6二阶电路的零输入响应

6二阶电路的零输入响应5.6.1二阶电路的初始条件初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几个方面。

第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压C u 的极性和流过电感电流L i 的方向；第二，电容上的电压总是连续的，即)0()0(-+=C C u u （5-31）流过电感的电流也总是连续的，即)0()0(-+=L L i u （5-32）确定初始条件时，首先要用（5-31）和（5-32）式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。

5.6.2R L C 串联电路的零输入响应如图5-37所示为RLC 串联电路。

开关S 闭合前，电容已经充电，且电容的电压0U u C =，电感中储存有电场能，且初始电流为0I 当0=t 时，开关S 闭合，电容将通过L R 放电，其中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通过R 转换成电场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。

+-L u C图5-37 RLC 串联电路的零输入响应由图5-37所示参考方向，据KVL 可得0=++-L R C u u u且有dt du C i C C -=，dt du RC Ri u CR ==，dtu d LC dt di L u C L 2-==。

将其代入上式得022=++C C C u dtduRC dt u d LC式（5-33）是RLC 串联电路放电过程以C u 为变量的微分方程，为一 个线性常系数二阶微分方程。

如果以电流i 作为变量，则RLC 串联电路的微分方程为022=++i dtdi RC dt i LC d （5-34）在此，仅以C u 为变量进行分析，令Aeu ptC =，并代入（5-33），得到其对应的特征方程012=++RCp LCp求解上式，得到特征根为LC L R L R P LC L R L R P 1221222221-⎪⎭⎫⎝⎛--=-⎪⎭⎫⎝⎛+-= （5-35）因此，电容电压C u 用两特征根表示如下：t p t p C e A e A u 2121+= （5-36）从式（5-35）可以看出，特征根1p 、2p 仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。

1p 、2p 又称为固有频率，单位为奈培①每秒）（s N P /，它与电路的自然响应函数有关。

根据换路定则，可以确定方程（5-33）的初始条件为000U u u C C ==-+）（）（，0)0()0(I i i ==-+，又因为dt du Ci CC -=，所以有CI dt du CC 0-=。

将初始条件和式（5-36）联立可得⎪⎭⎪⎬⎫-=+=+C I p A p A U A A 02211021（5-37） 首先讨论有已经充电的电容向电阻电感放电的性质，即00≠U 且00=I 。

有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=1201212021p p U p A p p U p A （5-38） 将1A 、2A 的表达式代入（5-36）式即可得到RLC 串联电路的零输入响应，但特征根1p 、①奈培是一个无量纲单位，以奈培（John Napier,英格兰数学家）的名字命名。

2p 与电路的参数R 、L 、C 有关，根据二次方程根的判别式可知1p 、2p 只有三种可能情况，下面对这三种情况分别讨论1.CLR 2>，过阻尼情况 在此情况下，1p 、2p 为两个不相等的实数，电容电压可表示为()t p t p C e p e p p p U u 2112120--=（5-39）根据电压电流的关系，可以求出电路的其他响应为()t p tp C e e p p p p CU dt du Ci 2112210---=-= )()(21120t p t p e e p p L U ---= （5-40）()t p t p L e p e p p p U dt di Lu 2121120---== （5-41） 其中利用了LCp p 121=的关系。

由于21p p >，因此0>t 时，e e tp t p 21>-，且0121122>->-p p p p p p 。

所以0>t 时Cu 一直为正。

从（5-40）可以看出，当0>t 时，i 也一直为正，但是进一步分析可知，当0=t 时，0)0(=+i ，当∞→t 时，0)(=∞i ，这表明)(t i 将出现极值，可以求一阶导数得到，即02121=-t p t p e p e p故 1212max ln 1p pp p t -=其中max t 为电流达到最大的时刻。

C u 、i 、L u 的波形如图5-38所示。

图5-38 过阻尼放电过程中C u 、i 、L u 的波形从图5-38可以看出，电容在整个过程中一直在释放储的电能，称之为非振荡放电，有叫做过阻尼放电。

当m t t <时电感吸收能量，建立磁场；m t t >时，电感释放能量，磁场衰减，趋向消失。

当m t t =时，电感电压过零点。

2. CLR 2<，欠阻尼情况当CLR 2<时，特征根1p 、2p 是一对共轭复数，即 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫--=⎪⎭⎫⎝⎛---=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-=ωαωαj LC R LC j L k p j LC R LC j L k p 22211212 （5-42）其中：LCR=α称之为振荡电路的衰减系数； 221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=L R LC ω称之为振荡电路的衰减角频率。

LC10=ω称之为无阻尼自由振荡角频率，或浮振角频率。

显然有2220ωαω+=，令⎪⎭⎫⎝⎛=αωθarctan ，则有θωαcos 0=，θωωsin 0=，如图5-39所示。

ωαωθ图5-390ωωθα，，，之间的关系根据欧拉公式⎪⎭⎪⎬⎫-=+=-θθθθθθsin cos sin cos j j e e j j （5-43） 可得ej p θω--=01 ，ej p θω02-=所以有 ()t p t p C e p e p p p U u 2112120--==()()[]t j j t j j e e e e j U ωαθωαθωωω--+-+--0002=()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-200j e e eU t j t j tθωθωαωω =)sin(00θωωωα+-t e U t （5—44） 根据式（5-40），（5-41）可知)sin(0t e LU i tωωα-=（5-45） )sin(00θωωωα--=-t e U u t L （5-46）从上述情况分析可以看出，C u 、i 、L u 的波形呈振荡衰减状态。

在衰减过程中，两种储能元件相互交换能量，如表5-2所示。

C u 、i 、L u 的波形如图5-40所示。

图5-40 欠阻尼情况下C u 、i 、L u 的波形表5-2从欠阻尼情况下 c u 、i 、L u 的表达式还能得到以下结论：（1） πωk t =，........3,2,1,0=k 为电流i 的过零点，即C u 的极值点。

（2） θπω+=k t ，........3,2,1,0=k 为电感电压L u 的过零点，即电流i 的极值点。

（3） θπω-=k t ，........3,2,1,0=k 为电容电压C u 的过零点。

在上述阻尼的情况中，有一种特殊情况，0=k ,此时1p 、2p 为一对共轭虚数，01ωj p =02ωj p -=代入到（5-44），（5-45），（5-46）式可得)2sin(00πω+=t U u C （5-47）)sin(00t LCU i ω= （5-48） )2sin(00πω+=t U u L（5-49）由此可见，c u 、i 、L u 各量都是正弦函数，随时推移其振幅并不衰减。

其波形如图5-41所示U图5-41 LC 零输入电路无阻尼时C u 、i 、L u 波形3.CLR 2=，临界阻尼情况 在此条件下，特征方程具有重根，即2221-=-==LRp p 全微分方程（5-33）的通解为t C e t A A u 221)(-+=根据初始条件可得01U A = 022U A =所以，很容易得到t C e t U u αα-+=)1(0（5-50）e tC t L U dt du Ci α-=-=0 （5-51） )1(0t e U dt diL u t L αα-==- （5-52）显然，C u 、i 、L u 不作振荡变化，随着时间的推移逐渐衰减，其衰减过程的波形与图5-38类似。

此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线，所以将CLR 2=的过程称为临界非振荡过程，其电阻也被称之为临界电阻。

§5.7二阶电路的零状态响应如果二阶电路中动态元件的储能（电容储存电场能与电感储存的磁场能）均为零时，其响应仅由外施激励产生，称为二阶电路的零输入响应。

5.7.1R L C 串联电路的零状态响应电路如图5-47所示，开关S 闭合前，电容和电感电流均为零。

0=t 时，开关S 闭合。

+-C u图5-47 RLC 串联电路的零状态响应以C u 为电路的变量，根据VCR 和KVL ，有s C C C U u dtduRC dt u d LC =++22 （5-63）方程（5-64）为二阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成，一部分为非齐次方程的特解S CU u ='，另一部分为对应齐次方程的通解pt C Ae u =''，即C C C u u u ''+'=。

方程（5-63）对应的齐次微分方程022=++C C C u dtduRC dt u d LC （5-64）方程（5-64）与方程（5-33）完全相同，其对应的特征方程的根也有三种情况。

将结论分别表示如下1.CLR 2>，非振荡充电过程 电路响应表示为S t p t p SC U e p e p p p U u +--=)(211221)()(2121t p t p Se e p p L U i --=)(212121t p t p SL e p e p p p U u --=其中1p 、2p 为特征根，表达式与（5-35）式相同。

L u 、i 和C u 的波形如图5-48所示，图5-48L u 、i 和C u 的波形图其中 max 1212max ln 1t p p p p t -=，是电感电压过零点，也是电流i 达到最大值的时刻。

2.CLR 2<，振荡充电过程 电路响应表示为S t C C U e t u u ++=-2)21(tS te LU i 2-= )1(t e u u t S L αα-=-其中LR2=α，此情况下的充电过程也为非振荡充电。