函数单调性的概念
函数单调性的概念)
目 录
• 函数单调性的定义 • 判断函数单调性的方法 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的应用 • 反例与特殊情况
01 函数单调性的定义
单调增函数
01
02
03
总结词
单调增函数是指函数在某 个区间内，随着自变量的 增加，函数值也单调增加 的函数。
详细描述
单调增函数的定义是，对 于任意两个数$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$）， 如果函数$f(x)$满足 $f(x_1) leq f(x_2)$，则称 $f(x)$在区间$[x_1, x_2]$ 上单调增。
单调函数的连续性是其基本性质之一。在单调递增的函数中，如果函数在某一点的左侧 小于该点的值，那么在该点的右侧也必然小于该点的值，即函数值随着自变量的增大而 增大。同样地，在单调递减的函数中，函数值随着自变量的增大而减小。因此，单调函
数在其定义域内是连续的，不存在间断点。
单调函数的可导性
总结词
单调函数的可导性是指函数在单调区间 内是可导的，即函数的导数在单调区间 内存在且不为零。
数学表达
如果对于所有$x_1 < x_2$， 都有$f(x_1) geq f(x_2)$， 则称$f(x)$为减函数。
严格单调函数
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，对于任意两个不同的自变量，其函数值也不同的函 数。
详细描述
严格单调函数的定义是，对于任意两个不同的数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果函数 $f(x)$满足$f(x_1) < f(x_2)$或$f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$[x_1, x_2]$上严格单调。
数学表达
数学函数的单调性
05
单调性的扩展知识
单调性与周期性
总结词
函数的单调性与周期性是两个相对独立的概念，但它 们之间也存在一定的联系。
详细描述
单调性是指函数在某一区间内的增减性，而周期性是指 函数按照一定的时间间隔重复出现的现象。虽然单调性 不直接决定函数的周期性，但它们在某些情况下会相互 影响。例如，一些周期函数可能在某些周期内表现出单 调性，而单调函数可能在不同的单调区间内具有不同的 周期。
总结词
单调性与函数值的大小关系是指，在单调递增的函数中 ，自变量x越大，函数值y也越大；在单调递减的函数中 ，自变量x越大，函数值y越小。
详细描述
单调性是描述函数值随自变量变化趋势的一种特性。对 于单调递增的函数，随着自变量x的增大，函数值y也相 应增大。这意味着在函数的整个定义域内，随着x的增加 ，y的值也持续增加。而对于单调递减的函数，随着x的 增大，y的值反而减小。这种单调性可以通过函数的导数 或微分进行判断。
单调性与不等式
总结词
单调性是解决不等式问题的关键因素之一，通过分析函数的单调性可以解决许多不等式问题。
详细描述
不等式是数学中一类重要的方程，通过分析函数的单调性可以解决许多不等式问题。例如，利用函数的单调递增 性质可以证明不等式，通过构造函数并在特定的区间内证明其单调递增，从而证明不等式的正确性。此外，利用 函数的单调性还可以求解一些不等式问题，例如求解一些函数的极值问题等。
要点二
详细描述
单调性的传递性是数学函数的一个重要性质。如果函数f在某 个区间I内单调增加，并且函数g在另一个区间J内也单调增加， 那么复合函数f○g（即f和g的复合函数）在f和g都有定义的区 间I∩J内也将单调增加。同样地，如果f和g都是单调减少的， 则f○g也将是单调减少的。
函数的单调性(定义法)
函数的单调性知识点：1.函数单调性定义(1).定义法,对任意的x1,x2∈D,D⊆I,x1＞x2 ,若f(x1)−f(x2)＞0则称f(x)在D 内是单增，若f(x1)−f(x2)＜0则称f(x)在D内是单减.(2). 对定义在D上的函数f(x),设x1,x2∈D, D⊆I , x1＜x2,则有：①f(x1)−f(x2)x1−x2＞0⇔f(x)是D上的单调递增函数；②f(x1)−f(x2)x1−x2＜0⇔f(x)是D上的单调递减函数.(注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.)2.复合函数的单调性：3.几种常见函数的单调性：f(x)=ax+bcx+d (abcd≠0,bc≠ad);f(x)=ax +bx(ab≠0)例1.多种方法判断下列函数的单调性：(1).f(x)=x + 1x x∈(0,1)(2).y=x−1xx∈（0，+∞）; (3).y=x3x∈R;(4).f(x)=axx²−1，x∈（-1,1）（a≠0）(5).f(x)=x+√1+x2，x∈R例2.(1).已知f(x)=x（x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a的x−a在区间[1，2]上都是减函数，求a的取值取值范围. (2).若f(x)=−x2+2ax,与g(x)=ax+1范围.(3).已知函数f（x）= √3−ax（a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则a−1实数a的取值范围.(4).已知函数f（x）=√x²+1–ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围。
函数的单调性
4.1、函数的单调性函数的单调性就是函数的一种增减性，主要看y 随x 的变化而发生的一种变化情况，简单的说当y 随x 的增大而增大时，就说y 是在相应的x 的取值范围内是增函数，对应的区间为其增区间；而当y 随x 的增大而减小时，我们就说y 是在相应的x 的取值范围内是减函数，对应的区间为其减区间。
A 、定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I 。
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。
如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。
B 、函数单调性的证明对于某区间内的函数的单调性，一般利用定义来证明，其基本步骤如下： （1）取值：设21,x x 为该区间内的任意两个值，并且21x x <；（2）作差变形：作差)()(21x f x f -，并利用因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差值的符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （4）下结论：根据函数的单调性的定义得出结论。
C 、函数单调性的判断判断函数单调性的常用方法有：（1）定义法：即“取值——变形——定号——下结论”；（2）图像法：先作出函数的图像，在利用图像的形象直观判断函数的单调性；（但应注意极值点及其拐点） （3）复合法：)(x f y =增 增 减 减（4）导数法：求出函数导数后，在令其导数大于零的x 的连续区间为其单调递增区间，令其导数小于零的x 的连续区间为其单调递减区间；4.1.1、函数单调性的判断与证明A 、函数单调性的证明：1、证明函数12)(+-=x x f 在R 上是减函数。
函数的单调性知识点
函数单调性知识点总结一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1. 函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。
(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。
函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。
⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)② y=f(x)在区间D 上是增函数,且x 1＜x 2 , f(x 1) ＜f(x 2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D 上是增函数,且f(x 1) ＜f(x 2 ), x 1＜x 2 。
(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。
实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
(1)定义法:利用增减函数的定义证明。
在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。
⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x 1 、x 2∈D,使x 1＜x 2 ; ②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。
求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。
函数的单调性
二、函数单调性的判断与证明 a 例2判断函数 f(x)＝x＋ (a>0)在(0，＋∞)上的单调性． x 【解析】解法一：定义法略，一般不用此方法． a a 解法二：f′(x)＝1－ 2，令 f′(x)≥0，则 1－ 2≥0， x x ∴x≥ a或 x≤－ a(舍)． a 令 f′(x)≤0，则 1－ 2≤0， x ∴－ a≤x≤ a，∵x>0，∴0<x≤ a. ∴f(x)在(0， a]上为减函数，在[ a，＋∞)上为增 函数．
三、函数单调性应用 例3 (1) 已知函数 f(x)＝ x2＋ 2(a－ 1)x＋ 2 在区间 (－ ∞，4]上是减函数，求实数 a 的取值范围． (2)已知函数 f(x)在实数集中满足 f(xy)＝f(x)＋f(y)， 且 f(x)在定义域内是减函数． ①求 f(1)的值； ②若 f(2a－3)<0，试确定 a 的取值范围．
【解析】依据函数解析式，通过判断定义域和单调 性，逐项验证． A 项，函数定义域为 R，但在 R 上为减函数，故不 符合要求；B 项，函数定义域为 R，且在 R 上为增函数， 故符合要求；C 项，函数定义域为(0，＋∞)，不符合要 求；D 项，函数定义域为 R，但在(－∞，0]上单调递减， 在[0，＋∞)上单调递增，不符合要求．
a 4．若函数 f(x)＝－x ＋2ax 与 g(x)＝ 在区间[1， x＋1 2]上都是减函数，则 a 的取值范围是( D ) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1] C．(0，1) D．(0，1] 【解析】∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，由图 象可知， 当 a≤1 时，f(x)在[1，2]上是减函数． a g(x)＝ ，当 a>0 时，在[1，2]上是减函数， x＋ 1 ∴a 的取值范围是(0，1]．
函数单调性的概念
在[0, )上单调增加； f (0) 0,
当x 0时， x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
利用单调性证明不等式的步骤： ①将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使 一端为0另一端即为所作的辅助函数f(x);
②求 f ( x ) 验证f(x)在指定区间上的单调性; ③与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证.
/
例3.设f (x) = ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的 取值范围，并求其单调区间.
解: f x 3ax 2 1,
若a 0, 则f x 在(-, )恒正, f x 只有一个单调区间,与题意不符.
1 1 1 2 若a<0,则f x 3a x x , 3a x 3a 3a 3a 1 1 a 0时, f x 有三个单调区间,(-,],[ , ) -3a -3a 1 1 为它的减区间, , 为它的增区间. -3a -3a
当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2, )上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [2, ).
2
x 0, ln( x 1 x ) ln 1 0
2
x 0时, f ( x) f ( x ) f (0) 0
x 0时,1 x ln( x 1 x ) 1 x .
2 2
例8.设f ( x), g ( x)在[a, b]上可导, 且f ( x) g ( x),
函数的单调性奇偶性与周期性
函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性 1． 单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时， ①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增； 如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。
二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。
5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。
T 是f (x )的一个周期。
若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。
数学人教B必修1第二章213 函数的单调性
2、1、3 函数的单调性1.函数单调性的概念一般地,设函数y＝f（x）的定义域为A，区间M⊆A、如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量Δx＝x2－x1＞0,则当Δy＝f（x2）－f（x1）＞0时,就称函数y＝f（x）在区间M上是增函数，如下图所示.当Δy＝f(x2)－f(x1)＜0时,就称函数y＝f(x）在区间M上是减函数，如下图所示.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)。
谈重点对函数单调性的理解1.函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间是定义域的子集。
如函数y ＝x2的定义域为R,当x∈[0,＋∞）时是增函数，当x∈（－∞，0）时是减函数。
2.函数单调性定义中的x1,x2有三个特征：一是任意性,即“任意取x1,x2”，“任意”二字决不能丢掉;二是有大小,即x1＜x2（x1＞x2）；三是同属一个单调区间，三者缺一不可。
3.单调性是一个“区间”概念,如果一个函数在定义域的几个区间上都是增（减）函数,但不能说这个函数在其定义域上是增（减)函数.如函数f（x)＝错误!在（－∞，0）上是减函数,在(0,＋∞)上也是减函数,但不能说f(x)＝错误!在（－∞,0)∪（0,＋∞)上是减函数.因为当x1＝－1，x2＝1时有f(x1)＝－1＜f(x2）＝1,不满足减函数的定义。
4.单调区间端点的写法:对于单独的一个点,由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减性变化，所以不存在单调问题，因此在写此单调区间时,包括端点可以,不包括端点也可以，但对于某些无意义的点,单调区间就一定不包括这些点。
【例1－1】下列说法不正确的有（）①函数y＝x2在（－∞，＋∞）上具有单调性,且在(－∞,0)上是减函数；②函数1=yx的定义域为（－∞,0)∪（0,＋∞)，且在其上是减函数；③函数y＝kx＋b(k∈R）在（－∞,＋∞)上一定具有单调性;④若x1，x2是f(x)的定义域A上的两个值,当x1＞x2时,有f(x1)＜f(x2),则y＝f（x）在A上是增函数.A.1个B.2个C.3个D。
函数的单调性ppt课件
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定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
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函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数的单调性
函数的单调性，是指函数在其定义域内某一区间上的取值是递增或递减的性质。
不强调区间的情况下，所谓的单调函数是指，对于整个定义域而言，函数具有单调性。
单调性的判定方法主要有两种：定义法和导数法。
定义法利用的是函数的增减性，即如果对于定义域内的任意两个变量x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)，则称该函数在区间D上为增函数；如果对于定义域内的任意两个变量x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≥f(x2)，则称该函数在区间D上为减函数。
导数法则是利用函数的导数来判断其单调性，如果函数在某区间内的导数大于0，那么这个函数在这个区间就是单调递增的；如果函数在某区间内的导数小于0，那么这个函数在这个区间就是单调递减的。
请详细解释函数的单调性
请详细解释函数的单调性函数的单调性是数学中比较重要的概念，也是许多数学模型的关键组成部分，它在众多应用领域中都有着广泛的应用，其中包括经济学、统计学、物理学等。
在数学中，函数的单调性指的是函数的变化是单一的，以及在函数的变化中，函数的任何一个时刻都是单调的。
换言之，函数的单调性意味着，在数学模型中，函数变量不可能具有不稳定的峰谷性质，因为在函数变化的某个时刻，函数的变化只有一个方向，没有其他变动。
关于函数的单调性有几种定义，其中最重要的是函数的单调递增和单调递减，换言之，函数的单调性可以表达为函数变量随函数输入的增加或减少，其输出都是呈现出单调的变化趋势。
从数学的角度来讲，函数的单调性可以用函数的导数来表示。
函数的单调性可以通过求函数的导数和次导数来确定。
如果函数的导函数在某一点处大于0，则表明函数在该点处是单调递增的，这意味着函数变量随函数输入的增加而增加；反之，如果函数的导数在某一点小于0，则表明函数在该点处处于单调递减的状态，这意味着函数变量随函数输入的增加而减少。
函数的单调性也可以用几何的视角来看，函数的单调性表明函数变量只能呈现单调的变化趋势，函数变量既不能在某一点处出现峰谷状态，也不能出现不稳定的变化，而且，函数变量只能朝着一个方向改变。
函数的单调性在实际应用中也有很多用处，比如，在经济学中，由于经济活动具有单调性，因此，在经济模型中，可以假定函数变量是单调的，即用户的消费行为是不可逆的，即消费行为只能前进而不能后退。
另外，在统计学领域，函数的单调性可以帮助统计分析师正确地估计统计模型中的参数，因为在单调性的函数中，统计数据的分布是均匀的，可以正确估计参数的值。
总而言之，函数的单调性是数学中一个重要的概念，它表明函数变量只有单调的变化，在诸多应用领域中也有着广泛的应用，比如经济学和统计学等，因此，函数的单调性是非常重要的。
函数的基本性质——单调性
3.4 函数的基本性质——单调性【知识解读】1、函数单调性的概念对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 )()(21x f x f <，那么就称)(x f 在区间I 上是单调增函数，区间I 称为函数)(x f 的单调 增区间。
对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 ，那么就称)(x f 在区间I 上是单调减函数，区间I 称为函数)(x f 的 。
2、函数单调性的运算：设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调增函数，则)()(x g x f +在21I I I 上单调增 设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调减函数，则)()(x g x f +在21I I I 上3、单调性与奇偶性：若奇函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 若偶函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 *4、复合函数单调性：同增异减。
【例题讲解】例1、证明函数()23+=x x f 在区间()+∞∞-,上是增函数。
例2、判别函数24xy =在区间),0(+∞上的单调性，并证明。
例3：判定函数()[]2,4,2-∈=x x x f 的单调性，并求出它的单调区间（不需证明）。
例4、已知函数x x x f +=3)(（1）判断并证明)(x f 在R 上的单调性 （2）方程1000)(=x f 有正整数解吗？为什么？例5、写出下列函数的单调区间（不需证明）（1）12)(+=x x f （2）2)1()(-=x x f（3）23)(2+-=x x x f （4）231)(-=x x f例6、已知函数a x a x x f 2)1()(2++-=在区间]1,2[-上单调递减，求实数a 的取值范围。
函数的单调性 → 曲线的单调性
函数的单调性→ 曲线的单调性函数的单调性是指在函数的定义域内，函数的取值随自变量的增减而有规律地增加或减小的特性。
函数的单调性在数学中具有重要的意义，可以帮助我们研究函数的图像和性质。
单调递增与单调递减函数的单调递增是指在函数的定义域内，随着自变量的增加，函数的取值逐渐增大。
用数学表达式表示，就是对于任意的x₁、x₂∈定义域，若 x₁ < x₂，则 f(x₁) ≤ f(x₂)。
函数的单调递减则相反，是指在函数的定义域内，随着自变量的增加，函数的取值逐渐减小。
用数学表达式表示，就是对于任意的x₁、x₂∈定义域，若 x₁ < x₂，则 f(x₁) ≥ f(x₂)。
曲线的单调性曲线的单调性是指曲线上每一点的切线斜率的变化趋势。
根据函数的导数与单调性的关系，我们可以通过求导来判断曲线的单调性。
如果函数在某一区间内的导数始终大于0，则该函数在该区间内为单调递增。
如果函数在某一区间内的导数始终小于0，则该函数在该区间内为单调递减。
如果函数在某一区间内的导数恒为0，则该函数在该区间内为水平（常数）函数，可以说该函数在该区间内既单调递增又单调递减。
判断曲线的单调性的方法判断曲线的单调性的方法主要有以下几种：1.求导法：通过计算函数的导数来判断曲线的单调性。
当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。
2.运算法则：根据函数的定义和运算法则，分析函数的性质并得出曲线的单调性。
3.图像法：通过观察曲线的图像，判断曲线在不同区间内的变化趋势，来推测曲线的单调性。
示例假设有一个函数 f(x) = x²，我们可以通过求导来判断该函数曲线的单调性。
首先求导得到 f'(x) = 2x，然后观察导数的符号就可以判断曲线的单调性：当 x < 0 时，f'(x) < 0，即函数在该区间内单调递减；当 x = 0 时，f'(x) = 0，即函数在该区间内为水平（常数）函数；当 x。
函数的单调性
2函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．题型一 函数单调性的判断例1 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．思维启迪 可根据定义，先设－1<x 1<x 2<1，然后作差、变形、定号、判断． 解 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数．思维升华 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．(1)证明 设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．(2)解 令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数． 由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 题型二 利用函数的单调性求参数例2 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－14B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．思维启迪 利用函数的单调性求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－14.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0a >1(2－a )×1＋1≤a， 解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3 (2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)答案 (1)C (2)B 解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0a ＋2≤－1，解得a ≤－3. (2)因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a <8，故选B.题型三 函数的单调性和最值例3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．思维启迪 抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(3)用函数的单调性即可求最值． (1)解 令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)解 ∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；(2)利用函数单调性可以求函数最值，若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最小值是f (a )，最大值是f (b )．(1)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x－1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．3C ．4D ．－1(2)函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.答案 (1)C (2)6解析 (1)根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在[12，＋∞)上单调递增，故f (x )在(－∞，12]上单调递减，则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. (2)易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. ∴a ＋b ＝6.题型四 函数单调性的应用函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维启迪 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f (M )<f (N )的形式． 规范解答(1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.[2分] f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分]∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数．[6分](2)解 ∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1， ∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1，[8分]f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4， ∴f (1)＝2，∴f (a 2＋a －5)<2＝f (1)，[10分]∵f (x )在R 上为增函数，∴a 2＋a －5<1⇒－3<a <2， 即a ∈(－3,2)．[12分]课堂强化1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减答案 C解析 作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)， 根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增．2．(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断． 当a ＝0时，f (x )＝|(ax －1)x |＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a >0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．3．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是________________________________________________________________________．答案 43，1解析 f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.4．函数y ＝log 2112(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为________．答案 (1，＋∞) 解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为(－∞，12)∪(1，＋∞)．令t ＝2x 2－3x ＋1，则y ＝log 21t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2(x －34)2－18，∴t ＝2x 2－3x ＋1的单调增区间为(1，＋∞)．又y ＝log 21t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝log 21 (2x 2－3x ＋1)的单调减区间为(1，＋∞).A 组 专项基础训练一、选择题1．函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．A 中，f (x )＝1x满足要求；B 中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f (x )＝e x 是增函数；D 中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数．2．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案 D解析 ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数， ∴a ≤1.①又g (x )＝(a ＋1)1－x 在[1,2]上是减函数．∴a ＋1>1，∴a >0.② 由①、②知，0<a ≤1.3．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．(0，34]C ．[0，34)D ．[0，34]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34，综上a 的取值范围是0≤a ≤34.4．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (1x )>f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 D解析 依题意得1x <1，即x －1x >0，所以x 的取值范围是x >1或x <0. 二、填空题5．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫32，4解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4，∵e>1，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.6．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是__________．答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0a ≥1⇒a ≥1. 7．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎪⎪⎪⎪1x >1， ∴1x >1或1x <－1，∴0<x <1或－1<x <0. 三、解答题8．函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)求g (t )的最小值．解 (1)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8； 当t ＋1<2，即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7.从而g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7 (t <1)，－8 (1≤t ≤2)，t 2－4t －4 (t >2).(2)g (t )的图象如图所示，由图象易知g (t )的最小值为－8.9．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，求函数的最大值和最小值．解 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－(－2x 2＋1)＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1).由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23.B 组 专项能力提升1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 D解析 由题意知a <1，∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax －2a ，当a <0时，g (x )在(1，＋∞)上是增函数， 当a >0时，g (x )在[a ，＋∞)上是增函数， 故在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )在(1，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1]解析 ∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a(x ≥a )，e －x ＋a (x <a )，∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数， 则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________． 答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数； 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1. 4．已知函数f (x )＝lg(x ＋ax －2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋ax －2>0，得x 2－2x ＋a x >0，a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋ax －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax 2>0恒成立，∴g (x )＝x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )＝lg(x ＋ax －2)在[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )＝lg(x ＋ax －2)在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴a >3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2. ∴a >2.5．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1)证明 任取x 1<x 2<－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2(x1－x2) (x1＋2)(x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)解任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1]．。
函数的单调性
函数的单调性xx年xx月xx日•函数的单调性概述•单调函数的性质•单调函数的应用目录•单调函数的证明•单调函数的扩展01函数的单调性概述•函数的单调性是指函数在某区间内单调递增或单调递减的性质。
如果函数在某区间内单调递增，则函数在该区间内的图形是上升的；如果函数在某区间内单调递减，则函数在该区间内的图形是下降的。
定义类型•函数的单调性主要有两种类型：单调递增和单调递减。
判断函数单调性的方法有多种，以下是其中两种常用的方法判断方法求导数法：如果函数在某区间内可导，且导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数在某区间内可导，且导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
定义法：根据函数单调性的定义，如果对于任意的$x_{1},x_{2}$满足$x_{1}<x_{2}$时，都有$f(x_{1})\leq f(x_{2})$（单调递增）或$f(x_{1})\geq f(x_{2})$（单调递减），则函数在该区间内单调。
01020302单调函数的性质单调函数的定义域和值域定义域单调函数的定义域是实数集的子集，即定义域可以是全体实数、正实数、负实数或零。
值域单调函数的值域是定义域上的子集，即值域可以是全体实数、正实数、负实数或零。
奇函数如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。
在单调函数中，奇函数关于原点对称，即对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)。
偶函数如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则称该函数为偶函数。
在单调函数中，偶函数关于y轴对称，即对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)。
如果一个函数满足f(x+T)=f(x)，则称该函数为周期函数，其中T为该函数的周期。
在单调函数中，周期函数是指存在一个正实数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)。
最小正周期对于单调函数而言，其周期性意味着该函数存在最小正周期，即存在一个最小的正实数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)。
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长郡中学高一第一学期第一次模块检测卷
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共I5小题，每小题3分.共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A {x |x 410x N }B {x |x 20m m N }++=∈==∈已知集合是与的公倍数，，，， 则A 与B 的关系是（ ）
2.已知S={X|X 是平行四边形或梯形}，A={X|X 是平行四边形}，B={X|X 是菱形}，C={X|X 是矩形}，下列式子不成立的是
A 、
B
C x1x ⋂＝｛是正方形｝
B 、∁A B={x|邻边不相等的平行四边形}，
C 、∁S A={x|x 是梯形}．
D 、A B C ⋃＝ 3.2U 3U R A {x |}B {x |x 12x 200}7
x x -==≤=-+<⋃-，已知集合0，，则（A B ）＝ A 、{}x |x 210x ≤>或 B 、{}x |x 210x ≤≥或
C 、{}x |x 27x <≥或
D 、{}x |x 37x ≤>或
4、下列每组函数中f （x ）与g （x ）相同的是 A.2
x f x 1g x 1x x
=-=-（），（） B. 33f x g x ()x x ==（）
，（） C. 0f x 1g x x ==（）
，（） D. 361x f x g x x x
==（），（）5.已知f(x)＝x 2+bx+c,且f(1)=f(3)=0,则f(x)的单调递减区间为（ ）
6、已知函数f(x)是定义在上的奇函数，当x>0时，()2f x (1)x x =-那么方程f(x)=0的实数跟个数为
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
7、已知集合2{1}A x x ==，{ax 10}B x ==－若A B A =，则实数a 的取值为
A 、1
B 、－1
C 、－1，1
D 、－1，0，1
8、已知13-33,x +x =x x -+=则
A 、85
B 、35
C 、18
D 、35±
9、化简2222(2)()a a a a ---+÷-的结果为
A 、1
B 、－1
C 、2211a a -+
D 、2211
a a +- 10、函数y 3x ＝与1y 3x
＝-的图像关于 A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y ＝x 对称 11、已知函数，则实数a 的取值范围是
A 、(,1)(2,)-∞-+∞
B 、(1,2)-
C 、(2,1)-
D 、(,2)(1,)-∞-+∞
12、设函数f(x)x ∈（R ）
为奇函数，()1f 12=，()()()f x+2f x f 2=+，则()f 5= A 、0 B 、1 C 、52
D 、5 13、若二次函数()2f x 21ax ax =++在[]3,2-上有最大值4，则实数a 的值为
A 、－3
B 、38
C 、
D 、 14、已知集合{y ()0}A x x y x =+=（，），{y 1}B x y ==（，），则A
B =
A 、{(1,1),(1,1)}--
B 、{(1,1)}-
C 、{(1,1),(0,1),(0,1),(1,1)}---
D 、{(1,1),(0,1),(0,1)}--
15、定义在(0,)+∞上的函数f(x)满足()()f 2x 2f x ＝，且当[)1,2x ∈时，f(x)＝2－x ，x 1、x 2是方程f(x)＝a （0<a 《1）的两个实根，则x 1－x 2不可能是
A 、30
B 、56
C 、80
D 、112
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上
16、已知函数()24x f x 1x +－＝，则它的定义域为 17、已知集合，当A 为非空集合时a 的取值范围是
18、一种产品的产量原来为a ，在今后m 年内，计划使产量每年比上一年增加p ％，则产量y 随年数x 变化的函数解析式为 ，定义域为 。
19、用min ｛a ，b ，c ｝表示a ，b ，c 三个数的最小者，设()f x min -2x+210-x x ≥＝｛，，｝(0) （1）f （3）＝
（2）若0《x 《8，记f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，则M+m ＝
20、若13x <<，
（1）方程①有解时a 的最大值为
（2）方程①有两个不同解时a 的取值范围是
三、解答艇：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
21.(本小题满分8分)
计算：
（1）43333133246339
（2）20.52037103720.12392748
π+++－－（）（）－
22.(本小题满分8分)
设全集U R ＝，已知集合2M (3)0)x =+≤｛x ｝,261N?{2()}2
x x x -== (1)求()U M N ⋂
(2)记集合()U A M N =⋂，已知{}B xla 1x 5a,a R =-≤≤-∈，若A B B ⋂=，求a 的取值范围.
23.(本小题满分8分)
已知函数()2x f x =，1()22x g x =
+ (1)求两数g(x)的值域.
(2)当f(x)=g (x)时，求2x 的值.
24.(本小题满分8分)
设函数()221
x f x a =-+ (1)求函数f(x)为奇函数时a 的值.
(2)探索f(x)的单调性、并使用单调函数定义给出证明.
(3)若关于x 的不等式()2f x kx 10-+>恒成立.求k 的取值范围.
25.(本小题满分8分)
已知某产品关税与市场供应量P的关系式近似地满足()
P x=(其
中，t为关税的税率，且
1
0,
2
t
⎡⎫
∈⎪
⎢⎣⎭，x为市场价格，b、k为常数)，当t＝
1
8
时的
市场供应量曲线如下：
(1)根据图象求k和b的值;
(2)若市场需求量为Q，它近似满足()
1 11-x
2
Q x2
=，当P=Q时的市场价格称为平衡价格，为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值。