数字信号处理实验——维纳滤波器设计

实验一 维纳滤波

1. 实验内容

设计一个维纳滤波器：

（1) 产生三组观测数据,首先根据()(1)()s n as n w n =-+产生信号()s n ，将其加噪，（信噪比分别为20,10,6dB dB dB ）,得到观测数据123(),(),()x n x n x n 。

（2） 估计()i x n ，1,2,3i =的AR 模型参数。假设信号长度为Ｌ,AR 模型阶数为N,分析实验结果,并讨论改变L,N 对实验结果的影响。

2. 实验原理

滤波目的是从被噪声污染的信号中分离出有用的信号来，最大限度地抑制噪声。对信号进行滤波的实质就是对信号进行估计。滤波问题就是设计一个线性滤波器,使得滤波器的输出信号()y n 是期望响应()s n 的一个估计值。下图就是观测信号的组成和信号滤波的一般模型。

观测信号()()()x n s n v n =+ 信号滤波的一般模型 维纳滤波解决从噪声中提取信号的滤波问题,并以估计的结果与真值之间的误差均方值最小作为最佳准则。它根据()()(),1,

,x n x n x n m --估计信号的当前

值,它的解以系统的系统函数()H z 或单位脉冲()h n 形式给出，这种系统常称为最佳线性滤波器。

维纳滤波器设计的任务就是选择()h n ,使其输出信号()y n 与期望信号()d n 误差的均方值最小。

假设滤波系统()h n 是一个线性时不变系统，它的()h n 和输入信号都是复函数，设

()()()h n a n jb n =+ 0,1,

n

=

考虑系统的因果性,可得到滤波器的输出

()()()()()0

*m y n h n x n h m x n m +∞

===-∑ 0,1,

n

=

设期望信号()d n ，误差信号()e n 及其均方误差()2

E e n ⎡⎤⎣⎦

分别为

()()()()()e n d n y n s n y n =-=-

()()()()()()22

2

0m E e n E d n y n E d n h m x n m ∞=⎡⎤

⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦⎣

⎦⎢⎥⎣⎦

∑ 要使均方误差为最小,需满足:

()()

2

0E e n h j ⎡⎤∂⎣⎦=∂ 整理得()()0E x n j e n *⎡⎤-=⎣⎦，等价于()()0E x n j e n *

⎡⎤-=⎣⎦

上式说明,均方误差达到最小值的充要条件使误差信号与任一进入估计的输入信号正交，这就是正交性原理。

将()()0E x n j e n *

⎡⎤-=⎣⎦展开，得

()()()()00m E x n k d n h m x m +∞

***

=⎡⎤⎛⎫--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣

⎦∑

整理得 ()()()0

dx xx m r k h m r m k +∞

*=-=-∑ 0,1,2,

k

= 等价于()()()()()0

dx xx xx m r k h m r k m h k r k +∞

==-=*∑ 0,1,2,

k

=

此式称为维纳-霍夫（W ｉen ｅr －Ｈolf)方程。解此方程可得到最优权系数

012,,,

h h h ，此式是Wiener 滤波器的一般方程。

定义

121M M h h h h ⨯⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦()()()1011xd xd xd xd M r r R r M ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

()()()()()()()()

()011102120xx xx xx xx

xx xx xx xx xx xx M M

r r r M r r r M R r M r M r *

*

*

⨯⎡⎤

-⎢

⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

--⎢⎥⎣⎦

则维纳-霍夫方程可写成矩阵形式

xd xx R R h =求逆,得1

xx xd h R R -=

此式表明，已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测数据的自相关函数时,可以通过矩阵求逆运算，得到维纳滤波器的最佳解。

3. 实验结果及分析

（1)当L=2００,N=6

信噪比为20ｄB 的滤波效果

信噪比为１０dＢ的滤波效果

信噪比为6dB的滤波效果（2)当L＝2０0，N=60

信噪比为20ｄB的滤波效果

信噪比为1０dＢ的滤波效果

信噪比为6dB的滤波效果（３)当L=６00，Ｎ＝6

信噪比为20dB的滤波效果

信噪比为10dＢ的滤波效果

信噪比为６dB的滤波效果

实验分析:别取信号长度为200、600，滤波器长度为6、６0,加噪信噪比为20dB、10dB、6dB，组合进行实验。每组实验得到的最小均方误差统计如下表。由此表可以看出，信号长度越长，最小均方误差（绝对值）越大，精度越差；在信噪比较大（误差影响较小）的滤波过程中,滤波器长度约长,最小均方误差（绝对值)越小,精度越好。

表1 最小均方误差统计表

加噪

信号信噪比

L=2０0

N＝6

L=200

Ｎ＝6０

L=600

N＝6

1()

x n20dB －178５．３

971

-１574.１1

０7

-6８8

８.4103

2()

x n10dB -845.５714 -１727.5260

-1021９．3397

3()

x n６ｄB -1213.636７-2１3５.459

６

－77４3．9

３5８

对于相同信号和滤波器(这里取L=２00,N=6),信噪比越大，最小距离误差约小;而当信噪比较小时,信号与噪声值接近,导致滤波效果受到影响,最小距离误差变大。

4. 源代码

clｅaｒ；

clc；

％初始化变量