五年级奥数竞赛班专题讲义:比赛中的数学推理
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比赛中的数学推理
拓展与提高
【例1】4支足球队进行单循环比赛,即每两队之间都比赛一场,每场比赛胜者得3分.负者得0分,平局各得1分.比赛结果,各队的总得分恰好是4个连续的自然数.问:输给第一名的队的总分是多少?
【知识点】计数分析.
【难度】★★★
【例2】甲、乙、丙、丁4个队举行足球循环赛,即每两队之间都比赛一场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,平局各得1分.
已知:①比赛结束后4个队的得分都是奇数;
②甲队总分超过其他各队,名列第一;
③乙队恰有两场平局,并且其中一场是与丙队平局.
那么丁队得了多少分?
【知识点】计数分析.
【难度】★★★
【例3】6支足球队进行单循环比赛,即每两队之间都比赛一场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,平局各得1分.现在比赛已进行了4轮,即每队都已与4个队比赛过,各队已赛4场的得分之和互不相同.已知总得分居第三位的队共得7分,并且有4场球踢成平局,那么总得分居第五位的队最多可得多少分?最少可得多少分?
【知识点】极端分析.
【难度】★★★★
【例4】某商品的编号是一个三位数,现有5个三位数:874,765,123,364,925,其中每一个数与商品编号,恰好在同一位上有一个相同的数字,那么这个三位数是多少?
【知识点】逻辑分析.
【难度】★★★
【例5】一次考试共有10道判断题,正确的画“√”,错误的画“×”,每道题答对得10分,不答得0分,满分为100分.甲、乙、丙、丁4名同学的解答及甲、乙、丙3名同学的得分如图10-2.那么丁应得多少分?
【难度】★★★★
【例6】某次考试满分是100分,A,B,C,D,E这5个人参加了这次考试.
A说:“我得了94分.”
B说:“我在5个人中得分最高.”
C说:“我的得分是A和D的平均分,且为整数.”
D说:“我的得分恰好是5个人的平均分.”
E说:“我比C多得了2分,并且在5个人中居第二.”
问这5个人各得了多少分?
【知识点】奇偶分析.
【难度】★★★
【例7】在一次射击练习中,甲、乙、丙3位战士各打了4发子弹,全部中靶,其命中情况如下:
①每人4发子弹所命中的环数各不相同;
②每人4发子弹所命中的总环数均为17环;
③乙有2发命中的环数分别与甲其中的2发一样,乙另2发命中的环数与丙其中的2发一样;
④甲与丙只有1发环数相同;
⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环.
问:甲与丙命中的相同环数是几?
【知识点】分类筛选.
【难度】★★★★
【例8】教师给甲、乙、丙各发一张写着不同整数的卡片.
教师说:“甲的卡片上写着一个两位数,乙的卡片上写着一个一位数,丙的卡片上写着一个比
60小的两位,并且甲的数乘以乙的数等于丙的数,请大家先看一下自己的数,然后猜一猜其
他两位同学的数是多少?”
甲说:“我猜不出其他两个人的数.”丙说:“我也猜不出其他两个人的数.”甲听了丙的话后,问乙:“你猜得出我与丙的数吗?”乙说:“我猜不出你们两个人的数.”听到这里,甲说:“我
已知道乙和丙的数,乙的数是,丙的数是,对不对?”乙和丙答:“很对!”
那么,3张卡片上的数各是多少?
【知识点】估算分析.
【难度】★★★★★
计算达标
1.
54332862
x x --=- 解:154(43)4836x x --=-
1516124836x x -+=-
3616481215x x -=--
2021x =
2120
x =
2.
121
225
x x ++=+ 解:5(1)2(21)20x x +=++
554220x x +=++ 542205x x -=+-
17x =
3.
2(1)51
236
x x -+=-
解:4(1)12(51)x x -=-+
441251x x -=--
451214x x +=-+
915x =
53
x =
4.
3424
523
x x +-=+
解:3(34)302(24)x x +=+-
9123048x x +=+- 9430812x x -=--
510x = 2x =
练习
1. 一次围棋比赛共有10名选手参加,他们分别来自甲、乙、丙三个队,每队不少于2人,每个人都
与其他的9人比赛,每盘胜者得2分,负者得0分,平局各得1分.结果乙队平均得分为5.2分,丙队平均分17分,试求甲队的平均分. 【知识点】计数分析. 【难度】★★
【解】因为每队的总分均为整数,所以乙队为5人,那么乙队的总分为26分.考虑丙队情况:选手所
能得到的最高分为18分,而丙队中的最高分不少于17分.
当最高分为18分,次高分至多为16分,第三名至多14分,…,前两名的平均分为17分. 当最高分为17分,次高分至多为17分,第三名至多14分,…,第一名/前两名的平均分为17
分.
因为丙队不少于2人,所以丙队2人,则丙队的总分为34分.
所以甲队有10523--=人,总分为2
10
2263430C ⨯--=分,所以平均分为30310÷=分. 2. 五支足球队进行单循环赛,每两队之间进行一场比赛.胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0
分,最后发现各队得分都不相同,第三名得了7分,并且和第一名打平,那么这五支球队的得分从高到低依次为 .
【知识点】计数分析. 【难度】★★★★
【解】每个队各赛4场,共赛54210⨯÷=场.
第三名得7分,与第一名打平,那么剩下的3场,得6分,只能是330++,即与第二名的比赛
输了,所以只能是10/33++++.
那么,第一名为/3133++++,第二名为0/333++++,第三名为10/33++++,第四名为
000/3++++,第五名为0000/++++.
所以,这五支球队的得分从高到低依次是10、9、7、3、0.
3. 10个队进行循环赛,胜者得2分,负者得1分,无平局.其中有两个队并列第一,两个队并列第
三,两个队并列第五,以后并无并列情况.请计算出各队得分. 【知识点】计数分析. 【难度】★★★★
【解】这10个球队共进行了2
10
45C =场比赛,每场比赛两队共得213+=分,所以10个球队共得453135⨯=分.
而每个队至少得到9分,所以将这9分视为基础分,有剩下13591045-⨯=分.
第一名至少负一场,不然就不会有并列第一,所以减去基础分后为82198⨯+-=分. 前6名的得分应该为偶数,所以后4名的得分只能是奇数. ⑴ 后4名至少是01236+++=分,不满足;
⑵ 后4名为01247+++=分,此时前6名只能是886655+++++; ⑶ 后4名为02349+++=分,此时前6名只能是776655+++++.
于是,加上基础分后依次为17,17,15,15,14,14,13,11,10,9;或16,16,15,15,14,14,13,12,11,9.
4. 有五支足球队进行循环赛,每两个队之间进行一场比赛,胜者得3分,平者各得1分,负者得0
分.现在还有一些比赛没有进行,各个队目前的得分恰好是五个连续的偶数,其中甲队积2分,
并且负于乙队,那么乙队现在积 分. 【知识点】奇偶分析. 【难度】★★★★
【解】最高分为3412⨯=,而赛完后5支队伍的最高分为25330C ⨯=分,因为出现2分,所以5个连续的偶数,可能 是0、2、4、6、8;2、4、6、8、10.
但是,24681030++++=分,而还有些比赛没有进行,所以只能是0、2、4、6、8. 甲:1011~++++,乙:31~++,丙:1~+,丁:1~+,戊:~ 所以,只能是戊为0分.
①当乙为8分时,只能是3/113++++,因为丙、丁在我们看来完全等价,当丁为6分时
11~13++++,此时丙只能是4分,只能是11~11++++,而这时戊一定有得分.所以不满足.
②当乙为6分时,只能是3/003++++,当丙为8分时13/13++++,此时丁只能是4分,但
是只能是131/~++++,超过4分.所以不满足.
③当乙为4分时,只能是3/10~++++,当丁为8分时131/3++++,此时丙只能为6分,为11/13++++.满足. 所以,乙的得分为4.
5. 5支足球队A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛,即每两队之间都比赛一场.每场比赛胜者得2
分,负者得0分,平局各得1分.已知:⑴A 队获得了冠军;⑵B 队、C 队和D 队的得分相同,且无其它并列情况;⑶在C 队参加的比赛中,平局只有一场,那场的对手是B 队;⑷D 队战胜了A 队.请你根据上述信息,分析出每场比赛的胜平负情况. 【知识点】计数分析.
【难度】★★★★
【解】根据已知条件可以画出如下赛况图:
因为每场比赛2个队共得2分,于是5个队的总分为25220C ⨯=分.
⑴ 当B 、C 、D 均得2分,而A 最多得到6分,E 最少得到202368-⨯-=分,超过A ,而A
是冠军,所以不满足.
⑵ 当B 、C 、D 均得3分,此时E 得分最少为203365-⨯-=分,所以此时只能是6A -分,
B 、
C 、
D 均3分,5
E -分.于是,A 的另外三场均是A 胜.
E 于是只能一场平,另外的2场为胜,由条件3知,E 不可能与C 平,所以只能是与B 或D
打平.
①当E 与D 平,有,有如左下图的赛况表.
②当E 与B 平,有
,有如右上图的赛况表.
⑶ 当B 、C 、D 均得4分,因为B 只能平一场得到1分,而其他情况,要么得到2分,要么
不得分,所以不可能.
⑷ 当B 、C 、D 均得5分,那么只能是A 得5分,E 得0分,不满足. 综上所述,有2种赛况表满足.
平
E
E
A
E E
D C B A
A
B
C
D E
E A E
E
平。