[学习]天津大学场论初步
天津大学 物理系研究生招生专业介绍
天津大学物理系研究生招生专业介绍物理系有光学、材料物理与化学、理论物理、凝聚态物理和生物物理等五个硕士点，拥有雄厚的师资力量。
光学硕士点☆专业介绍：1986年获理学硕士授予权，现有教授3人，副教授1人，主要学术方向包括：生物医学光子学、现代光学测试学与图像处理、量子光学与量子通讯、集成光电子学与导波光学、衍射光学及其应用。
这些学术方向涉及了目前光学前沿最活跃的研究领域，80年代刘书声、马世宁、胡洪璋、李希曾等教授后奠定的基础，20多年培养了近百名硕士研究生，承担了国家级国家各部委项目、国际自然科学基金、天津市自然科学基金、天津市科技攻关项目、横向研究课题等数十项。
目前有教授3人，副教授1人，讲师2人。
学科方向一、生物医学光子学生物医学光子学是光学与生物和生命科学交叉的新兴学科，它涉及光子与生物系统相互作用，以及这些光子携带的有关生物系统的结构与功能信息，还包括利用光子对生物系统进行的加工与改造等。
近期开展的研究工作侧重在研究用于生物医学测量的光谱技术。
学科方向二、量子光学与量子通讯由于量子信息处理的过程遵从量子物理原理，如叠加性、相干性、纠缠性、不可克隆定理等会在信息过程中发挥重要作用，使得量子信息系统的功能可突破现有的经典信息系统的极限。
因此量子信息技术的研究已引起各国政府，科学界和信息产业界的高度重视，成为当前量子信息科学研究的热点。
我们对量子光学的研究工作开始于80年代中期，近期的研究工作侧重在量子计算机和量子通讯中的纠缠光子的产生机制和特性。
学科方向三、现代光学测试学与图像处理本研究方向是（1）不同尺度现代光学测试方法与应用研究，以及与之密切相关的图像处理技术的研究。
包括光干涉信息的快速提取、计算及相应软件的编制。
（2）基于偏微分方程的图像分析方法的研究，包括图像识别、图像分割、图像重建、图像边缘提取等图像处理领域。
以及在光干涉图像、指纹和医学图像处理中应用研究。
学科方向四、集成光电子学与导波光学集成光电子学是光学的新兴分支，是与光子学、固体物理、材料科学密切相关的综合性学科。
场论课件
x
f (r ) y f ( r ) z f (r ) , f (r ) y r z r f (r ) f (r ) f (r ) grad f (r ) j k i z P y z x r 1 f (r ) ( x i y j z k ) o r y 1 x f (r ) r f (r ) r 0 r
由于
div r div( x i y j z k ) 3 xyz xyz grad grad e e ( yz i xz j xy k )
所以 n (3 , 2 , 2) 3 2 2 方向余弦为 cos , cos , cos 17 17 17 u u u 而 yz 9, 6, 6 M M x y M z M
u 所以 n
M
u u u ( cos cos cos ) x y z
在任一点M(x, y, z)的散度为
证明： 由奥-高公式 A d S P d y d z Q d z d x Rdx d y
S S
P Q R ( )dv x y z
又由中值定理得
P Q R P Q R V ( ) dV x y z x y z M *
指向数量场 在点 M 处的法向量，
M
u(M) 增大的一方.
u C
矢量场 grad u 称为由数量场u产生的梯度场. 注：
运算公式
(2) (Cu) Cu
(4) (uv) uv vu
u vu uv (5) ( ) v v2
例3.
处矢径 r 的模 , 试证
场论的基本概念
场论：物理空间与时间的理论
场论是物理学中的一个基本概念，它描述了物理现象中空间和时间的性质，以及物质和能量在空间和时间中的分布和运动。
场论提供了一种数学语言，用于描述物理现象中的变化和演化，以及物质和能量之间的相互作用。
场是一种物理量，它在空间和时间上具有变化。
例如，温度场、电场、磁场等都是场的一种表现。
场论中，场是一个广义的物理量，它可以表示任何类型的物理现象。
场论的基本概念包括场、场量、场值、场的变化、场的梯度、散度、旋度等。
场是一种广义的物理量，场量是场在不同点上的值，场的变化是场在不同点之间的大小和方向的差异。
场的梯度是场在不同点之间的变化率，散度是场在不同点上的向外扩散程度，旋度是场在不同点上的旋转程度。
在场论中，物理现象可以用场的方程来描述。
例如，牛顿第二定律和运动方程可以用场来描述物体的运动状态和受力情况。
麦克斯韦方程组可以用场来描述电磁现象中的电场和磁场的变化和相互作用。
场论在物理学中有着广泛的应用，它可以描述物理现象中的变化和演化，提供了一种数学语言来描述物理现象中的相互作用。
场论也为物理学中的其他领域提供了一种基础理论和工具，例如量子场论、相对论、凝聚态物理等。
总之，场论是物理学中的一个基本概念，它描述了物理现象中空间和时间的性质，以及物质和能量在空间和时间中的分布和运动。
场论提供了一种数学语言，用于描述物理现象中的变化和演化，以及物质和能量之间的相互作用。
硕士研究生硕士生理学院凝聚态物理(硕)专业培养方案(2018) - 天津大学
2
√√
S131GA06 17 应用统计学
2
√√
S131GA07 18 最优化方法
2
√√
S2105018
19 物理学知识与高新 技术
2
√√
S2165005
20 数据分析与数据挖 掘
2
√√
S221G019 21 中国哲学原著选读 2
√√
S3085020 22 中国传统文化
2
选 修 S4025002
23 专利实务与专利情 报分析
1
节 S1318005 39 学科前沿讲座
1
√√ √√ √√ √√
学分小计
550
全程总计
28 14 14 7 4 0 0 0 0
备注
否
外国语言与文学学 院
否
外国语言与文学学 院
否
理学院
否
理学院
三选二
否
理学院
是
马克思主义学院
否
数学学院
否
数学学院
否
数学学院
否
数学学院
否
数学学院
否
数学学院
否
理学院
选4学分
否
二.培养目标
培养具有扎实的凝聚态物理理论基础和系统深入的专业知识，能够从事科学研究工作，在凝聚态物理领域能够 做出高水平的成果，具有一定的国际视野和持续自我知识更新能力的德智体全面发展的人才。成为具有家国情怀 、全球视野、创新精神和实践能力的卓越人才和社会主义事业合格接班人。
三.培养方式及学习年限
培养方式：学术学位研究生的培养主要采取课程学习、科研训练、学术交流相结合的方式，实行导师个别指导 或导师团队指导。
硕士研究生 硕士生 理学院 凝聚态物理(硕)专业 培养方案 (2018)
天津大学教学进程安排(精仪学院)
4
五、集中实践类
课 程 类 别 课 程 性 质
课程名称
课程编号
学 分 4
总 学 时
40+2周
授 课 学 时
实 验 学 时
上 机 学 时
实 践 第一学年 学 1 2 时
各学期周学时分配 第二学年 第三学年 第四学年 短 1 2短 1 2短 1 2 2 2 2
课程设计 必 精密机械课程设计 必 测控电路课程设计 实习 集 中 实 践 类 必 必 必 选 选 选 选 毕业实习 机械工程训练基础 机械工程训练 电路设计与调试实践 C++程序设计实践 精密测试技术实践 微机应用技术实践 2020350 2010764 2010765 2020346 2020432 2020502 2020331 2020467 2020311 2020488
2310001-4
128 128 128 128
32+3周
4 5 2 3 0.5
2
2 2 3
32 32 8
32 3周 8
训 练 与 健 康 类 必 健康教育 小 计 4080001 0.5 9.5 8
168+3周
8 168
0.5 2.5
4
3
2
2
三、数学与自然科学类
课 程 类 别 课 程 性 质
课程名称
232 208 24 40 40 16 32 48 48 8 3 3 2 3 4
课 程 类 别
课 程 性 质
课程名称
课程编号
学 分 12 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 26.5
总 学 时
第二章 场论
第二章 场论2.1 场1.场的概念：若对全空间或其中的某一区域V 中每一点M ，都有一个数量（或矢量）与之对应，则称在V 上给定了一个数量场（或向量场）。
２.数量场的等值面、等值线设空间中的一数量场(,,)u x y z ,从后我们总假定它单值，连续且具有一阶连续的偏导数。
那么空间中u 取值相同的点在空间中是如何分布的呢？这些点满足方程 (,,)u x y z C ≡，其中Ｃ常数。
若u 一阶偏导数不全为0（这也可作为默认的假设），由隐函数存在唯一性定理可知方程(,,)u x y z C ≡中(,)z f x y =，称这一曲面为数量场(,,)u x y z 的等值面，曲面上所有点均满足(,,)u x y z C ≡。
随着常数C 选取的变化，方程(,,)u x y z C ≡对应着不同的等值面，因为C 可取遍了u 值域中的每一个值，所以数量场(,,)u x y z 所在的空间将被这族等值面所充满，这些等值面彼此互不相交（若相交的话u 就不是单值函数了）。
若空间中数量场为平面数量场(,)u x y ，(,)u x y C ≡表示了一条平面曲线，称为数量场(,)u x y 的等值线，显然平面数量场(,)u x y 所在的平面区域被一族等势线充满，这些等值线彼此不相交。
3.矢量场的矢量线、矢量面、矢量管ˆˆˆ(,,)(,,)(,,)(,,)x y z A x y z A x y z i A x y z j A x y z k =++为空间的一矢量场，在空间中作这样的曲线，使得曲线的任一点M 处切线的放向数是()A M的三个分量，即曲线满足微分方程：x y zdx dy dzA A A ==则称这样的曲线为矢量场(,,)A x y z 的矢量线。
由微分方程理论（解的存在与唯一性定理）我们可知x y zdx dy dz A A A ==的解是矢量线族，这族矢量线不仅存在，并且也充满了矢量场所在的空间区域，而且互不相交。
2.3 散度
求在单位时间内流向S 正面的流量 .
v
n
n
用元素法 .
ds
在单位时间内流经面积元素 dS 的流量元素 0 d (v n ) d S v dS
0 其中 dS n d S 为有向面积元素 .
v dS
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
Flux and Divergence of Vector Field
主要内容
1. 通量 2. 散度 教材：第2章 第3节
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
1
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
一、通量
不可压缩流体流速为 v (不变) ,
平面 上有洞面积为 s ,
> 0 (有正源) < 0 (有负源) = 0 (无源) 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合 曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系, 用来描 述空间某一范围内场的发散或会聚具有局域性质，不 能反映空间一点的情况.
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
7
《场论初步》
例1 已知矢量场 r xi yj zk ，求由内向外穿过
单位法向量为 n (指向正侧 ) .
n
v
s
在单位时间内从 s 中流过的流体的体积 (流量)
s v cos v n s
(1)
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
2
《场论初步》
§2.3
第03讲预备知识-场论1
e3
顺时针为负
置换符号说明： i、j 、k取值不同值时， εijk取1 或-1（6个），其余分量（21个）为零。即：
e2 e1 逆时针为正
ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1
ε 132 = ε 213 = ε 321 = −1
置换法则：任意2个自由指标对换后差一个负号 正负取值规律：按右图中，逆时针取值为正，顺时针取值为负。
a = ax i + a y j + az k
任意一点M的矢径 矢径微分
r = xi + yj + z k
M z y o x
a
dr = dxi + dyj + dzk
dr × a = 0
r
叉积为零：
这就是向量线的微分方程(Differential Equation) 在直角坐标系(System Of Rectangular Coordinates)当中表示为
可以列表表示：
e1
′ e1
e2
e3
α 11 α12 α13 α 21 α22 α23
α 31 α 32 α 33
ei′ = α ij e j ei = α ji e ′j
e′ 2
′ e3
上述关系可简写为：
同理，老坐标的单位向量可用新坐标的单位向量表示：
根据上述单位向量的性质和关系可导出：
ei ⋅ e j = e′ ⋅ e′j i
a ⋅ bc = (a ⋅ b)c = (b ⋅ a )c = c (a ⋅ b)
ab ⋅ cd = a (b ⋅ c )d = (b ⋅ c )ad = ad (c ⋅ b) c ⋅ ab ⋅ d = (c ⋅ a )(b ⋅ d ) = (b ⋅ d )(c ⋅ a )
数学物理中的场论
数学物理中的场论场论可以说是数学物理学中非常重要的一个分支，其主要研究的是具有空间分布性质的物理场，如电磁场、引力场、量子场等。
场论是数学和物理学高深复杂的交叉学科，其应用广泛，贯穿于整个物理学和工程学的各个领域。
首先，让我们来看一下什么是物理场。
物理场是由在空间中存在的物理量所构成的。
物理量指的是描述物理世界状态和性质的数或向量。
比如我们所熟悉的温度、速度、电场、电势等物理量，这些物理量都是可以在空间中建立起来的，它们随着位置的变化而变化，从而形成了物理场。
场论的基础概念是场和场量。
场是空间中各个点的物理量在某种范围内的集合，场存在于物理空间中。
物理学家常说的物质场是指物质状态在空间和时间上分布的物理量，比如说电磁场、流体力学场和引力场等等。
而更为基础的是标量场，即不随空间方向而变化的物理变量。
比如说温度场，电势场等等。
场量是指场在某一点的值或场的变化量，是一种与场相关的数值，比如说电荷、质量、能量等等。
场论主要分为经典场论和量子场论两个方面。
经典场论是研究电磁场、引力场和流体场等经典物理场的性质和相互作用的物理学理论。
它是在经典物理学范畴内发展起来的，在宏观世界中非常有效。
量子场论跟经典场论类似，试图描述宇宙中各种基本粒子的行为，它着重于描述物质粒子的行为，特别是声子、玻色子等量子粒子的行为。
量子场论与经典场论有很大的差别，其中最基本的差别是对物理量的测量不可能完全精确，因此基本粒子的性质在量子场论中是随机和模糊的。
场论的研究涉及到数学、物理学、天文学、化学、工程学等众多学科。
在数学中，场论使得微分方程、椭圆方程和双曲方程可以更加容易被处理。
在物理学中，场论首先被用来研究电磁波的性质。
后来，它被用来研究引力场以及基本粒子之间的相互作用，成为了研究宇宙学的重要工具。
总之，场论是数学物理学中至关重要的一个分支，它为了解自然世界的本质起到了至关重要的作用，目前仍在不断被推陈出新，拓展着我们对宇宙的认识。
场论基本公式范文
场论基本公式范文场论基本公式是描述物理领域中粒子相互作用的数学工具。
场论包括了量子场论和经典场论，其中量子场论是描述微观世界中基本粒子的相互作用的理论，而经典场论是描述宏观物理中连续介质的动力学方程的理论。
在这篇文章中，我将介绍一些场论中的基本公式，包括拉格朗日量、哈密顿量、场方程以及一些重要的对称性。
1. 拉格朗日量（Lagrangian）拉格朗日量是场论的一个重要概念，它描述了场的动力学。
对于一个标量场（scalar field），拉格朗日量可以写成：L=1/2(∂φ)^2-V(φ)其中，∂表示偏导数，φ是场变量，V(φ)是势函数。
拉格朗日量可以用来推导运动方程和守恒律。
2. 哈密顿量（Hamiltonian）哈密顿量是场论中描述能量和动量的重要量。
对于标量场，哈密顿量可以写成：H=∫d^3x(πφ-L)其中，π是场的共轭动量。
哈密顿量可以用来推导运动方程和量子态的演化。
3. 场方程（Field Equations）场方程是场论中描述场的运动的基本方程。
对于标量场，场方程可以由拉格朗日量导出：(∂^2/∂t^2-∇^2)φ=-∂V(φ)/∂φ其中，∂^2/∂t^2表示时间的二次偏导数，∇^2表示拉普拉斯算符。
场方程描述了场的演化。
4. 对称性（Symmetry）对称性在场论中起着重要的作用。
对称性的数学描述是场变换不改变物理系统的性质。
对称性可以导致守恒律和约束条件。
常见的对称性包括时间平移对称性、空间平移对称性和规范对称性。
以上是场论中的一些基本公式。
场论是描述自然界的重要理论，它在量子物理、高能物理、宇宙学等领域具有广泛应用。
深入理解场论的基本公式对于理解物理学的基本原理和解决实际问题是非常重要的。
地球物理场论
绪论
1
绪论
一、《地球物理场论》课程涉及的主 要研究领域 二、场论的应用和发展 三、学习的目的、方法及其要求 四、考核要求 五、矢量分析与场论
2
绪论
一、主要研究领域
地球 物理 场论 主要 研究
领域
引力场 稳定电场 稳定磁场 可变电磁场
3
绪论
牛顿在1687年发表 解释物体之间的相互作 用的引力的万有引力定 律。它把地面上物体运 动的规律和天体运动的 规律统一了起来，对以 后物理学和天文学的发 展具有深远的影响 。
39
绪论
4、 矢量场的环量和旋度
1）、环流（环量 ）
在矢量场 A 中，沿曲线c关于A 的线积分称为该矢量场
的环流 。
cA dlc A cosdl
环流表示闭合曲线内存在另 一种源——涡旋源
40
绪论
2）、 矢量场的旋度
考虑极限 lim c A dl S0 S 面元的方向、极限值的唯一性
•旋度的定义：
S
S
如果曲面是一个封闭曲面
S AdS
封闭曲面的通量表示在封闭曲面内存在通量源
36
绪论
2)、 矢量场的散度
散度的定义：如下的极限称为矢量场 A 在某点的散度，记为 divA 。
divA lim S AdS
V0 V
散度是通量体密度的概念，反映矢量场在该点处通量源的强度。
37
绪论
矢量场 A 的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量 A 的标
若所研究的物理量如流速、电场强度等在空间的分布不仅 需要确定其大小，同时还需确定它们的方向，即需要用一个矢 量来描述，则称为矢量场。
25
绪论
场的几何描述 矢量场 A(x, y,z) 的场线及场线方程
天津大学生物物理学简介
天津大学生物物理学简介
天津大学生物物理学简介
一、研究方向及硕士指导教师：
1.生物信息学（基因识别，基因组结构和DNA序列分析）。
指导教师：张春霆教授（博士生导师，第三世界科学院院士，中科院院士）。
2.药物设计（基于结构的药物计算机辅助设计）。
指导教师：甘一如教授。
二、专业特点：
以基因序列为基础，运用数学、物理、化学的概念、理论和方法，以计算机为工具研究生命现象中规律的交叉学科。
三、硕士期间主要课程及论文要求：
学位课包括：群论、场论方法、计算机技术及工程应用基础、现代物理学中的数理方法。
选修课包括：计算物理、多元统计分析、数字信号分析的`方法与实践、生物化学、生物信息学导论等。
完成的论文应能在国内外重点期刊上发表。
原则上只要求理论物理学毕业的本科生报考。
四、近年来主要科研项目和成果：
自1995年学科建立以来，共在国外发表SCI论文30余篇。
曾获国家自然科学二等奖一项，国家教委科技进步一等奖一项。
五、就业方向：
高校、科研单位、企业。
数学分析22.4场论初步(含习题及参考答案)
第二十二章 曲面积分4 场论初步一、场的概念概念：若对全空间或其中某一区域V 中每一点M ，都有一个数量(或向量)与之对应，则称V 上给定了一个数量场(或向量场).温度场和密度场都是数量场. 若数量函数u(x,y,z)的偏导数不同时为0, 则满足方程u(x,y,z)=c(常数)的所有点通常是一个曲面.曲面上函数u 都取同一个值时，称为等值面，如温度场中的等温面.重力场和速度场都是向量场. 设向量函数A(x,y,z)在三坐标轴上投影分别为：P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), 则A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 其中P , Q, R 为定义区域上的数量函数，且有连续偏导数.设向量场中的曲线L 上每点M 处的切线方向都与向量函数A 在该点的方向一致，即P dx =Q dy =Rdz, 则称曲线L 为向量场A 的向量场线. 如, 电力线、磁力线等都是向量场线.二、梯度场概念：梯度是由数量函数u(x,y,z)定义的向量函数grad u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 且grad u 的方向是使lu∂∂达到最大值的方向, 其大小为u 在这个方向上的方向导数. 所以可定义数量场u 在点M 处的梯度grad u 为在M 处最大的方向导数的方向，及大小为在M 处最大方向导数值的向量. 因为方向导数的定义与坐标系的选取无关，所以梯度定义也与坐标系选取无关. 由梯度给出的向量场，称为梯度场. 又数量场u(x,y,z)的等值面u(x,y,z)=c 的法线方向为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 所以 grad u 的方向与等值面正交, 即等值面法线方向. 引进符号向量： ▽=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ,,. 将之视为运算符号时, grad u=▽u.基本性质：若u,v 是数量函数, 则 1、▽(u+v)=▽u+▽v ；2、▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v. 特别地▽u 2=2u(▽u)；3、若r=(x,y,z), φ=φ(x,y,z), 则d φ=dr ▽φ；4、若f=f(u), u=u(x,y,z), 则▽f=f ’(u)▽u ；5、若f=f(u 1,u 2,…,u n ), u i =u i (x,y,z) (i=1,2,…,n), 则▽f=i ni iu u f∑=∇∂∂1. 证：1、▽(u+v)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂∂+∂∂+∂z v u y v u x v u )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v z u y v y u x v x u ,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,=▽u+▽v. 2、▽(uv)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z uv y uv x uv )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v u v z u y v u v y u x v u v x u ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v u y v u x v u,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂v z u v y u v x u ,,=u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,v=u(▽v)+(▽u)v. 当u=v 时，有▽u 2=▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v =2u(▽u).3、∵dr=dx+dy+dz, ▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴dr ▽φ=(dx+dy+dz)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=dz z dy y dx x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ=d φ. 4、∵▽f=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,, 又▽u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, f ’(u)=du df, ∴f ’(u)▽u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u du df ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,=▽f. 5、▽f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∑∑∑===n i i i n i i i n i i i z u u f y u u f x u u f 111,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ni i i i i i i z u u f y u u f x u u f 1,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂n i i i i iz u y u x u u f1,,=i n i iu u f∑=∇∂∂1.例1：设质量为m 的质点位于原点, 质量为1的质点位于M(x,y,z), 记OM=r=222z y x ++, 求rm的梯度. 解：rm∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛-r z r y r x r m ,,2.注：若以r 0表示OM 上的单位向量，则有r m∇=02r rm -, 表示两质点间引力方向朝着原点, 大小是与质量的乘积成正比, 与两点间的距离的平方成反比. 这说明引力场是数量函数r m 的梯度场. 所以称rm为引力势.三、散度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义数量函数D(x,y,z)=zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂, 则 称D 为向量函数A 在(x,y,z)处的散度，记作D(x,y,z)=div A(x,y,z).设n 0=(cos α, cos β, cos γ)为曲面的单位法向量, 则=n 0dS 就称为曲面的面积元素向量. 于是得高斯公式的向量形式：⎰⎰⎰VdivAdV =⎰⎰⋅SdS A .在V 中任取一点M 0, 对⎰⎰⎰VdivAdV 应用中值定理,得⎰⎰⎰VdivAdV =div A(M*)·△V=⎰⎰⋅SdS A , 其中M*为V 中某一点，于是有div A(M*)=VdSA S∆⋅⎰⎰. 令V 收缩到点M 0(记为V →M 0) 则M*→M 0, 因此div A(M 0)=VdSA SM V ∆⋅⎰⎰→0lim.因⎰⎰⋅SdS A 和△V 都与坐标系选取无关，所以散度与坐标系选取无关.由向量场A 的散度div A 构成的数量场，称为散度场.其物理意义：div A(M 0)是流量对体积V 的变化率，并称它为A 在点M 0的流量密度.若div A(M 0)>0, 说明在每一单位时间内有一定数量的流体流出这一点，则称这一点为源.反之，若div A(M 0)<0, 说明流体在这一点被吸收，则称这点为汇. 若向量场A 中每一点皆有div A=0, 则称A 为无源场.向量场A 的散度的向量形式为：div A=▽·A.基本性质：1、若u,v 是向量函数, 则▽·(u+v)=▽·u+▽·v ； 2、若φ是数量函数, F 是向量函数, 则▽·(φF)=φ▽·F+F ·▽φ；3、若φ=φ(x,y,z)是一数量函数, 则▽·▽φ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)), 则▽·(u+v)=zR R y Q Q x P P ∂+∂+∂+∂+∂+∂)()()(212121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P z R y Q x P 222111=▽·u+▽·v. 2、▽·(φF)=z R y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂)()()(ϕϕϕ=zR z R y Q y Q x P x P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ =φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P +(P ,Q,R)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ϕϕϕ=φ▽·F+F ·▽φ. 3、∵▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴▽·▽φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z z y y x x ϕϕϕ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.注：算符▽的内积▽·▽常记作△=▽·▽=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂，称为拉普拉斯算符, 于是有▽·▽φ=△φ.例2：求例1中引力场F=⎪⎭⎫⎝⎛-r z r y r x r m,,2所产生的散度场.解：∵r 2=x 2+y 2+z 2, ∴F=3222)(z y x m ++-(x,y,z),▽·F=-m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂333r z z r y y r x x =0.注：由例2知，引力场内每一点处的散度都为0(除原点处外).四、旋度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义向量函数F(x,y,z)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,, 称之为向量函数A 在(x,y,z)处的旋度, 记作rot A.设(cos α,cos β,cos γ)是曲线L 的正向上的单位切线向量t 0的方向余弦, 向量ds =(cos α,cos β,cos γ)ds= t 0dl 称为弧长元素向量. 于是有 斯托克斯公式的向量形式：⎰⎰SdS rotA ·=⎰Lds A ·.向量函数A 的旋度rot A 所定义的向量场，称为旋度场.在流量问题中，称⎰L A ·为沿闭曲线L 的环流量. 表示流速为A 的不可压缩流体在单位时间内沿曲线L 的流体总量，反映了流体沿L 时的旋转强弱程度. 当rot A=0时，沿任意封闭曲线的环流量为0，即流体流动时不成旋涡，这时称向量场A 为无旋场.注：旋度与坐标系的选择无关. 在场V 中任意取一点M 0,通过M 0作平面π垂直于曲面S 的法向量n 0, 且在π上围绕M 0作任一封闭曲线L, 记L 所围区域为D ，则有⎰⎰SrotA ·=⎰⎰DdS n rotA 0·=⎰LA ·. 又由中值定理有 ⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 其中 μ(D)为区域D 的面积, M*为D 中的某一点. ∴(rotA ·n 0)M*=)(·D A Lμ⎰.当D 收缩到点M 0(记作D →M 0)时, 有M*→M 0, 即有 (rotA ·n 0)0M =)(·limD A LMD μ⎰→ .左边为rot A 在法线方向上的投影，即为旋度的另一种定义形式. 右边的极限与坐标系的选取无关，所以rot A 与坐标系选取无关.物理意义：⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 表明向量场在曲面边界线上的切线投影对弧长的曲线积分等于向量场旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分. 即流体的速度场的旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分等于流体在曲面边界上的环流量.刚体旋转问题：设一刚体以角速度ω绕某轴旋转，则角速度向量ω方向沿着旋转轴，其指向与旋转方向的关系符合右手法则，即右手拇指指向角速度ω的方向，其它四指指向旋转方向. 若取定旋转轴上一点O 作为原点，则刚体上任一点P 的线速度v 可表示为v=ω×r, 其中r=OP 是P 的径向量. 设P 的坐标为(x,y,z),便有r=(x,y,z),设ω(ωx ,ωy ,ωz ), ∴v=(ωy z-ωz y,ωz x-ωx z,ωx y-ωy x), ∴rot v=(2ωx ,2ωy ,2ωz )=2ω或ω=21rot v.即线速度向量v 的旋度除去21, 就是旋转的角速度向量ω. 也即 v 的旋度与角速度向量ω成正比.基本性质：rot A=▽×A. 1、若u,v 是向量函数, 则 (1)▽×(u+v)=▽×u+▽×v ；(2)▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u ； (3)▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v)；(4)▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v.2、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则▽×(φA)=φ(▽×A)+▽φ×A.3、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则 (1)▽·(▽×A)=0, ▽×▽φ=0,(2)▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)),则(1)▽×(u+v)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂yP P xQ Q xR R zP P zQ Q yR R )()(,)()(,)()(212121212121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,,=▽×u+▽×v. (2)∵▽(u ·v)=▽(P 1P 2+Q 1Q 2+R 1R 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂++∂∂++∂∂++∂z R R Q Q P P y R R Q Q P P x R R Q Q P P )(,)(,)(212121212121212121 = ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂,122112211221x RR x R R x Q Q x Q Q x P P x P P,122112211221y RR y R R y Q Q y Q Q y P P y P P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z R R z R R z Q Q z Q Q z P P z P P 122112211221.又u ×(▽×v)=u ×⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,, = ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,21212121xRR z P R y P Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 2121212121212121,. v ×(▽×u)= ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,12121212xR R zP R yP Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 1212121212121212,. (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P 111v =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q x P P 212121212121212121,,(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; ∴▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u. (3)∵▽·(u ×v)=▽·(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2) =zP Q Q P y R P P R xQ R R Q ∂-∂+∂-∂+∂-∂)()()(212121212121=y P R y R P y R P y P R x R Q x Q R x Q R x R Q ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂+∂∂1221122112211221zQP z P Q z P Q z Q P ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+12211221.又v ·(▽×u)=v ·⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,=yP R xQ R xR Q zP Q zQ P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂121212121212;u ·(▽×v)=yPR x Q R x R Q z P Q z Q P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂212121212121;∴▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v).(4)∵▽×(u ×v)=▽×(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂y Q R R Q x R P P R x P Q Q P z Q R R Q z R P P R y P Q Q P )()(,)()(,)()(212121212121212121212121= ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂,1221122112211221zP R zR P zR P zP R yQ P yP Q yP Q yQ P,1221122112211221x QP x P Q x P Q x Q P z R Q z Q R z Q R z R Q ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂y R Q y Q R y Q R y R Q x P R x R P x R P x P R 1221122112211221; 又(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q xP P 212121212121212121,,;(▽·v)u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q xP 222u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y Q R x P R z R Q y Q Q x P Q z R P y Q P xP P 212121212121212121,,; (▽·u)v=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yQ R xP R zR Q yQ Q xP Q zR P yQ P xP P 121212121212121212,,; ∴▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v. 2、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则▽×(φA)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR )()(,)()(,)()(ϕϕϕϕϕϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂P yyP Q xxQ R xxR P zzP Q zzQ R yyR ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ,,=φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂P yQ xR xP zQ zR yϕϕϕϕϕϕ,,=φ(▽×A)+▽φ×A.3、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则(1)▽·(▽×A)=▽·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂y P x Q z x R z P y z Q y R x=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y P z x Q z x R y z P y z Q x y R x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z Q x x Q z y P z z P y x R y y R x =0. ▽×▽φ=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x y y x z x x z y z z y ϕϕϕϕϕϕ,,=0. (2)▽×(▽×A)=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂z Q y R y x R z P x y P x Q x z Q y R z x R z P z y P x Q y ,, =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂z y Q y R x R z x P y x P x Q z Q y z R x z R z P y P x y Q 222222222222222222,,; 又▽(▽·A)=▽⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R yQ xP=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂z R y Q x P z z R y Q x P y z R y Q x P x ,,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂+∂∂222222222222,,z R y z Q x z P z y R y Q x y P x z R y x Q x P ; ▽2A=△A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂222222222222222222,,z R y R x R z Q y Q x Q z P y P x P ;∴▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.五、管量场与有势场概念：对无源场A ，即div A=0，由高斯公式知，此时沿任何闭曲面的曲面积分都为0，这样的向量场称为管量场. 因为 在向量场A 中作一向量管，即由向量线围成的管状曲面， 用断面S 1, S 2截它，以S 3表示所截出的管的表面，即得到 由S 1, S 2, S 3围成的封闭曲面S ，于是有⎰⎰⋅SdS A =⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A +⎰⎰⋅外侧3S dS A =0. 又由向量线与曲面S 3的法线正交知,⎰⎰⋅外侧3S dS A =0.∴⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A =0, 即⎰⎰⋅内侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A . 等式说明，流体通过向量管的任意断面流量相同,∴称场A 为管量场. 如例2，由梯度rm ∇所成的引力场F 是管量场.概念：对无旋场A ，即rot A=0，由斯托克斯公式知，这时在空间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于0，该向量场称为有势场. 因为当rot A=0时，由定理22.7推得此时空间曲线积分与路线无关, 且有u(x,y,z), 使得du=Pdx+Qdy+Rdz, 即grad u=(P ,Q,R), u 称为势函数. 所以，若向量场A 的旋度为0，则必存在某势函数u ，使得grad u=A. 这也是一个向量场是某个数量场的梯度场的充要条件. 例1中引力势u=r m 就是势函数. ∴▽u=F=-⎪⎭⎫⎝⎛r z r y r x r m ,,2. 又▽×▽u ≡0, ∴▽×F=0, 它也是引力场F 是有势场的充要条件.若向量场A 既是管量场，又是有势场，则称其为调和场.例2中的引力场F 就是调和场. 若A 是一个调和场，则必有 ▽·A=0, ▽u=A. 显然▽·▽u=▽2u=△u=0, 即必有势函数u 满足222222z uy u x u ∂∂+∂∂+∂∂=0, 这时称函数u 为调和函数. 习题1、若r=222z y x ++, 计算▽r, ▽r 2, ▽r1, ▽f(r), ▽r n (n ≥3). 解：∵x r ∂∂=r x , y r ∂∂=r y , z r ∂∂=r z, ∴▽r=⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=r1(x,y,z); 记u=r 2=x 2+y 2+z 2, ∵x u ∂∂=2x, y u ∂∂=2y, zu ∂∂=2z, ∴▽r 2=▽u=2(x,y,z);记v=r1, ∵x v ∂∂=-3r x , y v ∂∂=-3r y , z v∂∂=-3rz , ∴▽r 1=▽v=31r -(x,y,z);∵x f ∂∂=f ’(r)r x , y f ∂∂=f ’(r)ry , z f∂∂=f ’(r)r z , ∴▽f(r)=f ’(r)r 1(x,y,z); ∴▽r n =nr n-1⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=nr n-2(x,y,z), (n ≥3).2、求u=x 2+2y 2+3z 2+2xy-4x+2y-4z 在O(0,0,0), A(1,1,1), B(-1,-1,-1)处的梯度，并求梯度为0的点. 解：∵x u ∂∂=2x+2y-4, y u ∂∂=4y+2x+2, zu∂∂=6z-4,∴在O(0,0,0), grad u=(-4,2,-4); 在A(1,1,1), grad u=(0,8,2); 在B(-1,-1,-1), grad u=(-8,-4,-10);又由2x+2y-4=0, 4y+2x+2=0, 6z-4=0, 解得x=5, y=-3, z=32, ∴在(5,-3,32), |grad u|=0.3、证明梯度的基本性质1~5. 证：见梯度的基本性质.4、计算下列向量场A 的散度与旋度：(1)A=(y 2+z 2,z 2+x 2,x 2+y 2)；(2)A=(x 2yz,xy 2z,xyz 2)；(3)A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++xy z zx y yz x . 解：(1)∵P=y 2+z 2, Q=z 2+x 2, R=x 2+y 2； ∴div A=x ∂∂(y 2+z 2)+y ∂∂(z 2+x 2)+z ∂∂(x 2+y 2)=0；又y ∂∂(x 2+y 2)-z ∂∂(z 2+x 2)=2y-2z; z ∂∂(y 2+z 2)-x∂∂(x 2+y 2)=2z-2x; x∂∂(z 2+x 2)-y ∂∂(y 2+z 2)=2x-2y. ∴rot A=2(y-z,z-x,x-y).(2)∵P=x 2yz, Q=xy 2z, R=xyz 2； ∴div A=x ∂∂(x 2yz)+y ∂∂(xy 2z)+z∂∂(xyz 2)=6xyz ；又y ∂∂(xyz 2)-z ∂∂(xy 2z)=x(z 2-y 2); z ∂∂(x 2yz)-x∂∂(xyz 2)=y(x 2-z 2); x∂∂(xy 2z)-y ∂∂(x 2yz)=z(y 2-x 2). ∴rot A=(x(z 2-y 2),y(x 2-z 2),z(y 2-x 2)).(3)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy z zx y yz x . ∵P=yz x , Q=zxy, R=xy z ；∴div A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z z =xyzx yz 111++； 又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z y -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y z =22xy z xz y -; ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z x =22yz x y x z-; ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x y =z x y z y x 22-. ∴rot A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---x y y x z x x z y z z y xyz 222222,,1.5、证明散度的基本性质1~3. 证：见散度的基本性质.6、证明旋度的基本性质1~3. 证：见旋度的基本性质.7、证明：场A=(yz(2x+y+z),zx(x+2y+z),xy(x+y+2z))是有势场并求其势函数.证：P=yz(2x+y+z), Q=zx(x+2y+z), R=xy(x+y+2z),y ∂∂[xy(x+y+2z)]-z∂∂[zx(x+2y+z)]=x 2+2xy+2xz-x 2-2xy-2xz=0; z ∂∂[yz(2x+y+z)]-x∂∂[xy(x+y+2z)]=2xy+y 2+2yz-2xy-y 2-2yz=0; x∂∂[zx(x+2y+z)]-y ∂∂[yz(2x+y+z)]=2xz+2yz+z 2-2xz-2yz-z 2=0.∴对空间任一点(x,y,z)都有rot A=(0,0,0)=0i+0j+0k=0, ∴A 是有势场. 由d[xyz(x+y+z)]=yz(2x+y+z)dx+xz(x+2y+z)dy+xy(x+y+2z)dz 知， 其势函数为u(x,y,z)=xyz(x+y+z)+C.8、若流体流速A=(x 2,y 2,z 2), 求单位时间内穿过81球面x 2+y 2+z 2=1, x>0,y>0,z>0的流量.解：设S 为所给81球面，S 1, S 2, S 3分别是S 在三个坐标面上的投影, 则 所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0+⎰⎰⋅11S dS n A +⎰⎰⋅22S dS n A +⎰⎰⋅33S dS n A =⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛球体81V divAdV=⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(2=⎰⎰⎰++103202sin )cos sin sin cos (sin 2dr r d d ϕϕθϕθϕϕθππ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2021)sin (cos 421πθθθπd =83π.注：其中n 0, n 1, n 2, n 3分别是S, S 1, S 2, S 3的单位法矢，显然有A|n i (i=1,2,3)，∴A ·n i =0，从而⎰⎰⋅iS i dS n A =0 (i=1,2,3), 于是所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0=83π.9、设流速A=(-y,x,c) (c 为常数)，求环流量： (1)沿圆周x 2+y 2 =1, z=0；(2)沿圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0.解：(1)圆周x 2+y 2 =1, z=0的向径r 适合方程r=costi+sintj+0k(0≤t ≤2π). ∵A ·dr=(-sinti+costj+ck)·(-sinti+costj+0k)dt=dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰π20dt =2π.(2)圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0的向径r=(2+cost)i+sintj+0k (0≤t ≤2π); ∵A ·dr=[-sinti+(2+cost)j+ck]·(-sinti+costj+0k)dt=(2cost+1)dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰+π20)1cos 2(dt t =2π.。
场论基本公式
4
5
定理 1 (Green公式)
D R2为平面有界闭区域； L为 D 的边界曲线 (也记作D), 是由有
限条分段光滑的简单闭曲线围成；
函数P, Q C 1(D);
则
D
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy
L
5
5
证 不失一般性，以下
y
C
y y2(x)
分三种情况作证明.
DB
(1) 先设积分区域 D是
1
3
再用Gauss公式
29
29
1
1 4 3
3
(1 1 1)dxdydz
x2 y2 z2 2
3 3
3
4
3. Stokes 公式
将Green公式推广至空间，Stokes 公 式给出了沿空间曲线C的第二型线积分与 C上所张开的曲面的面积分之间的关系。 ( C 作为该曲面的边界曲线也可记为 D )
22
22
例3 求曲面积分
I x3dydz y3dzdx (z3 x2 y2 )dxdy
S
其中(1) S为球面 x2 y2 z2 R2外侧；
(2) S为上半球面 z R2 x2 y2上侧 .
解 (1) 由Gauss公式，可得
I
V
x
(x3)
y
(
y3)
z
(z3
x2
y2 )dxdydz
Gauss公式给出空间区域 D上的三重积分与 其边界面 S (也记作 D) 上的第二型曲面积分 之间的关系。
定理 2（Gauss公式）设
D R3 为空间有界闭区域； D 的边界D 由分片光滑曲面组成；则 函数P, Q, R C 1(D);
场论基本概念与定理
场论基本概念与定理场论是关于场的描述和研究的一门学科，它是自然科学中的重要分支之一。
场是一种物理量，可以用于描述在空间和时间中的变化情况。
场论中涉及许多基本概念和定理，以下将依次介绍。
场的定义首先，我们需要了解场的定义。
场是指在每一个点上都有确定的数值的物理量，它可以用一个函数来表示。
例如，温度场、电场和磁场等都是场，它们在空间和时间上的变化情况可以由一个函数来描述。
场的分类场可以分为标量场和矢量场两种。
标量场是指只有大小而没有方向的场，比如温度场、压力场等；矢量场是指有大小和方向性的场，比如电场、磁场等。
场的强度场的强度是指场在某个点上的大小。
在标量场中，场的强度只有一个大小，而在矢量场中，场的强度有大小和方向。
例如，在电场中，电场强度表示电场在某个点上的大小和方向。
场的流量场的流量是指场在某个区域内通过的物质量或能量量。
例如，流体动力学中的流量指的是流体在某个区域内通过的质量；电磁学中的流量指的是电磁能在某个区域内通过的能量量。
场的高斯定理场的高斯定理是场论中的一项重要定理。
它表明，场通过一个封闭曲面（比如一个球面）的总流量等于该场在这个曲面内部的源的总量。
这个定理在物理学中有着很广泛的应用，比如在电磁学中可以用来计算电场或磁场在某个表面的总通量。
场的环路定理场的环路定理也是场论中的一项基本定理。
它表明，在一个封闭回路上绕行的场的积分等于该场在这个回路内部的代数和。
在电磁学中，环路定理可以用来计算电磁感应现象，也可以用来推导Maxwell方程组中的一个方程。
场的Maxwell方程组场的Maxwell方程组是介绍场的一系列重要方程。
它们描述了电动力学和磁学中电场、磁场和它们的相互作用。
Maxwell方程组包括四个方程，分别是电场的高斯公式、磁场的高斯公式、法拉第电磁感应定律和安培环路定理。
这些方程被广泛应用于物理学、化学和工程学等领域。
总之，场论是物理学中一门重要的学科，它描述场的变化和相互作用关系。
本科《场论初步》 教学大纲(16学时)
《场论初步》教学大纲课程名称（英文）：场论初步（ Field Theory）课程编码：B20911069课程类别：专业限选课学时：16学分：1考核方式：考查适用对象：通信专业一、课程性质、目的与任务：《场论初步》是高等院校通信专业一门重要的技术基础课程，也是一门工具课程。
本课程主要内容：矢量分析、场论。
本课程的任务是要求学生掌握矢量分析与场论方面的有关基本理论，并应用所学知识解决所从事专业及在科学、工程技术中实际问题的能力。
二、教学基本要求：（一）、矢量分析1．理解矢性函数、矢端曲线的概念；了解矢性函数极限及连续性概念.2．掌握矢性函数的导数与微分的求法，了解导矢的几何意义与物理意义.3．掌握矢性函数的积分求法.（二）、场论1．理解场的概念、数量场的等值面及矢量场的矢量线的概念.2．掌握数量场的梯度的物理意义，掌握梯度的求法及与方向导数的关系.3．掌握矢量场的散度的物理意义，掌握散度的求法及与通量的关系.4．掌握矢量场的旋度的物理意义，掌握旋度的求法及与环量的关系.5．知道几种重要的矢量场（有势场、管形场、调和场）.三、课程内容与学时分配：（一）、矢量分析（2学时）1．矢性函数.2．矢性函数的导数与微分.3．矢性函数的积分.（二）、场论（12学时）1．场.2．数量场的梯度与方向导数.3．矢量场的散度与通量.4．矢量场的旋度与环量.5．几种重要的矢量场（有势场、管形场、调和场）.（三）、考试（2学时）五、实践性教学内容的安排与要点：本课程无实践性教学活动。
六、课程教学其它有关问题的说明与建议：1．本课程与其相关课程的联系与分工：本课程是多元函数微积分学的延伸与高等数学、线性代数、复变函数等课程具有密切的关系，它是高等工科学校通信等专业一门重要的技术基础课程及工具课程，通过本课程的学习，使学生掌握矢量分析与场论方面的有关知识及基本方法，为后继课程：电工学、电磁学、电动力学、流体力学的学习奠定良好的基础。
场论和宏观场论-概述说明以及解释
场论和宏观场论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括以下信息：场论是物理学和数学中的一个重要分支，它研究的是各种物理量的时空分布，并描述它们随时间和空间的变化规律。
场论的引入使我们能够更好地理解自然界中的各种现象，并为我们提供了解释和预测宏观世界的新方法。
本文将重点介绍场论以及它在宏观领域的应用，即宏观场论。
场论作为一种研究方法，可以广泛应用于物理学、化学、生物学、经济学等多个领域。
它的核心思想是将物质和能量视为场的传播和相互作用，从而揭示了宏观世界中复杂现象背后的规律。
在场论中，我们将物理量视为场，即空间中的标量场、矢量场或张量场。
这些场可以是连续的、定态的，也可以是随时间和位置变化的动态场。
而场的性质和特点则决定了它们所描述的物理现象的行为和规律。
宏观场论则是将场论的方法应用于大尺度、大体积的系统中，以研究其宏观性质和行为。
宏观场的概念引入了统计物理的思想，通过对大量微观粒子的平均行为进行描述，从而揭示宏观系统的宏观行为和宏观规律。
宏观场论在物理学、化学、生物学等领域都有着广泛的应用。
在物理学中，它被用来描述电磁场、引力场、量子场等各种场的相互作用和传播规律。
在化学中，它被用来研究物质的相变、反应动力学等宏观性质。
在生物学中，它被用来分析生物体内的电信号传导、化学信号传递等过程。
通过本文的研究，我们将深入探讨场论和宏观场论的重要性，并展望未来的发展方向。
希望通过对场论和宏观场论的探索，我们能够更好地理解和解释自然界中的各种现象，为人类社会的发展提供新的思路和方法。
文章结构部分的内容可以描述文章的整体框架和各个章节的内容安排。
可以参考以下内容：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述场论和宏观场论的相关内容：第一部分：引言在引言中，我们将首先概述场论和宏观场论的背景和发展，介绍它们在物理学、社会科学和生物学等领域的应用。
然后，我们将简要叙述本文的结构，概括各个章节的内容，以便读者对全文有一个整体的了解。
理论物理中的场论研究
理论物理中的场论研究在理论物理的研究领域中，场论是一种非常重要的理论框架。
场论通过研究场的性质和规律来解释自然界中的现象，并且在不同领域中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将会介绍场论的基本概念和研究热点，并探讨场论在现代物理学中的重要意义。
场论的基本概念场指的是一种具有空间分布的物理量，例如磁场、电场、重力场等等。
场论就是研究这些场的性质和演化规律的学科。
在场论中，我们通常会涉及到许多基本概念，比如场的强度、场的能量、场的守恒性等等。
其中最重要的概念就是拉格朗日密度。
拉格朗日密度是场论中非常关键的概念，它可以用来描述系统的运动方程和能量守恒等关键属性。
在场论中，拉格朗日密度通常是场的函数，并且由该场的动力学方程所决定。
通过对拉格朗日密度的研究，我们可以推导出系统的基本运动方程和守恒律，从而更好地理解周围的自然环境。
场论的研究热点在场论的研究中，最受关注的热点之一就是统一场论。
统一场论是一种试图将不同物理场统一起来的理论框架，例如将电磁力和弱力相统一为电弱力，或者将电弱力和强力相统一为一种理论等等。
这种统一的理论框架被认为是物理学的终极目标。
另一个重要的研究热点是超对称场论。
超对称场论是一种试图用超对称性（一种将费米子和玻色子联系在一起的对称性）来统一粒子物理和引力物理的理论框架。
这种理论框架非常具有前瞻性，并被认为可能是未来物理学的一个关键方向。
场论的重要意义场论在物理学中具有非常重要的意义。
首先，场论可以用来解释很多物理现象。
例如，磁场和电场的作用、重力场的作用等等。
其次，场论还可以帮助我们研究时间和空间的本质，从而更好地理解自然界中的运动和变化规律。
此外，场论还在研究现代物理学中扮演着非常关键的角色，例如在量子场论、弦论、宇宙学等领域中，场论都具有举足轻重的地位。
总的来说，场论是一种非常重要的理论框架，被广泛应用于各个领域中。
通过对场论的研究，我们可以更好地理解自然界的运动和演化规律，并探索出更多前沿的研究课题。
天津大学《工程光学》学习指南
第一章几何光学的基本定律和成像概念一．教学要求通过本章4课时的授课，应使学生掌握几何光学的基本定律（光的直线传播定律、独立传播定律、反射定律和折射定律），光的全反射性质，费马原理、马吕斯定律以及二者与几何光学基本定律之间的关系；明确完善成像概念和相关表述；会熟练应用符号规则进行单个折射球面的光线光路计算，掌握单个折射球面和反射球面的成像公式，包括物像位置、垂轴放大率β、轴向放大率α、角放大率γ、拉赫不变量等公式及其各量的物理意义，并推广到共轴球面系统的成像计算。
二．重点难点1．几何光学的基本定律光是一种电磁波，它在介质中的传播规律可概括为以下四个基本定律：直线传播定律，独立传播定律、反射定律和折射定律。
4个定律的内容、实例和适用条件。
折射率的概念。
费马原理和马吕斯定律从另外的角度描述了光在介质中的传播规律，它们与几何光学的四个基本定律是完全等价的，可以相互推导证明。
2．成像的基本概念与完善成像条件光学系统的作用之一是对物体成像。
若一个物点对应的一束同心光束，经光学系统后仍为同心光束，该光束的中心即为该物点的完善像点。
物体上每个点经光学系统后所成完善像点的集合就是该物体经光学系统后的完善像。
物所在的空间称为物空间，像所在的空间称为像空间，物像空间的范围均为（-∞，+∞）。
物像有虚实之分，由实际光线相交所形成的物或像为实，由光线的延长线相交所形成的物或像为虚。
【其中物像空间和物像虚实的判断是难点】光学系统成完善像应满足以下三个条件之一：1）入射波面是球面波时，出射波面也是球面波。
2）入射是同心光束时，出射光也是同心光束。
3）物点及其像点之间任意两条光路的光程相等。
3．几何光学中的符号规则和单个折射球面的光线光路计算为保持几何光学公式的一致性和讨论问题的方便，特确定了如下的符号规则：1）光线的传播方向由左向右。
沿轴线段以折射面顶点为原点度量，若与光线的传播方向相同，其值为正，反之为负；2）垂轴线段以光轴为基准，在光轴以上为正，光轴以下为负；3）光线与光轴的夹角用由光轴转向光线形成的锐角度量，顺时针为正，逆时针为负；4）光线与法线的夹角用由光线转向法线形成的锐角度量，顺时针为正，逆时针为负；5）光轴与法线的夹角用由光轴转向法线形成的锐角度量，顺时针为正，逆时针为负；6）折射面间隔从前一面的顶点到后一面的顶点，与光线的传播方向相同，其值为正，反之为负。