直线参数方程t的几何意义
高中数学直线参数方程
直线参数方程1、直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221tt +,∣P 0P 3∣=221t t +(4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<02、直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α即⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t|x①当t>0时，点P 在点P 0的上方； ②当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线⎧+=0tx x ④当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤当t ＝0时，点P 与点P 0重合；⑥当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一对应关系？我们把直线l 看作是实数轴，以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系.问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2 参数分别为t 1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系？ 根据直线l 参数方程t 的几何意义， P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，∴|P 1P |＝|P 2P |P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2<0一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2 则t 3＝221t t + （∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义，∴P 1P 3= t 3－t 1, P 2P 3= t 3－t 2, ∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ）性质一：A 、B 两点之间的距离为||||21t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|21t t性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为221t t +，若0M 是线段AB 的中点，则 021=+t t ，反之亦然。
直线的参数方程
直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M 得到的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)的直线，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (t为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．1．已知直线l 的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t sin 25°，y ＝2＋t cos 25°(t 为参数)，则直线l 的倾斜角为( )A ．65°B ．25°C ．155°D ．115°解析：选D.方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t sin 25°，y ＝2＋t cos 25°(t 为参数)，化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 115°，y ＝2＋t sin 115°(t为参数)，倾斜角为115°.故选D.2．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22D ．－22解析：选B.直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，斜率为－1.故选B.3．以t 为参数的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝－2＋32t表示( )A ．过点(1，－2)且倾斜角为π3的直线B ．过点(－1，2)且倾斜角为π3的直线C ．过点(1，－2)且倾斜角为2π3的直线D ．过点(－1，2)且倾斜角为2π3的直线解析：选C.化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)为普通方程得y ＋2＝－3(x －1)．直线过定点(1，－2)，斜率为－3，倾斜角为2π3，故选C.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长是________．解析：由已知焦点F (1，0)，又倾斜角为π3，cos π3＝12，sin π3＝32.所以弦AB 所在直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，代入抛物线的方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t .整理得3t 2－8t －16＝0.设方程两根分别为t 1，t 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝83，t 1·t 2＝－163.由参数t 的几何意义得|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫832＋643＝163.答案：163根据直线的参数方程求直线的倾斜角、斜率已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin αy ＝－2＋t cos α，(t 为参数)，其中实数α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.求直线l 的倾斜角． [解] 设直线l 的倾斜角为θ，则由题意知tan θ＝cos αsin α＝1tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α，所以θ＝3π2－α.所以直线l 的倾斜角为3π2－α.由直线的参数方程求倾斜角与斜率的方法已知直线l 的参数方程(1)若是标准式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，则可直接得出倾斜角即方程中的α，否则需化成标准式再求α.(2)若是一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt ，则当a ≠0时，斜率k ＝b a ，再由tan α＝ba 及0≤α<π求出α，当a ＝0时，显然直线与x 轴垂直，倾斜角为α＝π2.(3)若是其他形式，则通过消参化成普通方程，再求斜率及倾斜角．1.若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝3－32t，(t为参数)，则此直线的斜率为( )A. 3 B ．－ 3 C ．33D ．－33解析：选B.直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝3－32t，(t为参数)可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12(－t )y ＝3＋32(－t )，(－t 为参数)． 所以直线的斜率为－ 3.2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3ty ＝1＋t ，(t 为参数)，求直线的斜率．解：法一：把直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3ty ＝1＋t ，消去参数t 得x ＋3y －5＝0， 所以其斜率k ＝－13.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t y ＝1＋t ，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－3ty －1＝t ，所以k ＝y －1x －2＝t －3t ＝－13. 直线参数方程中参数几何意义的应用已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，求|AB |及|AM |·|BM |.[解] l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，y ＝－1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2(t 为参数)．令t ′＝t2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′为参数)．其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.因为Δ>0，可设t 1′，t 2′是方程的两根，由根与系数的关系得t 1′＋t 2′＝32，t 1′t 2′＝1.由参数t ′的几何意义得|MA |＝|t 1′|，|MB |＝|t 2′|，所以|MA |·|MB |＝|t 1′·t 2′|＝1，|AB |＝|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′＝14.(1)在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t 的几何意义．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；③设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 1M 2|及中点坐标).在极坐标系中，已知圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1.(1)求圆的直角坐标方程；(2)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．解：(1)由已知得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32，半径为1，圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，即x 2＋y 2－33x －3y ＋8＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)得直线的直角坐标方程x －3y ＋1＝0，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪332－332＋12＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝1，解得|AB |＝ 3. 直线参数方程的综合应用已知直线l 过定点P (3，2)且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值为最小时的直线l 的方程．[解] 设直线的倾斜角为α，则它的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．由A ，B 是坐标轴上的点知y A ＝0，x B ＝0，所以0＝2＋t sin α， 即|PA |＝|t |＝2sin α，0＝3＋t cos α，即|PB |＝|t |＝－3cos α，故|PA |·|PB |＝2sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3cos α＝－12sin 2α. 因为90°<α<180°，所以当2α＝270°，即α＝135°时， |PA |·|PB |有最小值．所以直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，化为普通方程为x ＋y －5＝0.利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. 所以x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)法一：直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋5，与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)． 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二：将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5，得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0，① 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0. 故可设t 1，t 2是①式的两个实根． 所以t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4. 所以t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，5)，所以由t 的几何意义，得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1．对直线参数方程标准形式中参数t 的理解从参数方程推导的过程中可知参数t 应理解为直线l 上有向线段M 0M →的数量，它的几何意义可以与数轴上点A 的坐标的几何意义作类比，|t |＝|M 0M →|代表有向线段M 0M →的长度．另外，将直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)改写成y －y 0sin α＝x －x 0cos α，其中k ＝tan α，α为直线倾斜角，则t ＝y －y 0sin α＝x －x 0cos α，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α，从中不难看出直线的普通方程(点斜式)与参数方程(标准式)的联系．2．化直线的参数方程一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (t 为参数)为标准式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋aty ＝y 0＋bt 变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a a 2＋b 2·a 2＋b 2ty ＝y 0＋b a 2＋b2·a 2＋b 2t，令cos α＝aa 2＋b2，sin α＝b a 2＋b2，t ′＝a 2＋b 2 t ，则可得标准式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ′cos αy ＝y 0＋t ′sin α(t ′为参数)，其中α为直线的倾斜角，k ＝tan α＝ba 为直线的斜率．1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α，(α为参数，0≤α<π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(2，－1)解析：选A.由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线．2．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3ty ＝2－4t ，(t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，且点A (1，2)，则|AB |＝________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t y ＝2－4t，代入2x －4y ＝5，得t ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.而A (1，2)，得|AB |＝52.答案：523．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4ty ＝3t ，(t 为参数)，则直线l与曲线C 相交所截得的弦长为________．解析：曲线C的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4ty ＝3t ，代入x 2＋y 2＝1中得25t 2－8t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝825.故直线l 与曲线C 相交所截得的弦长l ＝42＋32·|t 2－t 1|＝5×825＝85.答案：85[A 基础达标]1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3ty ＝－1＋t ，(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1B ．10C ．10D ．2 2解析：选B.将t ＝0，t ＝1代入参数方程可得两点坐标为(2，－1)和(5，0)， 所以d ＝(2－5)2＋(－1－0)2＝10.2．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－3λ，y ＝y 0＋4λ(λ为参数)与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)表示同一条直线，则λ与t 的关系是( )A ．λ＝5tB ．λ＝－5tC ．t ＝5λD ．t ＝－5λ解析：选C.由x －x 0，得－3λ＝t cos α，由y －y 0，得4λ＝t sin α，消去α的三角函数，得25λ2＝t 2，得t ＝±5λ，借助于直线的斜率，可排除t ＝－5λ，所以t ＝5λ.3．经过点M (1，5)且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5－32t(t 为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t(t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)解析：选D.该直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝5＋t sin π3(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)，选D.4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－12＋at (t 为参数)与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－s ，y ＝1＋s (s 为参数)互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23D ．－2解析：选D.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－12＋at (t 为参数)的斜率为y ＋12x ＝－a2，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－s ，y ＝1＋s (s 为参数)的斜率为y －1x －1＝－1，由两直线垂直得－a2×(－1)＝－1得a ＝－2.故选D. 5．对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°y ＝2＋t sin 30°和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°y ＝2－t sin 30°，下列结论正确的是( )A ．是倾斜角为30°的两平行直线B ．是倾斜角为150°的两重合直线C ．是两条垂直相交于点(1，2)的直线D ．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线 解析：选B.因为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 150°，y ＝2＋t sin 150°，所以其倾斜角为150°.同理，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°，可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋(－t )cos 150°，y ＝2＋(－t )sin 150°，所以其倾斜角也为150°.又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合．6．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t ，(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________．解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－32，由题意得直线4x ＋ky ＝1的斜率为－4k ，故－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案：－67．已知直线l 的斜率k ＝－1，经过点M 0(2，－1)．点M 在直线上，以M 0M →的数量t 为参数，则直线l 的参数方程为____________．解析：因为直线的斜率为－1， 所以直线的倾斜角α＝135°. 所以cos α＝－22，sin α＝22. 所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t y ＝－1＋22t ，(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t y ＝－1＋22t ，(t 为参数)8．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析：直线l 的普通方程为y ＝x ＋2，曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4(x ≤－2)，故直线l 与曲线C 的交点为(－2，0)，对应极坐标为(2，π)．答案：(2，π)9．已知曲线C ：ρ＝2cos θ，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝32＋34t ，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，(α是参数)．直线l 的普通方程为3x ＋4y －12＝0.(2)曲线C 上任意一点P (1＋cos α，sin α)到l 的距离为d ＝15|3cos α＋4sin α－9|，则|PA |＝d sin 45°＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin(α＋φ)－95，且tan φ＝34. 当sin(α＋φ)＝－1时，|PA |取得最大值1425； 当sin(α＋φ)＝1时，|PA |取得最小值425. 10．(2016·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153. [B 能力提升]11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C.直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a消去参数t 后得y ＝x －a . 椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1. 又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.12．给出两条直线l 1和l 2，斜率存在且不为0，如果满足斜率互为相反数，且在y 轴上的截距相等，那么直线l 1和l 2叫做“孪生直线”．现在给出4条直线的参数方程如下：l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝－4－2t (t 为参数)； l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝4－22t (t 为参数)； l 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1－t (t 为参数)； l 4：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22t ，y ＝8＋22t (t 为参数)． 其中能构成“孪生直线”的是________．解析：根据条件，两条直线构成“孪生直线”意味着它们的斜率存在且不为0，且互为相反数，且在y 轴上的截距相等，也就是在y 轴上交于同一点．对于本题，首先可以判断出其斜率分别为－1，1，－1，1，斜率互为相反数条件很明显．再判断在y 轴上的截距，令x ＝0得出相应的t 值，代入y 可得只有直线l 3和直线l 4在y 轴上的截距相等，而其斜率又恰好互为相反数，可以构成“孪生直线”．答案：直线l 3和直线l 413．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．解：(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin 2θ＝2aρcos θ，化为直角坐标方程为y 2＝2ax ；直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)化为普通方程为y ＝x －2. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，代入y 2＝2ax 得 t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )，因为|MN |2＝|PM |·|PN |，所以(t 1－t 2)2＝t 1·t 2，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝t 1t 2，(t 1＋t 2)2－5t 1t 2＝0，故8(4＋a )2－40(4＋a )＝0，解得a ＝1或a ＝－4(舍去)．故所求a 的值为1.14．(选做题)以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos αy ＝t sin α，(t 为参数，0<α<π)，曲线C的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．解：(1)由ρ＝2cos θsin 2θ得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x . (2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1·t 2＝－1sin 2α， 所以|AB |＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α， 当α＝π2时，|AB |取得最小值2.。
直线参数方程中参数的几何意义
到点 的距离
例１ 求直线２ｘ＋ｙ一３＝０的参数方程
解 ：直线２ｘ＋ｙ一３＝０过点（０，３）和 （１，１）。
若选 取直线 上点 （０，３）为基本 起点 ，向量ａ＝ （１，一２）为直线的基本向量 ，
ｆ．．－ ‘
则直线的参数方程为｛一 （ 为参数 ）； ｔｙ ｊ—Ｚｔ
若选 取直线 上点 （１，１）为基点 起点Ｍｏ，向量口： （一１，２）为直线 的基本向量 ，
为这 一 说 法 值 得 商 榷 。
事实上 ，由直线上一点和直线 的一个方 向向量
可以确定一条直线的位置 ，所以只要确定直线上一
点的坐标和它 的方 向向量的坐标 就可 以确定直线的
一 个参数方程 。
设 为直 线上一 点 ，其坐标 为 （ ｙｏ），ｎ＝ ａ，ｂ）
为直线的方向向量，则直线的参数方程为：｛ Ｌｙ＝ｙｏ＋ｔ￣ｔ
（２）表示过点（３，、／了 ）且方向向量为（一 ，
２
＾ ／ ＾
一
）的直 线 。
２
教材第３６页 中的例 １（已知直线ｆ： ＋ｖ一１：０与抛
物线ｙ＝ｘ￣ Ａ，Ｂ两点 ，求线段Ａ曰的长 和点 （一１，２）
￣＿ＩＪＡ，Ｂ两点的距 离之积 。）可以有如下解法 ：
解 ：由于 题 目涉 及 点 到Ａ，Ｂ的距 离 ，故 选 取 肘
｛ ｎ＋把？ （ｆ为参数）
［ｙ＝ｙｏ＋ｔｓｌｎａ
．——－—
若ｔ＞Ｏ，则尬 与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ位 向量口同向，点 在 止 方 ；
若ｔ＝０，则点 与 重合 ；若ｔ＞０，则 与 单位 向量 Ｐ
反向 ，点 疮 下方 。
＿ ＋ — — — —
————
由于尬 ＝ｔｅ，所 以ｌ尬 Ｉ＝ｌｔｌｌｅｌ＝Ｉｔｌ，所 以Ｉｔｌ表示点
直线的参数方程的几何意义
直线的参数方程的几何意义1.直线的位置和方向：参数方程可以通过调整参数的取值范围，描述直线在坐标系中的位置和方向。
例如，对于二维平面上的直线，参数方程可以表示直线在坐标系中的位置，以及直线与坐标轴的夹角。
对于三维空间中的直线，参数方程则可以表示直线在空间中的位置和方向。
2.直线的长度和斜率：参数方程可以通过参数的取值范围的选择，可以表示直线的长度和斜率。
例如，在二维平面上的直线的参数方程中，当参数的取值范围是0到1时，直线的长度就是参数方程中点的坐标与起点坐标的距离。
斜率则可以通过参数方程中的斜率函数导出来。
3.直线上的点的坐标：直线的参数方程可以通过给定参数值来求得直线上任意一点的坐标。
这使得我们可以通过参数方程计算直线上的点的坐标，进而研究直线上的点的性质和行为。
例如，通过参数方程可以计算直线上的点的坐标，并进一步研究这些点的集合的几何性质。
4.直线的切线和法线：参数方程可以通过求导数来计算直线上每一点的切线和法线。
这使得我们可以通过参数方程推导出直线上每一点的切线和法线的方程式，并进一步研究它们的性质和关系。
例如，通过参数方程可以推导出直线上每一点的切线的斜率和法线的斜率，从而进一步研究直线的曲率和切线与法线的关系。
在实际应用中，直线的参数方程在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，参数方程可以用来表示直线、曲线和曲面，从而用来模拟和绘制各种图形。
在物理学中，参数方程可以用来描述粒子的运动轨迹，从而用来研究粒子的位置、速度和加速度等动力学性质。
在工程学中，参数方程可以用来描述机械系统的运动路径和轨迹，从而用来优化设计和控制系统。
总之，直线的参数方程是一种描述直线位置和形状的方式，它可以通过给定参数的取值范围，将直线上的每一个点都用一个参数表示出来。
直线的参数方程不仅可以描述直线的位置和方向，还可以计算直线上每一点的坐标、切线和法线等几何性质，应用广泛，具有重要的几何意义。
直线的参数方程t的几何意义应用
由韦达定理得
t1 t2 12cos,t1t2 11
AB t1 t2 t1 t2 2 4t1t2 10
即 144cos2 44 10
cos2 3 从而sin2 5
8
8
直线l的斜率k tan 15
3
【及时总结】
当直线与曲线相交于两点，解决有关弦长或 以直线所过定点为起点的线段长的有关问题的步 骤：
轨迹参数 方程
题 有 关 的
参化普
求圆的轨 迹方程
直化极
极化参
全国2卷
椭圆中点 弦的斜率
求三角形 面积最大 值
弦长问题
直线与圆 的切点坐 标
高 考
直线和圆 相交求倾 斜角范围
求双曲线 方程
参化普、 极化直
真 题
全国3卷
求圆的弦 中点的轨 迹方程
求直线与 双曲线交 点的极坐 标
椭圆上动 点到直线 距离的最 值
a的值.
y
解：设A, B两点对应的参数分别是 t1,t2
由| PA| 2 | PB | 得 | t1 | 2 | t2 |， 即t1 2t2
A
P
B
x
变式
2.若直线
l
的参数方程为
x
a
y
1
2t
2 2
t
(t为参数 , a
R)
，l
交 C1
:
y2
4x
于
2
A,B 两点，点 P(a,1) 在线段 AB 上，若| PA| 2 | PB | ,求实数 a 的值。
1. 确定该点所在直线的标准参数方程；
直线的参数方程中t的几何意义总结
直线的参数方程中t的几何意义总结直线的参数方程中t的几何意义总结直线是平面几何中的基本图形之一，其参数方程是直线研究中常用的一种表达方式。
在直线的参数方程中，t代表着自变量，其具有较为重要的几何意义。
下面将从不同角度出发，对直线参数方程中t的几何意义进行总结。
一、t表示直线上某一点到起点距离所占总距离的比例在平面直角坐标系中，设直线L过点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则L的参数方程为：x = x1 + t(x2 - x1)y = y1 + t(y2 - y1)其中0≤t≤1。
这时，我们可以将t理解为从A到B这条线段上任意一点P到A点距离与AB长度之比。
例如当t=0.5时，P点距离A点和B点的长度相等，即P点处于AB 中点M处；当t=0时，P点位于A点处；当t=1时，P点位于B点处。
因此，在L的参数方程中，t表示了从起始端点到任意一点所需走过路程与整条直线长度之比。
二、t表示向量AB与向量AP夹角余弦值在向量学中，向量的夹角是指两个向量之间的夹角，其余弦值可以用点积公式来表示。
在直线参数方程中，我们可以将t理解为从起点A到任意一点P所对应的向量AP与直线L上已知向量AB之间的夹角余弦值。
设向量AB=(x2-x1,y2-y1)，向量AP=(x-x1,y-y1)，则有：cosθ = (AB·AP) / (|AB|×|AP|)= [(x2-x1)(x-x1)+(y2-y1)(y-y1)] / [(x2-x1)²+(y2-y1)²]^(1/2) × [(x-x1)²+(y-y1)²]^(1/2)其中θ为向量AB与向量AP之间的夹角。
因此，在直线参数方程中，t也可以表示从起始点A出发到任意一点P所对应的向量与已知向量之间的夹角余弦值。
三、t表示平面上一条射线上某个点到起点距离在平面几何中，射线是由一个端点和以该端点为原点的半直线组成的。
《直线参数方程t的几何意义》专题-直线参数方程t的意义
《直线参数方程t 的几何意义》专题2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P 0P =t ∣P 0P ∣=t P (y x ,)为直线上任意一点.(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）性质一：A 、B 两点之间的距离为||||21t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|21t t性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为221t t +，若0M 是线段AB 的中点，则 021=+t t ，反之亦然。
在解题时若能运用参数t 的上述性质，则可起到事半功倍的效果。
应用一：求距离之积例1：已知直线l ：01=-+y x 与抛物线2x y =交于B A ，两点，求线段AB 的长和点)2,1(-M 到B A ,两点的距离之积。
应用二：求距离例2、直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为6π，且与圆722=+y x 相交于A 、B 两点。
（1）求弦长AB .（2）求A P 0和B P 0的长。
应用三：求点的坐标例3、直线l 过点)4,2(0P ，倾斜角为6π，求出直线l 上与点)4,2(0P 相距为4的点的坐标。
极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义的应用
极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义的应用极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t的几何意义的应用1.（2018•银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系。
已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：x=2t-2，y=2t+2求M、N两点。
Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值。
解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x。
用代入法消去参数求得直线l的普通方程x-y-2=0.Ⅱ）直线l的参数方程为：x=2t-2，y=2t+2（t为参数），两曲线相交于M、N两点。
代入y2=4x，得到t1=-4，t2=6.则|PM|+|PN|=|t1+t2|=10.2.（2018•乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为x=t+1，y=t-1（t为参数），点A的极坐标为（2，π/4），设直线l与圆C交于点P、Q两点。
1）求圆C的直角坐标方程；2）求|AP|•|AQ|的值。
解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即（x-1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆。
2）点A的直角坐标为(2,2)，所以点A在直线l上。
把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t-2=0.由韦达定理可得t1=-2，t2=1.根据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=|t1•t2|=2.3.（2018•西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。
已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-2=0，C的极坐标方程为ρ=4sin(θ-π/2)。
I）求直线l和C的普通方程；II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，-2），求||PA|-|PB||的值。
解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-2=0，所以直线l的普通方程为：x-y+2=0.圆C的极坐标方程为ρ=4sin(θ-π/2)，所以圆C的直角坐标方程为：(x-2)2+y2=16.II）直线l的参数方程为：x=tcosθ+tsinθ，y=tsinθ-tcosθ-2（t为参数）。
参数方程中的t的几何意义
参数方程中的t的几何意义1. 嘿，你知道吗，参数方程中的 t 那可太有意思啦！就像汽车在公路上行驶，t 就是那个记录行驶时间的家伙呀！比如在一个抛体运动的参数方程里，t 不就代表着时间，随着 t 的变化，物体的位置也在不断改变呢。
2. 哇塞，参数方程中的 t 啊，它就像是一场冒险中的计时器！想想看，在一个圆周运动的参数方程里，t 每前进一点，物体就在圆周上前进一段，这多神奇呀！3. 哎呀呀，参数方程里的 t 可不简单呢！它简直就是打开几何奥秘的钥匙啊！好比在一条曲线的参数方程中，t 让我们能清晰看到曲线是怎么一点点生成的，多有意思啊！4. 嘿哟，参数方程中的 t 呀，那可是有着大作用呢！不就像一场比赛中的秒表嘛，在一个螺旋线的参数方程里，t 控制着螺旋的进程，多厉害呀！5. 哇哦，参数方程中的 t 啊，不就是指引方向的灯塔嘛！你看在一个摆线的参数方程里，t 决定着摆线的形态，这不是很神奇吗？6. 哈哈，参数方程里的 t 啊，那可是超级重要的角色呢！就像一个魔法棒，在一个椭圆的参数方程里，t 让椭圆动起来了，多酷呀！7. 哎哟喂，参数方程中的 t ，这可是个神秘的玩意儿呀！就像一个导演，在一个双曲线的参数方程里指挥着一切，这不是很有趣吗？8. 呀，参数方程中的 t 呀，可不能小瞧它哦！它就像是一个时间旅行者，在一个特殊曲线的参数方程里带着我们穿梭，真的好神奇呢！9. 哇，参数方程中的 t 啊，那绝对是个关键人物呀！好比在一个复杂图形的参数方程里，t 决定着每一个细节，多牛呀！10. 哈哈，参数方程中的 t ，真的是太有魅力啦！它就像一个无声的指挥家，在各种参数方程中发挥着独特的作用，你难道不想深入了解一下吗？我的观点结论：参数方程中的 t 有着极其丰富和多样的几何意义，它在不同的情境中扮演着重要的角色，为我们揭示了各种奇妙的几何现象，真的是非常值得我们好好去探索和研究呀！。
直线参数方程t的几何意义
直线参数方程t的几何意义
1 几何意义
直线参数方程t是一种数学表达式，描述的是一条直线上所有点的位置。
它很好地表现出空间中的直线，是一种非常实用的空间表达方式。
直线参数方程t的广义形式如下：
t（X,Y）= X * Cosα + Y * Sinα – a
其中X,Y是一个直线上的点的极坐标，a是表达直线的参数，α是一个系数。
该系数α描述的是以原点为基准，水平方向为0°时，直线与水平方向的偏角，也叫斜率角或偏角。
但凡参数t的系数a和α都一定，则t可以表达出特定一条直线，从中可以看出t“=0”这条直线本身。
当
t“>0”或者“<0”时，表示一个空间中到该直线上某一点的距离，当t“=0”时，表示在直线上某一点的位置。
因此，直线参数方程t的几何意义就是用它来描述一条直线以及距离该直线距离的具体数值。
空间中任意一点到该直线距离可由t值来确定，如果t值等于0，就表示该点在该直线上。
这样就可以将直线参数方程t用来描述空间中任意一条直线，该方法非常方便、实用。
直线参数方程的几何意义
红旗数学，方法先行一、参数方程及参数等的几何意义★ 若倾斜角为α的直线过点)(00y x M ，，t 为参数，则该直线的参数方程可写为 ★ 若直线过点M ，直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，则|MP|、|MQ|的几何意义就是：||||||||21t MQ t MP ==，； |MP|+|MQ|的几何意义就是：=+||||MQ MP |t ||t |21+；|MP|·|MQ|的几何意义就是：||||||21t t MQ MP ⋅=⋅；|PQ|的几何意义就是：2122121214)(|||PQ ||||PQ |t t t t t t t t ⋅-+=-=-=，即.例1：已知直线l ：01=-+y x 与抛物线2x y =交于B A ，两点，求线段AB 的长和点)2,1(-M 到B A ,两点的距离之积。
（1）如何写出直线l 的参数方程解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为43π，所以它的参数方程是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=ππ43sin 243cos 1t y t x ，（t 为参数），即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 222221，（t 为参数）① （2）如何求出交点A ，B 所对应的参数21t t ，？把①代入抛物线的方程，得 0222=-+t t ， （3）||||||MB MA AB ⋅、与21t t ，有什么关系？ 由参数方程的几何意义可得：||||MB MA ⋅=2|2|||21=-=⋅t t二、求弦的中点坐标★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，则弦的中点坐标公式为：红旗数学，方法先行⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+=+++=+=2)sin ()sin (22)cos ()cos (2201021'201021'ααααt y t y y y y t x t x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=+=++=+++=+=)(22)()(2)(22)()(2212022012021'211021011021't t p y t p y t p y y y y t t p x t p x t p x x x x ，21p p ，为常数，均不为零 (其中 中点M 的相应参数为t ，而221t t t +=，所以中点坐标也为：⎩⎨⎧+=+=t p y y t p x x 2010 ) ★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，且M 恰为弦AB 中点，则中点M 的相应参数：221t t t +==0 （因为⎩⎨⎧+=+=tp y y t p x x 200100，而21p p ，均不为0，所以t=0） 例2：直线l )(542531为参数，t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=与双曲线1)2(22=--x y 相交于A 、B 两点，求弦AB 中点M 的坐标。
直线的参数方程
t t ( t t ) 4t t
' 1 ' 2 ' 1 ' 2 2 ' ' 1 2
4 17
.
练习
2.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
y
B
A M（x，y）
0
(t是参数）
M0（x0，y0）
0
O
x •t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
若M 0为中点, t 0 t1＋t 2 0
•t只有在标准式中才有上述几何意义 设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2. （1）|AB|＝ t1 t 2
直线的参数方程
直线的参数方程(标准式）
x x 0 t cos 直线的参数方程 ( t为参数) y y 0 t sin
其中(x 0 , y0 )时直线上的定点, 是倾斜角; 其对应的 普通方程为y y0 k ( x x0 )或x x0。 t表示几何意义： M（ （x, y )(不同于点M 0）的 0 x0 , y0 )到直线上的点M 有向线段M 0 P的数量.
（2）M是AB的中点，求M对应的参数
t1 t 2 2
1 x 1 t 2 5.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
4 3
6.动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. x 1 9t (t为参数） y 1 12t
例谈直线的参数方程标准式与非标准式中参数的几何意义
准式中参数的系数平方和不为1 ，非标准式中斜率
k = b ，标准式中的斜率 k = tana ，由于它们的斜 a
率相等，故 sina = b ， cosa = a ，因
a2 + b2
a2 + b2
此我们可以如下从非标准式转化为标准式：
非标准式
=x =y
x0
+
at， （
t
为参数）转化为标准
y0 + bt
=
1+
3 t，
2 （ t 为参数）；
y=
2+ 1t 2
（2）
x
=
1+
3t，（ t 为参数）．
y= 2 + t
y
y
(1，2)M 0
t M1t 2
O 3t x
2
图3
(1，2)
M
0
2t
M t
O 3t x
图4
评析 以上两组直线的参数方程所表示的直线
是相同的，都表示经过定点 M0 (1，2) ，倾斜角 α 为 30 的直线，（1）式中定点 (1，2) 到直线上任一点的
式
=x
=y
x0 + y0 +
a t′， a2 + b2 （ t′ 为参数）．
b t′ a2 + b2
例 1 判断以下两组直线的参数方程是否为表
示同一直线．
（1）
x
=
1+
3 t， 2 （ t 为参数）；
y=
2+ 1t 2
（2）
x
=
1+
3t，（ t 为参数）．
y= 2 + t
第四节 直线参数方程t 的几何意义的应用
直线参数方程t 的几何意义的应用（学案）学习目标：1、能明白并理解直线参数方程（标准形式）的几何意义的真正含义； 2、参数t 的几何意义在求距离方面的应用（如：两线段之和、之积等） 重点：能明白并理解直线参数方程（标准形式）的几何意义的真正含义并会应用 难点：能明白并理解直线参数方程（标准形式）的几何意义的真正含义并会应用 一、典例：例1、1）、已知直线l ：01=--y x 与抛物线8y 2x =交于A 、B 两点，（1）求线段AB 的长；（2）求点M （2,1）到A 、B 两点的距离之积、MBMA 11+的值。
变式1、已知直线1C 的参数方程为)(,121为参数t t y t x ⎩⎨⎧+=-=，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=，设曲线相交于两点，求线段AB 的长。
变式2、经过点M （2,1）作直线l ，交椭圆141622=+y x 于A 、B 两点.如果M 恰好是线段AB 的中点，求直线l 的方程。
例2、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos )4(πθ+＝ 2.l 与C交于A ，B 两点.(1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设点P (0，－2)，求|PA |＋|PB |的值.变式、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋1ρ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数).(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(3，3)，求|PA |＋|PB |的值.二、巩固练习1. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝21＋sin 2θ，过点P (1，0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求|PA |·|PB |的取值范围.2、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 22221(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线l 的普通方程以及曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 的两个交点分别为M ，N ，直线l 与x 轴的交点为P ，求|PM |·|PN |的值.3、 已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值.4、已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2＋3t(t 为参数). (1)写出直线l 与曲线C 的普通方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 得到曲线C ′，过点F (3，0)作倾斜角为60°的直线交曲线C ′于A ，B 两点，求|FA |·|FB |.答案例1、解：（1）因为直线l 过定点M 且l 的倾斜角为43π，所以设l 的参数方程是)(,43sin 2,43cos 1为参数t t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=ππ 即)(,222,221为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--= 把直线参数方程代入抛物线方程，得0222=-+t t设A 、B 两点的参数分别为21t 、t ，则2,22121-=∙=+t t t t ，由参数t 的几何意义得 1024)2(4)(221221=⨯+=∙-+=t t t t AB（2）由（1）知2221=-=∙=∙t t MB MAMB MA 11+=210212121=∙=∙+=∙+t t AB t t t t MB MA MB MA 变式1、5952 变式2、x+2y-4=0例2、解 (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos α，y ＝sin α(α为参数)消去α，得普通方程x 25＋y 2＝1.因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，即ρcos θ－ρsin θ＝2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.(2)点P (0，－2)在l 上，则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝－2＋22t(t 为参数)，代入x 25＋y 2＝1整理得3t 2－102t ＋15＝0，由题意可得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝1023.变式、解 (1)曲线C 的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋1ρ＝0， 可得ρ2－2ρcos θ－6ρsin θ＋1＝0，可得x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0，曲线C 的普通方程：x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0. (2)由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数).把它代入圆的方程整理得t 2＋2t －5＝0，∴t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－5，则|P A |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|，∴|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2 6. ∴|P A |＋|PB |的值为2 6. 巩固练习 1、解 (1)由ρ＝21＋sin 2θ得ρ2(1＋sin 2θ)＝2. 故曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数).将⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α 代入x 22＋y 2＝1. 化简得(cos 2α＋2sin 2α)t 2＋2t cos α－1＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－1cos 2α＋2sin 2α.则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝1cos 2α＋2sin 2α＝11＋sin 2α.由于12≤11＋sin 2α≤1，2、解(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去参数t ，得x ＋y －1＝0.曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，利用平方关系，得x 2＋(y －2)2＝4，则x 2＋y 2－4y ＝0.令ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)在直线x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得点P (1，0). 把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2－32t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝1.由直线参数方程的几何意义，|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝1。
直线和圆的参数方程重要知识
1．直线的参数方程
(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋t sin α
(t 为参数)
.
重点辅导
1
2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值
M• 450 P x
O
的坐标为x, y,根据条件知
台风中心M移动形成的直线
图2 15
l 的方程为
x 300 40t cos1350 ,
y 40t sin1350 ,
t 为参数,t 0
x 300 20 2t ,
即 y 20 2t ,
t 为参数,t 0
重点辅导
18
当点M 300 20 2t,20 2t 在圆O内或在圆O上时,有
t为参数
②
思考 由M 0M te,你能得到直线l的参数 方 程②中 参 数t 的 几 何 意 义 吗?
重点辅导
4
因为e cos,sin ,所以| e | 1.由 M0M
te,得到| M0M || t | .所以,直线上的动点M 到定点M0的距离,等于② 中参数t 的绝对值.
当 0 时,sin 0,所以,直线l的单位
(2)设l与圆 x 2 y2 ＝4相交于两点A，B，求点P
到A，B两点的距离之积．
解：(1)直线的参数方程是
x＝1＋
3 2t
y＝1＋12t
(t 是参数)．
重点辅导
7
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 A1＋ 23t1，1＋12t1，B1＋ 23t2，1＋21t2. 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4， 整理得到 t2＋( 3＋1)t－2＝0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
直线的参数方程
直线的参数方程一、直线的参数方程（标准形式）⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x ，其中t 表示参数t 对应的动点（x,y ）与直线上的定点(00,y x )之间的距离，α为直线的倾斜角。
当要解决与距离有关的几何问题时，常用直线方程的这一形式，若A 对应参数t 1，B 对应参数t 2，则21t t AB -=二、直线的参数方程（一般形式）⎩⎨⎧+=+=mty y lt x x 00，其中，向量),(m l 与直线平行巩固练习1、直线的参数方程标准形式，t的意义设直线1l 过点)4,2(-A ，倾斜角为65π：（1）求1l 的参数方程； （2）设直线2l ：01=+-y x ，2l 与1l 的交点为B ，求点B 与点A 的距离。
解：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 214232（t 为参数）（2）)13(7||-=AB2、已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合.直线l 的参数是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=ty t x 541531为参数）t (，曲线C 的极坐标方程为).4sin(2πθρ+=（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于N M ,两点，求N M ,两点间的距离。
解：（1）21)21()21(:22=-+-y x C（2）541 3、直线过点)3,1(A ，且与向量)4,2(-共线：（1）写出该直线参数方程；（2）求点)1,2(--P 到此直线的距离。
解：（1）⎩⎨⎧-=+=ty tx 4321（t 为参数）（2）524、极坐标与参数方程 已知直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y tx 231（t 为参数），圆的极坐标方程为θθρsin 4cos 2+=（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）求直线被圆截得的弦长 解：（1）5)2()1(,01222=-+-=+-y x y x（2）5304 5、设直线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y tx 41035（t 为参数）（1）求直线的直角坐标方程；（2）把一般形式参数方程化成标准形式参数方程。
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利用直线参数方程t 的几何意义
1、 直线参数方程的标准式
(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是
⎩⎨⎧+=+=α
αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，
则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣
(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3
则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t
t +,∣P 0P 3∣=2
21t t +
(4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、 直线参数方程的一般式
过点P 0(00,y x )，斜率为a
b
k =的直线的参数方程是
⎩
⎨⎧+=+=bt y y at
x x 00 （t 为参数）
点击直线参数方程：
一、直线的参数方程
问题1：（直线由点和方向确定）
求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l
设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，
P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数，
又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α
即⎩⎨⎧+=+=α
αsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程
∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点
P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ①当t>0时，点P 在点P 0的上方； ②当t ＝0时，点P 与点P 0重合；
x
③当t<0时，点P 在点P 0的下方；
特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线
⎧+=0t
x x ④当t>0
时，点P 在点P 0的右侧； ⑤当t ＝0时，点P 与点P 0重合；
⑥当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一
对应关系？
我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系.
问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ， 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？
P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t －t ∣ 问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2 参数分别为t 1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系？ 根据直线l 参数方程t 的几何意义， P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，∴|P 1P |＝|P 2P |
P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2<0
一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点，
所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2 则t 3＝2
21t t + （∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义，
∴P 1P 3= t 3－t 1, P 2P 3= t 3－t 2, ∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ）
性质一：A 、B 两点之间的距离为||||21t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|21t t
性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为
2
2
1t t +，若0M 是线段AB 的中点，则 021=+t t ，反之亦然。
在解题时若能运用参数t 的上述性质，则可起到事半功倍的效果。
应用一：求距离
例1、直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为
6
π，且与圆72
2=+y x 相交于A 、B 两点。
x
x
（1）求弦长AB.
（2）求A P 0和B P 0的长。
解：因为直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为
6
π
，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=+-=6sin
06cos 4ππt y t x ，即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 2123
4，（t 为参数），代入圆方程，得 7)2
1
()234(22=++
-t t ，整理得09342=+-t t （1）设A 、B 所对应的参数分别为21,t t ，所以3421=+t t ，921=t t ， 所以||||21t t AB -=.324)(21221=-+=
t t t t
（2）解方程09342
=+-t t 得，3,3321==t t ，
所以A P 033||1==t ，B P 0.3||2=
=t
应用二：求点的坐标
例2、直线l 过点)4,2(0P ，倾斜角为6
π
，求出直线l 上与点)4,2(0P 相距为4的点的坐标。
解：因为直线l 过点)4,2(0P ，倾斜角为
6
π
，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=+=6sin 46cos 2ππt y t x ，即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 214232，（t 为参数）， （1） 设直线l 上与已知点)4,2(0P 相距为4的点为M 点，且M 点对应的参数为t ，则
||0M P 4||==t ，所以4±=t ，将t 的值代入（1）式，
当t ＝4时，M 点的坐标为)6,322(+； 当t ＝－4时，M 点的坐标为)2,322(-，
综上，所求M 点的坐标为)6,322(+或)2,322(-.
点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较容易。
应用三：解决有关弦的中点问题 例3、过点)0,1(0P ，倾斜角为4
π的直线l 和抛物线x y 22
=相交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 点的坐标。
解：直线l 过点)0,1(0P ，倾斜角为
4
π
，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+
=t y t x 2222
1，
（t 为参数），因为直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 x y 22=中，得：)221(2)22(
2t t +=，整理得0222
1
2=--t t ， 06)2(2
1
4)2(2>=-⨯⨯--=∆，设这个二次方程的两个根为21,t t ，
由韦达定理得2221=+t t ，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得
22
2
1=+=
t t t M ，易知中点M 所对应的参数为2=M t ，将此值代入直线的参数方程得，M 点的坐标为（2，1）
点评：对于上述直线l 的参数方程，A 、B 两点对应的参数为21,t t ，则它们的中点所对应的参数为
.2
2
1t t +。