高等数学期末复习题与答案

《

高等数学》2期末复习题

一、填空题：

1.函数)3ln(12222y x y x z --+-+=的定义域是1≦X^2+Y^2<3.

2.设,)1(y x z +=则

=∂∂y

z

(1)ln(1)y x x ++. 3.函数22ln(1)z x y =++在点(1,2)的全微分(1,2)

dz =

1233

dx dy + 4．设,),(22y x xy y x f +=+则=),(y x f .

设22(,),y

f x y x y x

+=-则=),(y x f .

5.设v e z u sin =而xy u =y x v +=则

=∂∂y

z

[sin()cos()]xy e x x y x y +++

6．函数22y x z +=在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，32+）的方向导数是1+

7.改换积分次序⎰⎰=20

22),(y y

dx y x f dy ；1

1

(,)y dy f x y dx -=⎰.

8．若L 是抛物线x y =2上从点A )1,1(-到点B )1,1(的一段弧，则⎰L

xydx =

9.微分方程22(1)0x x e dy ye dx ++=的通解为. 二、选择题： 1．

y xy y x )

tan(lim

)0,2(),(→等于（）（上下求导）

A ．2，2

1

不存在

2．函数y x z -=的定义域是（D ）

A ．{}0,0),(≥≥y x y x B.{}

y x y x ≥2),(

{}y x

y y x ≥≥2

,0),(．{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0),(

3.

=∂∂),(00|)

,(y x x

y x f （B ）

x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim

00000

.x y x f y x x f x ∆-∆+→∆)

,(),(lim 00000 x y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim

00000

.x

y x x f x ∆∆+→∆),(lim 000 5.设)(22y x F z +=，且F 具有导数，则

=∂∂+∂∂y

z x z （D ） A.y x 22+；B.)()22(22y x F y x ++；

C.)()22(22y x F y x +'-；

D.)()22(22y x F y x +'+. 6．曲线t a x cos =，t a y sin =，amt z =，在4

π

=

t 处的切向量是（D ）

A ．)2,1,1()2,1,1(-)2,1,1(m )2,1,1(m -对于函数xy x y x f +=2),(，原点)0,0(（A ） A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点

8．设I=dxdy y x D

⎰⎰-+5221，其中D 是圆环4122≤+≤y x 所确定的闭区域，则必有（）

A ．I 大于零小于零等于零不等于零，但符号不能确定。 9.已知L 是平面上不包含原点的任意闭曲线，若曲线积分220L xdx aydy

x y

-=+⎰Ñ，则a 等于（）.

A-1B1C2D-2

10．若L 为连接)0,1(及)1,0(两点的直线段，则曲线积分()L

x y ds +⎰=（）

A ．2设D 为,222y y x ≤+则=+⎰⎰dxdy y x f D

)(22（）

A.dx y x f dy y y )(22202

2

+⎰

⎰-；B.rdr r f d )(21

20

⎰⎰

θπ

；

C.rdr r f d )(2sin 20

⎰

⎰θ

π

θ；D.dy y x f dx )(222

11

+⎰

⎰-.

12.微分方程()1x e y y '+=的通解为（）

A.x ye c =；

B.x ye x c -=+；

C.()x y x c e -=+；

D.x y cxe -= 13.（）是微分方程x y y e -'''+=在初始条件0

1,1x x y

y =='

==-下的特解.

A.12x y c c xe -=-；

B.x y xe -=-；

C.12x y xe -=-；

D.1x y xe -=-. 三、计算题：

1.设33(sin ,)x z f e y x y =+，求

z

x

∂∂及z y ∂∂，其中f 具有一阶连续偏导数. 2．设sin sin x y u v x v y u

+=+⎧⎨=⎩，求x u ∂∂，x v

∂∂

3．求旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面及法线方程。 4．求函数322(,)339f x y x y x y x =-++-3的极值

5．计算2D

xy dxdy ⎰⎰，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右

半闭区域.

6．计算2

y D

e dxdy -⎰⎰，其中D 是以O （0,0），A （1,1），B （0,1）为顶点的三角

形闭区域.

7.计算⎰⎰⎰Ω

xdxdydz ，其中Ω是三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的区域.

8.计算⎰-+++-L

dy y x dx y x )1353()42(，其中L 为圆2522=+y x 的正向边界。

9.计算曲线积分33()(),L

y x dy x y dx +++⎰其中L 是从O(0,0)沿上半圆x y x 222=+到

A(2,0).

10.验证：在整个xoy 面内，xdy y xdx y x 2cos 3cos 3cos 3sin sin 4-是某个函数的全微分，并求出这样的一个函数.

11.求微分方程22(1)24x y xy x '++=的通解.

12.求解微分方程的特解：22(3)20,(0)1y x dy xydx y -+== 13.解微分方程23()()0yy y y ''''-+=

.

四、应用题：

1.用钢板制造一个容积为V 的无盖长方形水池，应如何选择水池的长、宽、高才最省钢板.

2.已知矩形的周长为24cm ，将它绕其一边旋转而构成一圆柱体，试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积.

3.求抛物线242y x y x ==与曲线所围成的闭区域的面积.

4.求抛物面226z x y =--与锥面z =所围成的立体的体积.

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