九年级数学培优(动点产生的与圆相切问题)

合集下载

(完整版)九年级数学动圆问题

动圆问题圆心动，半径不变1．如图，△ABC 为等边三角形，AB =6，动点O 在△ABC 的边上从点A 出发沿A →C →B →A 的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒，以O 为圆心、3为半径的圆在运动过程中与△ABC 的边第二次相切时是出发后第_______秒．2（北海）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了（）周，圆心O 所经路线的路程是_______ 。

3 如图所示，菱形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上， ∠BAD =60°，点A 的坐标为(－2，0)．⑴求线段AD 所在直线的函数表达式．⑵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t 秒．求t 为何值时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切？4、. 如图，⊙O 1的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AB 于P 点，O 1O 2＝8．若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现 ( ) A. 3次 B. 5次C. 6次D. 7次圆心动，半径变1、如图，菱形ABCD 的边长为2cm ，∠DAB=60°．点P 从A 点出发，以cm/s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从A 点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB 作匀速运动．当P 运动到C 点时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为ts ．（1）当P 异于A ．C 时，请说明PQ∥BC；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？分析如图：ABCO第22题图xy A BPC DA BCOD2. 如图9，已知直线l 的解析式为6y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，平行于直线l 的直线n 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，运动过程中始终保持n l ∥，直线n 与x 轴，y 轴分别相交于C 、D 两点，线段CD 的中点为P ，以P 为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S ，当直线n 与直线l 重合时，运动结束．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）直线n 在运动过程中，①当t 为何值时，半圆与直线l 相切？②是否存在这样的t 值，使得半圆面积12ABCD S S =梯形？若存在，求出t 值，若不存在，说明理由．动圆与定圆相切【解题技巧】当两圆相切时，把握d=R ＋r 与d=R －r 是解决问题的关键。

中考数学复习压轴题冲刺代几综合题第七讲动点产生的相切问题

相似三角形等.
2021年
14
此课件下载后可修改编辑
单击输入您的封面副标题
2021年
10
（2）如图 2，当直线 PO 与 C 相切时，设切点为 K，连接 CK，则 CK OK ．由点 C 的坐标为（－2，－2），可得： CO 2 2 ，
y
B •P D
OA
x
•
CK
图2
2021年
11
例 3．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，我把由两条射线 AE，BF 和以 AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形 C（注：不含 AB 线段）．已知 A（ -1 ， 0 ），B（1 ， 0 ），AE∥BF，且半圆与 y 轴的交点 D 在射线 AE 的反向延长线上．
思考问题.
2021年
6
例1.（湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交 y 轴于A点，于B、C两点（点B在点 C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5）．
2021年
7
【解析】（1）设抛物线解析式为：y=a(x﹣3)2 +4，将 A（0，﹣5）代入求得：a =﹣1， ∴抛物线解析式为 y =﹣(x﹣3)2 +4=﹣x2 +6x﹣5．
动点产生的相切问题
讲师：苏海涛
2021年
1
真题展示
2021年
2
动点产生的圆的相切问题
2021年
y B
OA
x
•
C
3
动点产生的圆的相切问题
2021年
4
冲刺满分
2021年
5
如何解决运动产生的相切问题：
假设相切是成立的
利用切线的性质
解题
常用知识：

初三数学提优专题5(动点产生的相切关系问题)(无答案)

第五节动点产生的相切关系问题讲方法直线与圆的位置关系1. 找位置:直线和圆的位置关系:设⊙O 的半径为r,圆心O 到直线l 的距离为d,则有:d>r ⇔直线l 与⊙O 相离d=r ⇔直线l 与⊙O 相切;d<r ⇔直线l 与⊙O 相交2.计算:根据切线的性质,即圆的切线垂直于过切点的半径.如图,根据k OA ·k bc =-1建立等式计算二、直角存在个数问题如图,点C 是直线l 上一动点,若只存在这样一个点C 使得∠ACB=90°,此时以AB 为直径的圆O 与直线l 相切。

三、一次函数平移过程中与二次函数交点问题直线y=kx+p(k≠0)与抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的交点问题:可运用方程思想联立方程y=kx+p 、y=ax 2+bx+c 联立之后的方程为ax 2+(b-k)x+c-p=0,若此方程的Δ=0,则说明一次图象与二次函数的图象相切,如图所示学思路铺垫如图,在平面直角坐标系中,函数y=ax 2+bx+c(a>0)的图象的顶点为D 点, 与y 轴交于C 点,与x 轴交于A 、B 两点,A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0),OB=OC,OC AO =31 (1) 二次函数的解析式为____________________(2) 若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点,且以MN 为直径对称的圆与x轴相切,求该圆半径的长度①以MN为直径的圆与x轴相切,所以MN到x轴的距离等于半径②由于MN平行于x轴, 所以M、N关于对称轴对称压轴题如图在平面直角坐标系中,过点A(-23,0)的直线AB交y轴的正半轴于点B,∠ABO=600(1)直线AB的解析式为____________________(2)点C是x轴上一动点,以C为圆心, 3为半径作⊙C,当⊙C与AB相切时,设切点为D,求圆心C的坐标提能力1.如图,抛物线y=x2-4x-1顶点为D,与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C(1)求这条抛物线的顶点D的坐标;(2)与x轴平行的直线与抛物线y=x2-4x-1相交于M、N两点(M在N的左侧)，上下平移直线MN,以MN为直径的⊙P能否与x轴相切?如果能,求出⊙P的半径;如果不能，请说明理由2.(湖南湘潭中考)如图,抛物线y=-41x 2+mx+n 的图象经过点A(2,3),对称轴为直线x=1,一次函数y=x 21+2的图象经过点A,交x 轴于点P,交抛物线于另一点B ，点A 、B 位于点P 的同侧.(1)抛物线的解析式为_________________(2)抛物线的对称轴上是否存在点C,使得⊙C 同时与x 轴和直线AP 都相切,如果存在，请求出点C 的坐标,如果不存在,请说明理由3.如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=41x 2+mx+n 的图象经过点A(2,0)和点B(1,-43),直线l 经过抛物线的顶点且与y 轴垂直,垂足为Q (1)则二次函数的表达式为_________________(2)设抛物线上有一动点P 从点B 处出发沿抛物线向上运动,其纵坐标y 1随时间t(t≥0)的变化规律为y 1=-43+2t,现以线段OP 为直径作圆C.若在点P 开始运动的同时,直线l 也向上平行移动,且垂足Q 的纵坐标y 2随时间t 的变化规律y 2=-1+3t,则当t 取什么值时直线l 与圆C 相切?4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x 2+(k-1)x-k 与直线y=kx+1交于A,B 两点,点A 在点B 的左侧.(1)如果B 点坐标为(2,3),那么k=___________,A 点坐标为____________(2)抛物线y=x 2+(k-1)x-k(k>0)与x 轴交于C,D 两点(点C 在点D 的左侧).在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90?若存在,请求出此时k 的值;若不存在,请说明理由.5.如图,抛物线y=-283x -x 43+3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C(1)点A 、B 的坐标的是___________________(2)若直线l 过点E(4,0),M 为直线l 上的动点,当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形只有三个时,求直线l 的解析式6.(四川达州中考)如图1-5-11,点A坐标为(2,0),以OA为边在第一象限内作等边△OAB,点C为x轴上一动点,且在点A右侧,连接BC,以BC为边在第一象限内作等边△BCD,连接AD交BC于E.当点C运动到使AC2=AE·AD时,经过O、B、C三点的抛物线为y1(1)y1的表达式为_________________(2)将y1沿x轴翻折得y2,设y1与y2组成的图形为M,函数y=3x+3m的图象l 与M有公共点.试写出:l与M的公共点为3个时,m的取值.。

人教版九年级数学上册 24.2.2 圆的切线的性质及判定综合运用培优 (无答案)

A Ol圆的切线的性质及判定综合运用知识点：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的．几何符号语言表达：∵ l 是⊙O 的，OA 是， ∴ l ⊥OA切线的判定：经过半径的并且的直线是圆的切线。

几何符号语言表达： ∵ OA 是，OA ⊥l 于A ， ∴ l 是⊙O 的。

归纳：证明切线添加辅助线的方法：1）直线与圆的公共点已知时，连半径，证（应用判定方法3）2）直线与圆公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明（方法2）一、典型例题例1．如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点C ，AD 交⊙O 于点F ，∠AC 平分∠BAD ，连接BF ．（1）求证：AD ⊥ED ；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O 的半径．利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:(1)直线经过半径的 ;(2)直线与这半径。

▲判断一条直线是圆的切线的方法：1.利用切线的定义:与圆有公共点的直线是圆的切线。

2.利用d 与r 的关系作判断:圆心到直线的距离等于 (即d r)的直线是圆的切线。

3.利用切线的判定定理:经过半径的并且这条半径的直线是圆的切线。

例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD=NB．例3．如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,试求△ABC的内切圆的半径.例4．如图，已知抛物线y=mx2+2mx+c（m≠0），与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A（﹣4，0）和点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）若P是线段OC上的动点，过点P作PE∥OA，交AC于点E，连接AP，当△AEP的面积最大时，求此时点P的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，⊙Q为△ABD的外接圆，求证⊙Q与直线y=2相切．二、综合训练1．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，DE=8，则AB 的长为（）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（）A ．25cmB ．45cmC ．25cm 或45cm D. 23cm 或43cm3．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A ．33B ．36C ．323D ．6234．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线2-=x y 与⊙O 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能5．若⊙O 的半径等于5cm ，P 是直线l 上的一点，OP=5cm ，则直线l 与圆的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交6．已知⊙O 的面积为9πcm 2，若点O 到直线l 的距离为πcm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定7．如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD=70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°8．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（）A．12 B．6 C．8 D．49．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．，10．如下左图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=21则∠ACD= °．11．如上右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．12．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；14. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过，垂足为D.C作CD PA（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．三、课外作业： 1.如图，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE=190，则∠AFB 的度数为（）A.97°B.104°C.116°D.142°第1题图第2题图2.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切.若点A 的坐标为(0,8),则圆心M 的坐标为( )A.(-4,5)B.(-5,4)C.(5,-4)D.(4,-5)3.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A.2B.3C.3D.32第3题图4.如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC.若∠A=400,则∠C= ．5.如图,∠ABC=900,O 为射线BC 上一点,以点O 为圆心,OB 21长为半径作⊙O ，当射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转时与⊙O 相切.第4题图第5题图6.已知AB 是⊙O 的直径,AP 是⊙O 的切线,A 是切点,BP 与⊙O 交于点C.（1）如图①，若2AB =，30P ∠=︒，求AP 的长（结果保留根号）；（2）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线.7.如图,已知直线ABC 与⊙O 相交于B,C 两点,E 是的中点,D 是⊙O 上一点,若∠EDA=∠AMD ．求证:AD 是⊙O 的切线．。

专题十：因动点产生的与圆相切的问题

专题十：因动点产生的与圆相切的问题零点突破【例1】如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=7.点E、F分别在边AD、BC上，且点B、F 关于过点E的直线对称.如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE=.【例3】已知：如图，选段AB=4，以AB为直径作半圆O，点C为弧AB的中点，点P为直径AB上一点，联结PC，过点C作CD∥AB，且CD=PC，过点D作DE∥PC，交射线PB于点E，PD与CE相交于点Q．（1）若点P与点A重合，求BE的长；（2）设PC=x， =y，当点P在线段AO上时，求y与x的函数关系式及定义域；（3）当点Q在半圆O上时，求PC的长．【例4】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P 的坐标．【例5】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=14，43tan A ，点D 是边AC 上一点，AD=8，点E 是边AB 上一点，以点E 为圆心，EA 为半径作圆，经过点D，点F 是边AC 上一动点（点F 不与A、C 重合），作FG ⊥EF，交射线BC 于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E 的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G 的边BC 上时，设AF=x，CG=y，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG，当△EFG 与△FCG 相似时，推理判断以点G 为圆心、CG 为半径的圆G 与圆E 可能产生的各种位置关系．变式训练真题直面1.（2016•湘潭）如图，抛物线n mx x y ++-=241的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx +b 的图象经过点A，交x 轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B 位于点P 的同侧．（1）求抛物线的解析式；（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，当k ＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C 同时与x 轴和直线AP 都相切，如果存在，请求出点C 的坐标，如果不存在，请说明理由．2.（2013•上海）在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，连接BP，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，求x 的值；（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x 的值．。

中考培优竞赛专题经典讲义第21讲动态圆问题

第20讲动态圆问题圆的动态问题一般都会涉及到相切问题，在某个情境下，相切的情况一般为某个临界情况，即最极端的情况，经常可用来解决范围与最值的问题.【例题讲解】例题1、如图，平面直角坐标系中，OA的圆心在x轴上，半径为1，直线l为y＝2x－2，若⊙A沿x轴向右运动，当⊙A与l有公共点时，点A移动的最大距离是.ylAO x答案：5.例题2、如图，在平面直角坐标系中，直线l:y＝－2x＋b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化，已知⊙M的圆心坐标为（3，2），半径为2，当b＝时，直线l与⊙M相切.y=-2x+byMO x答案：10±25.例题3、如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，－1），半径为l.若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点△E，则ABE面积的最大值是.yBA OxD CE答案：2＋5 . 2B【巩固练习】1、如图，直线 l :y ＝－12x ＋1 与坐标轴交于 AB 两点，点 M （m ，0）是 x 轴上一动点，一点 M 为圆心，2 个单位长度为半径作 OM ，当 OM 与直线 l 相切时，m 的值为.yPAOA BMOBx第1题第2题2、如图，⊙0 的半径为 3cm ，为⊙0 外一点，OB 交⊙0 于点 A ，AB ＝OA ，动点 P 从点 A 出发，以 πcm /s 的速度在⊙0 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止，当动点 P 运动的时间为 s 时，BP 与 ⊙0 相切。

3、如图，已知⊙0 是以数轴的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，∠AOB ＝45°，点 P 在数轴上运动，若过点 P 且与 0A 平行的直线与⊙0 有公共点，设 OP ＝x ，则 x 的取值范围是 .ACADOP BAOB PO 1O 2DBC第3题P第4题第5题4、如图，AB 为⊙0 的直径，C 为⊙0 上的一动点（不与 A 、B 重合），过点 C 作弦 CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于 P ，则当 C 在⊙0 上运动时，下列说法正确的是（）A .点 P 的位置始终随点 C 的运动而变化B .点 P 的位置无法确定C .PA ＝OAD .OP ⊥AB5、如图，⊙O 1 的半径为 1，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 2 为正方形 ABCD 的中心，0102 垂直 AB 与 P 点，0102＝8.若将⊙01 绕点 P 按顺时针方向旋转 360°，在旋转过程中，⊙01 与正方形 ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现（）A .3 次B .5 次C .6 次D .7 次6、如图，△AOB 中，∠0＝90°，AO ＝8cm ，BO ＝6cm ，点 C 从 A 点出发，在边 AO 上以 2cm /s 的速度向 O 点运动，与此同时，点 D 从点 B 出发，在边 BO 上以 1.5cm /s 的速度向 O 点运动，过 OC 的中点 E 作 CD 的垂线 EF ，则当点 C 运动了 s 时，以 C 点为圆心，1.5cm 为半径的圆与直线 EF 相切.ABDFC E O7、如图，已知⊙0的半径为6cm，射线PM经过点0，OP＝10cm，射线PN与⊙0相切于点Q，A，B 两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为ts.（1）求PQ的长；（2）当t为何值时，直线AB与⊙0相切？NQBP AO M8、如图，已知直线l:y＝2x＋3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。

2023年中考数学一轮综合培优测试卷：动点产生的问题(三角形+四边形+圆)【含答案】

2023年中考数学一轮综合培优测试卷：动点产生的问题一、综合题1．如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A→B 方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B→C→A 方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△PBQ 的面积；（2）当点Q 在边BC 上运动时，出发几秒钟后，△PQB 能形成等腰三角形？（3）当点Q 在边CA 上运动时，求能使△BCQ 成为等腰三角形的运动时间．2．如图，是边长为12 的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿ΔABC cm M 、N A 、B 方向匀速移动.AB 、BC （1）若点的运动速度是2，点的运动速度是4，当N 到达点C 时，M cms N cms 两点都停止运动，设运动时间为，当时，判断的形状，并说明理由；M 、N t(s)t =2ΔBMN （2）当它们的速度都是2，且当点M 到达点B 时，两点停止运动，设点M 的运cms M 、N 动时间为，则当t 为何值时，是直角三角形？t(s)ΔMBN 3．如图1，中，D 为AC 边上一动点（不含端点），过点D 作交BC 于点E ，过△ABC DE//AB 点E 作交AB 于点F ，连接AE ，DF ．点D 运动过程中，始终有．EF//AC AE =DF（1）求证：； ∠BAC =90°（2）如图2，若，当时，求AD 的长．AC =3, tanB =34AF =AD 4．如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与ΔABC ∠ACB =90°P AC D AB PD 相等，的垂直平分线交于点，交于，PA BD BC E BD F（1）判断与的位置关系，并说明理由； DE DP （2）若，，求线段的长.AC =6BC =8PA =2DE 5．如图，已知A ，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，AB ＝16 cm ，AD ＝6 cm ，动点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向点B 移动，一直到点B 为止，点Q 以2 cm/s 的速度向点D 移动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．问：（1）P ，Q 两点从开始出发多长时间时，四边形PBCQ 的面积是33 cm 2 （2）P ，Q 两点从开始出发多长时间时，点P 与点Q 之间的距离是10 cm?6．如图，在中，，，，点P 由点A 出发，沿Rt △ABC ∠B =90°AB =8cm BC =10cm AB 边以的速度向点B 移动；点Q 由点B 出发，沿边以的速度向点C 移动.如果1cm/s BC 2cm/s 点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，问：（1）经过几秒后，？AP =CQ （2）经过几秒后，的面积等于？△PBQ 15cm 27．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过点A （8，6）分别做x 轴、y 轴的平行线，交y 轴于点B ，交x 轴于点C ，点P 是从点B 出发，沿B→A→C 以2个单位长度/秒的速度向终点C 运动的一个动点，运动时间为t （秒）．（1）直接写出点B 和点C 的坐标：B （，）C （，）．（2）当点P 运动时，用含t 的代数式表示线段AP 的长，并写出t 的取范围；（3）点D （2，0），连结PD 、AD ，在（2）的条件下是否存在这样的t 值，使S △APD =S 四边形18ABOC ，若存在，请求t 值，若不存在，请说明理由．8．如图，在中，，．若动点P 从点C 开△ABC ∠C =90°AC =8cm ，BC =6cm ，AB =10cm 始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒2cm ．设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，CP 把的周长分成相等的两部分？ △ABC （2）当t 为何值时，CP 把的面积分成相等的两部分？△ABC （3）当t 为何值时，的面积为？△BCP 12cm 29．如图1，在中，，， .点D 从A 点出发，沿线段AB△ABC AC =BC ∠ACB =90°AB =4cm 向终点B 运动.过点D 作AB 的垂线，与的直角边AC （或BC ）相交于点E.设线段AD 的△ABC长为a（cm），线段DE的长为h（cm）.（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：变量a（cm）00.51 1.52 2.53 3.54变量h（cm）00.51 1.52 1.510.50在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2.根据探究的结果，解答下列问题：a=1.5ℎ=ℎ=1a=①当时，▲；当时，▲ .②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来.③下列说法正确的是▲ .（填“A”或“B”）A.变量h是以a为自变量的函数B.变量a是以h为自变量的函数△ABC（2）如图3，记线段DE与的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积(cm2)为s.0≤a≤22<a≤4①分别求出当和时，s关于a的函数表达式；②当时，求a 的值.s =1210．如图所示，△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，（1）如果P 、Q 同时出发，几秒后，可使△PBQ 的面积为8平方厘米？（2）线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．11．如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒2厘米的速度向运动，点△ABC AB =8AC =16P A B 从同时出发，以每秒厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，Q C 3A 设运动的时间为．t（1）用含的代数式表示：，　　．t AP =AQ =（2）当以，，为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少？A P Q △ABC 12．已知：四边形，点在直线上，将沿翻折得到，点的ABCD E BC △ABE AE △AFE B 对应点恰好落在直线上，直线交直线于点．F DE AF CD G（1）如图①，当四边形为矩形时， ABCD ①求证：；DA =DE②若，，求线段的长；BE =3CE =2AF （2）如图②，当四边形为平行四边形时，若，直接写出此时的值．ABCD BE CE =32AFAG 13．如图1，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝12cm ，AC ＝8cm ，现有动点P 从点B 出发，沿射线BA方向运动，动点Q 从点C 出发，沿射线CA 方向运动，已知点P 的速度是2cm/s ，点Q 的速度是1cm/s ，它们同时出发，设运动时间是ts （t ＞0）.（1）当t ＝4时，求△APQ 的面积.（2）经过多少秒时，△APQ 的面积是△ABC 面积的一半.14．如图，在平面直角坐标系中，△AOP 为等边三角形，A （0，1），点B 为y 轴上一动点，以BP为边作等边△PBC ．（1）当点B 运动到（0，4）时，AC= ．（2）求∠CAP 的度数；（3）当B 点运动时，AE 的长度是否发生变化？并说明理由．15．如图，已△ABC 中，AB =AC =12厘米（可得出∠B =∠C ），BC =9厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，1秒钟时，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明；（2）点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD ≌△CPQ ？16．如图，在中，，，，现有一个动点P 从点A 出发，以Rt △ABC ∠C =90°AC =20cm BC =15cm 4cm/s 的速度沿AC 向终点C 运动，动点Q 同时从点C 出发，以2cm/s 的速度沿CB 向终点B 运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts ，的面积为S ，求：△PCQ（1）S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当时，求线段PQ 的长；t =3s （3）当t 为何值时，？S =425S△ABC答案解析部分1．【答案】（1）解：当t ＝2时，则AP ＝2，BQ ＝2t ＝4，∵AB ＝16cm ，∴BP ＝AB﹣AP ＝16﹣2＝14（cm ），在Rt △BPQ 中，S △PBQ ＝ BP×BQ ＝28cm 212（2）解：由题意可知AP ＝t ，BQ ＝2t ， ∵AB ＝16，∴BP ＝AB﹣AP ＝16﹣t ，当△PQB 为等腰三角形时，则有BP ＝BQ ，即16﹣t ＝2t ，解得t ＝，163∴出发秒后△PQB 能形成等腰三角形163（3）解：①当CQ ＝BQ 时，如图1所示，则∠C ＝∠CBQ ，∵∠ABC ＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ ＝90°．∠A+∠C ＝90°，∴∠A ＝∠ABQ ，∴BQ ＝AQ ，∴CQ ＝AQ ＝10，∴BC+CQ ＝22，∴t ＝22÷2＝11秒．②当CQ ＝BC 时，如图2所示，则BC+CQ ＝24，∴t ＝24÷2＝12秒．③当BC ＝BQ 时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE ＝＝，AB ⋅BC AC 12×1620=485∴CE ＝，BC 2−BE 2=122−(485)2=365∴CQ ＝2CE ＝14.4，∴BC+CQ ＝26.4，∴t ＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t 为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ 为等腰三角形．2．【答案】（1）解：△BMN 是等边三角形当t=2时，AM =4，BN=8，∵△ABC 是等边三角形且边长是12∴BM=12-4=8，且∠B=60°∴BM=BN ∴△BMN 是等边三角形（2）解：△BMN 中，BM=12-2t ，BN=2t①当∠BNM=90°时，∠B=60°∴∠BMN=30°∴∴∴t=2BN =12BM 2t =12(12−2t)②当∠BMN=90°时，∠B=60°∴∠BNM=30°∴∴∴t=4BM =12BN 12−2t =12×2t综上：当t=2或t=4时，△BMN 是直角三角形.3．【答案】（1）证明：，∵DE//AB,EF//AC ∴四边形ADEF 是平行四边形．，∵AE =DF ∴四边形ADEF 是矩形．∴∠BAC =90°（2）解：当时，由（1）知，AF =AD 此时四边形ADEF 是正方形．，∵DE//AB ．∴∠DEC =∠B, ∠EDC =∠BAC =90° ．∴tan∠DEC =tanB =34在中，设，则．Rt △DEC DC =3x DE =4x ∵四边形ADEF 是正方形，．∴AD =DE =4x ．∴AC =AD +DC =7x =3 ，∴x =37∴AD =4x =1274．【答案】（1）解：．理由如下，DE ⊥DP ∵ ，∠ACB =90°∴ ，∠A +∠B =90°∵ ，PD =PA ∴ ，∠PDA =∠A ∵ 垂直平分，EF BD ∴ ，ED =EB ∴ ，∠EDB =∠B ∴ ，∠PDA +∠EDB =90°∴ ，∠PDE =180°−∠PDA−∠EDB =90°即 .DE ⊥DP （2）解：连接，设，PE DE =x 由（1）得，，又，，BE =DE =x CE =BC−BE =8−x PD =PA =2PC =CA−PA =6−2=4∵ ，∠PDE =∠C =90°∴ ，PC 2+CE 2=PD 2+DE 2=PE 2∴ ，22+x 2=42+(8−x)2解得，即．x =194DE =1945．【答案】（1）解：设P ，Q 两点从开始出发xs 时，四边形PBCQ 的面积是33cm 2.则由题意得 ×(16－3x ＋2x)×6＝33，12解得x ＝5.∵16÷3＝ >5，163∴x ＝5符合题意．故P ，Q 两点从开始出发5s 时，四边形PBCQ 的面积是33cm 2（2）解：设P ，Q 两点从开始出发ys 时，点P 与Q 之间的距离是10cm ，过点Q 作QH ⊥AB 于H ，∴∠QHA ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，∴四边形ADQH 是矩形，∴AH ＝DQ ＝(16－2y)cm ，QH ＝AD ＝6cm ，∴当P 点在H 点上方时，pH ＝AH －AP ＝16－2y －3y ＝(16－5y)(cm)；当P 点在H 点下方时，pH ＝AP －AH ＝3y －(16－2y)＝(5y －16)(cm)， ∴pH ＝|16－5y|cm.在Rt △PQH 中，根据勾股定理得pH 2＋QH 2＝PQ 2，即(16－5y)2＋62＝102，解得y 1＝1.6，y 2＝4.8. ∵16÷3＝，∴y 1＝1.6和y 2＝4.8均符合题意．故163P ，Q 两点从开始出发1.6s 或4.8s 时，点P 与点Q 之间的距离是10cm6．【答案】（1）解：设经过秒后，，则， x AP =CQ AP =xcm CQ =(10−2x)cm依题意，得，化简，得，x =(10−2x)3x =10解得.x =103答：经过秒后， .103AP =CQ （2）解：设经过秒后，的面积等于，则，y △PBQ 15cm 2BP =(8−y)cm,BQ =2ycm 依题意，得，12(8−y)×2y =15化简，得，y 2−8y +15=0解得 .y 1=3,y 2=5答：经过3秒或5秒后，的面积等于 .△PBQ 15cm 27．【答案】（1）0；6；8；0（2）解：当点P 在线段BA 上时，由A （8，6），B （0，6），C （8，0）可得：AB=8，AC=6，∵AP=AB-BP ，BP=2t ，∴AP=8-2t （0≤t ＜4）；当点P 在线段AC 上时，∵AP=点P 走过的路程-AB=2t-8（4≤t≤7）；（3）解：在两个符合条件的t 值，当点P 在线段BA 上时，∵S △APD =AP•AC ，S ABOC =AB•AC ，12∴•（8-2t ）×6=×8×6，1218解得：t=3＜4，当点P 在线段AC 上时，∵S △APD =AP•CD ，CD=8-2=6，12∴•（2t-8）×6=×8×6，1218解得：t=5＜7，综上所述：当t 为3秒和5秒时S △APD =S ABOC ，188．【答案】（1）解：在中，△ABC ，∵AC =8 cm ，BC =6cm ，AB =10cm 的周长为，∴△ABC 8+6+10=24(cm)∴当CP 把的周长分成相等的两部分时，点P 在AB 上，此时．△ABC CA +AP =BP +BC =12cm∵运动速度为每秒2cm ，∴2t =12，解得 t =6故当t 为6时，CP 把的周长分成相等的两部分△ABC （2）解：∵当点P 在AB 中点时，CP 把的面积分成相等的两部分，此时AP= =5cm△ABC 12AB∴ ，AC +AP =8+5=13(cm)∴2t =13，解得，t =6.5故当t 为6.5时，CP 把的面积分成相等的两部分．△ABC （3）解：分两种情况：当点P 在AC 上时，，∵S △BCP =12cm 2∴12×BC ×CP =12.∵BC =6 cm ， ∴CP =4cm ， ∴2t =4，解得；t =2当点P 在AB 上时，，∵S △BCP =12 cm 2， S △ABC =24 cm 2 ，∴S △BCP =12S △ABC∴点P 为AB 的中点，∴2t =13，解得．t =6.5当t 为2或6.5时，的面积为．△BCP 12cm 29．【答案】（1）解：①1.5；1或3；②连线如图2-1、图2-2所示：；③A（2）解：①如图3，当时，，0≤a ≤2ℎ=a∴阴影部分的面积：；s =12AD ⋅DE =12a ⋅ℎ=12a 2当时，，2<a ≤4ℎ=4−a ∴阴影部分的面积： .s =12BD ⋅DE =12(4−a)⋅(4−a)=12(4−a)2∴当时，；当时， .0≤a ≤2s =12a 22<a ≤4s =12(4−a)2②当时，令，解得或（不符合题意，舍去）.0≤a ≤212a 2=12a =1a =−1当时，令，解得或（不符合题意，含去）.2<a ≤412(4−a)2=12a =3a =5∴当时，或 .s =12a =1a =310．【答案】（1）解：设经过x 秒，使△PBQ 的面积等于8cm 2，依题意有：（6-x ）•2x=8，解得12x 1=2，x 2=4，经检验，x 1，x 2均符合题意，故经过2秒或4秒，△PBQ 的面积等于8cm 2（2）解：不能，理由如下：设经过y 秒，线段PQ 能将△ABC 分成面积相等的两部分，依题意有：S △ABC = ×6×8=24，12 （6﹣y ）•2y=12，12y 2﹣6y+12=0，∵△=b 2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ 不能否将△ABC 分成面积相等的两部分11．【答案】（1）2t 厘米；(16-3t)厘米（2）解：，∵∠PAQ =∠BAC 当时，∽，即，解得；∴AP AB =AQ AC △APQ △ABC 2t 8=16−3t 16t =167当时，∽，即，解得．AP AC =AQ AB △APQ △ACB 2t 16=16−3t8t =4运动时间为秒或4秒．∴16712．【答案】（1）解：①证明：如图①中，四边形是平行四边形，∵ABCD ，∴AD//BC ，∴∠AEB =∠DAE 由翻折的性质可知，，∠AEB =∠AED ，∴∠DAE =∠AED ．∴DA =DE ② 四边形是矩形，∵ABCD ，∴AD =BC ，，∵BE =3EC =2 ，∴BC =AD =5 ，∴AD =DE =5由翻折的性质可知，，BE =EF =3 ，∴DF =DE−EF =5−3=2 ，∵AF ⊥DE ，∴∠AFD =90° ．∴AF =AD 2−DF 2=52−22=21（2）如图②中，延长交的延长线于．AG BC T设，，则，，，BE =3a EC =2a AD =BC =DE =5a EB =EF =3a DF =2a，∵AD//ET ，∴AD ET =AF FT =DF EF =23 ，，∴5a ET =23AF =23FT，，∴ET =152a AF =25AT ，∴CT =ET−EC =112a ，∴AD CT =AG TG =5a 5.5a =1011设，，则，AG =10b GT =11b AT =21b ，∴AF =25×21b =425b，∴FG =10b−425b =85b．∴AF AG=425b 85b =214当点E 在BC 的延长线上时，同法可得，AF AG =3综上所述，的值为或3．AF AG 21413．【答案】（1）解：∵点P 的速度是4cm/s ，点Q 的速度是2cm/s ，当t ＝4时，BP ＝2t ＝8cm ，CQ t ＝4cm ，∴AP ＝4cm ，AQ ＝4cm ，∴S △APQ 4×4＝8.=12×（2）解：设经过t 秒△APQ 的面积是△ABC 面积的一半.根据题意得： S △ABC 12×8＝24cm 2，12=12×12×当0＜t ＜6 时如图1：S △APQ（12﹣2t ）（8﹣t ）＝24，=12整理得t 2﹣14t+24＝0，解得t ＝12（舍去）或t ＝2.当6＜t ＜8时如图2：S △APQ（2t﹣12）（8﹣t ）＝24，=12整理得t 2﹣14x+72＝0，△＜0，无解.当t ＞8时如图3：S △APQ（2t﹣12）（t﹣8）＝24，=12整理得t 2﹣14x+24＝0，解得t ＝12或t ＝2（舍去）.综上所述：经过2秒或12秒△APQ 的面积是△ABC 面积的一半.14．【答案】（1）4（2）解：由（1）知△PBO ≌△PCA ∴∠CAP=∠BOP 又∵∠BOP=60゜，∴∠CAP=∠BOP=60゜（3）解：当B 点运动时，AE 的长度不发生变化，理由是：∵A （0，1），∴OA=1，∵∠CAP=∠BOP=∠OAP=60゜，∴∠BAC=180°-∠CAP-∠OAP=180°-60°-60°=60゜∵∠EAO=∠BAC=60゜，∠AOE=90°，∴∠AEO=30゜，∴AE=2AO=2，即当B 点运动时，AE 的长度不发生变化15．【答案】（1）解：∵t=1（秒）,∴BP=CQ=3（厘米）∵AB=12,D 为AB 中点,∴BD=6（厘米）又∵PC=BC-BP=9-3=6（厘米）∴PC=BD ∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BPD 与△CQP 中, {BP =CQ∠B =∠CBD =PC∴△BPD ≌△CQP （SAS)（2）解：∵V P ≠V Q ,∴BP≠CQ,又∵∠B=∠C,要使△BPD ≌△CPQ,只能BP=CP=4.5,∵△BPD ≌△CPQ, ∴CQ=BD=6．∴点P 的运动时间：(秒)，此时 (厘米／秒)t =BP 3=4.53=1.5V Q =cQ t =61.5=416．【答案】（1）解：由条件可得：，，AP =4t CQ =2t ∴，CP =20−4t ∴，S =12CP ⋅CQ =12(20−4t)×2t =−4t 2+20t0≤t ≤5（2）解：当时，，，t =3CP =20−4t =8CQ =6∴PQ =CP 2+CQ 2=82+62=10cm（3）解：由题意可得：，S =−4t 2+20t =425×12×15×20整理得：，t 2−5t +6=0解得：，，t 1=2t 2=3∴当t 为2或3时，．S =425S△ABC。

2019-中考数学压轴题：因动点产生的相切问题

2019-2020 年中考数学压轴题：因动点产生的相切问题如图 1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上必然点，点P为⊙O上不同样于点A 的动点．（ 1）当tan A 1时，求 AP的长；2（ 2）若是⊙Q 过点、，且点Q在直线上（如图2），设＝，＝，求y关于P O AP AP x QP yx的函数关系式，并写出函数的定义域；（ 3）在（ 2）的条件下，当tan A 4时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q 3相外切，且OM⊥ OQ，试求⊙ M的半径的长．图1图2图3动感体验请打开几何画板文件名“13 杨浦 25”，拖动点P 在⊙ O上运动，能够体验到，等腰三角形 QPO与等腰三角形OAP保持相似， y 与 x 成反比率．⊙ M、⊙ O和⊙ Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形．请打开超级画板文件名“13 杨浦 25”，拖动点P 在⊙ O上运动，能够体验到，y 与 x成反比率．拖动点P 使得QP5，拖动点M使得⊙M的半径约为，⊙M与⊙O相内切，2同时与⊙ Q相外切．拖动点P 使得QP5，拖动点M使得⊙M的半径约为9，⊙M与⊙O、⊙2Q都内切．思路点拨1．第（ 1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（ 2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（ 3）题先把三个圆心距摆列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，依照勾股定理列方程．满分解答（ 1）如图 4，过点 O 作 OH ⊥ AP ，那么 AP ＝2AH ．在 Rt △ OAH 中， OA ＝ 3， tan A 1，设 OH ＝ m ， AH ＝ 2m ，那么 m ＋ (2 m ) ＝ 3 ．2222解得 m 35．因此 AP 2AH4m12 5．55（ 2）如图 5，联系 OQ 、 OP ，那么△ QPO 、△ OAP 是等腰三角形．又因为底角∠ P 公用，因此△ QPO ∽△ OAP ．因此 QP OP，即y3 ．POPA3 x由此获取 y9．定义域是 0＜ x ≤ 6．x图 4图 5（ 3）如图 6，联系，作的垂直均分线交AP 于，垂足为，那么、是⊙OPOPQDQPQOQ的半径．在 Rt △ QPD 中， PD1PO3 ，tan P tan A4，因此QP5 ．2 232如图 7，设⊙ M 的半径为 r ．由⊙ M 与⊙ O 内切， r O 3 ，可得圆心距 OM ＝ 3－r ．由⊙ M与⊙ Q外切，r QP 5，可得圆心距QM5r．Q22在 Rt△QOM中，QO 5， OM＝3－ r ，QM5r ，由勾股定理，得22( 5r)2(3 r) 2(5)2．解得r9 ．2211图6图7图8考点伸展如图 8，在第（ 3）题情况下，若是⊙M与⊙ O、⊙ Q都内切，那么⊙M的半径是多少？同样的，设⊙ M的半径为 r ．由⊙ M与⊙ O内切，r O 3 ，可得圆心距OM＝ r －3．由⊙ M与⊙ Q内切，r Q QP 5，可得圆心距QM r 5 ．22在 Rt△QOM中，由勾股定理，得(r5)2(r 3) 2(5)2．解得 r ＝9．22例 2 2012年河北省中考第25 题如图 1，A( － 5,0) ，B( － 3,0) ，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°， CD// AB，∠ CDA＝90°．点P 从点 (4,0)出发，沿x轴向左以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时间为t Q秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙ P 与四边形 ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 河北 25”，拖动圆心P在点 Q左侧运动，能够体验到，⊙P 能够与直线BC、直线 DC、直线 AD相切，不能够与直线AB相切．答案（ 1）点C的坐标为 (0,3) ．（ 2）如图 2，当P在B的右侧，∠BCP＝ 15°时，∠PCO＝ 30°，t 4 3 ；如图 3，当P在B的左侧，∠BCP＝ 15°时，∠CPO＝ 30°，t 4 3 3 ．图2图3（3）如图 4，当⊙P与直线BC相切时，t＝ 1；如图 5，当⊙P与直线DC相切时，t＝ 4；如图 6，当⊙P与直线AD相切时，t＝ 5.6 ．图4图5图6例 3 2012年无锡市中考模拟第28 题如图 1，菱形ABCD的边长为 2 厘米，∠DAB＝ 60°．点P从A出发，以每秒 3 厘米的速度沿AC向 C 作匀速运动；与此同时，点 Q也从点 A出发，以每秒 1 厘米的速度沿射线作匀速运动．当点 P 到达点 C时， P、 Q都停止运动．设点P运动的时间为t 秒．（ 1）当P异于A、C时，请说明PQ// BC；（ 2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC分别有1个公共点和2个公共点？图一动感体验请打开几何画板文件名“12 无锡 28”，拖动点P由 A 向 C运动，能够体验到，⊙P 与线段 BC的地址关系依次是相离没有公共点，相切只有 1 个公共点，订交有 2 个公共点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点．请打开超级画板文件名“12 无锡 28”，拖动点P由 A 向 C运动，能够体验到，⊙P 与线段 BC的地址关系依次是相离没有公共点，相切只有 1 个公共点，订交有 2 个公共点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点．答案（ 1）因为AQt ， AP3t t ，因此 AQAP．因此 PQ// BC．AB2AC 2 32AB AC（ 2）如图2，由PQ＝PH＝1PC，得t1(2 33t)．解得 t 4 3 6 ．22如图 3，由PQ＝PB，得等边三角形PBQ．因此 Q是 AB的中点， t ＝1．如图 4，由＝，得t233t ．解得t 33．PQ PC如图 5，当P、C重合时，t＝ 2．因此，当 t 4 3 6或 1＜t≤3 3 或 t ＝2时，⊙ P 与边 BC有1个公共点．当 4 36＜ t ≤1时，⊙ P 与边 BC有2个公共点．图2图3图4图5。

人教版数学九年级上《第24章圆》解答题综合培优训练含试卷分析答题技巧

【期末专项复习】第24章：圆解答题综合培优训练1．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC为⊙O直径，延长AC至D，过D作⊙O 切线，切点为E，且∠D＝90°，连接BE．DE＝12，（1）若CD＝4，求⊙O的半径；（2）若AD+CD＝30，求AC的长．2．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）连结AE，若∠D＝25°，求∠BAE的度数．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在上取点G，连结CG，DG，AC．求证：∠DGC＝2∠BAC．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC 于点D，且D点是弧BE的中点，（1）求证AB是圆的直径；（2）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；（3）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．5．如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC ＝∠BAC．（1）证明BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．6．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．（1）求AF、AE的长；（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．7．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝40°．（1）如图1，若D为弧AB的中点，求∠ABC和∠ABD的度数；（2）如图2，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的度数．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2AC，半径为2的⊙C，分别交AC、BC于点D、E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．9．如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB．（1）求∠AOB的度数；（2）若线段CD的长为2cm，求的长度．10．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝4，点D 是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P．（1）求劣弧PC的长（结果保留π）；（2）过点P作PF⊥AC于点F，求阴影部分的面积（结果保留π）．11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．（1）求证：EM是⊙O的切线；（2）若∠A＝∠E，BC＝，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．12．如图，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F．（1）若∠A＝40°，求∠DEF的度数；（2）AB＝AC＝13，BC＝10，求⊙O的半径．13．如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E 为的中点．（1）求证：DE＝EC；（2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径14．如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求CD的长．15．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是∠ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）若AB＝10，BC＝8，∠ABC＝60°，求BD的长度．17．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（1）如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；（2）如图2，当点F是C D的中点时，求△CDE的面积．参考答案1．（1）解：连接OE，作OH⊥AD于H，∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE．又∵∠D＝90°，∴四边形OHDE是矩形，设⊙O的半径为r，在Rt△OCH中，OC2＝CH2+OH2，∴r2＝（r﹣4）2+144，∴半径r＝20．（2）解：∵OH⊥AD，∴AH＝CH．又∵AD+CD＝30，即：（AH+HD）+（HD﹣CH）＝30．∴2HD＝30，HD＝15，即OE＝HD＝OC＝15，∴在Rt△OCH中，CH＝＝＝9．∴AC＝2CH＝18．【点评】考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质及垂径定理．解答此类题目的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求得相关线段的长度．2．（1）证明：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，即BC⊥AD，∵CD＝AC，∴AB＝BD，∴∠A＝∠D，∴∠CEB＝∠A，∴∠CEB＝∠D，∴CE＝CD．（2）解：连接AE．∵∠A BE＝∠A+∠D＝50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°﹣50°＝40°．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．证明：连结AD，∵弦CD⊥直径AB，∴2∠BAC＝2∠BAD＝∠DAC（垂径定理），又∵∠DGC＝∠DAC（圆周角定理），∴∠BAC＝∠DGC，∴∠DGC＝2∠BAC．【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法与数形结合思想的应用．4．解：（1）连结AD，∵D是中点，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AB＝AC，∴AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB是⊙O直径；（2）连结OE，∵∠C＝60°，AB＝AB，∴∠BAC＝60°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠OBE＝30°，∵AB＝8，∴OB＝4，∴S阴影＝S扇形AOE+S△BOE＝+×2×4＝π+4．（3）由（1）知AB是⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，∴∠EBC＝∠CAD，∴∠CAB＝2∠EBC．【点评】本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．5．证明：（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD+∠E＝90°，∵∠DBC＝∠DAB，∠DAB＝∠E，∴∠EBD+∠DBC＝90°，即OB⊥BC，又∵点B在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）连接OD，∵∠BOD＝2∠A＝60°，OB＝OD，∴△BOD是边长为6的等边三角形，∴S△BOD＝×62＝9，∵S扇形DOB＝＝6π，∴S阴影＝S扇形DOB﹣S△BOD＝6π﹣9．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠EBD+∠DBC＝90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．6．解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，∴AC＝BD＝＝5，∵AF•BD＝AB•AD，∴AF＝＝，同理可得DE＝，在Rt△ADE中，AE＝＝；（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，∴⊙A的半径r的取值范围为2.4＜r＜4．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7．解：（1）如图1，连接OD，∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝90°．∴∠ABC＝∠ACB﹣∠BAC＝90°﹣40°＝50°．∵D为弧AB的中点，∠AOB＝180°，∴∠AOD＝90°，∴∠ABD＝45°；（2）如图2，连接OD，∵DP切⊙O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°．由DP∥AC，又∠BAC＝40°，∴∠P＝∠BAC＝40°．∵∠AOD是△ODP的一个外角，∴∠AOD＝∠P+∠ODP＝130°．∴∠ACD＝65°．∵OC＝OA，∠BAC＝40°，∴∠OCA＝∠BAC＝40°．∴∠OCD＝∠ACD﹣∠OCA＝65°﹣40°＝25°．【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．8．（1）证明：过C作CF⊥AB于F，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2AC，∴BC＝2，由勾股定理得：AB＝＝5，∵△ACB的面积S＝×AB×CF＝×AC×BC，∴CF＝＝2，∴CF为⊙C的半径，∵CF⊥AB，∴AB为⊙C的切线；（2）解：图中阴影部分的面积＝S△ACB ﹣S扇形DCE＝××2﹣＝5﹣π．【点评】本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出CF的长是解此题的关键．9．解：（1）∵AM为圆O的切线，∴OA⊥AM，∵BD⊥AM，∴∠OAD＝∠BDM＝90°，∴OA∥BD，∴∠AOC＝∠OCB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，∴∠AOB＝120°；（2）如图：过点O作OE⊥BD，垂足为E∵∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，∴OB＝OC＝BC∵OE⊥BD，∴BE＝CE＝BC＝OA∵OE⊥BD，且OA⊥AD，BD⊥AD∴四边形ADEO是矩形∴OA＝DE∴CD+CE＝OA＝2CE，且CD＝2cm∴CE＝2cm∴OA＝4cm∴的长度＝＝π【点评】本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．10．解：（1）连接OB，∵OA＝OB，点D是AB的中点，∴PD⊥AB，∵∠A＝30°，∴∠POC＝∠AOD＝60°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝8，∴OC＝4∴劣弧PC的长＝＝π；（2）∵PF⊥AC，∠OPF＝30°，∴OF＝OP＝2，PF＝2，∴S＝﹣×2×2＝π﹣2．阴影【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，扇形面积计算，弧长的计算，掌握扇形面积公式和弧长公式是解题的关键．11．解：（1）连接OC，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠A+∠AFO+90°＝180°，∵∠ACE+∠AFO＝180°，∴∠ACE＝90°+∠A，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACE＝90°+∠ACO＝∠ACO+∠OCE，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，∴EM是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠BCE，∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠ACO＝∠BCE＝∠E，∴∠ABC＝∠BCO+∠E＝2∠A，∴∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝BC＝，∴阴影部分的面积＝﹣××＝﹣．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接OC是解题的关键．12．（1）连OD，OF，如图，则OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠DOF＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，又∵∠DEF＝∠DOF＝×140°＝70°；（2）过A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝BC＝×10＝5，则AM＝12，则S＝60，△ABC设圆O的半径的半径是r，则（13+13+10）•r＝60，解得：r＝．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线长定理．13．解：（1）连结AE，BD，∵E为的中点，∴＝，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠AEB是直径所对的圆周角，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△AEC和△AEB中，∴△AEC≌△AEB（ASA），∴CE＝BE，∴DE＝CE＝BE＝BC；（2）在Rt△CBD中，BD2＝BC2﹣CD2＝32，设半径为r，则AB＝2r，由（1）得AC＝AB＝2r，AD＝AC﹣CD＝2r﹣2，在Rt△ABD中AD2+BD2＝AB2，∴（2r﹣2）2+32＝（2r）2，解得：r＝4.5，∴⊙O的半径为4.5．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．14．（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD，∴DA＝DB，即△ABD是等腰三角形；（2）解：作AE⊥CD于E，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB＝5，∵AE⊥CD，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝AC＝3，在Rt△AED中，DE＝＝4，∴CD＝CE+DE＝3+4＝7．【点评】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．15．（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝5．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．16．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，又∵∠DCF+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCF，∵BD是∠ABC的角平分线，又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠DEA＝∠F＝90°，在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD（AAS）（2）∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，BE＝BF，设AE＝CF＝x，则BE＝10﹣x，BF＝8+x，即10﹣x＝8+x，解得x＝1，在Rt△BFD，∠DBC＝30°，设DF＝y，则BD＝2y，∵BF2+DF2＝BD2，∴y2+92＝（2y）2，y＝3，BD＝6．【点评】考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质．解答此题的关键是证明△AED≌△CFD．17．解：（1）如图：连接OD∵DE与⊙O相切∴∠ODE＝90°∵AB∥DE∴∠AOD+∠ODE＝180°∴∠AOD＝90°∵∠AOD＝2∠C∠C＝45°∵∠CFB＝∠CAB+∠C∴∠CFB＝75°（2）如图：连接OC∵AB是直径，点F是CD的中点∴AB⊥CD，CF＝DF，∵∠COF＝2∠CAB＝60°，∴OF＝OC＝，CF＝OF＝，∴CD＝2CF＝，AF＝OA+OF＝，∵AF∥AD，F点为CD的中点，∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，∴DE＝2AF＝3，∴S＝×3×＝△CED【点评】本题考查切线的性质和判定、圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，属于基础题，中考常考题型．第21页共21页。

初三培优圆的综合辅导专题训练及答案解析

初三培优圆的综合辅导专题训练及答案解析一、圆的综合1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．(1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC；(2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，»»BF FA=，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；(3)在(2)的条件下，如图3，若AE=23DG，PO=5，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．【解析】【分析】（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出EH∥DG，求出OM=12AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=23DG，DG=3a，求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝12MOBM=，tanP=12COPO=,设OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵AD⊥PC，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OC=OA，∴∠PAC=∠OCA，∴∠DAC=∠PAC；（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，∵FG∥AD，∴∠FGD+∠D=180°，∵∠D=90°，∴∠FGD=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA=90°，∴∠BED=90°，∴∠D=∠HGD=∠BED=90°，∴四边形HGDE是矩形，∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°，∵»»BF AF=，∴∠HEF=∠FEA=12∠BEA=1902o⨯=45°，∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°，∴∠HEF=∠HFE，∴FH=EH，∴FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF，∵EH=HF，OE=OF，HO=HO，∴△FHO≌△EHO，∴∠FHO=∠EHO=45°，∵四边形GHED是矩形，∴EH∥DG，∴∠OMH=∠OCP=90°，∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°，∴∠HOM=∠OHM，∴HM=MO，∵OM⊥BE，∴BM=ME，∴OM=12 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=23DG，DG=3a，∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°，∴四边形GHMC是矩形，∴GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a，∵DG=HE，GC=HM，∴ME=CD=2a，BM=2a，在Rt△BOM中，tan∠MBO=122 MO aBM a==，∵EH∥DP，∴∠P=∠MBO，tanP=12 COPO=，设OC=k，则PC=2k，在Rt△POC中，，解得：在Rt△OME中，OM2+ME2=OE2，5a2=5，a=1，∴HE=3a=3，在Rt△HFE中，∠HEF=45°，∴．【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．2．图 1 和图 2 中，优弧»AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝，点P为优弧»AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．发现：（1）点O 到弦AB 的距离是，当BP 经过点O 时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点M，O 的对称点A′， O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图 3，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆O 相切，当α＝ °时，点O′落在»NP上．（3）当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时，直接写出β的取值范围．【答案】发现：（1）1，60°；（2）3；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】【分析】发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切；（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在»PB时，连接MO′，则可知NO′=12MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【详解】发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,∵⊙O的半径为2，AB=23，∴OH=22OB HB-=222(3)1-=在△BOH中，OH=1，BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=12OB=1．∴3．∵OG⊥BP，∴3．∴3．∴折痕的长为3拓展：（1）相切．分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，∴α=45当O′在»PB上时，连接MO′，则可知NO′=12 MN，∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°，∴α=30°，故答案为：45°；30°．（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时NA′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧»BE的长．【答案】（1）证明见解析（2）4 3【解析】分析：（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD，再根据中位线的性质求出OD⊥DF，进而根据切线的判定证明即可；（2）连接OE，根据三角形的外角求出∠BAE的度数，然后根据圆周角定理求出∠BOE的度数，根据弧长公式求解即可.详解：（1）连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．∵AB＝AC，∴BD＝CD，又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF即∠ODF＝90°．∴DF为⊙O的切线；（2）连接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAE＝60°，∵∠BOE＝2∠BAE，∴∠BOE＝120°，∴＝·4π＝π．点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键．4．四边形ABCD 的对角线交于点E，且AE＝EC，BE＝ED，以AD 为直径的半圆过点E，圆心为O．（1）如图①，求证：四边形ABCD 为菱形；（2）如图②，若BC 的延长线与半圆相切于点F，且直径AD＝6，求弧AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）π2【解析】试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC⊥BD即可得出结论；（2）先判断出AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ，进而得出∠CDA =30°，最后用弧长公式即可得出结论．试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD 的对角线交于点E ，且AE =EC ，BE =ED ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵以AD 为直径的半圆过点E ，∴∠AED =90°，即有AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC 为等腰三角形，∴AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ．如图2，过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接FO ．∵BF 切圆O 于点F ，∴OF ⊥AD ，且132OF AD ==，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3．在Rt △CDG 中，CD =AD =6，sin ∠ADC =CG CD =12，∴∠CDA =30°，∴∠ADE =15°．连接OE ，则∠AOE =2×∠ADE =30°，∴¶3031802AE ππ⋅⨯==．点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．5．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（3，﹣1），点A 的坐标为（﹣2，3），点B 的坐标为（﹣3，0），点C 在x 轴上，且点D 在点A 的左侧．（1）求菱形ABCD 的周长；（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD 沿x 轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与BC 相切，且切点为BC 的中点时，连接BD ，求：①t 的值；②∠MBD 的度数；（3）在（2）的条件下，当点M 与BD 所在的直线的距离为1时，求t 的值．【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=633 【解析】分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；（2）①如图2，先根据坐标求EF 的长，由EE '﹣FE '=EF =7，列式得：3t ﹣2t =7，可得t 的值；②先求∠EBA =60°，则∠FBA =120°，再得∠MBF =45°，相加可得：∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）分两种情况讨论：作出距离MN 和ME ，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD为⊙M 的切线，由BC 是⊙M 的切线，得∠MBE =30°，列式为3t =2t +6，解出即可；第二种情况：如图6，同理可得t 的值．详解：（1）如图1，过A 作AE ⊥BC 于E ．∵点A 的坐标为（﹣2），点B 的坐标为（﹣3，0），∴AE ，BE =3﹣2=1，∴AB=2． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =2，∴菱形ABCD 的周长=2×4=8；（2）①如图2，⊙M 与x 轴的切点为F ，BC 的中点为E ．∵M （3，﹣1），∴F （3，0）．∵BC =2，且E 为BC 的中点，∴E （﹣4，0），∴EF =7，即EE '﹣FE '=EF ，∴3t ﹣2t =7，t =7；②由（1）可知：BE =1，AE∴tan ∠EBA =AEBE =，∴∠EBA =60°，如图4，∴∠FBA =120°． ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠FBD =12∠FBA =11202⨯︒=60°． ∵BC 是⊙M 的切线，∴MF ⊥BC ．∵F 是BC 的中点，∴BF =MF =1，∴△BFM 是等腰直角三角形，∴∠MBF =45°，∴∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）连接BM ，过M 作MN ⊥BD ，垂足为N ，作ME ⊥BC 于E ，分两种情况：第一种情况：如图5．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =120°，∴∠CBD =60°，∴∠NBE =60°．∵点M 与BD 所在的直线的距离为1，∴MN =1，∴BD 为⊙M 的切线．∵BC 是⊙M 的切线，∴∠MBE =30°．∵ME =1，∴EB ∴3t =2t +6，t =6第二种情况：如图6．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =120°，∴∠DBC =60°，∴∠NBE =120°．∵点M 与BD 所在的直线的距离为1，∴MN =1，∴BD 为⊙M 的切线．∵BC 是⊙M 的切线，∴∠MBE =60°．∵ME =MN =1，∴Rt △BEM 中，tan60°=ME BE ，EB =160tan ︒=3，∴3t=2t+6+33，t=6+33；综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣3或6+3．点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．6．已知A（2,0），B（6,0），CB⊥x轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，①若tan∠APB12=，求点P的坐标②当点P的坐标为时，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直线y43=x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标【答案】（1）图形见解析（2）（0，2），（0，4）（0，33953-，1255）【解析】试题分析：（1）以AC为直径画圆交y轴于P，连接PA、PB，∠PAB即为所求；（2）①由题意AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）；②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．想办法求出点P坐标即可解决问题；试题解析：解：（1）∠APB如图所示；（2）①如图2中，∵∠APB=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠APB=12=ABBC．∵A（2，0），B（6，0），∴AB=4，BC=8，∴C（6，8），∴AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）．②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，此时AK=PK=4，AC=8，∴BC=22AC AB=43，∴C（6，43），∴K（4，22），∴P（0，23）．故答案为：（0，23）．（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．∵直线y=43x+4交x轴于M（﹣3，0），交y轴于N（0，4）．∵MP是切线，∴MP2=MA•MB，∴MP=35，作PK⊥OA于K．∵ON∥PK，∴ONPK=OMMK=NMMP，∴4PK=3MK=35，∴PK=125，MK=95，∴OK=95﹣3，∴P（95﹣3，125）．点睛：本题考查了一次函数综合题、直线与圆的位置关系、平行线的性质、切线的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，学会构造辅助圆解决最大角问题，属于中考压轴题．7．四边形ABCD内接于⊙O，点E为AD上一点，连接AC，CB，∠B=∠AEC．（1）如图1，求证：CE=CD；（2）如图2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE交⊙O于点G，若tan∠BAC= 53，EG=2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）7.【解析】试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到∠CED=∠CDE.(2) 作CH⊥DE于H, 设∠ECH=α，由（1）CE=CD，用α表示∠CAE，∠BAC，而∠BAD=∠BAC+∠CAE.（3）连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，先证明∠CAG=∠BAC，设NG=3m，可得AN=11m，利用直角n AGM,n AEM，勾股定理可以算出m的值并求出AE长.试题解析：（1）解：证明：∵四边形ABCD内接于⊙O.∴∠B+∠D=180°，∵∠B=∠AEC，∴∠AEC+∠D=180°，∵∠AEC+∠CED=180°，∴∠D=∠CED，∴CE=CD．（2）解：作CH⊥DE于H．设∠ECH=α，由（1）CE=CD，∴∠ECD=2α，∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，∴∠CAE+∠AEC=120°，∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°，∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣（60°+α）=30°﹣α，∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，∵∠ACD=2∠BAC，∴∠BAC=30°+α，∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°﹣α=60°．（3）解：连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，∵∠CED=∠AEG，∠CDE=∠AGE，∠CED=∠CDE，∴∠AEG=∠AGE，∴AE=AG，∴EM=MG=1EG=1，2∴∠EAG=∠ECD=2α，∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°﹣α+2α=∠BAC，∵tan∠BAC53，∴设NG=3，可得AN=11m，AG22-14m，AG AM∵∠ACG=60°，∴CN=5m，AM3，MG22-m=1，AG AM∴m =12， ∴CE=CD =CG ﹣EG =10m ﹣2=3， ∴AE =22AM EM +=221+43（）=7．8．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝OB ，点D 是»AC 上一动点，点E 是CD 中点，连接BD 分别交OC ，OE 于点F ，G ．（1）求∠DGE 的度数；（2）若CF OF ＝12，求BF GF的值；（3）记△CFB ，△DGO 的面积分别为S 1，S 2，若CF OF＝k ，求12S S 的值．（用含k 的式子表示）【答案】(1)∠DGE ＝60°；(2)72；(3)12S S =211k k k +++. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE 的度数；（2）过点F 作FH ⊥AB 于点H 设CF ＝1，则OF ＝2，OC ＝OB ＝3,根据勾股定理求出BF 的长度，再证得△FGO ∽△FCB ，进而求得BF GF的值；（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k 的式子表示出12S S 的值．【详解】解：(1)∵BC ＝OB ＝OC ，∴∠COB ＝60°，∴∠CDB ＝12∠COB ＝30°， ∵OC ＝OD ，点E 为CD 中点，∴OE ⊥CD ，∴∠GED ＝90°，∴∠DGE ＝60°；(2)过点F 作FH ⊥AB 于点H设CF ＝1，则OF ＝2，OC ＝OB ＝3∵∠COB ＝60°∴OH ＝12OF ＝1， ∴HFHB ＝OB ﹣OH ＝2，在Rt △BHF 中，BF ==由OC ＝OB ，∠COB ＝60°得：∠OCB ＝60°，又∵∠OGB ＝∠DGE ＝60°，∴∠OGB ＝∠OCB ，∵∠OFG ＝∠CFB ，∴△FGO ∽△FCB ， ∴OF GF BF CF=， ∴， ∴BF GF =72. (3)过点F 作FH ⊥AB 于点H ，设OF ＝1，则CF ＝k ，OB ＝OC ＝k+1，∵∠COB ＝60°，∴OH ＝12OF=12，∴HF=，HB ＝OB ﹣OH ＝k+12，在Rt △BHF 中，BF =由(2)得：△FGO ∽△FCB ， ∴GO OFCB BF=，即1GO k =+， ∴GO=过点C 作CP ⊥BD 于点P∵∠CDB ＝30°∴PC ＝12CD ， ∵点E 是CD 中点，∴DE＝12CD，∴PC＝DE，∵DE⊥OE，∴12SS=BFGO=22111k kkk k+++++=211k kk+++【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．9．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E 是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．（1）求证：AC平分∠DAO．（2）若∠DAO=105°，∠E=30°①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCE=45°；②EF =23【解析】【试题分析】（1）根据直线与⊙O相切的性质，得OC⊥CD.又因为AD⊥CD，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得：AD//OC. ∠DAC=∠OCA.又因为OC=OA，根据等边对等角，得∠OAC=∠OCA.等量代换得：∠DAC=∠OAC.根据角平分线的定义得：AC平分∠DAO.（2）①因为 AD//OC，∠DAO=105°，根据两直线平行，同位角相等得，∠EOC=∠DAO=105°，在OCE∆中，∠E=30°，利用内角和定理，得：∠OCE=45°.②作OG⊥CE于点G，根据垂径定理可得FG=CG，因为OC=2，∠OCE=45°.等腰直角三角形的斜边是腰长的2倍，得CG=OG=2. FG=2.在Rt△OGE中，∠E=30°，得GE=23，则EF=GE-FG=23-2.【试题解析】（1）∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD//OC.∴∠DAC=∠OCA.又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA.∴∠DAC=∠OAC.∴AC平分∠DAO.（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，∴∠EOC=∠DAO=105°∵∠E=30°，∴∠OCE=45°.②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG∵OC=22，∠OCE=45°.∴CG=OG=2.∴FG=2.∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=23.∴EF=GE-FG=23-2.【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等.10．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若CD＝2，AC＝4，BD＝6，求⊙O的半径．【答案】（1）详见解析；（2）35 2.【解析】【分析】(1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出OD⊥AD ，从而证明AD为圆O的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠3＝∠B，∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，则AD为圆O的切线；（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，∵OF⊥BD∴DF＝BF＝12BD＝3∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°∴AD22AC CD5∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°∴△BFO∽△ACD∴BFAC = OB AD即3425∴OB ＝352∴⊙O 的半径为35．【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若∠C ＝60°，AC ＝12，求»BD的长． (3)若tan C ＝2，AE ＝8，求BF 的长．【答案】(1)见解析;(2) 2π；(3)103. 【解析】分析：（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质：等边对等角，得∠ABC=∠C ，∠ABC=∠ODB ，从而得到∠C=∠ODB ，根据同位角相等，两直线平行，得到OD ∥AC ，从而得证OD ⊥EF ，即 EF 是⊙O 的切线；（2）根据中点的性质，由AB=AC=12 ，求得OB=OD=12AB =6，进而根据等边三角形的判定得到△OBD 是等边三角形，即∠BOD=600，从而根据弧长公式七届即可；（3）连接AD ，根据直角三角形的性质，由在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE == 设CE=x,则DE=2x ，然后由Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠== ，求得DE 、CE 的长，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可.详解：（1）连接OD ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∵OD=OB ∴∠ABC=∠ODB∴∠C=∠ODB ∴OD ∥AC又∵DE ⊥AC ∴OD ⊥DE ，即OD ⊥EF∴EF 是⊙O 的切线（2） ∵AB=AC=12 ∴OB=OD=12AB =6 由（1）得：∠C=∠ODB=600 ∴△OBD 是等边三角形 ∴∠BOD=600∴»BD =6062180ππ⨯= 即»BD 的长2π （3）连接AD ∵DE ⊥AC ∠DEC=∠DEA=900在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE== 设CE=x,则DE=2x ∵AB 是直径 ∴∠ADB=∠ADC=900 ∴∠ADE+∠CDE=900 在Rt △DEC 中,∠C+∠CDE=900∴∠C=∠ADE 在Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠== ∵ AE=8，∴DE=4 则CE=2∴AC=AE+CE=10 即直径AB=AC=10 则OD=OB=5∵OD//AE ∴△ODF ∽△AEF∴ OF OD AF AE = 即：55108BF BF +=+ 解得：BF=103 即BF 的长为103. 点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．12．在平面直角坐标系XOY 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，若P 、Q 为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x 轴平行（含重合），则称P 、Q 互为“向善点”．如图1为点P 、Q 互为“向善点”的示意图．已知点A 的坐标为（1，3），点B 的坐标为（m ，0）（1）在点M （﹣1，0）、S （2，0）、T （3，3A 点互为“向善点”的是_____；（2）若A 、B 互为“向善点”，求直线AB 的解析式；（3）⊙B 3⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”，请直接写出m 的取值范围．【答案】（1）S ，T ．（2）直线AB 的解析式为y ＝3x 或y ＝﹣3x +23；（3）当﹣2＜m ＜0或2＜m ＜4时，⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S ，T 与A 点互为“向善点”；（2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m 的分式方程，解之经检验后可得出点B 的坐标，根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（3）分⊙B 与直线y=3x 相切及⊙B 与直线y=-3x+23相切两种情况求出m 的值，再利用数形结合即可得出结论．【详解】（1）∵30330,3tan 601(1)221︒--===---，3333tan 6031︒-==-， ∴点S ，T 与A 点互为“向善点”．故答案为S ，T ．（2）根据题意得：303-=，解得：m 1＝0，m 2＝2，经检验，m 1＝0，m 2＝2均为所列分式方程的解，且符合题意，∴点B 的坐标为（0，0）或（2，0）．设直线AB 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，），B （0，0）或（2，0）代入y ＝kx +b ，得：30k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩320k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得：30k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩323k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴直线AB 的解析式为y 3或y 33．（3）当⊙B 与直线y 3相切时，过点B 作BE ⊥直线y 3于点E ，如图2所示．∵∠BOE ＝60°，∴sin60°＝32BE OB ， ∴OB ＝2，∴m ＝﹣2或m ＝2；当⊙B 与直线y ＝﹣3x +23相切时，过点B 作BF ⊥直线y ＝﹣3x +23于点F ，如图3所示．同理，可求出m ＝0或m ＝4．综上所述：当﹣2＜m ＜0或2＜m ＜4时，⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与A 点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分⊙B 与直线y=3x 相切及⊙B 与直线y=-3x+23相切两种情况考虑．13．如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，整理得R2﹣R﹣12=0，∴R=4或（﹣3舍弃）．∴⊙O的半径为4．考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．14．结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答．题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积．解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．整理，得x2+7x=12．所以S△ABC=12 AC•BC=12（x+3）（x+4）=12（x2+7x+12）=12×（12+12）=12．小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．可以一般化吗？（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．倒过来思考呢？（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．改变一下条件……（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△ABC=3mn；【解析】【分析】（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.（2）由AC•BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BC•AG＝mn.【详解】设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，（1）如图1，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，所以S△ABC＝AC•BC＝（x＋m）（x＋n）＝[x2＋（m＋n）x＋mn]＝（mn＋mn）＝mn;（2）由AC•BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝（m＋n）2＝AB2，根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝（x＋m），CG＝AC•cos60°＝（x＋m），∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，∴S△ABC＝BC•AG＝×（x＋n）•（x＋m）＝3[x2＋（m＋n）x＋mn]＝3×（3mn＋mn）＝3mn．【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.15．已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（23323π-【解析】试题分析：（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积．试题解析：（1）证明：连接DO．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°．∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形．∴∠ADO=60°，∵DF⊥BC，∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵△OAD是等边三角形，∴AD=AO=AB=2．∴CD=AC﹣AD=2．Rt△CDF中，∵∠CDF=30°，∴CF=CD=1．∴DF=，连接OE，则CE=2．∴CF=1，∴EF=1．∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）•DF=，∴S扇形OED==，∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣．【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．。

中考数学压轴题因动点产生的相切问题

因动点产生的相切问题例 1 上海市杨浦区中考模拟第25题如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1tanA=时，求AP的长；2（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4A=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Qtan3相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到，等腰三角形QPO与等腰三角形OAP保持相似，y与x成反比例．⊙M、⊙O和⊙Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形．请打开超级画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到， y与x 成反比例．拖动点P使得5QP=，拖动点M使得⊙M的半径约为0.82，⊙M与⊙O相内切，2同时与⊙Q相外切．拖动点P使得5QP=，拖动点M使得⊙M的半径约为9，⊙M与⊙O、⊙2Q都内切．思路点拨1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．满分解答（1）如图4，过点O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．在Rt △OAH 中，OA ＝3，1tan 2A =，设OH ＝m ，AH ＝2m ，那么m 2＋(2m )2＝32．解得355m =．所以125245AP AH m ===．（2）如图5，联结OQ 、OP ，那么△QPO 、△OAP 是等腰三角形．又因为底角∠P 公用，所以△QPO ∽△OAP ．因此QP OP PO PA =，即33y x=．由此得到9y x=．定义域是0＜x ≤6．图4 图5（3）如图6，联结OP ，作OP 的垂直平分线交AP 于Q ，垂足为D ，那么QP 、QO 是⊙Q的半径．在Rt △QPD 中，1322PD PO ==，4tan tan 3P A ==，因此52QP =．如图7，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝3－r ．由⊙M 与⊙Q 外切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =+．在Rt △QOM 中，52QO =，OM ＝3－r ，52QM r =+，由勾股定理，得 22255()(3)()22r r +=-+．解得911r =．图6 图7 图8考点伸展如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切，那么⊙M 的半径是多少？同样的，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝r －3．由⊙M 与⊙Q 内切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =-．在Rt △QOM 中，由勾股定理，得22255()(3)()22r r -=-+．解得r ＝9．例2 河北省中考第25题如图1，A (－5,0)，B (－3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，∠CBO ＝45°，CD //AB ，∠CDA＝90°．点P 从点Q (4,0)出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C 的坐标；（2）当∠BCP ＝15°时，求t 的值；（3）以点P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12河北25”，拖动圆心P 在点Q 左侧运动，可以体验到，⊙P可以与直线BC 、直线DC 、直线AD 相切，不能与直线AB 相切．答案（1）点C 的坐标为(0,3)．（2）如图2，当P 在B 的右侧，∠BCP ＝15°时，∠PCO ＝30°，43t =+；如图3，当P 在B 的左侧，∠BCP ＝15°时，∠CPO ＝30°，433t =+．图2 图3（3）如图4，当⊙P 与直线BC 相切时，t ＝1；如图5，当⊙P 与直线DC 相切时，t ＝4；如图6，当⊙P 与直线AD 相切时，t ＝5.6．图4 图5 图6例3 无锡市中考模拟第28题如图1，菱形ABCD 的边长为2厘米，∠DAB ＝60°．点P 从A 出发，以每秒3厘米的速度沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P 到达点C 时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t 秒．（1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ //BC ；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？图一动感体验请打开几何画板文件名“12无锡28”，拖动点P 由A 向C 运动，可以体验到，⊙P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．请打开超级画板文件名“12无锡28”，拖动点P 由A 向C 运动，可以体验到，⊙P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．答案（1）因为2AQ tAB =，3223AP t t AC ==，所以AQ AP AB AC =．因此PQ //BC ．（2）如图2，由PQ ＝PH ＝12PC ，得1(233)2t t =-．解得436t =-．如图3，由PQ ＝PB ，得等边三角形PBQ ．所以Q 是AB 的中点，t ＝1．如图4，由PQ ＝PC ，得233t t =-．解得33t =-．如图5，当P 、C 重合时，t ＝2．因此，当436-或t＝2时，⊙P与边BC有1个公共点．t=-或1＜t≤33当436-＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．图2 图3 图4 图5。

初中数学辅导讲义463初三C专题(动圆产生的相切问题5星)

动圆产生的相切问题1.掌握直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的概念，并会用代数表示；2.理解直线与圆相切、两圆相切的性质；3.会判定直线与圆相切、两圆相切，会用直线与圆相切和两圆相切的判定、性质进行相关计算或证明；4.会用相切两圆的性质解决相关综合题；5.体会分类讨论思想和动态数学思维，并体会“动中取静，以静窥动”的解题策略。

知识结构【备注】：此部分知识梳理过程，以提问形式出现，提问的方式和形式不固定（可以用：文字提问、图形提问等），但直线与圆、圆与圆的位置关系，一定要学生掌握从图形到文字表达再到代数表示这个过程，建议以画图的形式出现，部分地方让学生填空完成，用时5分钟左右。

1.直线与圆的位置关系：2.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；3.圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含；注意：①当R1=R2时，两圆不可能内切或内含；②两圆外离或内含时，也可叫做两圆相离；两圆外切或内切时，也可叫做两圆相切。

4.相交两圆连心线的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

5.相切两圆连心线的性质：相切两圆的连心线经过切点。

例1.如图，在四边形ABCD 中，∠B =90°，AD //BC ，AB =4，BC =12，点E 在边BA 的延长线上，AE =2，点F 在BC 边上，EF 与边AD 相交于点G ，DF ⊥EF ，设AG =x , DF =y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）如果半径为EG 的⊙E 与半径为FD 的⊙F 相切，求这两个圆的半径。

（★★★★）【参考教法】：一．你来找一下题目中由哪些不变的量或者是比较特殊的条件，找找看： 1.点E 在什么线上运动？提示：点E 在边BA 的延长线上； 2.题目中是否有垂直？提示：DF ⊥EF ；二.求解函数关系式时，你有思路没？算算看？提示：用△DFG ∽△EAG 再结合勾股定理可求得；三．当两圆相切时：1.是否需要分类讨论？提示：分内切和外切讨论；2.你能用x 的代数式表示两圆的半径和圆心距吗？提示：让学生计算；3.再分内切和外切时怎么列等式？提示： ①当两圆外切时：E F d r r =+；（d 表示圆心距，d MF =，E F r EG r FD ==，）②当两圆内切时：E Fdr r =-；（d 表示圆心距，d MF =，E F r EG r FD ==，）4.根据题目条件，求解时注意取舍解的情况。

2019年中考数学复习1.6因动点产生的相切问题

§1．6 因动点产生的相切问题课前导学一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列三要素R、r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况．二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．如图1，直线443y x=+与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆O的半径为1，点C在y轴的正半轴上，如果圆C既与直线AB相切，又与圆O相切，求点C的坐标．“既……，又……”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个．假设圆C与直线AB相切于点D，设CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么点C的坐标为(0,4－5m)．罗列三要素：对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；圆心距OC＝4－5m．分类列方程：两圆外切时，4－5m＝3m＋1；两圆内切时，4－5m＝3m－1．把这个问题再拓展一下，如果点C在y轴上，那么还要考虑点C在y轴负半轴．相同的是，对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；不同的是，圆心距OC＝5m－4．图1例 42 2019年湖南省衡阳市中考第27题如图1，直线AB与x轴交于点A(－4, 0)，与y轴交于点B(0, 3)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动．同时将直线34y x=以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t（0＜t＜5）秒．（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳27”，拖动点P运动，可以体验到，当平行四边形ACDP是菱形时，圆D与直线AB恰好相切．思路点拨1．用含t的式子把线段OD、OC、CD、AP、AC的长都可以表示出来．2．两条直线的斜率相等，这两条直线平行．3．判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小．图文解析（1）如图2，由A(－4, 0)、B(0, 3)，可得直线AB的解析式为334y x=+．所以直线AB//CD．在Rt△OCD中，OD∶OC＝3∶4，OD＝0.6t，所以OC＝0.8t，CD＝t．所以AP＝CD＝t．所以四边形ACDP总是平行四边形．（2）如图3，如果四边形ACDP为菱形，那么AC＝AP．所以4－0.8t＝t．解得t＝209．此时OD＝0.6t＝43．所以BD＝433-＝53．作DE⊥AB于E．在Rt△BDE中，sinB＝45，BD＝53，所以DE＝BD·sinB＝43．因此OD＝DE，即圆心D到直线AB的距离等于圆D的半径．所以此时圆D与直线AB相切于点E（如图4）．图2 图3 考点伸展在本题情境下，点P运动到什么位置时，平行四边形ACDP的面积最大？S平行四边形ACDP＝AC·DO＝43(4)55t t-⨯＝21212+255t t-＝2125()3252t--+．当52t=时，平行四边形ACDP的面积最大，最大值为3．此时点P是AB的中点（如图5）．图4 图5例 43 2019年湖南省株洲市中考第23题如图1，PQ 为圆O 的直径，点B 在线段PQ 的延长线上，OQ ＝QB ＝1，动点A 在圆O 的上半圆上运动（包含P 、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形ABC ．（1）当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，求△ABC 的面积（如图1）；（2）设∠AOB ＝α，当线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，求α的范围（如图2，直接写出答案）；（3）当线段AB 与圆O 有两个公共点A 、M 时，如果AO ⊥PM 于点N ，求CM 的长（如图3）．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“14株洲23”，拖动点A 在圆上运动，可以体验到，当点A 在直线AB 与圆的切点的右侧（包括切点）时，线段AB 与圆有一个交点．还可以体验到，当AO ⊥PM 时，NO 、MQ 是中位线，此时等腰三角形AOM 的高MN 是确定的．思路点拨1．过点B 画圆O 的切线，可以帮助理解第（1）、（2）题的题意．2．第（3）题发现AO//MQ 很重要，进一步发现NO 、MQ 是中位线就可以计算了．图文解析（1）如图4，连结OA ．当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，OA ⊥AB ，A 为切点．此时在Rt △AOB 中，OA ＝1，OB ＝2，所以AB ABO ＝30°．此时等边三角形ABC 3602︒=，所以S △ABC ＝4．（2）0°≤α≤60°．（3）如图5，连结MQ ，那么∠PMQ ＝90°．当AO ⊥PM 时，AO//MQ ．由于Q 是OB 的中点，所以12MQ AO =，M 是AB 的中点．所以CM ⊥AB ．由于O 是PQ 的中点，所以12NO MQ =．所以111244NO MQ AO ===．如图6，连结MO ．在Rt △OMN 中，14NO =，MO ＝1，所以MN 2＝1516．在Rt △AMN 中，AM 2＝AN 2＋MN 2＝2315243()416162+==．所以AM于是在Rt △CAM 中，CM ．图4 图5 图6考点伸展第（2）题的题意可以这样理解：如图7，过点B画圆O的切线，切点为G．如图8，弧GQ上的每一个点（包括点G、Q）都是符合题意的点A，即线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）．如图9，弧GP上的每一个点A（不包括点Q）与点B连成的线段AB，与圆O都有两个交点A、M．图7 图8 图92019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是( )A ．121x y x y -=⎧⎨-=⎩B ．121x y x y -=-⎧⎨-=-⎩C ．121x y x y -=-⎧⎨-=⎩D ．121x y x y -=⎧⎨-=-⎩2．某公司2018年获利润1000万元，计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x ，下列方程正确的是（）A ．1000（1+x ）2＝1210B ．1210（1+x ）2＝1000C ．1000（1+2x ）＝1210D ．1000+10001+x ）+1000（1+x ）2＝12103．某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了1千米，休息0.5小时后，再用1.5小时爬上山顶．游客爬山所用时间l 与山高h 间的函数关系用图形表示是（）A. B.C. D.4．如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交边AD 于点F ；②再分别以B ，F 为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD 内部的点G 处；③连接AG 并延长交BC 于点E ，连接BF ，若3BF =， 2.5AB =，则AE 的长为( )A.2B.4C.8D.552的值在( )A ．3和4之间B ．4和5之间C ．5和6之间D ．6和7之间 6．如图，已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴相交于点A ，B ，若在抛物线上有且只有三个不同的点C 1，C 2，C 3，使得△ABC 1，△ABC 2，△ABC 3的面积都等于a ，则a 的值是（）A ．6B ．8C ．12D ．167．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AD=ABC S ∆=tanC 的值为（）A ．13B ．12C ．3D ．2 8．如图,圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=，4OC =，则CD 的长为（）A ．B ．4C ．D ．89．水是地球上极宝贵的资源.某城市为了节约用水，实行了价格调控，限定每月每户用水量不超过6吨时，每吨价格为 2.25元；当用水量超过6吨时，超过部分每吨价格为3.25元.则按此调控价格的每户每月水费y （元）与用水量x （吨）的函数图像大致为（）A ．B ．C ．D ．10．已知：将直线y=x ﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b ，则下列关于直线y=kx+b 的说法正确的是（）A ．经过第一、二、四象限B ．与x 轴交于（1，0）C ．与y 轴交于（0，1）D ．y 随x 的增大而减小11．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝25，AB ＝30，D 是AB 上的一点（不与A 、B 重合），DE ⊥BC ，垂足是点E ，设BD ＝x ，四边形ACED 的周长为y ，则下列图象能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（）A. B.C. D.12．某人购买甲种树苗12棵，乙种树苗15棵，共付款450元，已知甲种树苗比乙种树苗每棵便宜3元，设甲种树苗每棵x 元，乙种树苗每棵y 元．由题意可列方程组（）A ．12154503x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．12154503x y y x +=⎧⎨-=⎩ C ．12154503x y y x +=⎧⎨=-⎩D ．12154503x y x y +=⎧⎨=-⎩ 二、填空题13．已知13a c b d ==，则a c b d++的值是_____．14．计算：13--=_____．15．将一副三角板如图放置，使点A 在DE 上，BC ∥DE ，则∠ACE 的度数为_____．16．若a﹣2b＝﹣3，则代数式1﹣a+2b的值为为_____．17．计算：（2﹣sin45°）0＝_____．18．分式方程的解是_____．三、解答题19．如图，在△ACD中，DA＝DC，点B是AC边上一点，以AB为直径的⊙O经过点D，点F是直径AB上一点（不与A、B重合），延长DF交圆于点E，连结EB．（1）求证：∠C＝∠E；（2）若弧AE＝弧BE，∠C＝30°，DF，求AD的长．20．2018年，广州国际龙舟邀请赛于6月23日在中山大学北门广场至广州大桥之间的珠江河段举行．上午8时，参赛龙舟同时出发，甲、乙两队在比赛中，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，甲队在上午11时30分到达终点．（1）在比赛过程中，乙队何时追上甲队？（2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？21．五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征，某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆AB高度的活动．如图，他们在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E使得B，E，D在同一水平线上．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED）．在F处分别测得旗杆顶点A的仰角为40°、平面镜E的俯角为45°，FD＝1.5米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan85°≈11.4）22．如图,直线l 1 在平面直角坐标系中,直线l 1与y 轴交于点A,点B(-3,3)也在直线1上,将点B 先向右平移1个单位长度、再向下平移2个单位长度得到点C ，点C 恰好也在直线l 1上。

动点问题圆(含答案)初三数学(2020年整理).pptx

∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+ ，
∴4t1+ ﹣3t1=2，
9
∴t1=2﹣ ，
②当直线 AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为 t2，记第一次相切时为位置一，点 O1，A1，C1 共线时位置二，第二次相切时为位置三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， ∴ +2﹣（2﹣ ）=t2﹣（ +2），
5
分析如下：因为长方形的长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最大为 1．
（2）如图 1，方案二中连接 O1，O2，过 O1 作 O1E⊥AB 于 E，方案三中，过点 O 分别作 AB，BF 的垂线，交于 M，N，此时 M，N 恰为⊙O 与 AB，BF 的切点．方案二：设半径为 r，在 Rt△O1O2E 中， ∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r， ∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得 r= ．
由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴ = ∴ =
，无解，
当△OEQ∽△MFP 时，∴ = ， =
，解得，t=2± ，
所以当 t=
，t= ，t=2± 时，使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F
为顶点的三角形相似．【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系．
分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，
连接 PF，过点 PE⊥PF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒（t＞0）

动点问题圆(含答案)初三数学.pdf

2.如图7，梯形中，，，,，，点为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图形为，连接，设，的面积为，的面积为．（1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；(全等)（2）试用表示，并写出的取值范围；（相似）（3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相似）【答案】解：（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作于点，则有：在中，有在中，又解得：（2）如图2，交于点，与关于对称，则有：，又又与关于对称，（3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点.的圆心落在的中点，设为则有，过点作，连接，得则又解得：（舍去）①②③3.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（全等）（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（全等+分类讨论）（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．（讨论对称轴+全等+相似）【分析】：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明，（2）分两种情况①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，（3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t．【解答】：证明：（1）如图，连接PM，PN，∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PE=PF，（2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图，由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，同理可证△PMF≌△PNE，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，∴b+a=1+t+1﹣t=2，∴b=2﹣a，（3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，由（1）得△PMF≌△PNE [来源:学,科,网]∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，解得，t=，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=，（Ⅱ）如图4，当t＞2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，由（1）得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，无解，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=2±，所以当t=，t=，t=2±时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F 为顶点的三角形相似．【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系．3.木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；（圆心距+勾股）方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；（相似+设半径）方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．（分类讨论）①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．【考点】：圆的综合题【分析】：（1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用△O1O2E为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后对应边成比例整理方程，进而可求r的值．（3）①类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由EC为x，则新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x，则需要先判断大小，而后分别讨论结论．②已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径．另与前三方案比较，即得最终结论．【解答】：解：（1）方案一中的最大半径为1．分析如下：因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）如图1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1E⊥AB于E，方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为⊙O与AB，BF的切点．方案二：设半径为r，在Rt△O1O2E中，∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r，∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得r=．方案三：设半径为r，在△AOM和△OFN中，，∴△AOM∽△OFN，∴，∴，解得r=．比较知，方案三半径较大．（3）方案四：①∵EC=x，∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x．类似（1），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的．1．当3﹣x＜2+x时，即当x＞时，r=（3﹣x）；2．当3﹣x=2+x时，即当x=时，r=（3﹣）=；3．当3﹣x＞2+x时，即当x＜时，r=（2+x）．②当x＞时，r=（3﹣x）＜（3﹣）=；当x=时，r=（3﹣）=；当x＜时，r=（2+x）＜（2+）=，∴方案四，当x=时，r最大为．∵1＜＜＜，∴方案四时可取的圆桌面积最大．【点评】：本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路，但仔细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习．4.如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（相似）（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d （cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．（相似+切线）（数形结合+分类讨论）【考点】：圆的综合题．【分析】：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．【解答】：解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，AD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，[来源:学科网ZXXK]∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．【点评】：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键．5.如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y 轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；（垂径定理+直线方程）（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．（相切+圆周角）【考点】：圆的综合题【分析】：（1）连接CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，（2）作OM⊥AB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根据式子写出b的范围，（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE=45°，再利用两条直线垂直相交求出交点P的坐标，【解答】：解：（1）连接CD，EA，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，（2）①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，∴OM所在的直线函数式为：y=x，∴交点M（b，b）∴OM2=（b）2+（b）2，∵OF=4，∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，∵FM=FG，∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），∵直线AB与有两个交点F、G．∴4≤b＜5，（3）如图，当b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，[来源:学科网]∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，∴存在点P，使∠CPE=45°，连接OP，∵P是切点，∴OP⊥AB，∴OP所在的直线为：y=x，又∵AB所在的直线为：y=﹣x+5，∴P（，）．【点评】：本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时K的关系．6.如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．【考点】：圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】：（1）只要证到三个内角等于90°即可．（2）易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S矩形ABCD=2S△CFE=．然后只需求出CF的范围就可求出S的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G 矩形ABCD的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可．【解答】：解：（1）证明：如图1，∵CE为⊙O的直径，[来源:学。

九年级培优易错难题圆与相似辅导专题训练及答案解析

九年级培优易错难题圆与相似辅导专题训练及答案解析一、相似1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∴代入，得解得∴抛物线对应二次函数的表达式为：（2）解：如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作点．由得对称轴为直线x=1，∴∴∴为等腰直角三角形．∴∴∴∴为等腰三角形．设∴在中，∴∴整理，得解得，∴点P的坐标为或（3）解：存在点M，使得∽．如图，连结∵∴为等腰直角三角形，∴由（2）可知，∴∴分两种情况．当时，∴，解得．∴∴当时，∴，解得∴∴综上，点M的坐标为或【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由（1）中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D（1，4），点C（0，3），由题意可设点P（1，m），计算易得△DCF为等腰直角三角形，△DEP为等腰三角形，在直角三角形PED和APQ中，用勾股定理可将PE、PA用含m的代数式表示出来，根据PA=PE可列方程求解；（3）由△DCM∽△BQC所得比例式分两种情况：或，根据所得比例式即可求解。

2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E、F分别从B、C 两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；（2）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x 的值，若不存在，请说明理由；（3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围．【答案】（1）解：如图1中，点F在AC上，点E在BD上时，①当时，△CFE∽△CDA，∴ = ，∴t= ，②当时，即 = ，∴t=2，当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，综上所述，t= s或2s时，△EFC和△ACD相似．（2）解：不存在．理由：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．∵CF=5t．BE=4t，∴CH=CF•cosC=4t，∴BE=CH，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∴DE=DH，∵DN∥FH，∴ =1，∴EN=FN，∴S△END=S△FND，∴△EFD被 AD分得的两部分面积相等，同法可证当点F在AB上，点E在CD上时，△EFD被 AD分得的两部分面积相等，∴不存在某一时刻，使得△EFD被 AD分得的两部分面积之比为3：5．（3）解：①如图3中，当以EF为直径的⊙O经过点A时，⊙O与线段AC有两个交点，连接AE，则∠EAF=90°．由 =cosC= ，可得 = ，∴t= ，∴0≤t＜时，⊙O与线段AC只有一个交点．②如图4中，当⊙O与AC相切时，满足条件，此时t= ．③如图5中，当⊙O与AB相切时，cosB= ，即 = ，解得t= ．④如图6中，⊙O经过点A时，连接AE，则∠EAF=90°．由cosB= = ，即 = ，t= ，∴＜t≤4时，⊙O与线段AC只有一个交点．综上所述，当⊙O与线段AC只有一个交点时，0≤t＜或或或＜t≤4【解析】【分析】（1）分类讨论：根据路程等于速度乘以时间，分别表示出BE,,CE,CF的长，①当时，△CFE∽△CDA，②当时△CEF∽△CDA，根据比例式，分别列出方程，求解t的值；当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，综上所述，即可得出答案；（2）不存在．理由：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．由题意知CF=5t．BE=4t，根据余弦函数的定义由CH=CF•cosC，表示出CH的长，从而得出BE=CH，根据等腰三角形的三线合一得出BD=DC，根据等量减等量差相等得出DE=DH，根据平行线分线段成比例定理得出=1得出EN=FN，根据三角形中线的性质得出S△END=S△FND，△EFD被 AD分得的两部分面积相等，同法可证当点F在AB上，点E在CD上时，△EFD被AD分得的两部分面积相等，故不存在某一时刻，使得△EFD被AD 分得的两部分面积之比为3：5；（3）①如图3中，当以EF为直径的⊙O经过点A时，⊙O与线段AC有两个交点，连接AE，则∠EAF=90°．根据余弦函数的定义，由，结论列出方程，求解得出t 的值，故0≤t时，⊙O与线段AC只有一个交点；②如图4中，当⊙O与AC相切时，满足条件，此时t=；③如图5中，当⊙O与AB相切时，根据余弦函数的定义，由cosB=，列出方程，求解得出t的值；④如图6中，⊙O经过点A时，连接AE，则∠EAF=90°．由cosB=，列出方程求出t的值，故＜t≤4时，⊙O与线段AC只有一个交点；综上所述，得出答案。

学霸培优第24讲动圆产生的相切问题 (学生版)九年级中考数学

精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课程主题：动圆产生的相切问题授课时间：学习目标1.掌握直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的概念，并会用代数表示；2.理解直线与圆相切、两圆相切的性质；3.会判定直线与圆相切、两圆相切，会用直线与圆相切和两圆相切的判定、性质进行相关计算或证明；4.会用相切两圆的性质解决相关综合题；5.体会分类讨论思想和动态数学思维，并体会“动中取静，以静窥动”的解题策略。

教学内容1.直线与圆的位置关系：位置关系图形表示文字表示代数表示相离直线与圆没有公共点d R>相切直线与圆有唯一的公共点d R=相交直线与圆有两个公共点d R<2.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；3.圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含；位置关系图形表示文字表示代数表示内容回顾圆与圆相切问题的求解方法和策略：（1）先用x 的代数式表示两圆的半径和圆心距，再分内切和外切讨论：①当两圆外切时：12d r r =+；（d 表示圆心距，12r r 、分别表示两圆的半径） ②当两圆内切时：12d r r =-；（d 表示圆心距，12r r 、分别表示两圆的半径）（2）根据题目条件，求解时注意取舍解的情况。

例1．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，4tan 3B =，点P 是线段AB 上的一个动点，以点P 为圆心，PA 为半径的P e 与射线AC 的另一个交点为点D ，射线PD 交射线BC 于点E ，点Q 是线段BE 的中点．（1）当点E 在BC 的延长线上时，设PA x =，CE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）以点Q 为圆心，QB 为半径的Q e 和P e 相切时，求P e 的半径；试一试.如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y ax ax =--与x 轴相交于A 、B 两知识精讲例4.已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，13cos BAO∠=，设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．（1）求AB的长；（2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；A D（备（备用试一试.如图，ABC ∆中，353cos 10AB AC A ===，，。