空航天中的航空器姿态控制，例如，在航空航天中，可以使用坐标旋转变换公式将航空器从一个坐标系中旋转到另一个坐标系中，从而实现航空器姿态控制。
总之，坐标旋转变换公式是一种常用的数学变换，它可以将一个坐标系中的点从一个坐标系中转换到另一个坐标系中，它的应用非常广泛，在计算机图形学、机器视觉、机器人控制、航空航天、地理信息系统等领域都有着重要的应用。
参考坐标与动坐标系之间的旋转变换
坐标系之间的坐标变换取一参考坐标系Z Y X O ''''，该坐标系为船舶平衡位置上，不随船舶摇荡。
取一动坐标系OXYZ ，该坐标系与船体固结，随船舶一起做摇荡运动，OX 轴位于纵中剖面内，并指向船首，OY 垂直向上，OZ 轴指向船舶右舷。
再取一坐标系Z Y XO ˆˆˆ，它与参考坐标系平行，原点与动坐标系重合，且仅随船体作振荡运动。
这三个坐标系之间的相对位置如图所示：角位移用欧拉角来定义。
我们假设动坐标系OXYZ 的原始位置为Z Y XO ˆˆˆ，经三次转动转到目前的位置。
首先将坐标系Z Y XO ˆˆˆ绕X O ˆ轴转动α角，使其转到OZ 和X O ˆ所确定的平面，然后绕YO ˆ轴旋转β角使Z O ˆ与OZ 重合，此时平面Y X O ''ˆˆ和平面OXY 重合，最后将得到的Z Y XO ''ˆˆ绕OZ 轴转动γ角，这样，坐标系OXYZ 和坐标系Z Y X O ˆˆˆ就完全重合。
第一次旋转可以写为：ααααcos ˆsin ˆˆsin ˆcos ˆˆˆˆZ Y ZZ Y Y X X'+'='-'== 写为矩阵形式为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z Y X Z Y X ˆˆˆcos sin 0sin cos 0001ˆˆˆαααα同理，第二次旋转得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''Z Y X Z Y Xˆˆcos 0sin 010sin 0cos ˆˆˆββββ 第三次旋转得，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''Z Y X Z Y X100cos sin 0sin cos ˆˆγγγγ 综合上面三式，得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--+-+-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z Y X Z Y X βαγαγβαγαγβαβαγαγβαγαγβαβγβγβcos cos cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos ˆˆˆ则[][][]X r X O '+='。
小专题(四)：平面直角坐标系中图形旋转的变换规则
小专题(四)：平面直角坐标系中图形旋转的变换规则1. 引言平面直角坐标系中，图形的旋转是一种常见的几何变换。
本文介绍了图形旋转的变换规则。
2. 图形旋转的基本概念图形旋转是指将一个图形绕一个中心点旋转一定角度后得到新的图形。
旋转的中心点可以位于坐标原点或任意其他点。
3. 旋转变换的规则根据旋转变换的规则，对于同一图形的旋转变换，可以得到以下规律：- 旋转360度（或2π弧度）等于恢复原状，即旋转后的图形与原图形完全相同。
- 旋转180度（或π弧度）等于将图形沿旋转中心点对称。
- 旋转90度（或π/2弧度）等于将图形逆时针旋转90度。
- 旋转270度（或3π/2弧度）等于将图形顺时针旋转90度。
4. 旋转的计算方法为了进行图形的旋转变换，可以利用旋转矩阵进行计算。
旋转矩阵是一个二维的矩阵，在平面直角坐标系中描述了图形的旋转变换。
旋转矩阵的公式如下：R = | cosθ -sinθ || sinθ cosθ |其中，θ表示旋转的角度。
5. 应用举例以矩形图形为例，假设原始矩形的坐标为A(x₁, y₁), B(x₂,y₁), C(x₂, y₂), D(x₁, y₂)。
若要将该矩形逆时针旋转90度得到新的矩形A'(x₁', y₁'), B'(x₂', y₁'), C'(x₂', y₂'), D'(x₁', y₂')，可以通过旋转矩阵计算得出新的坐标。
新的坐标计算公式如下：x₁' = x₁ * cos90 - y₁ * sin90y₁' = x₁ * sin90 + y₁ * cos90x₂' = x₂ * cos90 - y₁ * sin90y₂' = x₂ * sin90 + y₁ * cos906. 结论图形在平面直角坐标系中的旋转变换遵循一定的规则和计算方法。
通过理解和应用这些规则和计算方法，我们可以对图形进行准确的旋转变换。
坐标系旋转变换，内在旋转，外在旋转
坐标系旋转变换，内在旋转，外在旋转从⼀个坐标系到另⼀个坐标系的转换有多种⽅法：欧拉⾓法、⽅向余弦矩阵法、四元数法等。
其中欧拉⾓法的核⼼思想是：⼀个坐标系可以⽤另⼀个参考坐标系的三次空间旋转来表达。
旋转坐标系的⽅法⼜有两种：Proper Euler angles, 第⼀次与第三次旋转相同的坐标轴（z-x-z,x-y-x, y-z-y,z-y-z, x-z-x, y-x-y）。
Tait–Bryan angles, 依次旋转三个不同的坐标轴（x-y-z,y-z-x, z-x-y,x-z-y, z-y-x, y-x-z）；Tait–Bryan angles are 也叫作 Cardan angles; nautical angles; heading, elevation, and bank; or yaw, pitch, and roll. 有时候这两种变换序列都叫做 "Euler angles". 这种情况下，前者叫做 proper or classic Euler angles.对于每个旋转序列，⼜有内在旋转（intrinsic rotations）和外在旋转（extrinsic rotations）两种⽅式。
设有两个坐标系OX i Y i Z i和OX j Y j Z j，OX i Y i Z i是固定不动的参考系，OX j Y j Z j是需要被旋转的坐标系，初始时两个坐标系重合。
内在旋转指每次旋转的旋转轴都是上次变换后新系OX j Y j Z j的坐标轴，外在旋转指每次旋转的旋转轴都是固定参考系OX_iY_iZ_i的坐标轴。
1. 转动矩阵1.1 ⽅向余弦矩阵设有两个共原点的右⼿坐标系OX_iY_iZ_i和OX_jY_jZ_j，空间有⼀点 P，该点在i, j坐标系内的坐标分别为[x_i \quad y_i \quad z_i]^T[x_j \quad y_j \quad z_j]^TP点从j系变换到i系的坐标变换关系为（j坐标系下各坐标轴分量投影到i坐标轴的⽮量和）：\left\{ \begin{array}{l} x_i = x_j \cos(x_i,x_j) + y_j \cos(x_i,y_j) + z_j \cos(x_i, z_j) \\ y_i = x_j \cos(y_i,x_j) + y_j \cos(y_i,y_j) + z_j \cos(y_i, z_j) \\ z_i = x_j \cos(z_i,x_j) + y_j \cos(z_i,y_j) + z_j \cos(z_i, z_j) \end{array} \right. \tag{1-1}[r]_i = [^iR_j][r]_j \tag{1-2}[^iR_j] = \left\{ \begin{array}{l} \cos(x_i,x_j) & \cos(x_i,y_j) & \cos(x_i,z_j) \\ \cos(y_i,x_j) & \cos(y_i,y_j) & \cos(y_i,z_j) \\ \cos(z_i,x_j) &\cos(z_i,y_j) & \cos(z_i,z_j) \end{array} \right\} \tag{1-3}即为⼀般形式的转动矩阵，也称为从j系向i系变换的转动矩阵。
不同坐标系之间的变换
§10.6不同坐标系之间的变换10.6.1欧勒角与旋转矩阵对于二维直角坐标，如图所示，有：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1122cos sin sin cos y x y x θθθθ(10-8)在三维空间直角坐标系中，具有相同原点的两坐标系间的变换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成。
如图所示，设旋转次序为：①绕1OZ 旋转Z ε角，11,OY OX 旋转至00,OY OX；②绕0OY 旋转Y ε角10,OZ OX 旋转至02,OZ OX ； ③绕2OX 旋转X ε角，00,OZ OY 旋转至22,OZ OY 。
Z Y X εεε,,为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧勒角，与它相对应的旋转矩阵分别为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X XX X X R εεεεεcos sin 0sin cos 0001)(1 (10-10)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Y YY YY R εεεεεcos 0sin 010sin 0cos )(2 (10-11)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100cos sin 0sin cos )(3ZZ Z ZZ R εεεεε (10-12)令 )()()(3210Z Y X R R R R εεε= (10-13)则有：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1110111321222)()()(Z Y X R Z Y X R R R Z Y X Z Y X εεε (10-14) 代入：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+++--=Y X Z Y X Z X Z Y X Z X Y X Z Y X Z X Z Y X Z X Y Z Y Z Y R εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεcos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos 0一般Z Y X εεε,,为微小转角，可取： 于是可化简⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1110XYX ZY ZR εεεεεε (10-16) 上式称微分旋转矩阵。
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1. (2012 黑龙江省大庆市) 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(31)，，将OA 绕原点按逆时针方向旋转30°得OB ，则点B 的坐标为（ ）
（A ）(1
3)， （B ）(13)-， （C ）(02)， （D ）(20)，
答案：A
20120724150627437279 4 坐标系中的旋转变换 选择题 基础知识 2012-07-24
2. (2012 四川省宜宾市) 如图，在平面直角坐标系中，将ABC △绕点P 旋转180得到DEF △，则点P 的坐标为_________．
答案：(11)--，
20120709132742312140 4 坐标系中的旋转变换 填空题 基本技能 2012-07-09
3. (2012 内蒙古包头市) 如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，ABO △是直角三角形，
90ABO ∠=°，点B 的坐标为(12)-，
，将ABO △绕原点O 顺时针旋转90°得到11A B O △，则过1A 、B 两点的直线解析式为=____________．
答案：35y x =+
20120706100651671109 4 坐标系中的旋转变换 填空题 数学思考 2012-07-06
4. (2012 山东省泰安市) 如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，
120B ∠=°，2OA =，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至OA B C ′
′′的位置，则点B ′的坐标为（ ）．
（A ）22， （B ）(
22-， （C ）()22-， （D ）33，
答案：A
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