人教版数学高一必修一同步训练 函数的零点

§2.4 函数与方程

2．4.1 函数的零点

一、基础过关

1．函数f (x )＝x －4

x 的零点个数为

( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．无数个

2．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( ) A ．若f (a )f (b )>0，不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0

B ．若f (a )f (b )<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0

C ．若f (a )f (b )>0，有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0

D ．若f (a )f (b )<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0

3．若函数f (x )＝mx 2＋8mx ＋21，当f (x )<0时，－7

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点个数为

( )

A ．1 003

B ．1 004

C ．2 006

D ．2 007

5．若函数y ＝mx 2－6x ＋2的图象与x 轴只有一个公共点，则m ＝________.

6．已知一次函数f (x )＝2mx ＋4，若在[－2,0]上存在x 0使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________．

7．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．

8．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围． 二、能力提升

9．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是

( )

A.0，－12 B ．0，1

2

C ．0,2

D ．2，－1

2

10．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为 ( )

A ．1

B ．2

C ．0

D ．不能确定

11．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，

则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．

12．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .

(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；

(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

三、探究与拓展

13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．

答案

1．C 2.C 3．C 4．D

5．0或9

2

6．m ≥1

7．证明 设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线． 因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．

从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解． 8．解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.

依题意得⎩⎨⎧ m >0f (4)<0或⎩⎨⎧

m <0

f (4)>0

，

即⎩⎨⎧ m >026m ＋38<0或⎩

⎨⎧

m <0

26m ＋38>0，

解得－19

13

9．A 10．B 11．3 0

12．解 (1)当x ∈(－∞，0)时， －x ∈(0，＋∞)， ∵y ＝f (x )是奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )

＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，

∴f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－2x ， x ≥0

－x 2

－2x ， x <0.

(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1； ∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1. ∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，

根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)． 13．解 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.

∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪

⎧

f (0)>0f (1)<0

f (2)>0，即

⎩⎪⎨⎪

⎧

2k －1>0

1＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0

∴12