组合数学(1)

同的形式？
(3) 构造存在的n阶幻方。 注意，给出一种算法，不仅要描述算法的步骤，而 且要证明算法的正确性，并对算法进行时间分析。
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第一章 什么是组合数学
1.3 幻方
下面是构造的7阶幻方：
30 38 46 39 47 6 48 7 8 1 9 17 10 18 26 19 27 35 28 29 37
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正如人们想到的，组合数学的历史渊源 扎根于数学娱乐和游戏之中。过去研究过的 许多问题，不论出于消遣还是出于对其美学
的考虑，如今在纯科学和应用科学中都具有
高度的重要性。今天，组合数学是数学的一 门重要分支，而且它的影响还在继续扩大。
组合数学自60年代以来急速发展的部分原因
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就在于计算机在我们的社会中所发挥的重
每张牌恰好覆盖棋盘上相邻的两个方格。
问题（棋盘的完美覆盖问题）：是否能够把 32 张
domino 牌摆放在棋盘上，使得任何两张 domino 牌均
不重叠，每张domino牌覆盖两个方格，并且棋盘上所
有方格都被覆盖住？如果存在这种完美覆盖，那么总
共有多少种不同的完美覆盖？结论：国际象棋棋盘的
不同的完美覆盖总共有： 24×9012 = 12988816种
要影响，而且这种影响还在继续发挥。
组合数学近期发展的另一个原因是它对于 那些过去很少与数学正式接触的学科的适用性。 由此我们发现，组合数学的思想和技巧不仅正 在用于数学应用的传统自然科学领域，而且也
用于社会科学、生物科学、信息论等领域。
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组合数学涉及到将一个集合的物体排列成 满足一些指定规则的格式。如下两类一般性问 题反复出现： ．排列的存在性：如果有人想要排列一个集合的
一次才能出现。故至少需要 6次才能切割完 P5。
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第一章 什么是组合数学
1.3 幻方
1.3 幻方
幻方也称为洛书、河图 等，传说大禹治水时， 从河中浮起一只乌龟，乌 龟的背上画有一个3×3 的九个方格子，格子中 填有从1,2…9九个数， 填写的规则是：横.竖. 斜各自之和相等。
4 3
8
9 5
1
2 7
础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因
为计算机被人编写了程序，而程序就是算法， 在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离
散的对象，而不是在作数值计算。
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正是因为有了组合算法才使人感到，计算机 好象是有思维的。 组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价 值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分 析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合 数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高
组合数学
RichardA.Brualdi
冯舜玺 等 编译
著
机械工业出版社
任课教师：
廖 虎
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办公室：软件学院四楼专业教研室 办公电话：8 8 4 5 1 1 2 8
住宅电话：8 2 4 9 5 8 7 4
移动电话：1 3 0 9 6 9 8 1 1 8 2
电子邮件：xaLiaohu@263.net xaLiaohu@163.com xaLiaohu@yahoo.com
排14周，共56学时。根据教学计划和培养目标
要求，我们学习以下内容：
第一章 什么是组合数学 第二章 鸽巢原理 第三章 排列与组合 第四章 生成排列与组合
第五章 二项式系数
第六章 容斥原理及其应用
第七章 递推关系与生成函数第八章特殊计数序列
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考核方式：期末笔试占70%，平时作业占30%，
每星期二交一次作业。由各个班长送到办公室。
的应用，它还可能牵扯到下面的问题。
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·构造一个最优的排列：如果有可能存在多于一 个的排列，人们也许想要确定满足某些优化准
则的一个排列，即找出某种规定意义下的“最
好的”或“最优的”的排列。 因此，组合数学可以一般地描述为： 组组合数学是研究离散结构的存在、计数、分 析和优化等问题的一门学科。虽然某些离散结
变了传统数学中分析和代数占统治地位的局
面。现代数学可以分为两大类：一类是研究
连续对象的，如分析、方程等，另一类就是
研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在
基础数学研究中具有极其重要的地位，在其
它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、
编码和密码学、物理、化学、生物等学科
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中均有重要应用。微积分和近代数学的发展 为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学 的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基
多方法。这时要讨论的就是确定有多少种不
同覆盖方法的计数问题。
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第一章 什么是组合数学
1.2 切割立方体
1.2 切割立方体
把一个3×3×3的立方体木块切割成27个1×1×1
的小立方块。如果切割过程中允许重新排列已
切割木块的位置，求完成整个切割的最少次数。
这里的最优即指具有 最少切割次数 的方案，采
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组合数学与计算机软件
随着计算机网络的发展，计算机的使用已 经影响到了人们的工作，生活，学习，社会活
动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通
过软件来实现的。在美国有一种说法：将来一 个国家的经济实力可以直接从软件产业反映出
来。
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我国在软件上的落后，要说出根本的原
因可能并不是很简单的事，除了技术和科学
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胡锦涛同志在1998年接见“五四”青年奖 章获得者时发表的讲话中指出，组合数学不同 于传统的纯数学的一个分支，它还是一门应用
学科，一门交叉学科。他希望中国的组合数学
研究能够为国家的经济建设服务。 如果21世纪是信息社会的世纪，那么21世
纪也必将是组合数学大有可为的世纪。
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《组合数学》课每周上课两次，4学时，安
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绪
论
组合数学是一门古老的数学分支，其思想 在社会科学、信息论、生物科学以及其他传统
自然科学领域得到了广泛的应用。组合数学在
计算机出现以后得以迅速发展。计算机科学就 是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散
的数据，所以离散对象的处理就成了计算机
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科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就
是离散数学和组合数学；组合数学的发展改
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第一章 什么是组合数学
1.1 棋盘的完美覆盖
这种普通的国际象棋棋盘可以用排成， m
行n列的mn个方格的一般棋盘代替。此时，这 种棋盘的完美覆盖就未必存在了。比如，3行3 列的棋盘就确实不存在完美覆盖。那么，对于 什么样的m和n存在完美覆盖呢?不难看出，当
且仅当m和n中至少有一个是偶数时,m×n棋盘
其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，
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有很多杰出的人才。一般人可能会认为数学 是一门纯粹的基础科学，1+1的解决可能不会 有任何实际的意义。如果真是这样，一门纯粹
学科的发展落后几年，甚至十年，关系也不大。
然而中国的软件产业的发展已向数学基础提出 了急切的需求：网络算法和分析，信息压缩，
网络安全，编码技术，系统软件，并行算法，
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第一章 什么是组合数学
1.3 幻方
一个 n 阶幻方是由数字 1 ， 2 ， 3 ， … ， n2 组
成的 n×n 方阵，使得方阵中每行上的数字和、
每列上的数字和以及每条对角线上的数字和均
等于同一个数S。称S为该幻方的幻和。 中国历史上研究3×3 = 9幻方也称为“九宫
填数”；
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第一章 什么是组合数学
成员使得某些条件得以满足，那么这样一种排
列是否可行根本就不足显而易见的。这是最根
本的问题。如果这种排列不总是可能的，那么
我们要问，这种排列在什么样的(必要和充分)
条件下能够实现？
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．排列的计数和分类：如果一个指定的排列是可 能的，那么就会存在多种方法去实现它。此时，
人们就可以计数并将它们分类。
·研究一个已知的排列：当人们建立起满足某些 指定条件的一个排列(可能不容易)以后，可能 要考察这个排列的性质和结构。这样的结构可 能会涉及到分类问题，也许还涉及到一些潜在
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13 21 22
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24 32 40
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42 43 2
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44 3 11
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4 12 20
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第一章 什么是组合数学
1.3 幻方
不难看出，不可能存在2阶幻方，够成幻
方的方阵转置后仍然是个幻方。 本书中给出了n为奇数时构造幻方的方法
和立体幻方的概念，由于时间和难度的关系，
企业管理的效益，这家公司办得非常成功。
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此外，试验设计也是具有很大应用价值的
学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设
计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美
国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，
德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研 究药物结构，为制药公司节省了大量的费用， 引起了制药业的关注。
构是无限的，但本书一般把离散视为有限的。
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第一章 什么是组合数学
1.1 棋盘的完美覆盖
一、问题描述
假设有一张普通国际 象 棋 棋 盘 和 32 张 domino 牌，其 形状如 下 :8×8 象 棋棋盘, 一张1×2格的多 米诺牌 domino 牌。
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第一章 什么是组合数学
1.1 棋盘的完美覆盖
1.3 幻方
一个n阶幻方中所有数字的和为： 2 2 n (n 1) 2 1+2+3+…+n = 2 =nS
n (n 1) 故它的幻和为 S = 2
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从而, 关于幻方的问题可归结为:
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第一章 什么是组合数学
1.3 幻方
(1) 对任意的正整数n，n阶幻方存在吗？
(2) 对某个正整数n，如果n阶幻方存在，有多少不
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第1章 什么是组合数学
组合数学是一门古老的数学分支，其思
想在社会科学、信息论、生物科学以及其他
传统自然科学领域得到了广泛的应用。组合
学问题在生活中随处可见。在计算机科学领 域，组合数学是算法设计理论以及算法分析 理论的重要数学工具。
8×8 棋盘黑白间隔染色，去掉的两个对角处 格子不是同白，就是同黑。因此， 8×8 残缺 棋盘剩余的 64-2=62 个格子中黑格数与白格数 相差为2。反之，若设能用 31枚1×2格的骨牌，
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第一章 什么是组合数学
1.1 棋盘的完美覆盖
白 31 黑 白 32 黑 +30 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 黑
用穷举方案并比较切割次数的方法一般不可取。
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第一章 什么是组合数学
1.2 切割立方体
本例的解法是先指出6次即可完成全部切割，
即水平切 2 次，竖直、交叉各切 2 次。其次， 可以证明少于 6次不能完成题目要求的切割。 事实上，对中心位置产生的小立方体而言， 因其也具有6个面且每个面都须被独立地切割
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第一章 什么是组合数学
1.1 棋盘的完美覆盖
存在完美覆盖。或者说，当且仅当棋盘的方
格数是偶数时， m×n棋盘存在完美覆盖。 再来考查用1×2格的多米诺骨牌覆盖去掉 了两个对角处格子的8×8残缺棋盘，问能否用 31枚骨牌完美覆盖？
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第一章 什么是组合数学
1.1 棋盘的完美覆盖
答案是否定的。证明方法很巧妙，可以先将
上的原因外，可能还跟我们的文化，管理水 平，教育水平，思想素质等诸多因素有关。 除去这些人文因素以外，一个最根本的原因 就是我国的信息技术的数学基础十分薄弱，
这个问题不解决，我们就难成为软件强国。
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然而问题决不是这么简单，信息技术的发展
已经涉及到了很深的数学知识，而数学本身也
已经发展到了很深、很广的程度并不是单凭几 个聪明的头脑去想想就行了，而更重要的是需 要集体的合作和力量，就象软件的开发需要多 方面的人员的合作。美国的软件之所以能领先，
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数学机械化和计算机推理，等等。此外，与 实际应用有关的还有许多许多需要数学基础的 算法，如运筹规划，金融工程，计算机辅助设 计等。如果我们的软件产业还是把眼光一直盯
在应用软件和第二次开发，那么我们在应用软
件这个领域也会让国外的企业抢去很大的市场。 如果我们现在在信息技术的数学基础上，大力
支持和投入，那将是亡羊补牢，犹未为晚；
黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑
×
白
× ×
×
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第一章 什么是组合数学
1.1 棋盘的完美覆盖
若每枚覆盖相邻的 2 个方格，恰将残缺棋
盘砌满，则黑格数与白格数应该相等。这就
产生了矛盾。因此，不存在要求的覆盖。如
果对不去掉对角处格子的 64 格 8×8 完好棋盘，
则存在用 32 枚 1×2 格的骨牌恰将其覆盖的许
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例如，计算下列赛制下总的比赛次数：n个
球队参赛，每队只和其他队比赛一次;创建幻方;
在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络的线路走， 在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，笔画 出网络图(一笔画);在玩扑克牌游戏中，计算满 堂红(fullhoue)牌的手数，以确定出现一手满堂
红牌的几率。所有这些都是组合学问题。