结构动力学中的常用数值方法

第五章 结构动力学中的常用数值方法

5．1．结构动力响应的数值算法

...

.

0()(0)(0)M x c x kx F t x a x v ⎧

++=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩

当c 为比例阻尼、线性问题→模态叠加最常用。但当C 无法解耦，有非线性存在，有

冲击作用（激起高阶模态，此时模态叠加法中的高阶模态不可以忽略）。此时就要借助数值积分方法，在结构动力学问题中，有一类方法称为直接积分方法最为常用。所识直接是为模态叠加法相对照来说，模态叠加法在求解之前，需要对原方程进行解耦处理，而本节的方法不用作解耦的处理，直接求解。（由以力学，工程中的力学问题为主要研究对象的学者发展出来的）

中心差分法的解题步骤

1. 初始值计算

（1） 形成刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C 。

（2） 定初始值0x ，.

0x ，..

0x 。

（3） 选择时间步长t ∆，使它满足cr t t ∆<∆，并计算 02

1()

a t =

∆，112a t

=

∆，202a a =

（4） 计算.

..

001

1122t x x x x a a -∆=-

+

（5） 形成等效质量阵01M a M a C -

=+ （6） 对M -阵进行三角分解T M LDL -

= 2．对每一时间步长

（1） 计算时刻t 的等效载荷

2

1

()(

)t t t t

t Q Q K a M x a M

a C x -

-∆=--

-- （2） 求解t t +∆时刻的位移 ()T

t t t L D L x Q -

+∆=

（3） 如需要计算时刻t 的速度和加速度值，则

.

1()t t t t t x a x x +∆-∆=-

..

0(2)t t t t t t x a x x x +∆-∆=-+

若系统的质量矩阵和阻尼矩阵为对角阵时，则计算可进一步简化。

纽马克法的解题步骤

1.初始值计算

（1）形成系统刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C

（2）定初始值0x ，.

0x ，..

0x 。

（3）选择时间步长t ∆，参数γ、σ。并计算积分常数

0.5γ≥，20.25(0.5)δγ≥+ 02

1

a t

δ=∆，1a t

γδ=

∆，21

a t

δ=

∆

3112a δ

=

-，41a γδ

=-，5(2)2t a γ

δ

∆=

- 6(1)a t γ=∆-，7a t γ=∆

（4）形成等效刚度矩阵K -

01K K a M a C -

=++

（5）K -

矩阵进行三角分解 T K L D L -

= 2. 对第一时间步长

（1）计算t t +∆时刻的等效载荷

.

..

.

..

623145()()

t t t t t t t t t Q Q M a x a x a x C a x a x a x -

+∆=++++++ （2）求解t t +∆时刻的位移 ()T

t t t t L D L x Q -

+∆+∆=

（3）计算t t +∆时刻的加速度和速度

..

.

..

023()t t t t t t t x a x x a x a x +∆+∆=---

.

.

..

..

67t t t t t t x x a x a x +∆+∆=++

威尔逊-θ法的解题步骤

1. 初始值计算

（1）形成系统刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C

（2）定初始值0x ，.

0x ，..

0x 。

（3）选择时间步长t ∆，并计算积分常数

1.4θ= 02

6()

a t θ=∆，13

a t

θ=

∆，212a a =

32t

a θ∆=

，0

4a a θ

=

，2

5a a θ-=

63

1a θ

=-

，72

t a ∆=，2

86

t a ∆=

（4）形成等效刚度K -

01K K a M a C -

=++

（5）将等效刚度K -

进行三角分解 T K L D L -

= 2.对每一个时间步长

（1）计算t t +∆时刻的等效载荷

.

..

02()(2)t t t t t t t t t R Q Q Q M a x a x x θθ-

+∆+∆=+-+++

.

..

13(2)t t t C a x x a x +++ （2）求解t t +∆时刻的位移

()T

t t t t L D L x R θθ-

+∆+∆=

（3）计算在t t +∆时刻的加速度、速度和位移

..

.

..

456()t t t t t t t x a x x a x a x θ+∆+∆=-++

5．2 结构动力响应数值算法性能分析

对公式（5.1）描述的线性系统结构动力学问题，已经有证明对整个多自由度的积分，等价于将模态分解后对单自由度的积分的结果进行模态叠加，因此可以通过对单自由度问题的分析，来说明算法的特性，其中阻尼均假设为比例阻尼，这样，模态分解后的单自由度结构动力学方程为：

)(22t f x x x

=++ωξω （5-29） 以下算法的性能分析，均将算法用于这个方程。

5．2．1 算法用于结构动力学方程的有限差分表示

将数值计算方法应用于（5-29）, 即分别在相邻的不同时刻应用算法可得如下一般形式

k k k L Ay y +=+1 （5-30）