人教版数学高一必修一同步训练函数的零点

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人教版数学高一-必修一训练方程的根与函数的零点(教师版)

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )＝x －4x 的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：令f (x )＝0，即x －4x ＝0.∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个，选C.答案： C2．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是() A ．－1 B ．1C ．－2D ．2解析：由根与系数的关系得－3＋x ＝－2aa ，∴x ＝1.即另一个零点是1，故选B.答案： B3．设函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：方法一：令f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，则f (0)＝0－⎝⎛⎭⎫12－2＝－4<0，f (1)＝1－⎝⎛⎭⎫12－2＝－1<0，f (2)＝23－⎝⎛⎭⎫120＝7>0，f (3)＝27－⎝⎛⎭⎫121＝2612>0，f (4)＝43－⎝⎛⎭⎫122＝6334>0，∴f (1)·f (2)<0，故x 0所在的区间是(1,2)．方法二：数形结合法，如图所示．答案： B4．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则() A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0解析： y ＝2x 在(1，＋∞)上是增函数y ＝11－x 在(1，＋∞)上是增函数∴f (x )＝2x ＋11－x 在(1，＋∞)上是增函数．∴y ＝f (x )只有x 0一个零点∴x 1<x 0时，f (x 1)<0x 2>x 0时，f (x 2)>0.故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0零点的个数为________．解析： x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0解得x ＝－3x ＞0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增f (1)＝－2＜0，f (e 3)＝1＞0故在(0，＋∞)上有且只有一个零点．答案： 26．已知f(x)是R上的奇函数，函数g(x)＝f(x＋2)，若f(x)有三个零点，则g(x)的所有零点之和为________．解析：∵f(x)是R上的奇函数，图象关于原点对称，∴f(x)的三个零点中，一个是原点，另两个关于原点对称，不妨设为－x0，x0，即f(－x0)＝f(x0)＝f(0)＝0.∵g(x)＝f(x＋2)，设g(x)的零点为x1，∴g(x1)＝f(x1＋2)＝0.∴x1＋2＝－x0或x1＋2＝x0或x1＋2＝0.∴g(x)的所有零点之和为－x0－2－2＋x0－2＝－6.答案：－6三、解答题(每小题10分，共20分)7．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．解析：方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg 3－2>0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点．方法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．8．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．解析：设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1∵f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；(2)设x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，且f (x 1)≠f (x 2)，若方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x 1，x 2)．解析： (1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，即ac <0.∴Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根，∴f (x )必有两个零点．(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则 g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 1)－f (x 2)]， g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 2)－f (x 1)]． ∵g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2，且f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)g (x 2)<0.∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根．。

2019—2020年最新高中数学人教B版必修一2.4.1《函数的零点》同步测试.doc

第二章 2.4 2.4.1函数的零点一、选择题1．函数f(x)＝2x ＋7的零点为( )A ．7B ．72C ．－72D ．－7[答案] C[解析] 令f(x)＝2x ＋7＝0，得x ＝－72，∴函数f(x)＝2x ＋7的零点为－72.2．函数f(x)＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 令x2＋x＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0，∴方程无实数根，故函数f(x)＝x2＋x＋3无零点．3．已知x＝－1是函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的一个零点，则函数g(x)＝ax2－bx的零点是( )A．－1或1 B．0或－1C．1或0 D．2或1[答案] C[解析] ∵x＝－1是函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的一个零点，∴－a＋b＝0，∴a＝b.∴g(x)＝ax2－ax＝ax(x－1)(a≠0)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝1，故选C．4．(2014·湖北文，9)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}[答案] D[解析] 令x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x 2＋3x ，又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝x 2＋3x ，∴f(x)＝－x 2－3x(x<0)，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x x ≥0－x 2－3x x<0.∴g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x ≥0－x 2－4x ＋3x<0.当x ≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x<0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7，∴函数g(x)的零点的集合为{－2－7，1,3}．5．下列图象对应的函数中没有零点的是( )[答案] A[解析] 因为函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A中的图象对应的函数没有零点．6．函数f(x)＝x－4x的零点有( )A．0个B．1个C．2个D．无数个[答案] C[解析] 令f(x)＝0，即x－4x＝0，∴x＝±2.故f(x)的零点有2个．二、填空题7．函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1的一个零点在原点，则m的值为________．[答案]12[解析] 由题意，得2m －1＝0，∴m ＝12.8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2、3，且f(－6)＝36，则二次函数f(x)的解析式为______________．[答案] f(x)＝x 2－x －6[解析] 由题设二次函数可化为y ＝a(x ＋2)(x －3)，又f(－6)＝36，∴36＝a(－6＋2)(－6－3)∴a ＝1，∴f(x)＝(x ＋2)(x －3)，即f(x)＝x 2－x －6. 三、解答题9．求下列函数的零点： (1)f(x)＝－7x 2＋6x ＋1； (2)f(x)＝4x 2＋12x ＋9.[解析] (1)f(x)＝－7x 2＋6x ＋1＝－(7x ＋1)(x －1)，令f(x)＝0，即－(7x ＋1)(x －1)＝0，解得x＝－17或x＝1.∴f(x)＝－7x2＋6x＋1的零点是－17，1.(2)f(x)＝4x2＋12x＋9＝(2x＋3)2，令f(x)＝0，即(2x＋3)2＝0，解得x1＝x2＝－3 2 .∴f(x)＝4x2＋12x＋9的零点是－3 2 .10．已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且函数f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．[解析] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.∵f(0)＝3，∴c＝3.又∵－b2a＝2，∴－ba＝4.∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－ba)2－2ca＝16－6a＝10，∴a＝1，b＝－4.∴f(x)＝x2－4x＋3.一、选择题1．若函数f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( ) A．一个B．两个C．至少两个D．无法判断[答案] B[解析] ∵函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上的图象与x轴只有一个交点，又∵f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，∴f(x)在(－∞，0)上的图象与x 轴也只有一个交点，即f(－2)＝0，故选B ．2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f(x)＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12[答案] C[解析] 本题主要考查函数零点与方程根的关系，同时考查一元二次方程根与系数的关系．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有两个实根1,2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－b a1×2＝ca ，∴b a ＝－3，ca＝2，于是f(x)＝cx 2＋bx ＋a ＝a(ca x 2＋bax ＋1)＝a(2x 2－3x ＋1)＝a(x－1)(2x－1)，所以该函数的零点是1、12，故选C．3．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内[答案] A[解析] 本题考查函数的零点的判断问题．因为a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c －a)(c－b)>0，由零点存在性定理知，选A．4．方程mx2＋2(m＋1)x＋m＋3＝0仅有一个负根，则m的取值范围是( )A．(－3,0) B．[－3,0)C．[－3,0] D．[－1,0][答案] C[解析] 当m＝0时，x＝－32<0成立，排除选项A、B，当m＝－3时，原方程变为－3x2－4x＝0，两根为x1＝0，x2＝－43，也符合题设．二、填空题5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则使ax2＋bx＋c>0成立的x的取值范围是______.[答案] (－∞，－2)∪(3，＋∞)[解析] 由表中给出的数据可以得到f(－2)＝0，f(3)＝0，因此函数的两个零点是－2和3，这两个零点将x轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2,3)、(3，＋∞)，在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f(－3)＝6>0，因此根据连续函数零点的性质知当x∈(－∞，－2)时都有f(x)>0，同理可得当x∈(3，＋∞)时也有f(x)>0，故使ax2＋bx＋c>0的自变量x的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．6．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的方程f(x)＝c(c∈R)有两个实根m、m＋6，则实数c的值为________．[答案] 9[解析] f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋a2)2＋b－a24，∵函数f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a24＝0，∴f(x)＝(x＋a2)2.又∵关于x的方程f(x)＝c，有两个实根m，m＋6，∴f(m)＝c，f(m＋6)＝c，∴f(m)＝f(m＋6)，∴(m＋a2)2＝(m＋a2＋6)2，∴(m＋a2)2＝(m＋a2)2＋12(m＋a2)＋36，∴m＋a2＝－3.又∵c＝f(m)＝(m＋a2)2，∴c＝9.三、解答题7．若函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，求实数a 的取值集合．[解析] ①当a－1＝0，即a＝1时，函数为y＝x＋2，显然该函数的图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．②当a－1≠0，即a≠1时，函数y＝(a－1)x2＋x＋2是二次函数．∵函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，∴关于x的方程为(a－1)x2＋x＋2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝1－8(a－1)＝0，解得a＝9 8 .综上所述，实数a的取值集合是{a|a＝1或a＝98 }．8．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点．(1)求m 的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．[解析] (1)∵关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点，则m ＋6＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋6≠0Δ＝4m －12－4m ＋6m ＋10，解得m ＝－6或m ≤－59且m ≠－6， ∴m 的取值范围为m ≤－59. (2)若函数有两个不同零点x 1，x 2，则1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2＝－4x 1x 2，∴－2m－1m＋6＝－4m＋1m＋6，解得m＝－3，经验证m＝－3符合题意．。

高一上学期数学人教A版必修第一册第四章《指数函数与对数函数》函数的零点与方程的解(二)同步练测

4.5.1函数的零点与方程的解（二）同步练测考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.A ．(]4,16B ．[)4,+∞C ．(),4-∞-D ．[)16,4--二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．参考答案：1．B【解析】由题意知,αβ是二次函数236y x x =+-的两个零点，故,αβ是2360x x +-=的两个根，则2360αα+-=，且+3αβ=-，则236αα+=且3βα=--，故22233(3)5αβαααα-=-++=+-=-=，故选：B 2．B【解析】令()ln 24f x x x =+-，显然()ln 24f x x x =+-单调递增，又因为()12420f =-=-<，()2ln 244ln 20f =+-=>，由零点存在性定理可知：()ln 24f x x x =+-的零点所在区间为()12，，所以ln 42x x =-的根所在区间为()12，.故选：B 3．B【解析】函数()23x f x x a =++在区间(0,1)内存在零点，且函数在定义域内单调递增，由零点存在性定理知(0)(1)0f f ⋅<，即()()150a a ++<，解得51a -<<-所以实数a 的取值范围是(5,1)--，故选：B 4．A【解析】要使函数()()g x f x a =-有三个零点，则()f x a =有三个不相等的实根，即()f x 与y a =的图象有三个交点，当1x ≤-时，()113x f x +=-在(],1-∞-上单调递减，[)()0,1f x Î；当10-<≤x 时，()131x f x +=-在(]1,0-上单调递增，(]()0,2f x Î；当0x >时，()ln f x x =在()0,∞+上单调递增，()f x ∈R ；由()f x 与y a =的图象有三个交点，结合函数图象可得()0,1a ∈，故选：A.由图像可知01a b <<<<由()()f a f b =得lg a =联立2y x y x =⎧⎨=-⎩，得由图象可知，直线9．BCf x对应的二次方程根的判别式【解析】函数()可观察出①当1a >时，方程(f ()220()xf a a R --=∈有方程()1f t =-的解为1(0,1)t t =∈，2(,0)t t =∈-∞，即1()f x t =，2()f x t =，在同一坐标系中作出函数()y f x =和1y t =，2y t =的图象，由图可知函数()y f x =和1y t =，2y t =有4个交点，所以函数[()]1y f f x =+有4个零点.当0a ≤时，方程()1f t =-的解为3(0,1)t t =∈，即3()f x t =，在同一坐标系中作出函数()y f x =和3y t =的图象，由图可知函数()y f x =和3y t =有1个交点，所以函数[()]1y f f x =+有1个零点.故选：AD13．1【解析】解法一：令()0f x =，可得方程2ln 30x x +-=，即2ln 3x x =-，故原函数的零点个数即为函数ln y x =与23y x =-图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数23y x =-与ln y x =的图象只有一个交点，故函数()2ln 3f x x x =+-只有一个零点，故答案为：1解法二：∵()21ln11320f =+-=-<，()22ln 223ln 210f =+-=+>，∴()()120f f <，又()2ln 3f x x x =+-的图象在()1,2上是不间断的，∴()f x 在()1,2上必有零点，又()2ln 3f x x x =+-在()0,∞+上是单调递增的，∴函数()f x 的零点有且只有一个，故答案为：114．(]()1,34,+∞ 【解析】由于4y x =-在R 上只有一个零点4，函数243y x x =-+在R 上的两个零点为1和3，若4λ>,此时4y x =-在x λ≥上没有零点，函数243y x x =-+在x λ<上的两个零点为1和3，满足题意，当34λ<≤时，此时4y x =-在x λ≥上有零点4，函数243y x x =-+在x λ<上有零点为1和3，不满足题意，舍去当13λ<≤时，此时4y x =-在x λ≥上有零点4，函数243y x x =-+在x λ<上有零点为1，满足题意，当1λ≤时，此时4y x =-在x λ≥上有零点4，函数243y x x =-+在x λ<上没有零点，不满足题意，舍去，因为函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭点212,log x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点⎛⎝由图象可知，-当0a >时，12116a a <<，解得111612a <<；当a 11,⎛⎫⎧⋃。

人教A版高中同步学案数学必修第一册第四章指数函数与对数函数函数的应用(二)函数的零点与方程的解

所示.由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数()只有一
个零点.
1

（3）() = 2 + lg( + 1) − 2.
解（方法1）∵ (0) = 1 + 0 − 2 = −1 < 0,(2) = 4 + lg 3 − 2 = 2 + lg 3 > 0,
∴ () = 0在(0,2)内必定存在实根.
C.(−1,1)和(1,2)D.(−∞, −3)和(4, +∞)
[解析]易知() = + + ( ≠ )的图象是一条连续不断的曲线,又
(−)(−) = × (−) = − < ,所以()在(−, −)内有零点,即方程
+ + = ( ≠ )在(−, −)内有根,同理,方程 + + = ( ≠ )在

( )

( )

∵

= + = − < ,( ) = + = − < ,

= + = − + = − ,() =

> ,∴ > ,即 − > ,∴ ( ) > ,
() = − − 有2个不同的实根,即函数()的图象与直线
= − − 的图象有2个交点.作出直线 = − − 与函数
1 = ()和2 = ℎ()的图象,则两个图象公共点的个数就是函数 = ()零点的个数.

(新教材)高中数学人教A必修第一册同步练习：4.5.1函数的零点与方程的解

??2 + ??2 = (??+ ??)2 -2????= -??2-10??-6 = -(??+ 5)2 + 19 ,
则{ -4 <
??<
-4 ,
3
∴ α2+
β2 在区间
(
-4 ,-
4
3)
内的取值范围为
50
(9
,18)
.故
α2+ β2 的取值范围为
(
50 9
,18)
.
又 f(a) =f (b)=- 2< 0,结合二次函数的图象 (如图所示 )可知 a,b 必在 α,β之间 .故选 C.
答案 C
4.若方程 xlg( x+ 2)= 1 的实数解在区间 (k,k+ 1)(k∈ Z )内 ,则 k 等于 ( )
A. -2
B.1
C.-2 或 1
D.0
解析由题意知 ,x≠0,则原方程即为
点; 由幂函数的性质知 y= ?1?2没有零点 ,故 C 选项中函数没有零点 ;y=x 2+x+ 1 对应的方程 x2+x+ 1= 0
中,Δ= 1-4< 0,所以 D 选项中函数无零点 . 答案 ACD
2.已知函数 y=f (x)的图象是一条连续不断的曲线 ,有如下的对应值表 :
x1
2 34 5 6
.
解析令 f (x)=|x 2-2x- 2|,则由题意可得函数 y=f (x)与函数 y=m 的图象有 3 个公共点 .画出函数 f(x)=|x 22x- 2|的图象如图所示 ,结合图象可知 ,要使两函数的图象有 3 个公共点 ,则 m= 3. 答案 3
素养培优练

4.5.1函数的零点与方程的解同步练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修

A．0 B．1
C．2 D．3
8．f(x)＝的零点个数为()
A．3 B．2
C．1 D．0
9．已知函数f(x)＝mx2＋2x－1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是________.
关键能力综合练
一、选择题
1．下列函数没有零点的是()
A．f(x)＝0B．f(x)＝2
C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x－
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
f(x)

m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是()
A．(－3，－1)，(2,4) B．(－3，－1)，(－1,1)
C．(－1,1)，(1,2)D．(－∞，－3)，(4，＋∞)
知识点三
判断函数零点的个数
7.函数f(x)＝x3－x的零点个数是()
4.函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是()
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(e，＋∞)
5．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
2．(易错题)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()
A．若f(a)·f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，则只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

人教新课标版数学高一B版必修1同步训练求函数零点近似解的一种计算方法二分法

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法5分钟训练1.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈______________,第二次应计算______________.以上横线上应填的内容为( )A.(0,0.5) f(0.25)B.(0,1) f(0.25)C.(0.5,1) f(0.75)D.(0,0.5) f(0.125)答案：A解析：∵f(0)<0,f(0.5)>0,∴函数f(x)的一个零点x0∈(0,0.5).第二次计算f(25.0)=f(0.25).2.用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )A.ε越大，零点的精确度越高B.ε越大，零点的精确度越低C.重复计算次数就是εD.重复计算次数与ε无关答案：B解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低.3.函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3答案：D解析：考虑分解因式降次.∵f(x)=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x+1)(x-1),∴f(x)有三个零点.4.电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏，在限定时间内（如15秒）猜出某一种商品的售价，就把该商品奖给选手，每次选手给出报价，主持人告诉说高了或低了，以猜对或到时为游戏结束.如猜一种品牌的电风扇，过程如下：游戏参与者开始报价500元，主持人说高了，300元，高了，260元，低了，280元，低了，290元，高了，285元，低了，288元，你猜对了！恭喜！请问游戏参与者用的数学知识是_________________（只写出一个正确答案）.答案：二分法(或综合法等)10分钟训练1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )答案：C解析：只有函数的变号零点才能用二分法求.2.二次函数y=ax2+bx+c中,a·c<0,则函数的零点个数是( )A.1B.2C.0D.无法确定答案：B解析：分析条件a·c<0,a 是二次项系数,确定抛物线的开口方向;c=f(0). ∴a·c=af(0)<0,由此得解. ∵c=f(0),∴ac=af(0)<0,即a 与f(0)异号,即⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>.0)0(,00)0(,0f a f a 或 ∴函数必有两个零点.3.已知连续函数y=f(x),有f(a)·f(b)<0(a<b),则y=f(x)( )A.在区间［a,b ］上可能没有零点B.在区间［a,b ］上至少有一个零点C.在区间［a,b ］上零点个数为奇数个D.在区间［a,b ］上零点个数为偶数个答案：B4.用二分法求方程x 3-2x-5=0在区间［2,3］内的实根,取区间中点x 0=2.5,那么下一个有根区间是______________. 答案：［2,2.5］解析：由计算器计算得f(2)=23-2×2-5=-1,f(2.5)=15.625>0, ∴f(2)·f(2.5)<0,∴下一个有根区间是［2,2.5］.5.如果一个立方体的体积在数值上等于V,表面积在数值上等于S,且V=S+1,那么这个立方体的一个面的边长(精确到0.01)约为______________. 答案：6.05解析：设立方体的边长为x,则V=x 3,S=6x 2. ∵V=S+1, ∴x 3=6x 2+1.不妨设f(x)=x 3-6x 2-1,应用二分法得方程的根约为6.05.函数f(x)在哪几个区间内有零点?为什么? 解：由x 、f(x)的对应值表,可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b ］上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点”,可知函数f(x)分别在区间(2,3),(3,4),(4,5)内有零点. 30分钟训练1.(创新题)在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻),现在只有一台天平,请问:最多需要称几次就可以发现这枚假币( )A.3B.4C.5D.6 答案：B解析：可利用二分法的思想方法去解决.2.若函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,24),(0,12),(0,6),(0,3)内,则下列命题正确的是( ) A.函数f(x)在区间(0,2)内有零点 B.函数f(x)在区间(0,2)或(2,3)内有零点 C.函数f(x)在区间(3,24)内无零点 D.函数f(x)在区间(2,24)内无零点答案：C3.若方程2ax 2-x-1=0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围是( )A.a<-1B.a>1C.-1<a<1D.0≤a<1答案：B解析：令f(x)=2ax2-x-1,a=0时显然不适合，a≠0时，则有f(0)f(1)=-1×(2a-2)<0,∴a>1.4.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )A.（0,1］B.（0,1）C.（-∞,1）D.（-∞,1］答案：D解法一：取m=0有f(x)=-3x+1的根x=31>0，即m=0应符合题设，所以排除A、B.当m=1时，f(x)=x2-2x+1=(x-1)2，它的根是x=1,符合要求，排除C，故选D.解法二：直接法.∵f(0)=1，∴（1）当m<0时，必成立，排除A、B.（2）当m>0时，要使与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≥--=∆>.023,04)3(,02mmmmm∴0<m≤1.（3）当m=0时根为x=31>0.故选D.5.(探究题)已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则函数f(x)：①当x<-1时,恰有一零点(有一零点且仅有一零点);②当-1<x<0时,恰有一零点;③当0<x<1时,恰有一零点;④当x>1时,恰有一零点.其中正确命题的个数为( )A.0B.1C.2D.4答案：B解析：∵f(-2)=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0,f(-1)=0.01>0,即f(-2)·f(-1)<0,∴在(-2,-1)内有一零点.结合函数图象,函数在(-∞,-1)上,恰有一个零点,∴①正确.又∵f(0)=0.01>0,结合图象,知函数f(x)在(-1,0)上没有零点,∴②不正确.又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0,f(1)=0.01>0,即f(0.5)·f(1)<0,∴函数f(x)在(0.5,1)上必有一个零点,且f(0)·f(0.5)<0.∴函数f(x)在(0,0.5)上也有一个零点.∴函数f(x)在(0,1)上有两个零点,③不正确.由f(1)>0,结合图象，知函数f(x)在(1,+∞)上没有零点, ∴④不正确.6.定义在R 上的偶函数y=f(x),当x>0时,y=f(x)是单调递增的,f(1)·f(2)<0,则函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的个数是______________. 答案：2解析：∵f(1)·f(2)<0,∴在(1,2)上函数y=f(x)有零点.又∵y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,∴函数y=f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.由函数为偶函数可知,函数在(-∞,0)上也有一个零点.7.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(b-a=0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点（精确到0.000 1）的近似值，那么将区间（a,b)等分的次数至多是_______________. 答案：108.求函数f(x)=x 3+2x 2-3x-6的一个为正数的零点（精确到0.1）. 解：∵f(1)=-6<0,f(2)=4>0, ∴存在x 1∈(1,2)，使f(x 1)=0.∵最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7，∴所求的正数零点为1.7. 9.某方程有一无理根在区间D 内,若用二分法求此根的近似值,那么: (1)区间D=(1,3)时,将D 等分n 次后,所得近似解可精确到多少? (2)一般情况,是否有必要尽可能多地将区间D 等分? 解：(1)设无理根为x 0,将D 等分n 次后的长度为d n . 包含x 0的区间为(a,b),于是d 1=1,d 2=21,d 3=221,d 4=321,…,d n =121-n . 所以|x 0-a|≤d n =121-n ,即近似值可精确到121-n .(2)由于121-n 随n 的增大而不断地趋向于0,故对于事先给定的精确度ε,总有自然数n,使得121-n ≤ε.所以,只需将区间D 等分n 次就可以达到事先给定的精确度ε. 所以,一般情况下,不需尽可能多地将区间D 等分. 10.设函数f(x)=-x 2-3x-2.(1)若g(x)=2-［f(x)］2,求g(x)的解析式;(2)借助计算器或计算机,画出函数g(x)的图象; (3)求出函数g(x)的零点(精确到0.1).解：(1)由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x 2+3x+2)2=-x 4-6x 3-13x 2-12x-2. (2)函数图象如下图所示.(3)由图象可知,函数g(x)分别在区间(-3,-2)和区间(-1,0)内各有一个零点. 取区间(-3,-2)的中点x 1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.187 5. 因为g(-3)·g(-2.5)<0, 所以x 0∈(-3,-2.5).再取(-3,-2.5)的中点x 2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.28. 因为g(-3)·g(-2.75)<0, 所以x 0∈(-3,-2.75).同理可得x 0∈(-2.875,-2.75),x 0∈(-2.812 5,-2.75). 由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 5<0.1,此时区间(-2.812 5,-2.75)的两个端点精确到0.1的近似值都是-2.8,所以函数在区间(-4,-3)内精确到0.1的零点约为-3.5.同样可求得函数在区间(-1,0)内精确到0.1的零点约为-0.2. 所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-3.5或-0.2.。

数学人教B版必修1同步训练2.4.1函数的零点 Word版含解析

函数与方程函数的零点分钟训练.观察下面的四个函数图象,则在(∞)内,函数()()有零点的是().①.①②.①②③.②④答案：解析：在区间(∞)内,函数()、()的图象与轴有交点..函数的零点个数是().不能确定答案：解析：∵Δ()××()>,∴方程有两个不相等的实根,即函数有个零点..函数()在［］上().有三个零点.有两个零点.有一个零点.没有零点答案：解析：由于()()()，令()得±，因此函数在［］上有一个零点..若函数()的图象是连续不间断的,根据下面的表格,可以断定()的零点所在的区间为.(只填序号)①(∞］;②［］;③［］;④［］;⑤［］;⑥［］;⑦［∞).答案：③④⑤分钟训练.已知函数（），若在区间［，］上存在，使（），则实数的取值范围是().（∞，］∪［，∞）.［，］.［，］.［，］答案：解析：（）（）≤（）（）≤≤或≥..函数()在区间［］上的零点必定在内.().［］.［］.［,］.［,］答案：解析：由于()＜，()＞，()＜，＞，＜，∴零点介于［］内.故选..函数在区间［］上().没有零点.有一个零点.有两个零点.有无数个零点答案：解析：函数()有一个二重零点,故在区间［］上有一个零点..若函数()有一个零点是,那么函数()的零点是(),,答案：解析：∵,∴()()().∴函数()的零点是,..已知有一个零点为,则的值是.答案：解析：由题意可知是方程的一个根,代入可得..判定方程()()有两个相异的实数解,且一个大于,一个小于.解：考虑函数()()(),有()()(),()()().又因为()的图象是开口向上的抛物线(如图),所以抛物线与横轴在(∞)内有一个交点,在(∞)内也有一个交点.所以方程()()有两个相异的实数解,且一个大于,一个小于.分钟训练.已知方程（）的两根都是正数，则的取值范围是().＜＜.≤＜.＜≤≤或＞。

人教B版数学高一版必修1练习2.4.1函数的零点

2.4 函数与方程 2．4.1 函数的零点知识点一：函数零点的概念1．函数y ＝x 2－5x ＋6的零点是A ．2,3B ．－2，－3C ．1,6D ．－1，－6 2．观察下面的四个函数图象，则在(－∞，0)内，函数y ＝f i (x)(i ＝1,2,3,4)有零点的是A ．①B ．①②C ．①②③D ．②④3．函数f(x)＝x ＋4x 的零点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个4．已知函数y ＝x 2＋ax ＋3有一个零点为2，则a 的值为__________．5．若函数f(x)＝ax －b 有一个零点是3，那么g(x)＝bx 2＋3ax 的零点是__________．知识点二：函数零点的性质6．函数f(x)＝x 3－9x 的零点所在的大致区间是A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(0,1)D ．(5,6)7．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点 A ．有两个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有8．对于函数f(x)＝x 2＋mx ＋n ，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a ，b)内 A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点 D ．至多有一个零点9．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则该函数的所有零点之和等于 A ．4 B ．2 C ．1 D ．010．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x∈[0，＋∞，x 2－4，x∈－∞，0，又g(x)＝f(x)－1，则函数g(x)的零点是__________．11．若函数f(x)＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围．能力点一：求函数的零点12．函数f(x)＝－2x 2＋22x －1的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．313．若函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是A ．a<1B ．a>1C ．a≤1D ．a≥114．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，5是它的一个零点，且f(x)在(－∞，0)上是增函数，则该函数有__________个零点，这几个零点的和为__________．15．求函数y ＝x 3－4x 的零点，并画出它的图象．16.判断函数f(x)＝32x －2×3x＋1是否存在零点，若存在，则求出零点．能力点二：函数零点的综合应用17．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列说法正确的为A ．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B ．函数f(x)在(1,2)内有零点C ．函数f(x)在区间(0,2)内有零点D ．函数f(x)在区间(0,4)内有零点18．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a·c<0，则函数的零点个数是A ．1B ．2C ．0D ．无法确定19．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2,3，若x∈(－2,3)时，f(x)<0且f(－6)＝36，则二次函数f(x)的解析式为__________．202则使ax 2＋bx ＋c>0成立的自变量x 的取值范围是__________．21．函数y ＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 的两个零点都在x 轴上点(2,0)的右方，求m 的取值范围．22．对于函数f(x)，若存在x 0∈R ，使f(x 0)＝x 0成立，则称x 0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax 2＋(b ＋1)x ＋(b －1)(a≠0)，当a ＝1，b ＝－2时，求函数f(x)的不动点．23．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.(1)若a>b>c ，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；(2)设x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，且f(x 1)≠f(x 2)，若方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x 1，x 2)．答案与解析基础巩固1．A 2.B 3.A4．－72 ∵x＝2是方程x 2＋ax ＋3＝0的根，∴4＋2a ＋3＝0.∴a＝－72.5．0，－1 由题意，知f(3)＝3a －b ＝0，∴b＝3a.∴g(x)＝bx 2＋3ax ＝bx 2＋bx ＝bx(x ＋1)．令g(x)＝0，得x ＝0或－1.6．A ∵f(1)＝－8<0，f(2)＝23－92>0，∴选A.7．C 8.C9．D 偶函数图象关于y 轴对称，故4个交点形成的零点之和为0.10．1，－ 5 当x≥0时，g(x)＝f(x)－1＝2x －2，令g(x)＝0，得x ＝1；当x<0时，g(x)＝x 2－4－1＝x 2－5，令g(x)＝0，得x ＝±5(正值舍去)， ∴g(x)的零点为1和－ 5.11．解：(1)若a ＝0，则f(x)＝－x －1为一次函数，易知函数仅有一个零点；(2)若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实根，故判别式Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.综上，当a ＝0或－14时，函数仅有一个零点．能力提升12．B13．B f(x)没有零点， ∴方程f(x)＝0无实根．故Δ＝4－4a<0.∴a>1.14．3 0 ∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴f(0)＝0.又∵f(－x)＝－f(x)， ∴－f(5)＝f(－5)＝0. ∴f(－5)＝0.∴－5也是函数的零点．∴函数有3个零点：5，－5,0，其和为0.15．解：∵x 3－4x ＝x(x 2－4)＝x(x －2)(x ＋2)，∴函数y ＝x 3－4x 的零点为0，－2，2，这三个零点把x 轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这四个区间内，取x 的一些值(包括零点)．在直角坐标系中描点作图，图象如图所示．16．解：∵f(x)＝32x－2×3x＋1＝(3x－1)2， ∴令f(x)＝0，得3x－1＝0，解得x ＝0. ∴f(x)有零点，零点为x ＝0. 17．D ∵f(1)·f(2)·f(4)<0，∴f(1)，f(2)，f(4)三者中两正一负．但具体哪个正，哪个负并不能确定．又∵函数连续且f(0)>0，∴函数f(x)在区间(0,4)内有零点．18．B 令y ＝0，得ax 2＋bx ＋c ＝0， ∵ac<0，∴方程的判别式b 2－4ac>0. ∴函数有两个零点．19．f(x)＝x 2－x －620．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 21．解：如下图所示，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －22－45－m >0，－m －22>2，f 2>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m<－4或m>4m<－2m>－5－5<m<－4. ∴－5<m<－4.22．解：当a ＝1，b ＝－2时，f(x)＝x 2－x －3.由题意可知，f(x)的不动点满足x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3. 故当a ＝1，b ＝－2时，f(x)的两个不动点为－1,3.拓展探究23．证明：(1)∵f(1)＝0， ∴a＋b ＋c ＝0.又∵a>b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.又∵Δ＝b 2－4ac≥－4ac>0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根． ∴f(x)必有两个零点．(2)令g(x)＝f(x)－12[f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)＝f(x 1)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝12[f(x 1)－f(x 2)]，g(x 2)＝f(x 2)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝12[f(x 2)－f(x 1)]．∵g(x 1)·g(x 2)＝－14[f(x 1)－f(x 2)]2，且f(x 1)≠f(x 2)，∴g(x 1)g(x 2)<0.∴g(x)＝0在(x 1，x 2)内必有一实根，即方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一实根属于区间(x 1，x 2).。

人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件第四章函数的应用(二)函数的零点与方程的解

象可知 < < .
15.已知函数
() =
1
, ≥ 1,

ቐ
3 , < 1,若(0 )
−1 ,若关于的方程() = 有两
= −1,则0 =____
(0,1)
个不同的实根,则实数的取值范围为______.
[解析]由方程( ) = −,
≥ ,
得ቐ

1
2
3
4
5
6

123.56
21.45
−7.82
11.45
−53.76
−128.88
则下列说法正确的是( B
)
A.函数 = ()在区间[1,6]上有3个零点
B.函数 = ()在区间[1,6]上至少有3个零点
C.函数 = ()在区间[1,6]上至多有3个零点
D.函数 = ()在区间[1,2]上无零点

A.(1 ) < 0,(2 ) < 0B.(1 ) < 0,(2 ) > 0
C.(1 ) > 0,(2 ) < 0D.(1 ) > 0,(2 ) > 0
D.3
< 1 < 0 < 2 ,则() B
11.已知函数 = ()的图象是一条连续不断的曲线，有如下的对应值表：
第四章
4.5 函数的应用（二）
4.5.1 函数的零点与方程的解
A级必备知识基础练
1.函数() = 4 − 2 − 2的零点是() B
1
2
A.(1,0)B.1C. D.−1
2.若函数() = 2 + − 4的零点所在区间为(, + 1)( ∈ ),则 =() A

高一数学人教A版必修1同步训练：3.1-1方程的根与函数

第三章函数的应用3．1 函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点1．已知某函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有零点的区间大致是 …( )A ．(0,0.5)B ．(0.5,1)C ．(1,1.5)D ．(1.5,2)2．函数f(x)＝x 5－x －1的一个零点所在的区间可能是( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[3,4]3．已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下列命题错误的是( )A ．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点B ．函数f(x)在(3,5)内无零点C ．函数f(x)在(2,5)内有零点D ．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点4．已知y ＝x 2＋ax ＋3有一个零点为2，则a 的值是__________．课堂巩固1．若函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )A ．若f(a)f(b)>0，不存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0B ．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0C ．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0D ．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝02．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，ac<0，则函数的零点个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．无法确定3．若函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0，－12B ．0，12C ．0,2D ．2，－124．方程(12)x ＝x 13有解x 0，则x 0在下列哪个区间( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)5．函数f(x)＝log 2x ＋2x －1的零点必落在区间( )A ．(18，14)B ．(14，12)C ．(12，1) D ．(1,2)6．已知y ＝x(x －1)(x ＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x －1)(x ＋1)＋0.01，则对于f(x)＝0的解叙述正确的序号为__________．①有三个实根②当x>1时恰有一实根③当0<x<1时恰有一实根④当－1<x<0时恰有一实根⑤当x<－1时恰有一实根7．观察下面的四个函数图象，指出在区间(－∞，0)内，方程f i (x)＝0(i ＝1,2,3,4)哪个有解？请说明理由．8．已知函数f(x)＝3x －x 2.问：方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？1．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则增加下列哪个条件可确定f(x)有唯一零点．( )A ．f(3)<0B ．f(－1)>0C ．函数在定义域内为增函数D ．函数在定义域内为减函数2．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)3．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x>0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．定义在R 上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 006x ＋log 2 006x ，则在R 上方程f(x)＝0的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．2 0065．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x)＝f(x ＋3x ＋4)的所有x 之和为( )A ．－3B ．3C ．－8D ．86．函数f(x)＝lnx －x ＋2的零点个数为__________．7．已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a ，f(bx)＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f(ax ＋b)＝0的解集为__________．8．判断方程1x ＋1＝0在[－12，12]内是否有实数解，并说明理由．9．证明方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．10．判定方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.11．已知函数y ＝2x 2＋bx ＋c 在(－∞，－32)上是减函数，在(－32，＋∞)上是增函数，且两个零点x 1、x 2满足|x 1－x 2|＝2，求这个二次函数的解析式．答案与解析第三章函数的应用3．1 函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点课前预习1．B2．B 因为f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以存在一个零点x ∈[1,2]．3．C4．－72 由题意可知x ＝2是方程x 2＋ax ＋3＝0的一个根，代入可得a ＝－72. 课堂巩固1．C 对于选项A ，可能存在偶数个根；对于选项B ，必存在但不一定唯一；选项D 显然不成立．2．B ∵ac<0，∴a ≠0，于是判别式Δ＝b 2－4ac>0，即二次函数图象与x 轴相交，有2个零点．3．A ∵a ≠0,2a ＋b ＝0，∴b ≠0，a b ＝－12. 令bx 2－ax ＝0，得x ＝0，x ＝a b ＝－12. 4．B 令f(x)＝(12)x －x 13. ∵f(－1)＝2＋1>0，f(0)＝1－0>0，f(1)＝12－1<0， ∴该函数在(0,1)内有解．5．C 该函数是单调增函数，∵f(12)＝－1＋1－1＝－1<0，f(1)＝0＋2－1＝1>0， ∴其零点必落在(12，1)内． 6.①⑤ 将原函数图象向上平移0.01个单位就可得到f(x)的图象．由f(x)的图象知f(x)＝0的解有三个．一个小于－1，另外两个都在(0,1)内．所以正确序号为①⑤.7．解：方程f 1(x)＝0，f 2(x)＝0有解．理由是观察f i (x)的图象在(－∞，0)内只有f 1(x)、f 2(x)与x 轴有交点，所以f 1(x)＝0，f 2(x)＝0在(－∞，0)内有解．点评：对于任意函数y ＝f(x)，如果它的图象是连续不间断的，那么它通过零点(不是二重零点)时的函数值必然变号．函数的零点分为变号零点和不变号零点两类．函数图象在变号零点处与x 轴相交，在不变号零点处与x 轴相切．8．解：因为f(－1)＝3－1－(－1)2＝－23<0， f(0)＝30－(0)2＝1>0，函数f(x)＝3x －x 2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．课后检测1．D 根据f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，可画出函数f(x)的图象草图，由图可知f(x)在区间(1,2)上必有一零点，而题中要求f(x)只有唯一零点，因此函数在定义域内可以单调递减．2．B 令g(x)＝x 3－22－x ，可求得g(0)<0，g(1)<0，g(2)>0，易知x 0∈(1,2)．3．C 由已知条件求出f(x)的解析式，再解方程确定根的情况．由已知⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2. ∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x>0. 当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ，即x 2＋3x ＋2＝0，∴x ＝－1或x ＝－2；当x>0时，方程为x ＝2，∴方程f(x)＝x 有3个解．4．C ∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0.∵x>0时f(x)是增函数，且x 趋于0时f(x)<0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上有1个零点．又∵其图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上也有1个零点．5．C 因为f(x)是连续的偶函数，且x>0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)＝f(x ＋3x ＋4)，只有两种情况：①x ＝x ＋3x ＋4；②x ＋x ＋3x ＋4＝0. 由①知x 2＋3x －3＝0，故两根之和为x 1＋x 2＝－3.由②知x 2＋5x ＋3＝0，故其两根之和为x 3＋x 4＝－5.因此满足条件的所有x 之和为－8.6．2 该函数零点的个数就是函数y ＝lnx 与y ＝x －2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y ＝lnx 与y ＝x －2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝lnx －x ＋2有2个零点．7．∅ ∵f(x)＝x 2＋2x ＋a ，∴f(bx)＝(bx)2＋2bx ＋a ＝b 2x 2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2.则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝9，2b ＝－6，a ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，a ＝2. ∴f(2x －3)＝(2x －3)2＋2(2x －3)＋2＝4x 2－8x ＋5＝0.∵Δ＝64－80<0，∴方程f(ax ＋b)＝0无实根．8．解：设函数f(x)＝1x＋1是定义在非零实数集上的函数，且在(－∞，0)内是减函数，在(0，＋∞)内也是减函数．而f(－12)＝－1<0，所以方程1x ＋1＝0在区间(－12，0)内没有实数解；又f(12)＝3>0，所以方程1x ＋1＝0在区间(0，12)内也没有实数解． 9．证明：设f(x)＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线．因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0，f(0)＝－2<0，所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．10．解：设函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1，有f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1，f(2)＝(2－2)(2－5)－1＝－1.又因为f(x)的图象是开口向上的抛物线(如图所示)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．所以方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.点评：对于一元二次方程根的判断，通常借助于判别式、对称轴和区间端点值的符号来判断．11．解：由题意x ＝－b 2×2＝－32，∴b ＝6. 故y ＝2x 2＋6x ＋c.又x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝c 2， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝9－2c ＝2.∴c ＝52.经检验Δ＝62－4×2×52>0，符合题意． ∴所求二次函数为y ＝2x 2＋6x ＋52.。

人教B版高中数学必修一同步练习：2.4.1《函数的零点》 Word版缺答案

《函数的零点》习题1.下列函数中在［1，2］上有零点的是（）A .543)(2+-=x x x fB .55)(3+-=x x x fC .63ln )(+-=x x x fD .63)(-+=x e x f x 2．若方程0122=--x ax 在(0,1)内恰有一个实根，则a 的取值范围是（）A .)1,(--∞B .),1(+∞C .)1,1(-D .[)1,0 3．函数c bx ax x f ++=2)(，若0)2(,0)1(<>f f ，则)(x f 在)2,1(上零点的个数为（）A .至多有一个B .有一个或两个C .有且只有一个D .一个也没有4.设函数f (x )= c bx x 3++在[-1,1]上为增函数,且0)21(f ).21(f <-,则方程f (x )在[-1,1]内（）A .可能有3个实数根B .可能有2个实数根C . 有唯一的实数根D .没有实数根5．设f (x ) = 3-5x 2x 1++，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是（）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]6．方程2x +x -4=0的解所在区间为( )A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)7.已知函数y =f (x )在定义域内是单调函数,则方程f (x )=c (c 为常数)的解的情况( )A .有且只有一个解B .至少有一个解C .至多有一个解D .可能无解,可能有一个或多个解8．已知函数)(x f y =是R 上的奇函数，其零点1x ，2x ……2007x ，则200721x x x +++ ＝ .9．一次函数m mx x f -+=1)(在［0，1］无零点，则m 取值范围为 . 10．函数1)(2--=x ax x f 仅有一个零点，求实数a 的取值范围. 11.m x m x x f -+-+=5)2()(2有两个零点，且都大于2，求m 的取值范围.答案1.D2.B3.C4.C5.A6.C7.C8.09.1<m10.解4544520)5(4)2(0)2(2222-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<>->-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<---=∆>>--m m m m m m m f m 或11.解：①若1)(0--==x x f a 为一次函数，易知函数仅有一个零点.②若)(0x f a ≠为二次函数，012=--x ax 仅有一个实根，△＝1+4 0=a 41-=a综上：0=a 或41-=a 时，函数仅有一个零点.。

2021-2022学年新人教A版高一数学课时同步练习题：函数的零点与方程的解【含解析】

2021-2022学年新人教A 版高一数学课时同步练习题：函数的零点与方程的解【含解析】一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()()2ln 1f x x x =+-的零点所在的区间是（） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4) 【答案】B【解析】∵()2ln22ln 201f e =-<-=，()2ln31ln 10f e =->-=，则(1)(2)0f f <， ∵函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在区间是 (1,2)，当0x >，且0x →时，()()2ln 10f x x x=+-< ()()22ln 1ln 0e e e ef e =+->->， ()()3322ln 3103ln f e =+->->， ()()1442ln 41ln 20f e =+->->， ACD 中函数在区间端点的函数值均同号，根据零点存在性定理，B 为正确答案.故选：B. 2．函数()|ln |2x f x e x =-的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】函数f (x )=e x |lnx |﹣2的零点可以转化为：|lnx |2x e=的零点；在坐标系中画出两个函数2ln ,xy x y e ==的图象，根据图象可得有两个交点；故原函数有两个零点.故选：B .3．已知函数()2log 3f x x x =+-在区间(),1a a +内有零点，则正数a 的取值范围为（） A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】A【解析】由题得()22log 2230f =+-=，且函数在定义域内()f x 单调递增（增+增=增），所以21a a <<+，得12a <<.故选：A4．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5 【答案】C【解析】由表中参考数据可得，(1.375)0.2600f =-<，(1.438)0.1650f =>，所以(1.375)(1.438)0f f ⋅<，由二分法定义得零点应该存在于区间()1.375,1.438内，又精确度为0.1，且1.438 1.3750.1-<，故方程32220x x x +--=的一个近似根为1.4. 故选：C5．某同学用二分法求方程3380x x +-=在x ∈（1，2）内近似解的过程中，设()338x f x x =+-，且计算f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为A ．f （0.5）B ．f （1.125）C ．f （1.25）D ．f （1.75）【答案】C【解析】∵f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数f （x ）＝3x +3x –8存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值1 1.52+=1.25，故选C ． 6．当24x <<时，2x ，2x ，2log x 的大小关系是（）A ．222log x x x >>B ．222log x x x >>C ．222log x x x >>D ．22log 2x x x >>【答案】B【解析】在平面直角坐标系中，作出2x y =，2y x ，2log y x =在()2,4时的图象如下图所示：由图象可知，当()2,4x ∈时，222log xx x >> 故选：B7．（多选）（多选题）已知函数()f x ，()g x 的图象分别如图1，2所示，方程(())1f g x =，(())1g f x =-，1(())2g g x =-的实根个数分别为a ，b ，c ，则（）A ．a b c +=B ．b c a +=C ．b a c =D ．2b c a +=【答案】AD【解析】由图，方程(())1f g x =，1()0g x -<<，此时对应4个解，故4a =；方程(())1g f x =-，得()1f x =-或者()1f x =，此时有2个解，故2b =；方程1(())2g g x =-，()g x 取到4个值，如图所示：即2()1g x -<<-或1()0g x -<<或0()1g x <<或1()2g x <<，则对应的x 的解，有6个，故6c =.根据选项，可得A ，D 成立.故选：AD ．8.（多选）（多选）已知函数()2211x f x x-=+，则下列对于()f x 的性质表述正确的是（） A ．()f x 为偶函数B ．()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 在[]2,3上的最大值为35D ．()()g x f x x =+在区间()1,0-上至少有一个零点【答案】ABCD【解析】因为()2211x f x x -=+，所以其的定义域为R ，A 选项，()22221()1()1()1----===+-+x x f x f x x x，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确； B 选项，22221111()111⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭===- ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x f f x x x x ，故B 正确； C 选项，因为()22212111-==-+++x f x x x ，当[]2,3x ∈，21y x =+单调递增，所以()2211=-++f x x 单调递减，因此()()max 2321145==-+=-+f x f ，故C 正确； D 选项，因为()()g x f x x =+，所以()()1111-=--=-gf ，()()0001=+=g f ，即()1(0)0-⋅<g g ，由零点存在性定理可得：()()g x f x x =+在区间()1,0-上存在零点，故D 正确；故选ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．若二次函数2y x ax b =++的两个零点分别是2和3，则2a b +的值为________.【答案】4-【解析】由于二次函数2y x ax b =++的两个零点分别是2和3，由韦达定理得3232a b +=-⎧⎨⨯=⎩，解得56a b =-⎧⎨=⎩，因此，()22564a b +=⨯-+=-.故答案为：4-. 10．若函数||2-=-x y k 有零点，则实数k 的取值范围是________．【答案】(0，1]【解析】||2-=-x y k 有零点，即k ∈{}2x y y -= 而－|x |≤0，0<||2x -≤20＝1，∴||2x y -=的值域为(0，1]．所以k 的取值范围是(0，1]故答案为：(0，1]11．若函数4()32x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是________．【答案】17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】由条件可知函数()f x 在(1,2)上单调递增，所以(1)(2)0f f ⋅<，即(342)(922)0a a ----<，解之得1722a -<<．所以实数a 的取值范围是17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：17,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 12．（一题双空）已知函数222log ,1()32,1x a x f x x ax a x +⎧=⎨++<⎩， ①若a ＝1，f （x ）的最小值是_____；②若f （x ）恰好有2个零点，则实数a 的取值范围是_____．【答案】﹣14 1(1,][0,)2--+∞ 【解析】（1）由题意22log 1,1()32,1x x f x x x x +≥⎧=⎨++<⎩， 1x ≥时，2()log 1f x x =+单调递增，min ()(1)1f x f ==，1x <时，2231()32()24f x x x x =++=+-，min 31()()24f x f =-=-，所以32x =-时，min 1()4f x =-；（2）若0a =，则22log ,1(),1x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，恰有两个零点0和1，满足题意，若0a >，则1x ≥时，2()log 0f x x a a =+≥>无零点，但1x <时，22()32f x x ax a =++有两个零点a -和2a -，满足题意，当0a <时，则1x ≥时，2()log f x x a =+是增函数，min ()0f x a =<，有一个零点， 1x <时，由22()320f x x ax a =++=得x a =-或2x a =-，因为()f x 只有两个零点，所以121a a -<⎧⎨-≥⎩，解得112a -<≤-，综上，a 的取值范围是1(1,][0,)2--+∞．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【答案】（1）炮的最大射程是10千米．（2）当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标．【解析】（1）令y ＝0，得kx －120（1＋k 2）x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝2201k k +＝201k k+≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．（2）因为a ＞0，所以炮弹可击中目标∵存在k ＞0，使3.2＝ka －120（1＋k 2）a 2成立 ∵关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根∵判别式Δ＝（－20a ）2－4a 2（a 2＋64）≥0∵a≤6.所以当a 不超过6（千米）时，可击中目标．14．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数31log 2100x y =，单位是/m s ，其中x 表示鲑鱼的耗氧量的单位数. （1）当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？（2）计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.（3）若鲑鱼A 的游速大于鲑鱼B 的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由.【答案】（1）2m /s ；（2）一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位；（3）鲑鱼A 的耗氧量较大.【解析】（1）将8100x =代入函数关系式，得311log 814222y ==⨯=，所以一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是2m /s .（2）令0y =，得31log 02100x =，即1100x =，则100x =，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位. （3）鲑鱼A 的耗氧量较大.理由：由A B y y >，得13311log log 21002100B x x >，即33log log A B x x >，则A B x x >，所以鲑鱼A 的耗氧量较大.15．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为215(05)2R x x x =-，其中x 是产品生产并售出的数量（单位：百台）．（1）把利润表示为年产量的函数．（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？【答案】（1）21 4.750.5(05,2120.25(5).x x x y x x ⎧-+-⎪=⎨⎪->⎩；（2）475台；（3）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．【解析】（1）设利润为y 万元，得22150.50.25(05),215550.50.25(5).2x x x x y x x ⎧---⎪⎪=⎨⎪⨯-⨯-->⎪⎩即()21 4.750.505,2120.25(5).x x x y x x ⎧-+-⎪=⎨⎪->⎩（2）显然当05x ≤≤时，企业会获得最大利润，此时，21( 4.75)10.781252y x =--+， 4.75x ∴=，即年产量为475台时，企业所得利润最大．（3）要使企业不亏本，则0y ≥．即205,1 4.750.502x x x ≤≤⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩或5,120.250,x x >⎧⎨-≥⎩ 得0.115x ≤≤或548x <≤，即0.1148x ≤≤．即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．16．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示. （1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =.（2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。

4.5.1 函数的零点与方程的解(同步训练)(附答案)—高一上学期数学必修第一册

4.5.1 函数的零点与方程的解（同步训练）一、选择题1.函数f(x)＝2x 2－3x ＋1的零点是( )A.－12，－1 B ．12，1 C ．12，－1 D.－12，1 2.函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( )A.2B.－2C.±2D.33.下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( )A.y ＝13log x B.y ＝3x －1C.y ＝x 2－12D.y ＝－x 3 4.函数f(x)＝4x －x 2的零点所在的大致区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 5.若函数f(x)＝ax ＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A.a>1B.a<1C.a<－1或a>1D.－1<a<16.函数f(x)＝x 3－4x 的零点为( )A.(0，0)，(2，0)B.(－2，0)，(0，0)，(2，0)C.－2，0，2D.0，27.函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上的零点( )A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D.一个也没有8.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 3－3x －t ，x ≥0，22－|x ＋1|－t ，x ＜0，有且只有3个零点，则实数t 的取值范围是( ) A.(－2，0] B.(0，2)C.(2，4)D.(－2，4)9.(多选)定义域和值域均为[－a ，a](常数a ＞0)的函数y ＝f(x)和y ＝g(x)的图象如图所示，下列四个命题中正确的结论是 ( )A.方程f(g(x))＝0有且仅有三个解B.方程g(f(x))＝0有且仅有三个解C.方程f(f(x))＝0有且仅有九个解D.方程g(g(x))＝0有且仅有一个解二、填空题10.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．11.已知函数f(x)＝(x＋2)x2，则函数f(x)的零点是________；不等式f(x)≤0的解集为____________12.函数f(x)＝ln x＋3x－2的零点个数是________13.已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，则m的值(或取值范围)是________，该零点是________三、解答题14.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－x2＋2x－1；(2)f(x)＝x4－x2；(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．15.已知函数f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．参考答案：一、选择题1.B2.C3.B4.A5.C6.C7.C8.C9.AD二、填空题10.答案：311.答案：－2，0；(－∞，－2]∪{0}12.答案：113.答案：－20三、解答题14.解：(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1.所以f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.(2)因为f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝0或x＝1或x＝－1，故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0.因为4x＞0恒成立，所以方程4x＋5＝0无实数解．所以f(x)＝4x＋5不存在零点．(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0.所以f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.15.解：(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3.令f(x)＝0，得x2－4x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图：需f(1)＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4.故b的取值范围为(4，＋∞)．。

人教A版必修一同步训练3.1.1第二课时函数零点的存在性定理

3.1.1第二课时。

函数零点的存在性定理 1、根据表格中的数据，可以判断方程e x －x －2＝0必有一个根在区间( )x －1 0 1 2 3e x 0.37 1 2.78 7.39 20.09x ＋2 1 2 3 4 5A.(－1,0) B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)1、解、设f (x )＝e x －x －2，∵f (1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f (2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f (1)f (2)＜0，由根的存在性定理知，方程e x －x －2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C.2、函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(e,3)2、解、∵f (2)＝ln2－1＜0，f (3)＝ln3－23＞0，∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )在(2,3)内有零点．选B. 3、下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1 x ≤0x －1 x ＞0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1 x ≥0x －1 x ＜03、解、选D.令y ＝0，得A 和C 中函数的零点均为1，－1；B 中函数的零点为－12，1；只有D 中函数无零点． 4、函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定4、解、令log a (x ＋1)＋x 2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y 1＝log a (x ＋1)与y 2＝－x 2＋2的交点个数选C.．5、设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)5、解、设f (x )＝x 3－(12)x －2，则f (0)＝0－(12)－2<0；f (1)＝1－(12)－1<0；f (2)＝23－(12)0>0.∴函数f (x )的零点在(1,2)上．选B.6、函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．6、解、设方程f (x )＝0的另一根为x ，由根与系数的关系，得1＋x ＝－2a a＝－2，故x ＝－3，即另一个零点为－3. 7、若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________．7、解、因为函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f (－1)·f (1)≤0，即(－5a ＋1)·(a ＋1)≤0，(5a －1)(a ＋1)≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5a －1≥0a ＋1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧5a －1≤0，a ＋1≤0，解得a ≥15或a ≤－1. 8、下列说法正确的有________：①对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间(a ，b )内一定没有零点．②函数f (x )＝2x －x 2有两个零点．③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.④当a ＝1时，函数f (x )＝|x 2－2x |－a 有三个零点．8、解、①错，如图．②错，应有三个零点．③对，奇、偶数图象与x 轴的交点关于原点对称，其和为0.④设u (x )＝|x 2－2x |＝|(x －1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x 轴相切，图象与x 轴有三个交点．∴a ＝1.答案：③④9、已知集合A = {x ∈R |x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x ∈R |x ＜0}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围.9、解、设全集U = {a |△= (–4a )2 – 4 (2a + 6)≥0} = 3{|(1)()0}2a a a +-≥ = 3{|1}2a a a ≤-≥或若方程x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0的两根x 1，x 2均非负，则1212340,.2260.a U x x a a x x a ∈⎧⎪+=≥⇒≥⎨⎪=+≥⎩ 因为在全集U 中集合3{|}2a a ≥的补集为{a |a ≤–1}，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤–1}.10、设集合A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R }，B = {x | x 2 + 2 (a + 1) x + a 2 – 1 = 0， x ∈R }，若A ∪B = A ，求实数a 的值.10、解、∵A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R }，∴A = {–4，0}.∵A ∪B =A ，∴B ⊆A .1°当B = A ，即B = {–4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得22(1)4,, 1.10a a a -+=-⎧=⎨-=⎩解之得 2°当B =∅，即方程x 2 + 2 (a + 1)x + a 2–1 = 0无实解.∴△= 4 (a + 1)2 – 4 (a 2 – 1) = 8a + 8＜0.解得，a ＜–1.3°当B = {0}，即方程x 2 + 2(a + 1)x + a 2 – 1 = 0有两个相等的实数根且为零时，2880,, 1.10.a a a +=⎧=-⎨-=⎩解得 4°当B = {–4}时，即需2880,168(1)10.a a a +=⎧⎨+++-=⎩无解. 综上所述，若A ∪B =A ，则a ≤–1或a = 1.。

第四章函数零点练习题 2021-2022学年高一上学期人教A版(2019)数学必修第一册

函数的零点【知识梳理】一．函数的零点1. 函数零点的定义：一般地，我们把使函数y ＝f(x)的值为0的实数x 称为函数y ＝f(x)的零点．2. 几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点．3. 函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是()0f x =的根．二．二次函数c bx ax y ++=2(a ＞0)的图象与零点的关系三．二分点对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0 的函数()y f x =，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．典型例题考点一：函数零点的求解1.函数()ln f x x x =的零点为（）A ．0或1B ．1C ．()1,0D ．()0,0或(()1,02.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．3y x =B ．x y e =C ．21y x =+D ．ln y x =【过关检测】1.函数()25xf x x =--的零点是（） A ．()2,0 B ．()0,5- C ．2 D ．32.下列函数不存在零点的是（）A ．1y x x =-B ．y =C ．1,01,0x x y x x +≤⎧=⎨->⎩ D ．1,01,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩考点二：函数零点个数的求解1．关于函数()2()ln 2ln f x x x =-，下列说法正确的是（） A ．函数()f x 有2个零点B ．函数()f x 有4个零点C ．e 是函数()f x 的一个零点D ．2e 是函数()f x 的一个零点 2．已知01a <<，方程0x a a log x -=的解的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．2或3或4【过关检测】1.函数（）A ．没有零点B ．有一个零点C ．有两个零点D ．有一个零点或有两个零点2.函数0.5()4|log |1x f x x =-的零点个数为．考点三：二次函数零点分布问题1．关于x 的方程22(1)110x m x m --++=，当m 分别在什么范围取值时，方程的两个根（1）都大于1；（2）都小于1；（3）一个大于，一个小于1？【过关检测】1. 已知1x ，2x 是函数22()(21)f x x k x k =-++的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数k 的取值范围是．2.已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=，若方程有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，则m 的取值范围是__________．【巩固练习】1.下列函数没有零点的是( )A ．0()f x =B ．2()f x =C ．21()f x x =-D ．1()f x x x =-2.方程lgx+x=3的解所在区间为（）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞) 3.函数()1lg 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭零点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34.方程223x x -+=的实数解的个数为________． 6. 若方程x2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在(0,1)内，另一根在(1,2)内，则k 的取值范围为________.7. 直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是__________。