静电场及其性质

UP =
UP
零势点 r P
r ∫ E dl
dq = ∫ 4πε r 场 源 电 荷 πε0
要特别注意两 个积分的区别 个积分的区别
电势. 例:试计算均匀带电细圆环轴线上任一点 P 电势. 设已知带电量为 q . dq 解: Q d U = 4πε 0 r 2π λ Rdθ dq =∫ U = ∫ dU = ∫ 0 4πε ( x 2 + R2 )1 / 2 4πε0r 0 q
i
零势点
ε0
P
r r E dl
常数
Q U内( r ) = 4π ε0 R Q U 外 (r ) = 4π ε0 r
r≤R
r>R
P′
P
E内 = 0
E
外
Q = 4 πε 0 r
2
这个结论很有用！ 这个结论很有用！
两均匀带电的同心球面， 例:两均匀带电的同心球面，如图， 两均匀带电的同心球面 如图， 半径分别为R 半径分别为 a ,Rb，内球面带电量为 ， Qa , 外球面带电量 b , 求电势分布。 外球面带电量-Q 求电势分布。 介绍一种简单重要的解法： 介绍一种简单重要的解法： 带电球面电势叠加法
∑ ∫
i a
b
r E
i
r d li
=
∑
i
U
i
电势叠加原理
U =
标量代数和
∫) (
Q
dU
UP =
∑
n
i =1
q 4 πε 0 ri
3. 连续分布电荷电场中的电势 dU =
U
P
dq
4π ε0 r
=
∫
场源电荷
dq 4 πε 0 r
其中
标量积分
λdl dq = σdS ρ d V
求电势的两种方法： 求电势的两种方法：
r E来自百度文库
带电粒子在静电场中的运动
r r F = qE 在静电场中带电粒受电场力： 在静电场中带电粒受电场力： 当带电粒子只受电场力(其余力可忽略,例电子枪),则: 当带电粒子只受电场力(其余力可忽略,例电子枪),则 ), 1 2 1 2 mvB mvA = qU AB 2 2
如果带电粒子以垂直于电场的速度进入电场则做抛物线 运动─ 示波管中的重要情形. 运动─ 示波管中的重要情形. P 电子的偏转: 电子的偏转: 电子的加速: 电子的加速:F θ -e v -q
电力线与等势面的关系
1.电力线处处垂直等势面，除电场强度为零处外 电力线处处垂直等势面， 电力线处处垂直等势面 在等势面上任取两点 a、b，则 ， b b r r r r 等势 dl E E dl = U a U b = 0
∫
a
a 静电场中电荷沿等势面运动,电场力不做功. 静电场中电荷沿等势面运动,电场力不做功. 2.电力线指向电势降的方向 电力线指向电势降的方向 因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。 因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。 3.规定两个相邻等势面的电势差相等 规定两个相邻等势面的电势差相等 规定 等势面较密集的地方,场强较大. 等势面较密集的地方,场强较大. 等势面较稀疏的地方,场强较小. 等势面较稀疏的地方,场强较小.
r E
真空中静电场小结 r 1.两个物理量 两个物理量 E U
2.两个基本方程 两个基本方程 3.两种计算思路 3.两种计算思路
r r ∑ qi内 E ds = i ∫S ε0
r r ∫L E dl = 0
r E=∫
场源电荷
r dE
U =∫
UP = ∫
场源电荷
dU
r r ∫ E ds =
S
∑ qi内
( )
-q -
r r r r = q ∫ E d l = qlE cos θ = p E cos θ = p E
(+ )
四、等势面 电势梯度
等势面
电场中电势相同的点形成面,连接这些点的面即等 电场中电势相同的点形成面,连接这些点的面即等 势面. 势面. 点电荷的等 势面: 势面: 两个同号点电荷 的等势面: 的等势面: 无限大均匀带电平 行板的等势面: 行板的等势面:
实验规律——点电荷的库仑定律等 点电荷的库仑定律等 实验规律 静电场的性质——有源无旋 有源无旋 静电场的性质 静电场与导体的相互作用 静电场与电介质的相互作用 静电场与带电粒子的相互作用
本讲主要内容： 本讲主要内容： 一、静电场的环路定理 二、静电场中的电势 三、电势的计算 四、等势面 电势梯度 自学内容： 自学内容： 带电粒子在静电场中的运动
例:均匀带电球面的电场中的电势 均匀带电球面的电场中的电势 带电球面 解：E 外 =
Q 4 πε 0 r 2
∞
U
P′
P
E内 = 0
Q dr = U P ( r ) = ∫r 2 4 πε 0 r = Q 4 πε 0 r
U 球内 = 0
r≥ R
U P′ (r ) =
静电场中某点的电势即是：静 r 静电场中某点的电势即是： 电势即是 0 R 电场力将单位电荷从这点移到 无限远处（零势点）所做的功. 无限远处（零势点）所做的功.
一、静电场的环路定理
静电场力的功 电势能
1.静电场力是保守力 静电场力是保守力
与引力类比， 与引力类比， 都是平方反比力。 都是平方反比力。 因此可断定是保守力！ 因此可断定是保守力！
2.静电场力作功等于相应电势能的减少 静电场力作功等于相应电势能的减少 b
A ab =
∫
(b)
(a )
r r F dl = W a W b
r≤ R
∫
∞ P'
r r E dl =
Q ∫R E 外 d r = 4 πε R 0
∞
场强为零的地方电势不一定为零！ 场强为零的地方电势不一定为零！ 电势为零的地方场强一定为零吗？ 电势为零的地方场强一定为零吗？
结论：均匀带电球面的电场中的电势、 带电球面的电场中的电势 结论：均匀带电球面的电场中的电势、场强
b点电势能 点电势能
r E
q
a
a点电势能 点电势能
静电场的环路定理： 静电场的环路定理： 表述: 表述:静电场中场强沿任意闭合环路的线积分 恒等于零 即 r r ∫ E dl = 0
L
证明 Q静电场力是保守力 r r r r
∴ F dl = ∫
L
∫ qE dl
=o
∫
L
L r r E dl = 0
dq=λdl r
R 0
x
θ
p
x
q U ( x) = 4πε 0 ( x2 + R2 )1/ 2
标量积分的方便！ 标量积分的方便！
计算电偶极子场中任一点P 的电势. 例:计算电偶极子场中任一点 的电势. 解:
q Up = ∑Ui ( p) = + 4πε0r+ 4πε0r i q
P
非常简单！ 非常简单！ 当 r >> l 可做如下近似： 可做如下近似： l l r+ = r cosθ r = r + cosθ 2 2
三、电势的计算
1. 点电荷电场中的电势
U
P
=
∫
P
∞
电势零点取在无穷远处。 电势零点取在无穷远处。 2. 点电荷系电场中的电势 根据电场的叠加原理可得: 根据电场的叠加原理可得
U =
q q dr = 2 4 πε 0 r P 4 πε 0 r
∫
a
b
r r E dl =
∫∑
a i
b
r r E i d li =
回忆
电场的基本性质 电场的基本性质 对放其内的任何电荷都有作用力 对放其内的任何电荷都有作用力 电场力对移动电荷作功 电场力对移动电荷作功 关于电场强度的理解: 关于电场强度的理解 F
带电体 q0
r r F E = q0
(1)电场强度是从电场对电荷有作用力的角度研究 电场强度是从电场对电荷有作用力 电场强度是从电场对电荷有作用 电场; 电场 (2)电场强度是电场中的点的矢量函数 电场强度是电场中的点 矢量函数. 电场强度是电场中的 函数 下面从电场对移动电荷作功的角度研究电场。 下面从电场对移动电荷作功的角度研究电场。
r r Qa、b 任取 ∴ 处处有 E ⊥ d l 、
电场强度与电势梯度的关系
寻找 U P =
零势点 r P
r ∫ E dl 的逆变换
Endn= - dV.
dV ∴ En = dn
U U+dU
dV r gra en 电势梯度记为： 电势梯度记为： dV = dn
dn
r dV r ∴ E = en = gradV dn ——电场中某点场强沿某方向的分量等于电势沿此 电场中某点场强沿某方向的分量等于电势沿此 方向空间变化率的负值。 方向空间变化率的负值。 等势面的疏密反映了场的强弱
Q a Q b U = + 4 πε 0 r 4 πε 0 R Q Q a U = + 4 πε 4 πε 0 r
b 0
b
r
例:平行板电容器两板间的电势差 平行板电容器两板间的电势差 解：平行板电容器内部的场强为 σ E= ε0 两板间的电势差
U =
+σ
σ
r dl
∫) (
+
( )
r r E dl =
∫ )E d l (
+
( )
= E
∫ )d l (
+
( )
r r E ,dl
方向一致
均匀场
U = Ed
求电偶极子在均匀外电场中的电势能 例:求电偶极子在均匀外电场中的电势能 求电偶极子在均匀外电场中的电势能. 解：
W+ = qU +
W = qU
r p θ
+ +q
r E
W = W+ + W = q(U + U )
Qb Rb
Qb
Qb
Qa
Rb
Ra
Rb
Qa
Ra
1 2
3 =
1 2
3+
Qa
Ra
1 2
3
空间 1
U =
Qa + 4 πε 0 R a
Qb 4 πε 0 R b
带电球面电势叠加法
Qb
Rb
Qb
Rb
Qa
Ra
1 2
3 =
1 2
3+
Qa Ra
1 2
3
空间 1 空间 2 空间 3
Qb Qa U = + 4 πε 0 R a 4 πε 0 R b
讨论
∫
L
r r E dl = 0
①静电场的基本性质之二——无旋（或说是保守场） 静电场的基本性质之二 无旋（或说是保守场） 无旋
r ②微分形式 × E = 0
两个基本方程
r r ∑ q i内 E ds = i ∫S ε0 r r ∫ E dl = 0
L
静电场的两个基本性质——有源无旋 有源无旋 静电场的两个基本性质
二、电势
电势的定义
∫( a )
(b)
r r F dl = W a W b
∫) (
a
(b )
r r W a W b E dl = qo q0
Wa W b q0 q0
与试验电荷无关 反映了电场在a b两点的性质 反映了电场在a b两点的性质
=Ua Ub
∫) (
a
(b )
r r E dl
称 a b两点电势差 两点电势差
例:点电荷产生的电场中的电势分布
r 解: E = q 4πε 0 r 2 ro r
p
Up =Up U∞ =
∫
∞
r r E dl
r r
q
q
r E
p
=
∫
∞ p
q 4πε 0 r
dr = 2
4πε 0 r p
Up =
q 4πε 0rp
孤立正点电荷周围的场电势为正；离电荷越远，电 孤立正点电荷周围的场电势为正；离电荷越远， 正点电荷周围的场电势为正 势越低. 势越低 孤立负点电荷周围的场电势为负；离电荷越远， 孤立负点电荷周围的场电势为负；离电荷越远， 电势越高. 电势越高
U =
势能零点
若选b 若选b点的势能为参考零点 点的电势由下式得到 则a点的电势由下式得到 点的电势
a
(a )
∫
r r E dl
关于电势U的理解 关于电势 的理解: 的理解 (1)电势是从电场对在其中运动的电荷做功 电势是从电场对在其中运动的电荷做功 电势是从电场对在其中运动的电荷做 的角度研究电场; 的角度研究电场 (2)电势是电场中的点的标量函数 电势是电场中的点 标量函数 函数. 电势是电场中的 (3)电势的大小是相对的 电势差是绝对的。 电势的大小是相对的,电势差是绝对的 电势的大小是相对的 电势差是绝对的。 电势即是 静电场中某点的电势即是： 静电场中某点的电势即是：静电场力将单位 电荷从这点移到无限远处 零势点） 移到无限远处（ 电荷从这点移到无限远处（零势点）所做的 功. 特别注意！ 特别注意！
r -q o l +q
r ro p r q l cosθ q r r+ Up = [ ]= = 2 4πε0 2 l 4πε0 r+r 2 4πε0r 2 [r cos θ ]
r ro r ro p r = ql r = ql cos θ
4
在中垂线上各点电势显然为零! 在中垂线上各点电势显然为零!