《实数大小的比较》PPT课件

课后思考
当a < 0，b < 0时,如何用作商法判断a 、
b的大小
作业
1.教材P4习题1.1中第 2、3题. 2.已知a >0 ,b > 0,用作差法比较abba与
aabb 大小.
1、作差判断两个实数大小的充要条件： 对于任意两个实数a、b，判断其
大小的充要条件是：
a > b a b > 0； a < b a b < 0； a = b a b = 0； 由此可见，要比较两个实数的大小，只 要考察它们的差的符号就可以了 .
例题讲解
例1. 比较(a+3)(a5)与(a+2)(a4)的大小. 分析:此题属于两代数式比较大小，
1. 第一步：作差并化简，其目标应是 n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
2. 第二步：判断差值与零的大小关系， 必要时须进行讨论；
3. 第三步：得出结论．
简言之就是： 作差→变形→定号→结论． 在某些特殊情况下, 还可考虑运
用作商法比较大小．它与作差法的 区别在于第二步，作商法是判断商 值与1的大小关系．
例3.已知a >0、 b > 0，比较a3 + b3与a2b + ab2的大小. 分析: (1) 作差、变形: a3 + b3-a2b - ab2
=(a3-a2b)- (ab2-b3)
=a2(a-b) -b2(a-b)
=(a-b)2 (a+b) (2)判断差值正负: ∵ (a-b)2≥0 a+b ＞0
例2.比较(3x-2)(x+1)与(2x+5)(x1)的大小.
分析: (1)作差．合并同类项： (3x-2)(x+1)-(2x+5)(x1)
= ( 3x2+ x-2)- (2x2+3x-5 ) = x2-2x+3
(2)变形．比较大小:
x2-2x+3= (x1)2+2＞0. (3)得出结论:
(3x-2)(x+1)＞(2x+5)(x1).
实际上是比较它们的值的大小，可以通 过作差． 变形． 判断差值正负来得出结 论. 从而把比较两个实数大小的问题转化 为实数的运算符号问题．
解: ∵ (a+3) (a-5) - (a+2) (a-4)
= a2-2a-15- (a2-2a-8) = -7<0
∴ (a+3) (a-5) < (a+2) (a-4)
当b > a
abba <
a>ab0时b ；，ab
<
1,a-b
<
0,故
(ab)
a-b
>
1,此时
综上,对于任意a >0,b > 0, 总有 abba ≤aabb
变式训练：
a+b
2.已知a >b > 0,比较aabb与 (ab)2 的大小.
(答案：
aabb >
a+b
(ab) 2
)
小结：
本节研究了如何比较两个实数或代 数式的大小，其具体解题步骤可归纳为：
∴ (a-b)2 (a+b) ≥0
(3)得出结论：a3 + b3 ≥ a2b + ab2
点拨： 例1、例2、例3是用作差比较法 来比较两个实数或代数式的大小，其一 般步骤是： 作差——变形——判断变形结果的符号
① 常数 (直接判断) ② 一元二次式 （配方后判断） ③ 若干个因式的积或商（分析各因式符号）
这样，就把两个数或代数式的大小 问题转化为判断它们差的符号问题，至 于差本身是多少，在此无关紧要．
变式训练：
设x≠0， 求 证： ( x2+1) 2 > x4+x2+1
2、作商判断两个正实数大小的充要条件：
当a > 0，b > 0时.
a b
>1

a>b；
a b
<1

a
<
b；
a b
=1

a
=
b
.
例4.已知a >0 ,b > 0,比较abba与aabb 大小.
解:∵a >0 ,b > 0,∴ ab , ba , aa , bb 均大于0.
aabb abba
=
aa-bbb-a =
aa-bb-(a-b)=
(ห้องสมุดไป่ตู้a)
a-b
当a > b > 0时，ab>1,a-b>0,故(ab) a-b>1, 此时
abba < aabb ；
当a =b ≠ 0时，显然abba = aabb；