人寿保险泵交纯保费厘定
趸缴净保费的厘定
2
记
2
Ax e2 t fT (t )dt
0
（相当于利息力翻倍以后求终身寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Var ( zt ) Ax ( Ax )
2
2
例3.2
设( x)投保终身寿险, 保险金额为1元, 签单时其未来寿命T的密度函数为 1 , 0 x 60 fT (t) 60 . , 其它 0 利息力为 ( 0). 计算（ 1）Ax (2)Var ( zt ) (3)满足P( z 0.9 ) 0.9的0.9 .
t
x
ln p ln(1 i )
fT (t )dt px x t dt
x
ln p t ln(1 i )
现值随机变量的方差
方差公式
Var ( zt ) E ( z ) E ( zt ) e
2 t 2 0
2 t
fT (t )dt E ( zt )
2
记
2
A
1 x:n
e2 t fT (t )dt
0
n
（相当于利息力翻倍以后求N年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Var( zt ) A ( A )
2 1 x:n
1 2 x:n
例3.3
1 100
设S ( x ) 1
,
0 x 100. 实质利率i 0.1. (2)Var ( zt )
第二章趸缴纯保费
E ( zt )
2007-1-7 Copyright by Liu Ning 11
二、n年定期寿险的趸缴纯保费
定义
Z保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保
险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为 n年死亡保险。
( x)岁的人，保额1元n年定期寿险 假定：
基本函数关系 vt = v , t ≥ 0
趸缴纯保费的厘定
符号：A x 厘定：
ω
0
A x = E ( zt ) = ∫ zt fT (t )dt = ∫ v t px µ x +t dt = ∫ e
t 0 0
2007-1-7 Copyright by Liu Ning
ϖ
ϖ
−δ t t
px µ x +t dt
17
现值随机变量的方差
2007-1-7 Copyright by Liu Ning 2
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
Z Z
保障标的的不同
Z 人寿保险（狭义） Z 生存保险 Z 两全保险
定额受益保险 变额受益保险
保单签约日和保障期期
始日是否同时进行
Z 即期保险 Z 延期保险
保障期是否有限
Z Z
定期寿险 终身寿险
2 m 10
2007-1-7
∞
−0.12 t
0.16 2 2 ⇒ Var ( zt ) = m Ax − ( m Ax ) = 0.0288
Copyright by Liu Ning
0.04e
−0.04 t
dt =
0.04e −0.16t
10 ∞
= 0.05047
24
人寿保险费率厘定
8.3 人寿保险费率的厘定8.3.1 人寿保险概述人寿保险费=纯保险费+附加保险费 纯保险费包括危险保险费和储蓄保险费危险保险费用于当年保险金的支付，储蓄保险费用于弥补未来年份的赤字，附加保险费用于保险经营中的一切费用开支。
寿险保险的基本原则是按照精算等价原理计算的收支平衡原则，“收”指保险机构收取的总保费，“支”是指保险公司的保险金给付和支出的各项经营费用。
按缴费方法可分为（自然纯保险费、趸缴纯保险费和均衡纯保险费）自然纯保险费是以死亡率为缴费标准计算的保险费，按年收取，年龄越大死亡概率越大，缴费越高。
在符号1:x n A 中，令n=1，即得到1:1x A ，它是根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡纯费率，1:11x x x nxd A vq i L ==+趸缴保险费是在投保之日起一次性缴清的保险费，计算时要考虑到货币的时间价值。
均衡保险费是指在某一期限内，投保人按固定数额缴纳的保险费。
8.3.2 利息利息是资金的使用成本，保险公司的利率假设是个关键因素，它影响到保险费率和保险基金的投资情况。
分为单利和复利 （1）单利 （利息不再支付利息）I P i n =⨯⨯利息(1)P i n =⨯+⨯本利和S（2）复利 （上一期的利息也在本期生息，利滚利）(1)n S P i =⨯+本利和 S P -利息I=（3）终值和现值终值又称将来值，是现在一定量现金在未来某一时点上的价值，即本利和。
现值又称本金，是指未来某一时点上的一定量现金折合到现在的价值。
按单利计算：(1)P i n =⨯+⨯终值，1i n=+⨯终值现值 按复利计算：(1)n P i =⨯+终值，(1)ni =+终值现值，贴现因子11v i =+ （4）年金年金是指在一定时间内按照一定的时间间隔有规则地收或付的款项。
按支付条件分为（确定年金和生存年金）； 按支付时间分为（期初付年金和期末付年金）； 按支付开始时间分为（即期年金和延期年金）期初付年金：以n 表示年金支付期间，用i 表示利率，设支付额为1，则年金的现值1nn v a d-=积累值公式(1)1n n i sd+-= ，可见，(1)n n n s a i =+ 若年金的支付发生在每期的期末，则年金的现值为：1nn v a i -=年金的积累值为：(1)1n n i s i+-=，可见，(1)n n n s a i =+期初付年金与期末付年金之间的关系：(1)n n s s i =+ ，(1)n n aa i =+ 8.3.3 生命表生命表是根据一定时期某一国家或地区的特定人群的有关生存、死亡的统计资料加以分析整理而形成的一种表格，它是寿险精算的数理基础，是厘定人寿保险纯保费的基本依据。
保险精算第二讲.
1
n 1
k 0
例3.5
在例3.2中，假设50岁的张某购买的是一份 30年 的两全保险，死亡年年 末给付， 保额为100000 元，求该保单的趸缴净 保费。
例3.5答案
1 100000 A50:30 100000 A50 100000 :30
A
1
50:30
20468 .70 100000 (1.08 ) 30 30 p50 20468 .70 100000 (1.08 ) 24985 .85 (元) 由例3.2,3.3和3.5可以看出： Ax:n Ax
k px qx k v k 1
k 0
4
d xk lx
四、延期m年终身寿险
对（x）的1单位元 m年延期终身寿险， 是从x m岁起到被保险人终身止 的1单位元保险，其现值随 机变量为： 0, Z k 1 v ,
k 0,1,2,...., m 1 k m, m 1, m 2,.....
1 65 t 保单精算现值为： 20000 A40＝20000 v t 1 t p x q x t
t 0
由生存函数可以看出：
t
p40 0 t 65
64
1 t 1 65 t 1 因此20000 A40＝20000 ( ) t 0 1.1 65 65 20000 64 1 t 1 ( ) t 0 1.1 65 65 1 1 20000 1.1 3070 .65(元） 1 65 1.1 1 1.1
x
例3.2答案
解：该生命表的最大年 龄时105 岁，所以t的取值范围是 0 到55岁。所求的赔付现值为 100000 A
第二节人寿保险费的计算
第二节人寿保险费的计算第二节人寿保险费的计算一、保费率计算的实质计算未来某一段时间保险人给付的保险金总额按预定利率（复利）逆算到某一缴费期时的现值，然后再将这一现值按该缴费期的被保险人分摊计算。
因此，在计算时，要考虑被保险人的生存率或死亡率，或者是生存人数、死亡人数。
二、人寿保险纯保费计算纯保费厘定的原则根据收支平衡原则，保险人承保的某类寿险业务今后将要给付的保险金，在投保时点的价值总和，应当等于投保人在投保时缴纳的纯保费之和。
（一）自然纯保费计算1、自然纯保费的定义就是直接以各年龄的死亡率为标准计算的保费。
2、计算以我国CL1为例，假设利息率为3%，某人购买了每年可更新的定期保险，保险金额为10000元。
①假设某人30岁需要交多少保费？（936*10000）/971627*0.970874=9.35元计算公式：纯保费=死亡概率*保险金额*1元的现值经济意义：假设971627人都参加保险，每人交纳9.35元的保费连同其利息，就可以对936个死亡的被保险人的受益人每人给付10000元的保险金。
②假设某人31岁需要交多少保费？977/970692*10000*0.970874=9.77元③假设某人32岁需要交多少保费？④假设某人33岁需要交多少保费？⑤假设某人34岁需要交多少保费？总结：由于人的死亡率随着人的年龄增长而升高，如40岁的人年交自然纯保费就上升到19.93元，50岁时则上升到51.07元。
所以这种缴费方式只适宜于青壮年为对象的时间较短的定期保险。
（二）趸交纯保费计算1、定期死亡保险（1）什么是定期死亡保险？是保险人仅对保险期内因保险事故死亡的被保险人给付保险金，对生存的被保险人则不付给付责任。
（2）定期死亡保险纯保费的计算假设采用我国CL1生命表，实际死亡率与生命表一致。
某30岁男子投保5年期的定期寿险，保险金额为10000元，求趸交的纯保费。
（936*10000*0.970874+977*10000*0.942596+1032*10000* 0.915142+1100*1000 0*0.888487+1182*10000*0.862609）/971627=49.10元经济意义：所有参加这一保险的971627人每人趸交纯保费49.10元，连同其利息，保险人即可对5年内死亡的被保险人，与死亡当年年末向其受益人每人给付保险金10000元。
保险精算学-趸缴纯保费
保险精算学-趸缴纯保费一、介绍保险精算学是一门研究如何根据统计学和数学原理来评估和管理保险风险的学科。
其中，趸缴纯保费是保险精算学中的一个重要概念。
本文将介绍趸缴纯保费的含义、计算方法以及在保险业中的应用。
二、趸缴纯保费的含义趸缴纯保费是指被保险人一次性支付的保险费用，用于购置纯风险保险的保单。
这意味着保险公司承当了保险风险，并且不提供任何现金价值或投资回报。
趸缴纯保费通常应用于寿险和意外险等风险较高的保险产品。
三、趸缴纯保费的计算方法趸缴纯保费的计算方法主要基于统计模型和风险评估。
以下是常用的计算方法：1. 人寿保险中的趸缴纯保费计算方法在人寿保险中，趸缴纯保费的计算通常基于年龄、性别、保额和保险期限等因素。
常见的计算公式如下：趸缴纯保费 = 预期死亡率 × 保额 × 保险期限其中，预期死亡率是根据历史数据和统计模型计算得出的，它表示了某一年龄段人群的平均死亡概率。
2. 意外险中的趸缴纯保费计算方法在意外险中，趸缴纯保费的计算通常基于被保险人的职业、年龄、性别和保险金额等因素。
常见的计算公式如下：趸缴纯保费 = 根底保费 × 职业系数 × 年龄系数其中，根底保费是根据保险公司的费率表确定的，职业系数和年龄系数是根据不同职业和年龄段的保险风险进行评估得出的。
四、趸缴纯保费的应用趸缴纯保费在保险业中有着广泛的应用。
以下是一些应用场景：1. 个人寿险在个人寿险中，趸缴纯保费常用于购置寿险保单。
被保险人一次性支付趸缴纯保费后，保险公司承当了与被保险人生命风险相关的保险责任。
2. 团体意外险在团体意外险中，趸缴纯保费通常用于覆盖公司员工的意外风险。
员工支付趸缴纯保费后，保险公司将提供相应的意外保障。
3. 旅行险在旅行险中，趸缴纯保费可用于购置旅行期间的保险保障。
旅客支付趸缴纯保费后，保险公司将承当与旅行相关的风险，例如医疗费用、航班延误等。
五、结论趸缴纯保费是保险精算学中的一个重要概念，它是被保险人一次性支付的保险费用，用于购置纯风险保险的保单。
第二章： 人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)
fT
(t)
1（均匀分布） 70
A1 30:10
10 t
0
fT
(t)dt
10 (1 0.1)t 1 dt 1
0
70 70
10 (1.1)tdt 0.092099
0
A 2 1
（2） 30:10
10 2t
0
fT
(t)dt
1 70
10 (1.1)2tdt 0.063803
0
Var(Z) 2A1 (A1 )2 0.055321
A1 xm:n
A1 x:m
Ax
1 m:n
A1 x:m
A xm:n
例 3．设生存函数 s(x) 1 x , (0 x 100) ，年利率 i 0.1，保额 1。 100
计算：（1）
A1 30:10
（2）Var(Z )
解：（1）
fT
(t)
s(x t) s(x)
1 100
x
,
代入
x 30 ,
Ax E(T ) E( K S ) E( K 1S1)
E( K 1)E( S1) Ax E[(1 i)1S ]
S ~U (0,1) Ax
1(1 i)1s ds i
0
Ax
例1． 证明：在 UDD 假设下： A1 i A1
x:n
x:n
证明：
A1 x:n
n
t
0
t
px xt dt
（1）
m m px
n
t
0
t
pxmxmt dt
A1 x:m
A1 xm:n
A1
（2） m x:n
mn mn px
m m px n n pxm
精算原理4
例3.3
假设例3.2中张某50岁时购买的是保额为100000 元的 x 终身寿险，已知 l x 1000 (1 )，预定利率为0.08， 105 求该保单的趸缴净保费 。
例3.3答案
100000 A50 100000 1.08 ( t 1) t p50 q50t
x
例3.2答案
解：该生命表的最大年 龄时105 岁，所以t的取值范围是 0 到55岁。所求的赔付现值为 100000 A
t 1 50： 30
＝ 100000 1.08(t 1) t p50 q50t
t 0
29
p50
l50 t 105 50 t 55 t l50 105 50 55 l( 50 t ) 1 l50 t
三、 两全保险
两全保险是定期寿险与 生存保险的合险。对 ( x)的1单位元 n 后者是以 n年满期被保险人仍然活 着为给付条件的生存保 险，其 现值随机变量为： v n , k n, n 1,.... Z 0, k 0,1,2, , , , , n 1 其精算现值以 Ax:n E ( Z ) v n k q x v n .n p x
2 3
0.001650 (1 0.001650 ) 0.001812 10000[ 2 1.05 1.05 (1- 0.001650) (1- 0.0018120 ） 0。 001993 3 1.05 49.28( 元)
例3.2
张某在50岁时投保了一份保额为100000元的30年定期 x ) 寿险。假设 l 1000 (1 105 ，预定利率为0.08，求该保 单的趸缴净保费。
基本符号
K ( x) k ——
第三章 人寿保险趸缴净保费的厘定
w
记
2
A = ∫ e−2δt fT (t)dt x
0
w
方差等价公式
Var(zt ) = 2 A −(A )2 x x
投保终身寿险， 例.设(x)投保终身寿险，保险金额为 元。保险金在死亡即 设 投保终身寿险 保险金额为1元 刻赔付,利息力 已知签单时， 的剩余寿命的密度函数为 刻赔付 利息力δ 已知签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
3. n年定期生存险 年定期生存险 定义：被保险人投保后生存至 年期满时 保险人在第n年 年期满时， 定义：被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第 年 末支付生存赔付金的险种。 末支付生存赔付金的险种。
(x 假定： 岁的人，保额1元 假定： )岁的人，保额 元，n年生存险 年生存险
基本函数关系
趸缴净保费的厘定 假定条件: 假定条件 假定一：同性别、同年龄、 假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余 寿命是独立同分布的。 寿命是独立同分布的。 假定二： 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进 行拟合。 行拟合。 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。 将单个被保险人事故转化为一个同质总体的风险事故。 将单个被保险人事故转化为一个同质总体的风险事故。
0, t ≤ n 0 , t ≤ n bt = ⇒ zt = bvt = n t 1 , t >n v , t > n
趸缴净保费
A (A ) = E(zt ) = v ⋅n px = e ⋅n px
1 x:n n
1 x:n
−δn
随机变量现值方差
Var(zt ) = E(zt2 ) − E2 (zt ) = v2n ⋅n px −(vn ⋅n px )2
人寿保险泵交纯保费厘定
例2.1
设
S(x) 1 x 100
i 0.1
计算
（1）A1 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例2.1答案
(1)
fT
(t)
S(x t) S(x)
1 100
x
A1 30:10
10 0
vt
f30 (t)dt
101.1t
1
dt
1
1.1t
0 10
0
70 70 ln1.1
n et
0
t
pxxt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
n 0
e2t
fT
(t)dt
Hale Waihona Puke E(zt)2记
2 A1 x:n
n 0
e2t
fT
(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Var
(
zt
)
2A1 x:n
(A1 )2 x:n
0.092
（2）Var
(
zt
)
2A1 30:10
(A1 )2 30:10
101.12t 1 dt 0.0922
0
70
1
1.21t
0 10
0.0922 0.055
70 ln1.21
2、终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内 的死亡均给付保险金的险种。
假定：(x) 岁的人，保额1元终身寿险
E(zt )
第二节
死亡即刻赔付 趸缴纯保费的厘定
第三章 寿险的趸缴净保费
1
1
延期m年n年两全险
m|
Ax:n
m|
A
1 x:n
m| Ax:n Ax:m Ax m:n
1
1
例.已知: 计算20| Ax
1) 2.5%; 2)死亡力恒定; 3) e x 10.0.
0
7. 递增寿险 假定赔付金额为剩余寿命的线性递增函数 一年递增一次（n年定期寿险）
趸缴净保费
1 x:m
A
1 x:m n
A
1 x m:n
A x:m
1
( x) 岁的人，保额1元，延期m年n年生存险 假定：
T mn 0, ZT bT vT m n v , T mn
趸缴净保费
m|
Ax:n E ( Z ) v
1
mn
m n px A x:m Ax m:n m Ex n Ex m
基本函数关系
0, T n 0 , T n bT ZT bT vT n 1 , T n v , T n 趸缴净保费 1 n n 1
Ax:n ( Ax:n ) E(ZT ) v n px e
n px
随机变量现值方差
Var ( Z ) E ( Z 2 ) E 2 ( Z ) v 2 n n px (v n n px ) 2 v n px n qx A ( A )
净均衡原理 保险人收取的净保费应该恰好等于未来支出的保险赔付金。 （Arrow:风险转移公平原则） 趸缴纯保费=未来保险金给付的精算现值 死亡赔付方式：（1）死亡即刻赔付；（2）死亡年末赔付。
第一节 连续型寿险的趸缴纯保费
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任 范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予 保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔 方式。 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死 亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时 期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。
保险精算人寿保险趸缴纯保费-PPT精品文档
常见概念中英文单词对照(2)
定期人寿保险 终身人寿保险 两全保险 生存保险 延期保险 变额受益保险
Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment insurance Deferred insurance Varying benefit insurance
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险
保障标的的不同
保单签约日和保障期 期始日是否同时进行
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险 定期寿险 终身寿险
保障期是否有限
即期保险 延期保险
人寿保险的特点
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为 不容忽视的因素。 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。 这意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险。
主要险种的趸缴纯保费的厘定
终身寿险 n年期定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
1、终身寿险
定义 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任 范围内的死亡均给付保险金的险种。 假定： ( x ) 岁的人，投保保额bt=1元终身寿险 基本函数关系
力 和 fT(x)( t) 、 fX( t) 的关系是怎样的 x
第七章 人寿保险的趸缴纯保费
3．生存保险
• 定期生存保险这一概念在生存年金现值计 A1:n 表示x岁者投保保 算中已经讲过。假定 x 险为1元的n年定期生存保险的趸缴纯保费。
A
1 x:n
lx n n Dx n v lx Dx
4．生死两全保险
• 生死两全保险：它是指被保险人于保险期 内死亡，或生存到期终时，都支付给付金 的一种保险形式。这是定期寿险与生存保 险的结合。 • 设 Ax:n 表示，x 岁签单，保险金为1元的 n 年两全保险的现值，则：
Ax:n
M x M x n Dx n Dx Dx
例2
• 设20年生死两全保险的保额为1000元、试 求其在20岁签发保单的趸缴纯保费。
• 解：所求趸缴纯保费为
1000 A20:20
M 20 M 20 20 D20 20 D20 D20
M 20 M 40 D40 561.18(元). D20
• 虽然保险商品的定价与其他商品有所不同， 但是一股定价的基本原则仍是适用的。
保费的构成
保险费
纯保费 （将来保单受益的精算现值）
附加费用 （与保单相关的费用的精算现值）
组合形式
• 其中纯保费主要由预期损失成本确定。 • 而附加保费包括经营费用和合理的利润等。
纯保费 毛保费 （总保费） 附加保费
第七章
人寿保险趸缴纯保费
基本问题与概念
• 本章主要探讨的问题是：寿险保费或者说 是寿险保单的价格是如何确定的。 • 人寿保险中的纯保费是以待定的生命表和 利率表作为计算基数的，不包括其他费用。 • 所谓趸缴纯保费是保单签约时一次性支付 的保费，其金额与死亡给付金额在签单时 现值的数学期望值相等。
保费的分类
保险精算人寿保险趸缴纯保费
e 60 2 t
0
1 dt 60
( Ax )2
1 e120 (1 e60 )2
120
60
第19页/共81页
例3.1答案(2)
(3) Pr(Z 0.9 ) Pr(vt 0.9 )
=
Pr(t
ln
v
ln 0.9 )
P(t
ln 0.9
ln v
)
60 ln0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
寿险趸缴纯保费＝未来保险金给付的精算现值 • 解释：
保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是 在统计意义上的收支平衡，是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时 值。
第9页/共81页
趸缴纯保费厘定的假定条件
• 趸缴纯保费的假定条件: • 假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。 • 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。 • 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。
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人寿保险的保费
• 寿险保费是寿险产品的价格，是投保人转移风险所付出的代价，也是保险人进 行经营活动的物质基础。 投保人：通过缴纳保费投保，获得死亡、生存或养老等方面的保险保障 保险人：通过获得保费，建立保险基金，一部分作为保险金的给付，另一 部分作为保险人在经营管理上的必要开支
• 寿险保费的构成－－总保费（营业保费）包括： 纯保费：用于保险给付 附加保费：用于保险公司经营费用
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1、终身寿险
• 定义
• 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责
任范(x围) 内的死亡均给付保险金的险种。
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主要险种的趸缴纯保费的厘定
n年期定期寿险 终身寿险 延期m年的终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内 的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。
insurance
第一节
人寿保险 趸缴纯保费厘定的原理
人寿保险简介
什么是人寿保险
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否 死亡作为保险标的的一种保险。
广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保 险标的的一种保险。它包括以保障期内被保 险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障 期内被保险人生存为标底的生存保险和两全 保险。
趸缴纯保费的厘定
假定条件:
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命是独立同分布的。
假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合。
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益 （即预定利率）。
纯保费厘定原理
原则
保费净均衡原则
解释
所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值 正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。 它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在 大数场合下，收费期望现时值等于支出期望 现时值
基本函数关系
vt vt , t 0 bt 1 , t 0
zt btvt vt , t 0
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax
厘定：
Ax E(zt ) 0 zt fT (t)dt
0
vt
t
pxxt dt
0
e t
t
px xt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
假定：(x) 岁的人，保额1元n年定期寿险
基本函数关系
vt vt , t 0
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn趸缴纯保费的厘定 Nhomakorabea号：A1x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n vt
0
t
pxxt dt
第二章
人寿保险趸缴纯保费的厘定
本章结构
人寿保险趸缴纯保费厘定原理 死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定 死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定 递归方程 计算基数
第二章中英文单词对照一
趸缴纯保费 精算现时值 死亡即刻赔付保险
死亡年末给付保险
定额受益保险
Net single premium
基本符号
(x) —— 投保年龄 x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义
在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现 时值
趸缴纯保费的厘定
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
Actuarial present value
Insurances payable at the moment of death
Insurances payable at the end of the year of death
Level benefit insurance
第二章中英文单词对照二
定期人寿保险 终身人寿保险 两全保险 生存保险
延期保险 变额受益保险
Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment
insurance Deferred insurance Varying benefit
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险
保单签约日和保障期 期始日是否同时进行
非延期保险 延期保险
保障标的的不同
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险
保障期是否有限
定期寿险 终身寿险
人寿保险的性质
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为 不容忽视的因素。
例2.1
设
S(x) 1 x 100
i 0.1
计算
（1）A1 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例2.1答案
(1)
fT
(t)
S(x t) S(x)
1 100
x
A1 30:10
10 0
vt
f30 (t)dt
101.1t
1
dt
1
1.1t
0 10
0
70 70 ln1.1
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t)dt
所以方差等价为
0.092
（2）Var
(
zt
)
2A1 30:10
(A1 )2 30:10
101.12t 1 dt 0.0922
0
70
1
1.21t
0 10
0.0922 0.055
70 ln1.21
2、终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内 的死亡均给付保险金的险种。
假定：(x) 岁的人，保额1元终身寿险
保险赔付金额和赔付时间的不确定性
人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。
被保障人群的大数性
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计 算出平均赔付并可预测将来的风险。
n et
0
t
pxxt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
n 0
e2t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 A1 x:n
n 0
e2t
fT
(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Var
(
zt
)
2A1 x:n
(A1 )2 x:n
E(zt )
第二节
死亡即刻赔付 趸缴纯保费的厘定
死亡即刻赔付
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生 保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发 生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合， 保险公司通常采用的理赔方式。
由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻， 所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距 保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩 余寿命。