《数学分析》第三章函数极限
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第三章 函数极限 （计划课时：1 4 时）P42—68
§1 函数极限概念 （ 4时 ）
一、∞→x 时函数的极限：
1. 以+∞→x 时x
x f 1)(=和arctgx x g =)(为例引入.
2. 介绍符号: +∞→x ,+∞→x ,+∞→x 的意义,)(lim x f 的直观意义.
3.
函
数
极
限
的
“
M
-ε”定义
(A x f x =+∞→)(lim ,A x f x =-∞→)(lim ,A x f x =∞
→)(lim ). 4. 几何意义: 介绍邻域{}M x x U >=+∞)(,{}M x x U -<=-∞)(,
{}M x x U >=∞)(其中M 为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍
几何意义．
5. 函数在∞与∞+,∞-极限的关系: Th1 .)()( )(A f f A f =+∞=-∞⇔=∞
例1
验证.01lim =∞
→x
x
证明格式：0>∀ε（不妨设 <<ε0□）（不妨设>x □或>x □， -A x f )( ε， 只须>x □（∞→x ）或>x □（+∞→x ）， ε＜ □ - □. 根据函数极限的“M -ε”定义知∞ →x lim □ = □（或+∞ →x lim □ = □， -∞ →x lim □ = □）. 例2 验证：1）2 lim π=+∞→arctgx x ； 2）2 lim π-=-∞ →arctgx x . 例3 验证.22 2lim 22=-+∞→x x x x 证 . 4 2 2 2 4 24 222 2423222x x x x x x x x x x x x =-+-+=--+>>…… 6. 的正值性, 任意性与确定性, ε以小为贵. 7. M 的存在性与非唯一性,对M 只要求存在,在乎其大的一 面. 二．0x x →时函数)(x f 的极限： 1. 由 ⎩⎨ ⎧=≠+=.2 ,0,2 ,12)(x x x x f 考虑2→x 时的极限引入. 2. 函数极限的“δε-”定义. 3. 几何意义. 4. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4 验证 .lim C C x x =→ 例5 验证 .lim 00 x x x x =→ 例6 验证 .512 3 72933lim 2233=+--+-→x x x x x x 证 由,3≠x 512)3( )12()3( )3( 5123 72933 2223----+=-+--+-x x x x x x x x x = .1 2395125395 512 123 2---≤---=--+x x x x x x x x 为使 ,11635615595≤+-≤+-=-x x x 需有 ;13<-x 为使 ,1325562 12>--≥+-=-x x x 需有 .23<-x 于是, 倘限制 130<- 512 3 72933 2 23-+--+-x x x x x 12395---≤x x x .3111311-=-≤x x 证明格式：0 >∀ε（不妨设 <<ε0□）（不妨设<-0x x □或>-0x x □，<-0x x □,则□< 要使-A x f )(ε， 只须<-0x x □（0x x →）或<-<00x x □（00+→x x ）， <- 于是0>∀ε,=∃δ□0>，当δ<-<00x x （或δ<-<00x x ， δ<- 根据函数极限的“δε-”定义知0 lim x x → □ = □（或0 lim +→x x □ = □， 0lim -→x x □ = □）. 例7 验证 ). 1 ( ,11lim 02 020 <-=-→x x x x x 例8 验证 .sin sin lim 00 x x x x =→ ( 类似有 ) .cos cos lim 00 x x x x =→ 5. 的正值性, 任意性与确定性, ε以小为贵. 6. δ的存在性与非唯一性,对δ只要求存在,在乎其小的一面. 7. A x f x x =→)(lim 0 存在并不意味着)(x f 在0x 有定义,即就是有定义 也并不意味着)(0x f A =(如例6). 例9 证明 1lim 0 =→x x a )1(>a . 三.单侧极限: 1. 定义： 单侧极限的定义及记法. 2. 几 何 意 义 : 介 绍 半 邻 域 },0 {),(δδ<-≤=+a x x a =-),(δa ],(a a δ- ). , (),( ), , (),( 0 a a a a a a δδδδ-=+=-+ 然后介绍)(lim 0 x f x x +→等的几何意 义. 例9 验证 .01lim 21 =-- →x x 证 考虑使 22 2 1ε<-x 的 .δ 3. 单侧极限与双侧极限的关系: