高考数学 专题突破 第一部分专题五第一讲 直线与圆 理

表现形式 位置关系
几何表现：圆 心距d与r1，r2
的关系
代数表现：两圆方 程联立组成的方程
组的解的情况
相离 外切 相交
内切
内含
d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋
r2 d＝|r1－ r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－ r2|(r1≠r2)
无解 有一组解 两组不同实数解
有一组解
解析：由题意可设圆心A(a，a)，如图，则22＋a2 ＝2a2，解得a＝±2，r2＝2a2＝8.所以圆C的方程 是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.
答案：(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2
＝8
热点三 直线与圆的位置关系
例3 (2011年高考课标全国卷)在平面直角坐标
(2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0； l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－ a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.
()
A．2x＋y－6＝0
B．x－2y＋7＝0
C．x－y＋3＝0
D．x＋2y－9＝0
【解析】 (1)∵抛物线 y2＝4x 的焦点是(1,0)，直 线 3x－2y＝0 的斜率是32，∴直线 l 的方程是 y＝32 (x－1)，即 3x－2y－3＝0.
(2)取直线 2x－y＋2＝0 上一点 A(0,2)，设点 A(0,2) 关于直线 x＋y－5＝0 对称的点为 B(a，b)．
第一部分 方略
专题突破
专题五 解析几何
第一讲 直线与圆
主干知识整合
1．两直线平行、垂直的判定
(1)①l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直 线斜率存在，且不重合)，则有l1∥l2⇔k1＝ k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②若两直线的斜率都不存在，并且两直线不 重合时，则两直线平行；若两直线中，一条 直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在时 ，则两直线垂直．
系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都 在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且 OA⊥OB，求a的值．
【解】 (1)曲线 y＝x2－6x＋1 与 y 轴的交点为 (0,1)， 与 x 轴的交点为(3＋2 2，0)，(3－2 2，0)． 故可设 C 的圆心为(3，t)， 则有 32＋(t－1)2＝(2 2)2＋t2，解得 t＝1. 则圆 C 的半径为 32＋t－12＝3. 所以圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
离大于1，故圆的半径大于1，可排除D.故选C.
【答案】 C
【归纳拓展】 求圆的方程一般有两类方法： (1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆 与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程 ；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程 ，再由条件求得各系数．求圆的方程一般采用 待定系数法．
变式训练2 设圆C同时满足三个条件：①过原点 ；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4 ，则圆C的方程是__________．
(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注 意防止由于“无斜率”造成丢解．
变式训练1“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1 ＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线 3x＋ay＋3＝0垂直，则a×3＋(2a－1)×a＝0， 解得a＝0或a＝－1. 故a＝－1是两直线垂直的充分而不必要条件．
则2ba－＋a b2＋ ＝2 21－5＝0
，解得ab＝ ＝35 ，∴B(3,5)．
联立方程，得2x＋x－y－y＋52＝＝00 ，解得xy＝＝41 ，
∴直线 2x－y＋2＝0 与直线 x＋y－5＝0 的交点为 P(1,4)，∴反射光线在经过点 B(3,5)和点 P(1,4)的 直线上，其直线方程为 y－4＝14－－35(x－1)，整理 得 x－2y＋7＝0，故选 B.
无解
高考热点讲练
热点一 直线的方程
例1 (1)经过抛物线y2＝4x的焦点且平行于直 线3x－2y＝0的直线l的方程是( )
A．3x－2y－3＝0
B．6x－4y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0
D．2x＋3y－1＝0
(2)一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋
y－5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组
x－y＋a＝0，
x－3
2＋y－12＝9.
消去 y，得方程 2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式 Δ＝56－16a－4a2>0.
热点二 圆的方程
例2 已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为(
) A．(x± 33)2＋y2＝43
B．(x±33)2＋y2＝13
C．x2＋(y± 33)2＝43
D．x2＋(y± 33)2＝13
【解析】 依题意得，圆心C在y轴上(如图所示) ，故可排除A、B，又圆心C到圆上的点A(1,0)的距
方法 位置 关系
相交 相切 相离
几何法：根据 d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2 与 r 的大小关系
d<r d＝r d>r

2＋y－b2＝r2
消元得一元二次方程 的判别式 Δ 的符号
Δ>0 Δ＝0
Δ<0
3.圆与圆的位置关系 设⊙O1：(x－a)2＋(y－b)2＝r21(r1>0)， ⊙O2：(x－c)2＋(y－d)2＝r22(r2>0).
【答案】 (1)A (2)B
【归纳拓展】 (1)求直线方程的本质是确定方 程中两个独立的系数，其常用方法是：
①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式， 写出结果；
②待定系数法：即先由直线满足的一个条件设 出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由 题给的另一条件求出待定系数．
(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由 于“零截距”“无截距”造成丢解的情况．