第九章 圆轴的扭转
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3 2
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A1 d 1 45 10 2 1 2 ＝1.28 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
2
第三节 圆轴扭转变形与相对扭转角
一、 切应力互等定理 根据力偶平衡理论
y
( dydz )dx ( dxdz )dy
第九章 圆轴的扭转应力、变形分析
与强度、刚度设计
第一节 圆轴扭转时的切应力分析 第二节 圆轴扭转强度设计 第三节 圆轴扭转变形与相对扭转角
第四节 扭转时圆轴的刚度设计
第一节 圆轴扭转时的切应力分析
一、实验现象和平面假设 平面假设：变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为 形状、大小、互相之间的距离不变的平面。
1.刚度校核， 2.截面设计， 3.确定许用载荷： 在后两类问题中，通常用强度条件进行设计，用刚
度条件进行校核。也可用强度、刚度条件同时设计，在
算得的几何量中取大值，在载荷中取小值。
例9-4 一镗孔装置，在刀杆端部装有二把镗刀，已知切削功率 P=8kW, 刀杆转速 n=60 r/min，材料许用应力[]=60 Mpa， G=80 GPa，刀杆的[]=0.5/m，试根据强度条件和刚度条件确 定刀杆的直径。 解: (1)确定刀杆的扭矩
例9-2 已知离合器传递的功率P＝7.5kW, 转速n =100r/min,轴的最 大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二 轴长度相同。求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二 轴的重量之比。 解： M x M e 9550 P 716.2N m n 空心轴
二、 圆轴的扭转变形
Mx
d M x dx GI P
：相对扭转角
1 GI P
M
l
x
dl ,
M xl GI P
：抗扭刚度
：单位长度扭转角
n
M xi li i 1 GI Pi
当轴上有几个外力偶作用时，先画出扭矩图，分段计算各轴 段的变形，各段变形的代数和即为轴的总扭转角。
由平面假设可推断，横截面上只有沿圆周切线方向的切 应力。
a Mx E A
b
Mx
G D D' dx d b d O2 E
O1
O1
dx G
a
A
G'
D
D'
d
O2
G'
即
d GG' dx tan dx d , dx
tan , ( 弧度 )很小时
一、横截面上的切应力分布规律
M
x
Mx Ip
实心轴 空心轴
max
Mx Wp
二、扭转强度条件
m ax
Mx [ ] WP
截面设计; 确定许用载荷;
三类强度计算问题： 强度校核;
三、扭转刚度条件
M xl [ ] GI P
或者
Mx [ ] GI P
三类刚度计算问题： 刚度校核;
截面设计; 确定许用载荷;
在后两类问题中，通常用强度条件进行设计，用刚 度条件进行校核。也可用强度、刚度条件同时设计，在 算得的几何量中取大值，在载荷中取小值。 本章作业题：9-3， 9-5， 9-7， 9-15
d dx
相对扭转角沿杆长的变化率，对于给 定的横截面为常量
物理方程
剪切胡克定律 G 静力学方程
d dx
d G dx
dA
A
Mx
d 2 G d A Mx A dx
令
得
I P 2 d A 称为横截面
A
的极惯性矩
三、 Ip 与 Wp 的计算
实心轴
空心轴
令
则
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
四、薄壁圆筒切应力的计算 当 d D 0.9 时，空心圆轴可视为薄壁圆筒
R dA R dA 2πR
A 0 0 A
2
0
Mx
Mx Mx 2 2π R0 2 A0
第二节 圆轴扭转强度设计
e
Me
y d x d z Fy 0 自动满足 ' a d d y d z Fx 0 存在 ' Mz 0 O ' x b c d y d z d x d x d z d y d x z 得
dy
切应力双生互等定理 单元体的两个相互垂直的截面上，与该两个面的交线垂直的 切应力数值相等，且均指向(或背离) 两截面的交线。
d 6.57 102 m 65.7mm
max
M x 180 1 273.2 180 m 0.5 m π GI p π π 80 109 d 4 32 d 66mm
扭矩的超静定问题：
补充题 在圆轴作用有外力偶矩Me，试绘出该轴的的扭矩图。 解：1.列静力平衡方程
m ax
Mx [ ] 1）强度校核; 2）截面设计; 3）确定许用载荷 WP
2. 阶梯形圆轴：
三类强度计算问题：
1. 等截面圆轴：
m ax
Mx [ ] WP
m ax
Mx ( )max [ ] WP
例9-1 一传动轴如图所示。设材料的许用切应力[]=50 MPa，轴的 直径 d= 100 mm，转速 n = 300 r/min。试求该传动轴所能传递 的功率。 解：(1)作扭矩图。
max2
Mx 16 M x 40MPa 3 4 WP 2 πD2 1
实心轴
M 16M x max1 x 40MPa 3 WP1 πd1
D2
3
16 716.2 0.046m=46mm 4 6 π 1- 40 10
d1=45 mm
d2＝0.5D2=23 mm
Mx
M x M x d G G 代入胡克定律可得 dx GI I
d Mx d x GI P
dA
O
dA
Mx
Mx Ip
max
令
Mx Mx R Ip Ip R
抗扭截面系数
max
Mx Mx I p R Wp
扭转时横截面上的切应力是如何分布的？ 拉压时横截面上的正应力是如何分布的？
Me
A
Me
B
MA MB 0
2.变形协调方程
L
L
L
BA 0
MA
Me
Me
MB
3.代入物理方程，建立补充方程
Me M
/3
A
M Me
M BL M A Me L M AL GI p GI p GI p
解得:
Me MA MB 3
0
+
Mee-2M /A 3 M
/3+
-
B
小 结
P 8 M e 9550 9550 1273.2( N m ) n 60
M x M e 1 273.2N m
(2)根据强度条件确定刀杆的直径 max
M x 1 273.2 103 MPa 60MPa WP d3 16
d 47.6mm
(3)根据刚度条件确定刀杆的直径
M x1 l AB 120 0.3 rad 1.12 103 rad GI p 80 109 0.0454 32
（2）变形分析
BC
M x 2 lBC 80 0.3 rad 7.47 104 rad GI p 80 109 0.0454 32
(2)建立强度条件
m ax
Mx [ ] WP
传动轴所能承受的最大扭矩
M xmax [ ]Wp 50 1003 /16N mm
9.8 106 N mm 9.8kN m
(3)求传动轴所能传递的功率
P Mn / 9550 9800 300 / 9550 307.9( kW )
AC AB BC (1.12 103 7.47 104 )rad 3.73 104 rad
第四节 扭转时圆轴的刚度设计
刚度条件 最大变形小于或等于许用值
扭转角
M xl [ ] GI P
单位长度扭转角
Mx [ ] GI P
三、3类刚度计算问题
y
'
a
dy b
O ' dx
d
a
'
d
Biblioteka Baidu
c
x
b
z
'
c
单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的 状态称为纯剪切应力状态。
不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是 成立的。 因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料 的性能无关。所以不论材料是否处于弹性范围，切应力互等 定理总是成立的。 若单元体各个截面上只有切应力而无正应力，称为纯剪 切状态。
例9-3 某机器传动轴AC如图所示，已知轴材料的切变模量G=80 GPa, 轴直径d=45 mm，Me1=120 Nm， Me2=200 Nm， Me3=80 Nm，求AB、BC及AC间相对扭转角。
解： （1）内力分析
AB段
BC段
AB
M x1 120N m M x 2 80N m
dy
dz 在相互垂直的两个平面上，切应力 必成对出现，两切应力的数值相 等，方向均垂直于该平面的交线， 且同时指向或背离其交线。
x
z
dx
第三节 圆轴扭转变形与相对扭转角
单元体·切应力互等定理 单元体—— 此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面 从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面 体 M
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A1 d 1 45 10 2 1 2 ＝1.28 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
2
第三节 圆轴扭转变形与相对扭转角
一、 切应力互等定理 根据力偶平衡理论
y
( dydz )dx ( dxdz )dy
第九章 圆轴的扭转应力、变形分析
与强度、刚度设计
第一节 圆轴扭转时的切应力分析 第二节 圆轴扭转强度设计 第三节 圆轴扭转变形与相对扭转角
第四节 扭转时圆轴的刚度设计
第一节 圆轴扭转时的切应力分析
一、实验现象和平面假设 平面假设：变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为 形状、大小、互相之间的距离不变的平面。
1.刚度校核， 2.截面设计， 3.确定许用载荷： 在后两类问题中，通常用强度条件进行设计，用刚
度条件进行校核。也可用强度、刚度条件同时设计，在
算得的几何量中取大值，在载荷中取小值。
例9-4 一镗孔装置，在刀杆端部装有二把镗刀，已知切削功率 P=8kW, 刀杆转速 n=60 r/min，材料许用应力[]=60 Mpa， G=80 GPa，刀杆的[]=0.5/m，试根据强度条件和刚度条件确 定刀杆的直径。 解: (1)确定刀杆的扭矩
例9-2 已知离合器传递的功率P＝7.5kW, 转速n =100r/min,轴的最 大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二 轴长度相同。求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二 轴的重量之比。 解： M x M e 9550 P 716.2N m n 空心轴
二、 圆轴的扭转变形
Mx
d M x dx GI P
：相对扭转角
1 GI P
M
l
x
dl ,
M xl GI P
：抗扭刚度
：单位长度扭转角
n
M xi li i 1 GI Pi
当轴上有几个外力偶作用时，先画出扭矩图，分段计算各轴 段的变形，各段变形的代数和即为轴的总扭转角。
由平面假设可推断，横截面上只有沿圆周切线方向的切 应力。
a Mx E A
b
Mx
G D D' dx d b d O2 E
O1
O1
dx G
a
A
G'
D
D'
d
O2
G'
即
d GG' dx tan dx d , dx
tan , ( 弧度 )很小时
一、横截面上的切应力分布规律
M
x
Mx Ip
实心轴 空心轴
max
Mx Wp
二、扭转强度条件
m ax
Mx [ ] WP
截面设计; 确定许用载荷;
三类强度计算问题： 强度校核;
三、扭转刚度条件
M xl [ ] GI P
或者
Mx [ ] GI P
三类刚度计算问题： 刚度校核;
截面设计; 确定许用载荷;
在后两类问题中，通常用强度条件进行设计，用刚 度条件进行校核。也可用强度、刚度条件同时设计，在 算得的几何量中取大值，在载荷中取小值。 本章作业题：9-3， 9-5， 9-7， 9-15
d dx
相对扭转角沿杆长的变化率，对于给 定的横截面为常量
物理方程
剪切胡克定律 G 静力学方程
d dx
d G dx
dA
A
Mx
d 2 G d A Mx A dx
令
得
I P 2 d A 称为横截面
A
的极惯性矩
三、 Ip 与 Wp 的计算
实心轴
空心轴
令
则
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
四、薄壁圆筒切应力的计算 当 d D 0.9 时，空心圆轴可视为薄壁圆筒
R dA R dA 2πR
A 0 0 A
2
0
Mx
Mx Mx 2 2π R0 2 A0
第二节 圆轴扭转强度设计
e
Me
y d x d z Fy 0 自动满足 ' a d d y d z Fx 0 存在 ' Mz 0 O ' x b c d y d z d x d x d z d y d x z 得
dy
切应力双生互等定理 单元体的两个相互垂直的截面上，与该两个面的交线垂直的 切应力数值相等，且均指向(或背离) 两截面的交线。
d 6.57 102 m 65.7mm
max
M x 180 1 273.2 180 m 0.5 m π GI p π π 80 109 d 4 32 d 66mm
扭矩的超静定问题：
补充题 在圆轴作用有外力偶矩Me，试绘出该轴的的扭矩图。 解：1.列静力平衡方程
m ax
Mx [ ] 1）强度校核; 2）截面设计; 3）确定许用载荷 WP
2. 阶梯形圆轴：
三类强度计算问题：
1. 等截面圆轴：
m ax
Mx [ ] WP
m ax
Mx ( )max [ ] WP
例9-1 一传动轴如图所示。设材料的许用切应力[]=50 MPa，轴的 直径 d= 100 mm，转速 n = 300 r/min。试求该传动轴所能传递 的功率。 解：(1)作扭矩图。
max2
Mx 16 M x 40MPa 3 4 WP 2 πD2 1
实心轴
M 16M x max1 x 40MPa 3 WP1 πd1
D2
3
16 716.2 0.046m=46mm 4 6 π 1- 40 10
d1=45 mm
d2＝0.5D2=23 mm
Mx
M x M x d G G 代入胡克定律可得 dx GI I
d Mx d x GI P
dA
O
dA
Mx
Mx Ip
max
令
Mx Mx R Ip Ip R
抗扭截面系数
max
Mx Mx I p R Wp
扭转时横截面上的切应力是如何分布的？ 拉压时横截面上的正应力是如何分布的？
Me
A
Me
B
MA MB 0
2.变形协调方程
L
L
L
BA 0
MA
Me
Me
MB
3.代入物理方程，建立补充方程
Me M
/3
A
M Me
M BL M A Me L M AL GI p GI p GI p
解得:
Me MA MB 3
0
+
Mee-2M /A 3 M
/3+
-
B
小 结
P 8 M e 9550 9550 1273.2( N m ) n 60
M x M e 1 273.2N m
(2)根据强度条件确定刀杆的直径 max
M x 1 273.2 103 MPa 60MPa WP d3 16
d 47.6mm
(3)根据刚度条件确定刀杆的直径
M x1 l AB 120 0.3 rad 1.12 103 rad GI p 80 109 0.0454 32
（2）变形分析
BC
M x 2 lBC 80 0.3 rad 7.47 104 rad GI p 80 109 0.0454 32
(2)建立强度条件
m ax
Mx [ ] WP
传动轴所能承受的最大扭矩
M xmax [ ]Wp 50 1003 /16N mm
9.8 106 N mm 9.8kN m
(3)求传动轴所能传递的功率
P Mn / 9550 9800 300 / 9550 307.9( kW )
AC AB BC (1.12 103 7.47 104 )rad 3.73 104 rad
第四节 扭转时圆轴的刚度设计
刚度条件 最大变形小于或等于许用值
扭转角
M xl [ ] GI P
单位长度扭转角
Mx [ ] GI P
三、3类刚度计算问题
y
'
a
dy b
O ' dx
d
a
'
d
Biblioteka Baidu
c
x
b
z
'
c
单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的 状态称为纯剪切应力状态。
不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是 成立的。 因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料 的性能无关。所以不论材料是否处于弹性范围，切应力互等 定理总是成立的。 若单元体各个截面上只有切应力而无正应力，称为纯剪 切状态。
例9-3 某机器传动轴AC如图所示，已知轴材料的切变模量G=80 GPa, 轴直径d=45 mm，Me1=120 Nm， Me2=200 Nm， Me3=80 Nm，求AB、BC及AC间相对扭转角。
解： （1）内力分析
AB段
BC段
AB
M x1 120N m M x 2 80N m
dy
dz 在相互垂直的两个平面上，切应力 必成对出现，两切应力的数值相 等，方向均垂直于该平面的交线， 且同时指向或背离其交线。
x
z
dx
第三节 圆轴扭转变形与相对扭转角
单元体·切应力互等定理 单元体—— 此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面 从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面 体 M