复变函数疑难问题分析
关于复变函数某个题型的讨论题目
关于复变函数某个题型的讨论题目
【实用版】
目录
1.复变函数概述
2.复变函数的题型分类
3.某个题型的具体解题方法
4.结论与展望
正文
一、复变函数概述
复变函数是指以复数为自变量和函数值的函数，它是复分析领域的一个重要概念。
复变函数在许多领域都有广泛的应用，如流体力学、电磁学、复数微积分等。
对于复变函数的题型，我们需要掌握一定的解题技巧。
二、复变函数的题型分类
复变函数的题型可以分为以下几类：
1.复数的解析式
2.复数的积分
3.复数的级数
4.复数的微分
5.复数的积分路径
三、某个题型的具体解题方法
以复数的积分为例，其解题步骤如下：
1.确定被积函数的解析式
2.选择合适的积分路径
3.计算被积函数在积分路径上的原函数
4.计算原函数在积分路径上的积分
5.根据柯西定理求解复数积分
四、结论与展望
复变函数题型的解题技巧需要我们在学习过程中不断总结和积累，掌握各类题型的解题方法，提高解题效率。
在实际应用中，复变函数题型可能会涉及到更为复杂的数学概念和方法，我们需要不断拓展知识面，提高自己的数学素养。
在未来的学习和研究中，我们应当注重复变函数与其他数学领域的联系，探索其在实际问题中的应用，为解决实际问题提供有力支持。
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复变函数疑难问题分析
复变函数疑难问题分析1. 设zz z f 1sin )(2=，{}11|<-=z z D 。
1）函数)(z f 在区域D 中是否有无限个零点？2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？答： 有无限个零点。
可以具体写出其所以零点； 不矛盾。
因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。
因为0=z 为非孤立的奇点。
2. “函数sin z 在z 平面上是有界的”是否正确？sin z 在z 平面上无界。
这是因为sin 2iz iz e e z i --=，令(0)z iy y =<，则|sin |||()2iz ize e z y i--=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确？z e 是以2k i π为周期的函数。
因为z C ∀∈，221z k i z k i z z e e e e e ππ+==⋅=，k 为整数4. “()f z z =是解析函数” 是否正确？()f z z =在z 平面上不解析。
因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =- 所以1u x ∂=∂，1v y ∂=-∂，0u y ∂=∂，0v x∂=∂ 但是11u v x y ∂∂=≠-=∂∂，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平面上处处不满足..C R -条件 所以()f z z =在z 平面上不解析。
5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N ）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。
（1）复球面上与点1)对应的复数； （2）复数1+i 与复球面上的那个点；（3）简要说明如何定义扩充复平面。
解：（1）建立空间直角坐标系（以O 点为原点，SON 为z 轴正半轴），则过点,,1)22P 与点(0,0,2)N 的直线方程为21z -==-。
当0z =时，x y ==，所以,,1)22对应。
（2）复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。
复变函数重点知识点及典型例题的多种解题方法
( z1 z1 )( z2 z2 ) z1 z2 .
(2) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )
2
z1 z1 z2 z2 z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2 z1 z2
11
21
例2 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?
y
解 (1) Im z 3, 是一条平行于实轴的直线, 不是区域.
-3 -2 -1
6 5 4 3 2 1 x
1
2
3
(2) Re z 2,
以 Re z 2 为右界的半平面 (不包括直线 Re z 2 ),
(其中 y arctan ) 2 x 2
3
当z落于一,四象限时，不变。
。 当z落于第三象限时，减 。
当z落ห้องสมุดไป่ตู้第二象限时，加
y arctan 2 x 2
5. 复数和差的模的性质
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
(1) z1 z2 z1 z2 ;
12
1 例1 已知 z1 (1 3i ), z2 sin i cos , 2 3 3 z1 求 z1 z2 和 . z2 解 因为 z1 cos i sin , 3 3 z2 cos i sin , 6 6 i , 所以 z1 z2 cos i sin 3 6 3 6 z1 3 1 i. cos i sin z2 3 6 3 6 2 2
复数与复变函数实际问题案例
复数与复变函数实际问题案例在数学中，复数是由实部和虚部组成的数，表示为a+bi，其中a和b分别是实数部分和虚数部分。
复数在数学领域中有广泛的应用，特别是在复变函数中。
复变函数是指定义在复数域上的函数，具有形式上的复数输入和输出。
在实际问题中，复数和复变函数有各种应用，包括电路分析、信号处理、流体力学和量子力学等领域。
一. 电路分析中的复数和复变函数应用电路分析中经常使用交流电路，而交流电路中的电压和电流可以表示为复数形式。
通过复数的相位表示，我们可以更方便地计算电路的参数和响应。
例如，假设我们有一个包含电阻、电感和电容的RLC电路。
通过复变函数的方法，我们可以建立一个复变函数模型来描述电路的行为。
通过求解该复变函数的解析表达式，我们可以计算电路的频率响应、电流和电压的相位等参数，从而更好地理解和分析电路的行为。
二. 信号处理中的复数和复变函数应用在信号处理中，复数和复变函数被广泛应用于频域分析和滤波器设计。
通过将信号表示为复数形式，我们可以更方便地进行频谱分析和滤波器设计。
例如，傅里叶变换是一种常用的信号处理工具，它将时域信号转换为频域信号。
傅里叶变换可以表示为复变函数的形式，通过对复变函数进行频域分析，我们可以得到信号的频谱信息，包括频率成分和相位信息等。
三. 流体力学中的复数和复变函数应用在流体力学中，复数和复变函数被广泛用于描述流体流动中的速度场和势场。
通过复变函数的方法，我们可以很方便地描述和计算流体流动的行为。
例如，假设我们研究一个无旋流体流动问题，可以通过引入复变函数来描述速度场。
通过求解这个复变函数的解析表达式，我们可以得到流体流动的速度分布和势函数分布，从而更好地理解和分析流体力学问题。
四. 量子力学中的复数和复变函数应用在量子力学中，复数和复变函数被广泛用于描述量子力学系统的波函数和态函数。
通过复数和复变函数的方法，我们可以很方便地描述和计算量子力学系统的行为。
例如，薛定谔方程是量子力学中描述波函数演化的基本方程。
复变函数重点与难点
(3) eiz cos z i sin z.
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(4) sin2 z cos2 z 1,但sin z, cos z不是有界函数.
定义 tan z sin z 称为正切函数. cos z
性质 (1) tan z 是奇函数 : tan( z) tan( z). (2) tan z 是以为周期的周期函数: tan(z ) tan z.
ln z i arg z 2ki (k 0,1, 2,). 其中ln z ln z i arg z( arg z )称为对数函 数Ln z的主值(支),所以
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(5) 边界点、边界
设D是复平面内的一个区域,如果点P 不属 于D, 但在P 的任意小的邻域内总有D中的点,这 样的P点我们称为D的边界点.
D的所有边界点组成D的边界. (6)闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域. (7)有界区域和无界区域
如果一个区域 D 可以被包含在一个以原点 为中心的圆里面, 即存在 M 0, 使区域的每一个 点都满足 z M , 那末 D 称为有界的, 否则称为无
z0 的去心邻域. （2）内点
设 G 为一平面点集, z0 为G 中任意一点. 如果 存在 z0 的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于 G, 那末 z0 称为G 的内点.
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(3) 开集 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为
开集. (4) 区域
如果平面点集D满足以下两个条件, 则称 它为一个区域. (a) D是一个开集； (b) D是连通的,即D中任何两点都可以用完全 属于D的一条折线连结起来.
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2. 复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 1) 两复数的和
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ). 2) 两复数的积
复变函数初步例题和知识点总结
复变函数初步例题和知识点总结一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数。
一个复变函数通常可以表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z ＝ x ＋ iy$ 是复数，＄x$ 和＄y$ 分别是实部和虚部，＄w ＝ u ＋ iv$ 也是复数，＄u$ 和＄v$ 分别是其实部和虚部。
例如，函数＄f(z) ＝ z^2$ 就是一个简单的复变函数。
将＄z ＝ x ＋iy$ 代入，可得：＼＼begin{align}f(z)＆＝（x ＋ iy)＾2\＼＆＝x^2 y^2 ＋ 2ixy＼end{align}＼从而得到实部＄u ＝ x^2 y^2$，虚部＄v ＝ 2xy$。
二、复变函数的极限与连续（一）极限如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，都存在正数＄＼delta$，使得当＄0 ＜｜z z_0| ＜＼delta$ 时，有＄｜f(z) A| ＜＼epsilon$，则称＄A$ 为函数＄f(z)＄当＄z$ 趋向于＄z_0$ 时的极限，记作＄＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A$。
例如，考虑函数＄f(z) ＝＼frac{z}｛｜z|｝＄，当＄z$ 沿着实轴正方向趋近于＄0$ 时，极限为＄1$；当＄z$ 沿着实轴负方向趋近于＄0$ 时，极限为＄－1$。
由于这两个极限不相等，所以该函数在＄z ＝ 0$ 处极限不存在。
（二）连续如果函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处的极限存在且等于＄f(z_0)＄，则称函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处连续。
例如，函数＄f(z) ＝ z$ 在整个复数域上都是连续的。
三、复变函数的导数复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程。
设函数＄f(z) ＝ u(x, y) ＋ iv(x, y)＄，则其导数为：＼f'（z) ＝＼lim_{＼Delta z ＼to 0} ＼frac{f(z ＋＼Delta z) f(z)｝｛＼Delta z}＼柯西黎曼方程为：＼＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}，＼quad ＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＼例如，函数＄f(z) ＝ z^2 ＝（x ＋ iy)＾2 ＝ x^2 y^2 ＋ 2ixy$，则＄u ＝ x^2 y^2$，＄v ＝ 2xy$。
复变函数错例分析
复变函数错例分析卢 占 会西安交通大学高等数学教研室编的工程数学教材《复变函数》（[1]）被全国许多高等院校广泛使用．它结构严谨，自成体系；选材精练，文字通俗易懂，有一定深度和广度；基本内容符合我国工科高等院校教学的实际需要．它确实是一本好教材．长期以来我校一直选用该教材．在教学实践中发现学生作业中经常出现以下问题，有的是概念、理论不清楚，有的是没搞清实数与复数的区别，现指出来供参考．１．设函数)(z f 在0z 连续且0)(0≠z f ，那么可找到0z 的小邻域，在这邻域内0)(≠z f ．（[1]中34页29题） 错证 )(z f 在0z 连续，设)0()(lim 0≠=→A A z f z z （[2]中为)0()(lim 00≠=→A A z f z z ，不妨设0>A ．由极限定义，取20A =ε，必存在一正数)(0εδ，使得当)(000εδ<-<z z 时有0)(ε<-A z f ．即2322)(0)(A A A z f A z f <<<⇒<-．0<A 情况，类似可证．得证．（此证法见[2]中108页29题及其证明）分析 因)(z f 是复变函数，)(lim 0z f z z →为复数，即A 是复数，显然上述证明中不应就0>A 和0<A 两种情况讨论．证明 由)(z f 在0z 连续且0)(0≠z f 知，对2)(00z f =ε，必存在一正数)(0εδ，使得当)(00εδ<-z z 时有00)()(ε<-z f z f ．从而)()()()()()()(0000z f z f z f z f z f z f z f --≥-+=0)(2(2(0)0)0>=->z f z f z f ，即在0z 的)(0εδ邻域内0)(≠z f ．得证．２．设A z f z z =→)(lim 0，证明)(z f 在0z 的某一去心邻域内是有界的，即存在一个实常数0>M ，使在0z 的某一去心邻域内有M z f ≤)(．（[1]中34页30题） 错证 由A z f z z =→)(lim 0，根据极限定义，（如上题所证）可得23)(Az f <在某一δ<-<00z z 邻域内，M z f ≤)(取23A M =．（此证法见[2]中108页30题及其证明） 分析 该证明中＂如上题所证＂显然又未注意到)(z f 是复变函数和A 是复数，再者0=A 时＂取23A M =＂显然不合适．证明 由A z f z z =→)(lim 0，根据极限定义，对1=ε，存在0>δ，当δ<-<00z z 时有1)(<-A z f ，即1)()()(+≤-+≤-+=A A z f A A z f A z f ，取1+=A M 即可． ３．（[1]中68页16题）证明对数的下列性质（１）)()()(2121z Ln z Ln z z Ln +=；（２）)()()(2121z Ln z Ln Ln z z -=证明（１）2121212121212arg 2arg ln ln 2)arg(ln )(Lnz Lnz i m z i i l z i z z ik z z i z z z z Ln +=+++++=+⋅+=πππ （２）2121212arg arg ln ln 2)arg(ln )(212121Lnz Lnz i k z i z i z z ik i Ln z z z z z z -=+-+-='++=ππ （此证法见[2]中123页16（１）（２）题及其证明）分析 学生看了该解答后，误认为＂)arg()arg()arg(2121z z z z +=＂和＂)arg()arg(121z z z =)arg(2z -＂是成立的，还不易说清m l k ,,三者之间的关系．该证明改进为：（1）根据指数的加法定理，由恒等式11z eLnz =和22z e Lnz =可知212121z z e e e Lnz Lnz Lnz Lnz ==+．另一方面，因21)(21z z ez z Ln =，故2121)(Lnz Lnz z z Ln e e +=，从而)()()(2121z Ln z Ln z z Ln +=．（2）由恒等式11z e Lnz =和22z e Lnz =可知21212121z z eeLnz Lnz Lnz Lnz Lnz Lnz e e e ===--另一方面，因2121)(z z z z Ln e=，故)(21z z Ln e＝21Lnz Lnz e-，从而)()()(2121z Ln z Ln Ln z z -=．４．（[1]第204页例3）求将上半平面0)Im(>z 映射成单位圆1<w ，且满足条件0)2(arg ,0)2(='=i w i w 的分式线性映射．该题在解答中有＂2)4arg(arg )4(arg))2('arg(πθθθ-=-+=-=i i i w e e ii＝0＂而在［1］第一章第12页中有＂对非零复数z z 21,，有)()()(2121z z z z Arg Arg Arg +=成立＂．我们自然要问＂)arg()arg()arg(2121z z z z +=成立吗？＂．显然一般而言是不成立的（如取,121-==z z 则0)arg(21=z z ，但π2)arg()arg(21=+z z ）． 此处可改为＂0arg )(arg ))2('arg()(42==-=-e e i iii w πθθ，由此可推出取2πθ=＂．另外，［1］第206页例6中也有类似问题，我们可作类似修改．。
复变函数习题解答
复变函数练习题解答一、求出下列函数的奇点，并确定它们的类别（对于极点，要指明它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论. （1）1()1sin f z z=，（2）11()e 1zf z z=-- 解. （1）1()1sin f z z=有奇点10,(1,2,3,),πk k =∞，因在扩充复平面上 11sin ()f z z=有一阶零点1(1,2,3,),πk k =∞，故1()1sin f z z=有一阶极点1(1,2,3,),πk k =∞，易见0是()f z 的一阶极点1(1,2,3,)πk k =的极限点，因而0不是()f z 的孤立奇点.解. （2）11()e 1z f z z=--有奇点0,2πi(1,2,3,),k k =∞，因000e 1(e 1)lim ()lim lim (e 1)((e 1))z z z z z z z z z f z z z →→→'-+-+=='-- 0001e (1e )e 1lim lim lim e 1e (e 1e )2e e 2z z z z z z z z z z z z z z z →→→'---====-'-+-++ 0是()f z 的可去奇点，易见()f z 有一阶极点2πi(1,2,3,)k k =.事实上2πi2πi2πi 2πilim (2πi)()lim ()e 1zz k z k z k z k z k f z z→→---=-- 2πi 2πi 2πi 1limlim 1e 1ez z z k z k z k →→-===- 因而∞是()f z 的一阶极点2πi(1,2,3,)k k =的极限点，∞不是()f z 的孤立奇点.二、考查函数3322()2f z x y x y i =-+的可微性和解析性，并求出导数（如存在）.解. 因33(,)u x y x y =-，22(,)2v x y x y =，23u x x ∂=∂，23u y y∂=-∂， 24v xy x ∂=∂，24v x y y ∂=∂，故3322()2f z x y x y i =-+仅在两个点33(0,0),(,)44满足C R -条件u v x y ∂∂=∂∂，v uxy ∂∂=-∂∂，因此函数3322()2f z x y x y i =-+处处不解析，仅在两个点33(0,0),(,)44可导和可微，且(0)0f '=，3327()444f i '+=.三、求出圆2z <到半平面Re 0w >的共形映射()w f z =，使符合条件(0)1f =解.1． 12zz =将圆2z <映为圆11z <，2． 因212i z iz e z iθ-=+将半平面2Im 0z >映为圆11z <，故逆映射 121i i i e z z e z θθ+=-将圆11z <映为上半平面2Im 0z >3．2i w z =-将上半平面2Im 0z >映为右半平面Re 0w >4． 上述三个映射的复合22i i z e w e zθθ+=-将圆2z <映为半平面Re 0w >，且符合 条件(0)1f =.四、证明：级数111(1)i 1n n n ∞-=-+-∑收敛，但不绝对收敛，提示，写成实部和虚部.证 因112211111(1)(1)(i)i 1(1)1(1)1n n n n n n n n ∞∞--==--=--+--+-+∑∑ 其实部1211(1)(1)1n n n n ∞-=---+∑条件收敛，虚部1211(1)(1)1n n n ∞-=--+∑绝对收敛 因此级数111(1)i 1n n n ∞-=-+-∑收敛，但不绝对收敛.五、计算下列积分（1）1d (31)z zz z =+⎰ （2）2π0d ,(1)cos a a θθ>+⎰ 解. （1）1d 12π(Res(,0)Res(,))0(31)3z z i f f z z ==+-=+⎰，事实上 001Res(,0)lim ()lim131z z f zf z z →→===+1Res(,))3f -103111Res(,)lim()()lim 1333z z f z f z z →→--=+==-（2）已知1a >，为求2π0d cos a θθ+⎰，令i e ,02πz θθ=≤≤，则原积分I =22111d 2d 1i i 21()2z z z zz z z az a z ===++++⎰⎰， 记21()21f z z az =++，1z a =-+122πiRe (,)iI s f z =111214πlim4πlim 2122z z z z z z z az z a →→-==+++112πz a ==+六、设函数()f z 在区域D 内解析，试证222222()()4'()f z f z x y∂∂+=∂∂ 证（1）设()i f z u v =+，则222()f z u v =+，（2）左222222222()2()xx y y xx yy xx yy u v u v u u u v v v =+++++++（3）由（2）和Laplace 方程0xxyy u u +=，0xx yy v v +=知，左22222222xx y y u v u v =+++，（4）由（3）和CR -条件v u y x ∂∂=∂∂，u v yx ∂∂=-∂∂知，左2244x x u v =+ （5）由（4）和()i x x f z u v '=+知，右2244x xu v =+ （6）由（4）和（5）知，左=右.七、设()f z 在1z <内解析，且(0)0f =，()1f z <，如果原点0是()f z 的λ阶零点，则 （1）当1z <时()f z z λ≤（2）()(0)1!f λλ≤（3）如对于某一点00(01)z z <<，有00()f z z λ=，或者，()(0)1!f λλ=，那么，在1z <内()f z z λμ=，其中μ是一复常数，1μ=证因原点0是()f z 的λ阶零点，故可以将()f z 在1z <展成如下的幂级数1212()f z c z c z c z λλλλλλ++++=+++，且0c λ≠，记212()z c c z c z λλλϕ++=+++，则()z ϕ在1z <内解析，()()f z z z λϕ=，()()f z z zλϕ=， 设1r<，0z r <，则由最大模定理知，0()()1()max{()}max max z r z r z r f z f z z z z r zλλϕϕ<==≤=≤<，令10r→-，得0()1z ϕ≤，因此（1） 当1z <时()f z z λ≤得证； （2） 由1212()f z c z c z c z λλλλλλ++++=+++知，()1()!(1)!f z c c z λλλλλ+=++⋅+，()1()(1)!f z c c z λλλλλ+=+++同（1）类似可以证明()()1!f z λλ≤.（3） 如对于某一点00(01)z z <<，有00()f z z λ=或()(0)1!f λλ=，那么由最大模定理知，()z ϕ或()()!f z λλ是常值函数.因此，在1z <内，()f z z λμ=，其中μ是复常数，且1μ=.。
复分析与复变函数的性质与分析方法
复分析与复变函数的性质与分析方法复分析是数学中的重要分支，研究的对象是复变函数。
复分析的性质与分析方法对于解决许多数学和物理问题起着重要的作用。
本文将讨论复分析与复变函数的一些基本性质和分析方法。
一、复变函数的定义与性质复变函数是以复数为自变量和函数值的函数，定义域和值域都是复数集。
对于复变函数f(z)，它可以写成两个实部和虚部的和：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy。
复变函数有许多重要的性质，其中包括解析性、连续性、可导性等。
若函数在其定义域内处处可导，则称该函数为解析函数。
若函数在其定义域内处处连续，则称该函数为连续函数。
复变函数具有解析的性质，可以通过柯西—黎曼方程来判断一个函数是否解析。
柯西—黎曼方程是复变函数解析的必要条件，它描述了解析函数的实部和虚部的偏导数之间的关系：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x。
这意味着一个函数在某点解析，当且仅当它满足柯西—黎曼方程。
二、复分析的基本分析方法1. 欧拉公式与指数函数欧拉公式是复数和指数函数的关系式，它表达了复数和三角函数之间的等价关系：e^(ix) = cos(x) + isin(x)。
欧拉公式的重要性在于将复数的指数形式与三角函数之间建立了联系，并为复分析提供了一个有力的工具。
指数函数是自然对数的一个特殊情况，对于复数z，可以定义指数函数为：e^z = e^(x + iy) = e^x * e^(iy)，其中x和y都为实数。
指数函数的重要性在于它具有良好的性质，如指数函数的导数等于自身。
2. 库仑公式与积分计算库仑公式是复变函数积分计算的基本公式，它将一个解析函数的路径积分与其在路径内的导数联系起来：∮f(z)dz = 0。
库仑公式的使用可以简化复杂的积分计算，通过寻找包围某个区域的简单路径，可以将积分计算转化为路径积分求解。
库仑公式的应用包括计算围道积分和留数定理等。
围道积分是沿某个封闭路径的积分，通过将定积分转化为围道积分，可以利用库仑公式将计算简化。
复变函数疑难分析与解题方法
复变函数疑难分析与解题方法复变函数是一种常见的数学问题，也是中学数学考试的重要组成部分，许多学生都面临着复变函数的疑难分析和解题方法。
本文将以此为研究焦点，基于现有研究，探讨复变函数疑难分析和解题方法。
首先，要正确分析复变函数疑难，首先需要学习复变函数的定义及其基本性质。
复变函数（complex function）是指有多个复变量组成的函数，这些复变量可以是复数，也可以是其他形式的函数表达式（如复变量函数）。
复变函数的基本性质可以通过图解的形式给出，它们的图像可以作为函数的定义和变化的描述。
其次，要正确分析复变函数疑难，还需要学习复变函数的分析方法。
复变函数的分析方法可以将复变函数分解为其主要的部分，并用正规的函数来近似描述其变化。
复变函数的分析方法包括代数展开法、幂级数法和归纳法等，这些方法均有其特定应用场景。
例如，代数展开法可以用来解决复数表达式；幂级数法可以用来求解复变函数的有界性；归纳法可以用来求解复变函数的局部变化。
最后，要正确分析复变函数疑难，还需要学习复变函数的解题方法。
复变函数的解题方法需要根据复变函数的定义及其基本性质，运用复变函数的分析方法，推断出复变函数的结论，并最终找出正确的解题步骤。
解决复变函数问题时，需要仔细查看题干，明确关键信息，正确理解题意，针对问题仔细分析，运用复变函数的分析方法求解，做出有根据的结论，最终得出正确的解题结果。
综上，复变函数是一种常见的数学问题，正确分析复变函数疑难并解答题目，需要学习复变函数的定义及其基本性质、复变函数的分析方法、复变函数的解题方法，努力思考，以有根据的结论和正确的解题步骤得出正确的解题结果。
只有掌握复变函数的基本概念及其解题方法，才能真正掌握复变函数的分析和解题技能，并建立起自信自觉的对复变函数的理解和解答能力。
(完整版)《复变函数》重点难点
重点难点第一篇 复变函数论本篇重点：解析函数、复变函数的积分与留数定理.本篇特色：通过一典型环路积分，将各章节有机联系起来，使复变函数理论成为一个系统的有机整体，并加强了各部分内容之间的相互联系.注重培养创新思维、计算机仿真和解决实际问题的能力..第一章复数与复变函数本章重点：复数的基本知识和复变函数区域的基本概念及其判断方法；复变函数连续和极限的概念； 区域概念及其判断；复变函数的极限和连续。
本章难点：涉及到计算机编程实践, 以培养读者的计算机仿真能力. 读者可以利用Matlab ,Mathcad,Mathmatic 等数学工具软件直接进行复数及复变函数的基本运算, 详细参考第四篇：计算机仿真编程实践部分本章知识点摘要：1.复数的概念定义形如i x y +的数为复数，记作i z x y =+.其中x 、y 分别称为复数z 的实部、虚部，记作()Re x z=，()Im y z =，i 称为虚数单位，它满足2i 1=-.与实数不同，两个复数之间一般不能比较大小.2.复数的表示法（1）几何表示：对于复数i z x y =+可以用平面上起点在()0,0O ，终点在(),P x y的矢量（或向量）OP u u u r 表示；（2）代数表示：对于平面上的点(),P x y可用代数形式i z x y =+表示复数，这种表示法称为代数表示，也可称为直角坐标表示；（3）三角表示：当i 0z x y =+≠时，复数可用三角函数()cos isin z r θθ=+形式表示.其中r z ==称为复数z 的模；=Arg arg 2z z k θπ=+（k 取整数）称为z 的辐角.当0k =时，对应于辐角的主值0arg z θ=，在本书中规定为πarg πz -<≤； 3.复数的运算（1）复数满足常规的四则运算规律.（2）若()1111cos isin z r θθ=+，()2222cos isin z r θθ=+，则()()12121212cos isin z z r r θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦()20z ≠（3）方根：设()cos isin z r θθ=+，则()()2π2πcos isink k nnθθ++⎤=+⎥⎦ 0,1,2,,1k n =-L关于复数的模和辐角有以下运算公式1212z z z z =；1122z z z z =()20z ≠ ()1212Arg Arg Arg z z z z =+4.区域和平面曲线本章我们给出了系统的有关区域和平面曲线的概念.（1）区域：严格的定义是指同时满足下列两个条件的点集D ：(i) 全由内点组成；(ii)具有连通性: 即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全都属于该点集；满足这两个条件的点集D 称为区域.连通的开集称为区域，区域与它的边界一起构成的点集称为闭区域.区域可分为有界区域和无界区域，区域还有单连通区域与复连通区域之分.（2）简单曲线:没有重点的连续曲线,称为简单曲线.简单闭曲线: 如果简单曲线的两个端点重合，则称为简单闭曲线.5.复变函数 极限与连续函数()()(),i ,f z u x y x y =+v 的极限等价于两个二元实函数(),u u x y =和(),x y =v v 的极限.函数()()(),i ,f z u x y x y =+v 在点000i z x y =+处的连续性等价于两个二元实函数(),u x y 和(),x y v 在该点的连续性.解题思路:例 研究什么原像通过映射2z =w 后变为相互垂直的直线,, (,0)u a b a b ==>v .【解】 由2222(i )i2z x y x y xy ==+=-+w ，可以视为从xy 平面到u v 平面的映射，即为从z 平面(原像)到w 平面（像）的映射，易得22,2u x y xy =-=v我们具体考察在w 平面的像为相互垂直的直线,原像应该是什么？由题得到22, 2, (,0)u x y a xy b a b =-==>v =即有22,(0)x y a a -=> 显然原像为双曲线，如图1.11(a )实线所示； 即有 2, (0)xy b b =>v = 显然原像为双曲线，如图1.11(a )虚线所示.另外我们还可以进一步观察双曲线对应的变化关系.1.11(a )的双曲线右分支实线上时，由u a =且2xy =v ，得到，2=v .因此双曲线的右分支的像可以表示为参数形式：,2u a ==v()y -∞<<∞很明显，当点(,)x y 沿着右分支实线向上运动时，它的像如图1.11(b )沿直线u a =向上运动.同样，双曲线左分支的像的参数形式表示为, 2u a ==-v )(∞<<-∞y 当左分支上的点沿曲线向下运动时，它的像也沿直线u a=向上运动. 同样地可以分析：另一双曲线0>图1.112xy b = (0)b >映像到直线b =v .变化趋势如图1.11(a),(b)虚线所示，读者可自行分析.重点难点第二章 解析函数重点：复变函数导数的定义、求导法则及可微性概念； 解析函数的概念； 保角映射的概念； 常用的初等解析函数； 解析函数与调和函数的关系 难点：多值函数产生多值性的原因；如何找出支点以及在什么样的区域内多值函数可以划分为单值的解析分支； 从几何意义上描述解析函数的特征. 特色：（Matlab ，Mathcad ，Mathmatic ）编程计算简单的复数方程本章知识点摘要：1.复变函数的导数与微分复变函数的导数定义在形式上和一元实函数的导数定义是类似的：()()()limz f z z f z f z z ∆→+∆-'=∆微分的定义和高等数学里面一元实函数的微分定义也相似，而且可导和可微是等价的，d ()()d f z f z z '=.2.解析函数的概念解析函数是复变函数中一个十分重要的概念，它是用复变函数的可导性来定义的，若()f z 在0z 及其一个邻域内处处可导，则称()f z 在0z 解析.函数在某一点可导，在这点未必解析，而在某一点解析，在这点一定可导.函数在一个区域内的可导性和解析性是等价的.3.柯西－黎曼条件方程复函数的解析性除了要求其实部和虚部的可微性外，还要求其实部和虚部满足柯西－黎曼方程（即C-R 方程）.函数()i f z u =+v 在区域D 内解析,u ⇔v 在D 内可微，且满足C-R 条件：,x y x yu u ==-v v .4.关于解析函数的求导方法 (1) 利用导数的定义求导数(2) 若已知导数存在，可以利用公式()i i i i x x y y x y y xf z u u u u '=+=-=-=+v v v v求导.5初等复变函数初等复变函数的解析性：初等函数解析性的讨论是以指数函数的解析性为基础的，因此在研究初等解析函数的性质时，都可归结到指数函数来研究.6解析函数与调和函数的关系区域D 内的解析函数()(,)i (,)f z u x y x y =+v 的实部和虚部都是D 内的调和函数.要想使得()i f z u =+v 在区域D 内解析，u 和v 还必须满足C-R 条件. 因此若己知一调和函数，可由它构成某解析函数的实部（或虚部），并可相应地求出该解析函数的虚部（或实部），从而求出该解析函数. 平面稳定场求复势就是其典型应用，也是解析函数物理意义的体现. 解题思路例 已知 等势线的方程为22x y c +=，求复势. 【解】若设22u x y =+，则2, 2 0xx yy xx yy u u u u ==∴+≠，故u 不是调和函数.因而不能构建为复势的实部（或虚部）.若令 222,()x y u F ρρ=+=，采用极坐标有0uϕ∂=∂，故把极坐标系中的拉普拉斯方程 22211()0u u u ρρρρρϕ∂∂∂∆=+=∂∂∂简化为1()0uρρρρ∂∂=∂∂，即为112,ln uC u C C ρρρ∂=∴=+∂根据极坐标C-R 条件的得到 113,u C C ρϕϕρ∂∂==∴+∂∂v v =C ，故复势为1213123123()ln i i (ln i )i ln , (i )f z C C C C C C C C z C C C C ρϕρϕ=+++=+++=+=+我们可以总结出，当,u v 具有22()nx y ±+的函数形式时，一般采用极坐标运算较为方便.重点难点第三章 复变函数的积分重点：复变函数积分的概念、性质及计算方法；解析函数积分的基本定理−−柯西积分定理； 推广得到的复合闭路定理，闭路变形定理；由柯西积分定理推导出一个基本公式−−柯西积分公式.难点：理解分别以有界单连通域、有界复连通域、无界区域对柯西积分公式进行的证明；理解复变函数积分理论既是解析函数的应用推广 特色：尝试计算机仿真计算积分的值。
第五章 平面问题的复变函数解答1
4U 4U = 22U=16 2 2 = 0 z z 4U （a） ） =0 2 2 z z
—— 相容方程的复变函数表示
3. 应力函数的复变函数表示
z 各积分两次 U = f1(z) + zf2 (z) + f3 (z) + zf4 (z) （b） ）
为实函数， ∵双调和函数量 U 为实函数，所以式 （b）中应两两共轭，有 ）中应两两共轭，
§ 5-2
假定不计体力， 假定不计体力，有
应力和位移的复变函数表示
2U 2U 2U + 2 =4 2 x y zz
2
1、应力分量的复变函数表示
（5-4） ）
2
U U U σx = 2 , σ y = 2 , τ xy = y xy x
2
2
由方程（ ） 由方程（5-4）得
（5-7） ）
2U 2U 2U σ x +σ y = 2 + 2 = 4 x y zz
§ 5-1
(1) 复数的表示
应力函数的复变函数表示
y x
1、复变函数的基本概念
z = x + iy
(x,y) y x (x,-y)
z = x + iy z = ρ(cosθ + i sin θ ) = ρeiθ
(i = 1)
θ
ρ
θ
O
其中： 为虚数单位； 其中： i ——为虚数单位； 为虚数单位
ρ
(2) 共轭复数
[
]
将式（ ）代入， 将式（5-5）代入，有
σ y σ x + 2iτ xy
（5-8） ）
2U 2U 2U = 2 2 + 2i xy x y
单位复超球上多复变解析函数的边值问题
单位复超球上多复变解析函数的边值问题边值问题一直是数学建模中重要的一部分，必须被解决。
在单位复超球上复变解析函数的边值问题中，研究者们尝试研究解决这个问题所再面临的一系列挑战。
本文将详细讨论单位复超球上复变解析函数的边值问题，并给出一些有效的解决方案。
首先，简要回顾单位复超球上复变解析函数的边值问题。
单位复超球是一类高维度几何关系，它能够描述更复杂的复变函数，因此非常有用。
但是，复变解析函数的边值问题很难被解决，因为从复变解析函数的不同切片上求解边值问题是一个庞大的复杂问题，而且由于高的复杂性，求解难度也十分大。
其次，研究者们试图研究复变解析函数的边值问题，并提出一些有效的解决方案。
其中，一种方法是采用离散正则化来解决边值问题，并使用谱算法或块精确方法。
离散正则化可以将复变解析函数的复杂度降低到可求解的范围，从而可以实现边值的解决。
对于离散正则化的应用，研究者们已经提出了一些有效的方法，例如运行谱算法和块精确方法。
再次，研究者也在尝试利用多视图补偿方法来解决复变解析函数的边值问题。
多视图补偿方法是一种新的边值解决方法，它可以有效地处理复变解析函数的边值问题。
多视图补偿方法将视图补偿和视图校验应用于复变解析函数的边值问题。
通过不断优化视图补偿和视图校验，多视图补偿方法能够有效解决复变解析函数的边值问题。
最后，在介绍多视图补偿方法之后，本文还将介绍一些复变解析函数的边值问题的应用。
在计算机视觉的应用领域，复变解析函数的边值问题可以应用于图像加强，视觉处理，图像分割，运动估计，计算机视觉注意力机制和三维空间再构造等方面。
总之，本文针对单位复超球上复变解析函数的边值问题，详细地介绍了一些有效的解决方法，并简单介绍了它们在计算机视觉领域的应用。
希望这些内容能够为研究者提供一些有用的信息，帮助他们更好地解决复变解析函数的边值问题。
复变函数疑难问题分析
复变函数疑难问题分析1. 设zz z f 1sin )(2=，{}11|<-=z z D 。
1）函数)(z f 在区域D 中是否有无限个零点2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾为什么答： 有无限个零点。
可以具体写出其所以零点； 不矛盾。
因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。
因为0=z 为非孤立的奇点。
2. “函数sin z 在z 平面上是有界的”是否正确sin z 在z 平面上无界。
这是因为sin 2iz iz e e z i --=，令(0)z iy y =<，则|sin |||()2iz ize e z y i--=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确z e 是以2k i π为周期的函数。
因为z C ∀∈，221z k i z k i z z e e e e e ππ+==⋅=，k 为整数4. “()f z z =是解析函数” 是否正确()f z z =在z 平面上不解析。
因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =- 所以1u x ∂=∂，1v y ∂=-∂，0u y ∂=∂，0v x ∂=∂ 但是11u v x y ∂∂=≠-=∂∂，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平面上处处不满足..C R -条件 所以()f z z =在z 平面上不解析。
5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N ）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。
（1）复球面上与点(1)22对应的复数；（2）复数1+i 与复球面上的那个点；（3）简要说明如何定义扩充复平面。
解：（1）建立空间直角坐标系（以O 点为原点，SON 为z 轴正半轴），则过点,,1)22P 与点(0,0,2)N 的直线方程为21z -==-。
当0z =时，x y ==，所以,,1)22对应。
（2）复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。
复变函数及其基本问题.docx
§3复变函数及其基本问题一、复变函数的概念 二、复变函数的定义区域1 •区域定义参照高等数学的多元微分学基础，平行地有:⑴邻域：｛z||z_Zo| V §｝；去心邻域：｛z0V Z-Zo < =>内点、开集等。
⑵区域连通的开集。
⑶边界点；边界8D ：边界点的全体；闭区域D=D + dD o ⑷有界区域与无界区域。
2. 单连通域和多连通域⑴曲线的表示:设有连续实函数：则其表示一条平面曲线，此时其复式方程：z = x(r)+y(r> = z(r),称z = z(r)为连续曲线，记为z(r )GC[tz,Z?]o例4求过点Z]=坷+ iy ｝, z 2 =x 2 + iy 2的直线厶的复式方程。
解任取"L ,易知，乙_可 〃乙2 — Z]<=>― =t, 即Z_Z[=『(?2 _zj,•*. Z = Z| + t(z 2 - Z[)即为所求。
例5指出z = ocosf+ ibsiiu 表示什么曲线?2 2 解 •/ z = x + yi, :. x = acost,y = hsint ,=＞罕 +厶 cT b~⑵曲线类型:简单曲线z 二z(J, te[a,b]： z(/)wC[o,对 且片i w(a,b)时，Z CJ HZ &Z )。
又称为约当曲线。
若Z (a)=Z0),称为简单闭曲线，如图：光滑曲线 Z = z(t):兀'(/), yQ)e c[a,b]且兀;2 + ”2 丰0。
；±： 1°.导数连续：•・• %；2 + v ；2 =0«x ； = y ；=0 n=1 ------ 椭圆。
岂2°.切线连续变化，几何如图：相接各节光滑的曲线称为按段光滑曲线。
⑶单连通域和多连通域单连通域对任简单闭曲线CuD ，总有/(C)oDo 否则，称D 为多连 通域或复连通域。
注：单连通域的几何特征：无洞！三、复变函数的极限与连续1. 极限概念及性质定义 4 lim jf(z)= A ： Vg > 0,» >O,O<|z~z o <^,|/(z)-A <£。
复变函数课本疑难解答
课本疑难解答1、P14页，在推导非零复数z 的n 次方根时，最后结果中为何0,1,2,,1k n =- ，不取0,1,2±± ？求解非零复数z 的n 次方根()2,.n n N ≥∈即解方程 ()2,.nw z n n N =≥∈又设,.ie i z re w e ϕρ==则 由n w z =得：.n in i e re ϕθρ=从而n r ρ=或ρ=2n k ϕθπ=+或2k nθπϕ+=,A rgz A n==且z 的n 次方根为22.k k ii innn k kw e θππθ+===这里k 表面可以取0,1,2,±± 但实际只要取0,1,2,,1k n =- 可得()0z ≠的n个不同的根.k分析：Ⅰ）当()11k m m n =-≤≤-时，有1 1.n m n ≤-≤-且222k k iiiii nnnnmkeeeπθπθπ⋅-===⋅()2n m iinnn me πθ--==Ⅱ）当k n =±时，()20.n iinnk nw eπθ±±===Ⅲ）当k n >或k n <-时，()1101k rn s s n =+≤≤-或()()22,01,.k r n s s m m n r N =-+=-≤≤-∈有12ki i sn nkn mk nek nπθ-⎧>⎪==⎨⎪<-⎩综上可知：只要取0,1,2,,1k n=-可得()0z≠的n个不同的根.k2、P66-67页.一般变换nzω=把ω平面上张度为2nπ的n个角形.()22:0,1,2,1kk kT k nn n n nππππϕ⎛⎫⎛⎫-<<+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.变换成z平面上除去点及负实轴的区域G.易见i>.()i jT T i j=∅≠且所有kT及共同边界填满ω平面.ii>每个kT都nzω=的单叶性区域.分析：111ieϕωρ=，222ieϕωρ=∈kT，12ωω≠，有两种情形：(a).当12121122in inn nz e e zρρρρρρ≠⇒=≠=；(b).当12ρρ=时。
《复变函数》常见问题
《复变函数》常见问题(分章列出)第一章：复数与复变函数 第十一章：行波法与达朗贝尔公式 第二章：解析函数 第十二章：分离变量法第三章：复变函数的积分 第十三章：幂级数解法 本征值问题 第四章：解析函数的幂级数表示 第十四章：格林函数法第五章：留数定理 第十五章：积分变换法求解定解问题 第六章：保角映射 第十六章：保角变换法求解定解问题 第七章：傅里叶变换 第十七章：变分法第八章：拉普拉斯变换第十八章：数学物理方程综述(无常见问题)第九章：数学建模--数学物理定解问题第十九章：勒让德多项式 球函数 第十章：二阶线性偏微分方程的分类第二十章：贝塞尔函数 柱函数常见问题第一章 复变函数论问题一：映射1z =w 下，曲线（1）224x y +=；（2）22(1)1x y -+=变成w 平面上的什么曲线？【解】 利用22,,22i z z z z x y x y zz +-==+=， （1）代入224x y += 则有 2114, 4 i14zz u u =∴⋅==+∴+=2w v w w v因此，z 平面上的曲线224x y +=，在映射1z =w 下变成w 平面上的以原点为圆心，12为半径的圆.问题二： (1,2,,)k z k n =⋅⋅⋅对应为10nz -=的根，其中2n ≥且取整数.试证明下列数学恒等式成立11()10()nnk km m m k zz ==≠=-∑∏（1.8.1）【 证明】 为考虑问题的方便，方程10nz -=的根可写为2πi(1,2,,)knkz e k n===⋅⋅⋅令2πint e=，则,(1,2,kkz t k n==⋅⋅⋅.再考虑到级数11()1()nnkk mmm kz z==≠-∑∏，令11()k nk mmm kaz z=≠=-∏，这样证明数学恒等式，即需证明1nkka==∑.我们先考察级数1nkka=∑的各项：当1k=时,故有第一项第二项为2223242212322(1)1222(1)2212(1)22111()()()()()()()11(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1(1)(1)(1)(1)nnn n n nn n naz z z z z z t t t t t t t tt t t t t t t t t tt t t t t---------==--⋅⋅⋅----⋅⋅⋅-==---⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--=--⋅⋅⋅--推导中已使用：2πii2π111,1,n n nnt e t e t t t t---====⋅=同理，通项即第k项为1211(1)2211()()()()()1(1)(1)(1)(1)kk k k k k k k nk n n naz z z z z z z z z zt t t t t-+---=--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=--⋅⋅⋅--显然级数1nkka=∑为一等比级数，其公比为：221111n ni inkn nka tq t e t q t ea t tππ--====∴=∴==因1n>，故1q≠.故2πi11112π2πi i1(1)(1)(1)111111nn nn nkk n na q a t ea a aq t e e⋅=----=====----∑数学恒等式成立得证.问题三：设1z，2z，3z满足123z z z++=.且1231z z z===.证明：1z，2z，3z为内接于单位圆的正三角形三顶点.【证明】由条件，1z，2z，3z均位于以原点O(0,0)为园心，1为半径的单位圆周上，不失一般性，可设11=z，222sinicosθθ+=z，333sinicosθθ+=z.则为证结论，只需证22π3θ=，32π3θ=-即可.由321=++zzz得coscos132=++θθ（1.8.3）sinsin32=+θθ（1.8.4）故得23332sin sin sin () θθθθθ=-=-∴=-，代入（1.8.3）得 2221cos cos()12cos 0θθθ++-=+=2212 cos π23θθ∴=-∴=，32π3θ=- 问题四：究下列函数在0z =点的连续性.（1）Im()()1z f z zz =+ （2）Re(), 0()0, 0z z z f z zz ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 【解】（1）i i 2000sin sin lim ()lim lim 011z r r r r f z re re r θθθθ-→→→===++，又因为(0)0f =，故函数()f z 连续.（2）i 2i i 000cos lim ()lim lim cos 0z r r re r f z re re θθθθθ-→→→===，又因为(0)0f =，故函数()f z 连续.常见问题 第二章 解析函数问题一：论函数()f z z =在复平面上的可导性.【解】由()()lim()i()(i )lim i lim i z z z f z z f z zx x y y x y zx y x y ∆→∆→∆→+∆-∆+∆-+∆--=∆∆-∆=∆+∆设z ∆沿着平行于x 轴的方向趋向于零，因而0y ∆=，z x ∆=∆，这时极限00()()lim lim 1z x f z z f z x z x ∆→∆→+∆-∆==∆∆设z ∆沿着平行于y 轴的方向趋向于零，因而0x ∆=，i z y ∆=∆，这时极限00()()i lim lim 1i z y f z z f z y z y ∆→∆→+∆--∆==-∆∆因此导数不存在，原函数()f z z =在复平面上处处不可导.问题二：函数()f z ==w 00z =处的可导性.【解】 首先考察C-R 条件是否满足.根据()(,)i (,)f z u x y x y ===+v有(,)(,)0u x y x y ==v(,0)(0,0)(0,0)lim 0(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim 0(0,0)x y x y x y u x u u xu y u u y ∆→∆→∆-===∆∆-===-∆v v 显然在00z =处C-R 条件成立.根据函数可导的定义式有(0)(0)f z f z +∆-=∆ 当0z ∆→，（且使得0x +∆→），那么当z 沿射线y kx =趋于0时，上式比值为||x x ∆=∆显然不同的趋向得到不同的值，故原函数在00z =处不可导.问题三：数2()||f z z =在复平面的可导与解析性.【解】 由20000()(0)||(0)lim lim lim lim 0z z z z f z f z z zf z z z z ∆→∆→∆→∆→∆-∆∆∆'====∆=∆∆∆可知 ()f z 在点0z =处可导，对任意000i 0z x y =+≠220000000000()()||||()() f z z f z z z z z z z z z z z z z z z z +∆-=+∆-=+∆+∆-=∆+∆+∆∆则0000()()f z z f z zz z zz z +∆-∆=++∆∆∆显然当沿平行于x 方向趋于零时，即0z x ∆=∆→时，有 00000000()()lim lim 02z x f z z f z zz z z z x z z ∆→∆→+∆-∆=++=+=∆∆当沿平行于y 方向趋于零时，即有i 0z y ∆=∆→时，有00000000()()i lim lim 02i i z y f z z f z yz z z z y z y ∆→∆→+∆--∆=++=-=-∆∆由于在任意00z ≠处两极限不完全相等，所以函数()f z 在任意的00z ≠处不可导.（注意到：尽管函数在0z =处可导，但其邻域00z ≠处不可导）故根据函数解析的定义，2()||f z z =在复平面内处处不解析. 问题四 Arcsin 2【解】Arcsin 2iLn(2i iLn[(2=-+=-πi ln(2i 2πi 2k ⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦πi ln(22π2k =-+ 其中k 取整数常见问题第三章 复变函数的积分问题一：（环路积分中的换元积分法）计算积分1id z z⎰．【解法1】 z 在整个复平面上解析，且212z z'⎛⎫= ⎪⎝⎭，运用复积分的牛顿－莱布尼兹公式有12122i i11d |[1(i)]122z z z ==-=⎰【解法2】换元积分法令2t z =，则当i z =，有1t =-；当1z =，有1t =所以12111i i 111d d()d()[1(1)]12222z t t z z --====--=⎰⎰⎰问题二：积分2||2d 1z z z z =+⎰并判断闭合环路积分中换元积分法是否成立．【解法1】 作积分变换 2z t =，则122||2||2||2d d 1d 12πi πi 11212z t t t z z t z t t =======+++⎰⎰⎰【解法2】 3.1.3 2||2||2||2||2d 1111d 11[]d d πi πi 2πi 12i i 2i 2i z z z z z z z z z z z z z z =====+=+=+=+-+-+⎰⎰⎰⎰问题三：d (i)(3)C zz z -+⎰，其中C 为圆周2z =，且取正向．【解】 要注意1()(i)(3)f z z z =-+在2z ≤内只有i z =一个奇点，将()f z 分成为 111()3i i 3f z z z ⎛⎫=- ⎪+-+⎝⎭，则由闭路变形定理d 111d (i)(3)3i i 3C C zz z z z z ⎛⎫=-⎪-++-+⎝⎭⎰⎰11113i i 3i 312πi 2πi 03i 3i C C dz dz z z =-+-++=-=++⎰⎰常见问题第四章 解析函数的幂级数表示问题一： 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？(1)0(8i)!nn n ∞=∑； (2)1(1)1i 2n n n n ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑.【解】(1) 因()8i 8!!nn n n =，由正项级数的比值判别法知∑∞=0!8n n n 收敛，故级数0(8i)!nn n ∞=∑绝对收敛.(2)因∑∞=-1)1(n n n ，∑∞=121n n都收敛，故原级数收敛，但因∑∞=-1)1(n n n 为条件收敛，所以原级数为条件收敛.问题二： 复级数0nn z∞=∑的收敛性，并讨论该级数在闭圆|| (1)z r r ≤<上的一致收敛性.【解】 首先对z 的范围分情况讨论：(1)当||1z <时，正项级数0||nn z ∞=∑收敛，故此时原级数绝对收敛，其部分和21111n n n z S z z zz --=+++⋅⋅⋅+=-因为lim 0n n z →∞=，所以11lim lim 11n nnn n n z z S z z ∞→∞→∞=-===--∑ 根据维尔斯特拉判别法，显然级数1nn z∞=∑在闭圆|| (1)z r r ≤<上满足||n nz r ≤即存在优级数0nn r∞=∑，故在该闭圆内一致收敛.(2)当||1z ≥时，||1nz ≥. 所以一般项nz 不可能以零为极限，从而级数发散.问题三： 若幂级数0(2)nnn c z ∞=-∑在00z =处收敛，问在3z =处收敛，还是发散?【解】令2t z =-，则得0nn t∞=∑在点00z =处即在0022t z =-=-处收敛. 根据阿贝尔定理，nn t∞=∑在点3z =处，即在21t z =-=处满足0||1||2t t =<=故原级数0(2)nnn c z ∞=-∑在3z =处收敛且绝对收敛.常见问题 第五章 留数定理问题一： 求函数1sin z 的孤立奇点,并判断类型及阶数。
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复变函数疑难问题分析1. 设zz z f 1sin)(2=，{}11|<-=z z D 。
1）函数)(z f 在区域D 中是否有无限个零点？2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？答： 有无限个零点。
可以具体写出其所以零点； 不矛盾。
因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。
因为0=z 为非孤立的奇点。
2. “函数sin z 在z 平面上是有界的”是否正确？sin z 在z 平面上无界。
这是因为sin 2iz iz e e z i --=，令(0)z iy y =<，则|sin |||()2iz ize e z y i--=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确？z e 是以2k i π为周期的函数。
因为z C ∀∈，221z k i z k i z z e e e e e ππ+==⋅=，k 为整数4. “()f z z =是解析函数” 是否正确？()f z z =在z 平面上不解析。
因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =-所以1u x ∂=∂，1v y ∂=-∂，0u y ∂=∂，0vx∂=∂ 但是11u v x y∂∂=≠-=∂∂，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平面上处处不满足..C R -条件 所以()f z z =在z 平面上不解析。
5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N ）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。
（1）复球面上与点,1)22对应的复数； （2）复数1+i 与复球面上的那个点； （3）简要说明如何定义扩充复平面。
解：（1）建立空间直角坐标系（以O 点为原点，SON 为z 轴正半轴），则过点,,1)22P 与点(0,0,2)N 的直线方程为21z -==-。
当0z =时，x y ==，所以对应。
（2）复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。
则直线方程2112x y z -==-与球面222(1)1x y z ++-=相交，其交点为222(,,)333，(0,0,2)N（3）z 平面上以个模为无穷大的假想点一北极N 相对应，复平面上加上∞后称为扩充复平面。
6．说明复变函数可微性与解析性的关系。
复变函数()w f z =在点0z 处可导，又称为可微，而()f z 在0z 处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称()f z 在0z 处是解析的。
所以（1）()w f z =在点0z 处可导(可微)，但不一定在0z 处是解析的， （2）()f z 在0z 处解析是指在0z 处的某个邻域内任一点处均可导， （3）()f z 在区域D 内可微与在区域D 内解析是等价的。
7．()1sin f z z=在区域D ：01z <<上解析且有无穷多个零点，但在区域D 上()f z 不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？ 1()sin f z z =在区域D ，01z <<内有无穷多个零点1k z k π=，但lim 0k k z →∞=，但0D ∉，而区域D 是去心邻域，()f z 在0z =点无意义，所以()f z 在0z =处是不解析的，也即1()sin f z z =在D 内解析也有无穷多个零点，但也不恒等于0，与零点孤立性定理不矛盾。
8.复级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都发散,则级数1()n n n a b ∞=±∑和1n n n a b ∞=∑发散.这个命题是否成立?为什么?答.不一定．反例: 2211111111i ,i n n n n n n a b n n n n ∞∞∞∞=====+=-+∑∑∑∑发散但2112()i n n n n a b n ∞∞==+=⋅∑∑收敛；112()n n n n a b n ∞∞==-=∑∑发散；241111[()]n n n n a b n n∞∞===-+∑∑收敛. 9.下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点. 答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.10. 为什么区域R z <||内解析且在区间),(R R -取实数值的函数)(z f 展开成z 的幂级数时，展开式的系数都是实数？因为当z 取实数值时，)(z f 与)(x f 的泰勒级数展开式是完全一致的，而在R x <||内，)(x f 的展开式的系数都是实数。
所以，在区域R z <||内，)(z f 展开成z 的幂级数时，它的系数都是实数。
11.由 23...1z z z z z =+++-2111...1z z z z =+++- 因为011z z z z +=--,所以有结果2332111...11...0z z z z z z+++++++++=请解释错误的原因。
答:因为23...1z z z z z=+++-要求z 1< 而2111...1z z z z =+++-要求z 1> 所以,在不同区域内2362111...11...011z z z z z z z z z z +≠+++++++++≠-- 12.0=z 是函数)/1cos(1)(z z f =的孤立奇点吗？为什么？解: 因为11()cos()z f z =的奇点有0z = 1π1π(0,1,2,...)π2π2k z k z k =+⇒==±±+所以在0z =的任意去心邻域，总包括奇点1ππ2z k =+，当k →∞时，z=0。
从而0z =不是11cos()z 的孤立奇点.13. 函数21()(1)f z z z =-在1z =处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式：25431111, 11(1)(1)(1)(1)z z z z z z =+-+->----L .我们得到“1z =又是()f z 的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么? 解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在011z <-<内得到的在011z <-<内的罗朗展开式为22221111111(1)(1)...(1)1(1)(1)1z z z z z z z z z =-+=-+--+-+----- 14. 如何证明当∞→y 时，|)sin(|iy x +和|)cos(|iy x +都趋于无穷大？证明：()()i i ii 11sin e e e e 2i 2iz z y x y x z --+-=-=⋅-∴i i ii 1sin e 2e e e e y x y x y x yy x yz e -+--+--=⋅-==而()()i i 11sin e e e e 22y x y x y y z -+---=-≥当+∞→y 时，0→-y e ，+∞→y e 有∞→+|)sin(|iy x ． 当-∞→y 时，+∞→-y e ，0→y e 有∞→+|)sin(|iy x ．同理得()()i i11cos i e e e e 22y x y x yy x y -+--+=+-≥所以当∞→y 时有∞→+|)cos(|iy x ．15. 设函数)(z f 在1||0<<z 内解析，且沿任何圆周C ：r z =||，10<<r 的积分为零，问)(z f 是否需在0=z 处解析？试举例说明之。
解： 不一定。
如令21)(z z f =，则其在1||0<<z 内解析，且沿任何圆周C ：r z =||，10<<r 的积分01)(||2==⎰⎰=rz Cdz zdz z f 但显然21)(zz f =在0=z 处不解析。
16.设)(z f 在 单连通区域D 内解析，且不为零，C 为D 内任何一条简单光滑闭曲线，问积分⎰'Cdz z f z f )()(是否为零？为什么？ 解： 等于零。
因)(z f 在D 内解析，故)(z f 具有各阶导数且仍为解析函数，从而)(z f '在D 内也解析，又因在D 内0)(≠z f ，故)()(z f z f '在D 内解析，从而在C 上及C 的内部也解析，于是由Cauchy-Gourssat 定理，有0)()(='⎰Cdz z f z f17. 设()333322,0(),00x y i x y z f z x yz ⎧-++≠⎪=⎨+=⎪⎩()f z 在原点是否满足C R -条件，是否可微？解：()()()()()3322,0,0,,0,00x y x y u x y x y x y ≠⎧-⎪=+⎨⎪=⎩()()()()()3322,0,0,,0,00x y x y v x y x y x y ≠⎧+⎪=+⎨⎪=⎩1lim )0,0()0,(lim)0,0(00=∆∆=∆-∆=→∆→∆xxx u x u u x x x ，同理0)0,0()0,0()0,0(===y x y v v u 。
从而在原点)(z f 满足C R -条件。
又zv i u v i u z z f f x x ∆⋅+-∆+∆=∆'-∆)0,0()0,0(()()( =[][]zy x z i y x i ∆∆+∆∆+-∆-∆+3333)()()1()()()1( 当z ∆沿0→∆=∆x y 时3)(2)1()(x i z z f f ∆+-=∆'-∆ 故)(z f 在原点不可微18. 在数学分析中，要构造一个处处连续又处处不可微的例子是一件非常困难的事情，而在复变函数中，这样的例子却几乎是随手可得，请举出一个例子． 例如： ()f z z =在z 平面上处处不可微．证明：不难看出()f z z =在z 平面上处处连续，但对于任意一点0z ．000000()()f z z f z z z z z z z zz z z z+∆-+∆-+∆-∆===∆∆∆∆当z ∆取实数趋于零时，上述极限为1，而当z ∆取纯虚数趋于零时，上述极限为1-，因此上述极限不存在，即()f z 在点0z 不可导，由0z 的任意性知)(z f 在点z 平面上处处不可微．19. “若),(y x u 和),(y x v 均为调和函数，则),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数”是否正确？解：不正确。
例如： 22),(y x y x u -=，22),(y x yy x v +=都是调和函数，但),(),()(y x iv y x u z f +=不是解析函数。