五年级奥数竞赛班专题讲义：比赛中的数学推理

比赛中的数学推理

拓展与提高

【例1】4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场，每场比赛胜者得3分．负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少？

【知识点】计数分析．

【难度】★★★

【例2】甲、乙、丙、丁4个队举行足球循环赛，即每两队之间都比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．

已知：①比赛结束后4个队的得分都是奇数；

②甲队总分超过其他各队，名列第一；

③乙队恰有两场平局，并且其中一场是与丙队平局．

那么丁队得了多少分？

【知识点】计数分析．

【难度】★★★

【例3】6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．现在比赛已进行了4轮，即每队都已与4个队比赛过，各队已赛4场的得分之和互不相同．已知总得分居第三位的队共得7分，并且有4场球踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得多少分？最少可得多少分？

【知识点】极端分析．

【难度】★★★★

【例4】某商品的编号是一个三位数，现有5个三位数：874，765，123，364，925，其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字，那么这个三位数是多少？

【知识点】逻辑分析．

【难度】★★★

【例5】一次考试共有10道判断题，正确的画“√”，错误的画“×”，每道题答对得10分，不答得0分，满分为100分．甲、乙、丙、丁4名同学的解答及甲、乙、丙3名同学的得分如图10-2．那么丁应得多少分？

【难度】★★★★

【例6】某次考试满分是100分，A，B，C，D，E这5个人参加了这次考试．

A说：“我得了94分．”

B说：“我在5个人中得分最高．”

C说：“我的得分是A和D的平均分，且为整数．”

D说：“我的得分恰好是5个人的平均分．”

E说：“我比C多得了2分，并且在5个人中居第二．”

问这5个人各得了多少分？

【知识点】奇偶分析．

【难度】★★★

【例7】在一次射击练习中，甲、乙、丙3位战士各打了4发子弹，全部中靶，其命中情况如下：

①每人4发子弹所命中的环数各不相同；

②每人4发子弹所命中的总环数均为17环；

③乙有2发命中的环数分别与甲其中的2发一样，乙另2发命中的环数与丙其中的2发一样；

④甲与丙只有1发环数相同；

⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环．

问：甲与丙命中的相同环数是几？

【知识点】分类筛选．

【难度】★★★★

【例8】教师给甲、乙、丙各发一张写着不同整数的卡片．

教师说：“甲的卡片上写着一个两位数，乙的卡片上写着一个一位数，丙的卡片上写着一个比

60小的两位，并且甲的数乘以乙的数等于丙的数，请大家先看一下自己的数，然后猜一猜其

他两位同学的数是多少？”

甲说：“我猜不出其他两个人的数．”丙说：“我也猜不出其他两个人的数．”甲听了丙的话后，问乙：“你猜得出我与丙的数吗？”乙说：“我猜不出你们两个人的数．”听到这里，甲说：“我

已知道乙和丙的数，乙的数是，丙的数是，对不对？”乙和丙答：“很对！”

那么，3张卡片上的数各是多少？

【知识点】估算分析．

【难度】★★★★★

计算达标

1．

54332862

x x --=- 解：154(43)4836x x --=-

1516124836x x -+=-

3616481215x x -=--

2021x =

2120

x =

2．

121

225

x x ++=+ 解：5(1)2(21)20x x +=++

554220x x +=++ 542205x x -=+-

17x =

3．

2(1)51

236

x x -+=-

解：4(1)12(51)x x -=-+

441251x x -=--

451214x x +=-+

915x =

53

x =

4．

3424

523

x x +-=+

解：3(34)302(24)x x +=+-

9123048x x +=+- 9430812x x -=--

510x = 2x =

练习

1． 一次围棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每队不少于2人，每个人都

与其他的9人比赛，每盘胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．结果乙队平均得分为5.2分，丙队平均分17分，试求甲队的平均分． 【知识点】计数分析． 【难度】★★

【解】因为每队的总分均为整数，所以乙队为5人，那么乙队的总分为26分．考虑丙队情况：选手所

能得到的最高分为18分，而丙队中的最高分不少于17分．

当最高分为18分，次高分至多为16分，第三名至多14分，…，前两名的平均分为17分． 当最高分为17分，次高分至多为17分，第三名至多14分，…，第一名/前两名的平均分为17

分．

因为丙队不少于2人，所以丙队2人，则丙队的总分为34分．

所以甲队有10523--=人，总分为2

10

2263430C ⨯--=分，所以平均分为30310÷=分． 2． 五支足球队进行单循环赛，每两队之间进行一场比赛．胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0

分，最后发现各队得分都不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平，那么这五支球队的得分从高到低依次为 ．