高考数学 专题突破 第一部分专题五第一讲 直线与圆 理
高考数学复习专题五解析几何第一讲直线与圆课件文
[悟通——方法结论] 1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2 ＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 其 中 D2 ＋ E2 － 4F>0 ， 表 示 以
Ax＋By＋C＝0 2 2 2 x － a ＋ y － b ＝ r r＞0
消元得一元二次方程， 根据判 别式 Δ 的符号判断
相交 相切 相离
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
2.弦长与切线长的计算方法 (1)弦长的计算：直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，则|AB|＝ 2 r2－d2(其中 d 为弦心距)． (2)切线长的计算： 过点 P 向圆引切线 PA， 则|PA|＝ |PC|2－r2(其 中 C 为圆心)．
3．两个距离公式 (1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距 |C1－C2| 离 d＝ 2 2. A ＋B (2)点(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离公式 |Ax0＋By0＋C| d＝ . 2 2 A ＋B 4．与已知直线 l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)平行的直线可改 为 Ax＋By＋m＝0(m≠C)，垂直的直线可设为 Bx－Ay＋m＝0.
(2017· 高考全国卷Ⅲ)(12 分)已知抛物线 C：y2＝2x， 为直径 的圆． (1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上； (2)设圆 M 过点 P(4，－2)，求
[学审题] 条件信息 想到方法 注意什么 数形结合分析， 灵活设 l： x＝my＋2.注意斜率是否 存在 OA⊥OB⇔x1x2＋y1y2＝0
A．充分不必要条件 1 1 直线 l2 的斜率为－n，∵－ · (－n)＝－ · m＝－1，∴l1⊥l2. m m B．必要不充分条件 ②当 l1⊥l2 时，若 m＝0，l1：x－1＝0，则 n＝0，此时 m＋n C．充要条件 1 ＝ 0；若 m≠0，则－m· (－n)＝－1，即－n＝m，有 m＋n＝ D ．既不充分也不必要条件
2020版高考理科数学突破二轮复习新课标通用讲义：专题五第1讲直线与圆
|a＋4－ 1| ＝ 1， 解得
a2＋ 1
a＝－
4 3.
2．(2015 ·高考全国卷 Ⅰ ) 一个圆经过椭圆
x2 ＋y2＝ 1 的三个顶点， 且圆心在 16 4
x 轴的正半轴上，
则该圆的标准方程为 ________．
详细分析： 由题意知 a＝ 4，b＝ 2， 上、下顶点的坐标分别为 (0，2) ，(0， － 2)，右顶点的
A．2 6
B．8
C． 4 6
D ．10
详细分析： 选 C．设圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey＋F ＝ 0，
-2-
4k2＋ 4 由题设知 k2 ＝ 8， 解得 k＝－ 1(舍去 ) ， k＝ 1.因此 l 的方程为 y＝ x－ 1.
(2)由 (1)得 AB 的中点坐标为 (3 ，2)， 所以 AB 的垂直平分线方程为 y－ 2＝－ (x－ 3)， 即 y
＝－ x＋ 5.设所求圆的圆心坐标为 (x0， y0) ，则
第 1 讲 直线与圆
[做真题 ]
题型一 圆的方程 1．(2016 ·高考全国卷 Ⅱ )圆 x2＋ y2－ 2x－8y＋ 13＝ 0 的圆心到直线 ax＋ y－ 1＝0 的距离为 1，
则 a＝( )
4 A ．－ 3
B
．－
3 4
C． 3
D ．2
详细分析：
选 A ．由题可知
， 圆心为 (1， 4)， 结合题意得
设 A(x1， y1 )， B(x2，y2)．
-1-
y＝ k(x－ 1)，
由 y2 ＝4x
得 k2x2－ (2k2＋ 4)x＋ k2＝ 0.
Δ＝ 16k2＋16＞ 0， 故
2k2＋ 4
x1＋ x2＝
高考数学二轮复习 第1部分 专题5 第1讲 直线与圆课件 理
5－－1 又kBD＝ ＝－1， 1－7 ∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)， 即x＋y－6＝0.②
2x－y＝0， 由①②得 x＋y－6＝0， x＝2， ∴ y＝4，
∴M(2,4)．
【答案】
(1)C
(2)(2,4)
若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 4x－3y＝0和x轴相切，则圆C的标准方程是( A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－1)2＋(y－2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1 )
5．(圆的方程)(2013· 江西高考)若圆C经过坐标原点和点 (4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．
【解析】 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过
点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．又因为圆与直线y＝1 相切，所以 4－22＋0－m2 ＝|1－m|，所以m2＋4＝m2－
【答案】 C
R2－d2 ＝2，故直
4．(两直线的位置关系)已知直线l1：x－2my＋3＝0，直 线l2的方向向量为a＝(1,2)，若l1⊥l2，则m的值为________．
【解析】 由直线l2的方向向量为a＝(1,2)，知直线l2的
1 斜率k2＝2，∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率存在，且k1＝2m， 1 由k1· k2＝－1，即2m· 2＝－1，得m＝－1. 【答案】 －1
32 25 3 2 2m＋1，解得m＝－ ，所以圆的方程为(x－2) ＋y＋2 ＝ . 2 4
【答案】
(x－2)
2
32 25 ＋y＋2 ＝ 4
(1)(2013· 济南调研)设a∈R，则“a＝1”是“直 线l1：ax＋2y＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 )
高考数学理专题突破第一部分专题五第一讲：直线与圆省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
答案：(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8
直线与圆旳位置关系
曲例线3y(2＝02x32年－高6x考＋课1与标坐全标国轴卷旳)在交平点面都直在角圆坐C上标．系xOy中， (1)求圆C旳方程； (2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且 OA⊥OB，求a旳值．
由①②得 a＝－1，满足 Δ>0，故 a＝－1.
【归纳拓展】 研究直线与圆、圆与圆旳位置 关系要紧紧抓住圆心到直线、圆心到圆心旳距 离与圆旳半径旳大小关系这一关键点，在讨论 有关直线与圆旳相交弦问题时，如能充分利用 好平面几何中旳垂径定理，并在相应旳直角三 角形中计算，往往能事半功倍．
变式训练 3 已知直线 kx－y＋1＝0 与圆 C：x2＋ y2＝4 相交于 A、B 两点，若点 M 在圆 C 上，且
【答案】 C
【归纳拓展】 求圆旳方程一般有两类措施： (1)几何法，经过研究圆旳性质、直线和圆、圆 与圆旳位置关系，进而求得圆旳基本量和方程； (2)代数法，即用待定系数法先设出圆旳方程， 再由条件求得各系数．求圆旳方程一般采用待 定系数法．
变式训练2 设圆C同步满足三个条件：①过原点； ②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得旳弦长为4， 则圆C旳方程是__________．
1|，根据勾股定理可得，
|a－ (
1|)2＋(
2)2＝ |a
2
2
－1|2，解得 a＝3 或 a＝－1(舍去)，所以圆 C 的圆
心坐标为(3,0)，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的
第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题5 第1讲 直线与圆(小题)
第1讲 直线与圆(小题)热点一 直线的方程及应用 1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x 轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.3.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0).(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2(A 2＋B 2≠0). 例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( )A.1B.－2C.1或－2D.－32(2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A.x ＋(2－1)y －2＝0 B.(1－2)x －y ＋2＝0 C.x －(2＋1)y ＋2＝0D.(2－1)x －y ＋2＝0跟踪演练1 (1)已知直线l 1：x ·sin α＋y －1＝0，直线l 2：x －3y ·cos α＋1＝0，若l 1⊥l 2，则sin 2α等于( ) A.23 B.±35 C.－35 D.35(2)已知直线l 经过直线l 1：x ＋y ＝2与l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的斜率为－23，则直线l的方程是( ) A.－3x ＋2y ＋1＝0 B.3x －2y ＋1＝0 C.2x ＋3y －5＝0 D.2x －3y ＋1＝0热点二 圆的方程及应用 1.圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆.3.解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程. (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________.方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，则△FPM 的外接圆的方程为________.跟踪演练2 (1)(2019·黄冈调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称，则k 的值为( )A.－1B.1C.±1D.0(2)(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3,4)为C 上一点，则△P AB 的外接圆的标准方程为________________. 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法.(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.3.圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.例3 (1)(2019·长沙市长郡中学模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 21(r 1>0)，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 22(r 2>0)，圆C 1与圆C 2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r 1r 2为________.(2)(2019·淄博模拟)已知直线l ：y ＝－2x －m (m >0)与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，直线l 与圆C 相交于不同两点M ，N .若|MN →|≤2|CM →＋CN →|，则m 的取值范围是( ) A.[5，5) B.[2,55－3) C.(5,55)D.(3，2)跟踪演练3 (1)(2019·柳州模拟)已知点M 是抛物线y 2＝2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为( ) A.10 B.4 3 C.8 D.215(2)(2019·绵阳诊断)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，给出下列结论：①a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0；②2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2；③x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b .其中正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3真题体验1.(2018·全国Ⅲ，理，6)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8] C.[2，32]D.[22，32]2.(2016·全国Ⅱ，理，4)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A.－43B.－34C. 3D.23.(2019·浙江，12)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________. 押题预测1.已知直线x －ay ＝0与圆x 2＋(y ＋4)2＝9相切，则实数a 等于( ) A.377 B.－377 C.±377 D.972.若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________.3.甲、乙两人参加歌咏比赛的得分(均为两位数)如茎叶图所示，甲的平均数为b ，乙的众数为a ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆A 的标准方程为________.A 组 专题通关1.(2019·衡水质检)直线2x ·sin 210°－y －2＝0的倾斜角是( ) A.45° B.135° C.30° D.150°2.(2019·黄冈调研)过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A.y －x ＝1B.y ＋x ＝3C.2x －y ＝0或x ＋y ＝3D.2x －y ＝0或y －x ＝13.(2019·东北三省三校模拟)设直线y ＝x －2与圆O ：x 2＋y 2＝a 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则圆O 的面积为( ) A.π B.2π C.4π D.8π4.(2019·湘赣十四校联考)圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝9上到直线x ＋y ＝0的距离等于2的点有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个5.(2019·黄山质检)直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝36的直径分为两段，则较长一段与较短一段的长度的比值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.56.若直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5B.5C.2 5D.107.(2019·河北省五个一名校联盟诊断)已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0， －6)，B (4,0)，则|P A →＋PB →|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C.226＋4D.226＋28.(2019·菏泽模拟)已知点P 是直线l ：3x ＋4y －7＝0上的动点，过点P 引圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r >0)的两条切线PM ，PN .M ，N 为切点，当∠MPN 的最大值为π3时，则r 的值为( )A.4B.3C.2D.1 9.(2019·宝鸡模拟)设D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 2＋(y －2)2＝20 B.x 2＋(y －2)2＝5 C.x 2＋(y ＋2)2＝20D.x 2＋(y ＋2)2＝510.(2019·德阳模拟)已知点P (－3,0)在动直线m (x －1)＋n (y －3)＝0上的投影为点M ，若点N ⎝⎛⎭⎫2，32，那么|MN |的最小值为( ) A.2 B.32 C.1 D.1211.已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x ＋2y －4＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线分别为P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫12，14 B.⎝⎛⎭⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎫34，0D.⎝⎛⎭⎫0，34 12.(2019·南昌模拟)已知A (－3，0)，B (3，0)，P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，AP →＝PQ →，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，则M 的横坐标的取值范围是( ) A.|x |≥1 B.|x |>1 C.|x |≥2D.|x |≥2213.(2019·福建四校联考)已知直线3x ＋4y －3＝0,6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________.14.(2019·天津市十二重点中学联考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线3x ＋4y ＋4＝0均与圆C 相切，则圆C 的标准方程为________.15.(2019·湖北省部分重点中学联考)已知O 为原点，过点P ⎝⎛⎭⎫1，－32的直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为2，则直线l 的方程为________.16.(2019·辽宁省六校联考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是________.B 组 能力提高17.若对圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是________.18.已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)且|AB |＝2，过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2.其中正确结论的序号是________.。
2018高考数学理二轮复习课件：1-5-1 直线与圆 精品
解得 D＝－2，E＝4，F＝－20，所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－20＝0，令 x＝0，得 y2＋4y－20＝0，
设 M(0，y1)，N(0，y2)，则 y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，所以|MN|＝|y1－y2|＝ y1＋y22－4y1y2＝4 6.故选 C.
2．[2015·湖北高考]如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴正半轴交于两点 A，B(B 在 A 的上 方)，且|AB|＝2.
D.2x－y＋ 5＝0 或 2x－y－ 5＝0
解析
设所求直线的方程为 2x＋y＋c＝0(c≠1)，则
|c| ＝ 22＋12
5，所以 c＝±5，故所求直线的方程
为 2x＋y＋5＝0 或 2x＋y－5＝0.
2.[2015·重庆高考]若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为_x_＋__2_y_－__5_＝__0．
主干知识整合
1.直线方程的五种形式 (1)点斜式： y－y1＝k(x－x1) ． (2)斜截式： y＝kx＋b .
[必记公式]
(3)两点式： yy2－－yy11＝xx2－－xx11
(x1≠x2，y1≠y2)．
(4)截距式： ax＋by＝1 (a≠0，b≠0)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)． 2.圆的三种方程 (1)圆的标准方程： (x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
热点探究悟道
热点一 直线与方程
例 1 (1)[2015·郑州质量预测]“a＝1”是“直线 ax＋y＋1＝0 与直线(a＋2)x－3y－2＝0 垂直”的
()
A．充要条件
B．充分不必要条件
C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
新(浙江专用)高考数学二轮专题突破专题五解析几何第1讲直线与圆理
第1讲直线与圆1．(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y ＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．(2015·湖南)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.3．(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________. 4．(2014·课标全国Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.热点一直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例1 (1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5D ．1或2(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12B.12或－6 C ．－12或12D ．0或12思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 已知A (3,1)，B (－1,2)两点，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( ) A ．y ＝2x ＋4 B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．例2 (1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x ＋1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝4 D ．x 2＋(y ＋1)2＝4思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2015·杭州模拟)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________________．(2)已知直线l 的方程是x ＋y －6＝0，A ，B 是直线l 上的两点，且△OAB 是正三角形(O 为坐标原点)，则△OAB 外接圆的方程是____________________． 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3 (1)已知直线2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R )恒过定点P ，若点P 平分圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的弦MN ，则弦MN 所在直线的方程是( )A．x＋y－5＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0(2)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A．3 B.212C．2 2 D．2思维升华(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直．若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为( ) A．1 B. 2 C．2 D．2 2(2)两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为( )A．－6 B．－3 C．－3 2 D．31．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为( )A．(x±33)2＋y2＝43B．(x±33)2＋y2＝13C．x2＋(y±33)2＝43D．x2＋(y±33)2＝132．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－2，则a的值为( )A．1 B．－5C．1或－5 D．53．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为22，则a＝________.提醒：完成作业专题五第1讲二轮专题强化练专题五第1讲 直线与圆A 组 专题通关1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y －1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝02．若直线y ＝kx ＋2k 与圆x 2＋y 2＋mx ＋4＝0至少有一个交点，则m 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．[2,4]3．(2014·浙江)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－84．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x －y ＋2＝0 D ．x ＋y ＋2＝05．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.176．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.7．(2014·湖北)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝____.8．(2015·湖北)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为____________________________________________． (2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．9．已知点A (3,3)，B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．10．(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.B 组 能力提高11．圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，则面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝512．已知圆面C ：(x －a )2＋y 2≤a 2－1的面积为S ，平面区域D ：2x ＋y ≤4与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1,2)13．(2015·宁波模拟)若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上恰有三个不同的点到直线l ：y ＝kx 的距离为22，则k ＝________.14．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2a ＋1)x ＋(a ＋1)y －7a －4＝0，其中a ∈R . (1)求证：不论实数a 取何值，直线l 和圆C 恒有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的线段最短时，直线l 的方程和最短的弦长； (3)求过点M (6，－4)且与圆C 相切的直线方程．学生用书答案精析专题五 解析几何 第1讲 直线与圆 高考真题体验1．A [若直线l 1与l 2平行， 则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．] 2．2解析 如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt△DOB 中，∠DOB ＝60°， ∴∠DBO ＝30°，又|OD |＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r ＝2|OD |＝2. 3．4±15解析 圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2， 所以(|a ＋a －2|a 2＋1)2＋12＝22， 解得a ＝4±15. 4．[－1,1]解析 如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连接ON .M 点的纵坐标为1， MN 与⊙O 相切于点N .设∠OMN ＝θ， 则θ≥45°， 即sin θ≥22，即|ON ||OM |≥22.而|ON |＝1，∴|OM |≤ 2. ∵M (x 0,1)，∴x 20＋1≤2， ∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1， ∴x 0的取值范围为[－1,1]． 热点分类突破 例1 (1)C (2)B解析 (1)当k ＝4时，直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率存在，则两直线不平行；当k ≠4时，两直线平行的一个必要条件是3－k 4－k ＝k －3，解得k ＝3或k ＝5.但必须满足1k －4≠32(截距不相等)才是充要条件，经检验知满足这个条件． (2)依题意，得|3m ＋5|m 2＋1＝|－m ＋7|m 2＋1. 所以|3m ＋5|＝|m －7|. 所以(3m ＋5)2＝(m －7)2， 所以8m 2＋44m －24＝0. 所以2m 2＋11m －6＝0. 所以m ＝12或m ＝－6.跟踪演练1 C解析 由题意可知，直线AC 和直线BC 关于直线y ＝x ＋1对称．设点B (－1,2)关于直线y＝x ＋1的对称点为B ′(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋1＝－1，y 0＋22＝x 0－12＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0，即B ′(1,0)．因为B ′(1,0)在直线AC 上， 所以直线AC 的斜率为k ＝1－03－1＝12，所以直线AC 的方程为y －1＝12(x －3)，即x －2y －1＝0. 故C 正确． 例2 (1)D (2)B解析 (1)因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，所以选D. (2)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a >－2，半径为r ， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＋32＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.故选B. 跟踪演练2 (1)(x －2)2＋(y －1)2＝10 (2)(x －2)2＋(y －2)2＝8解析 (1)由题意知KAB ＝2，AB 的中点为(4,0)， 设圆心为C (a ，b )，∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上．则⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1∴C (2,1)，∴r ＝|CA |＝－2＋－2＝10.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.(2)设△OAB 的外心为C ，连接OC ，则易知OC ⊥AB ，延长OC 交AB 于点D ，则|OD |＝32，且△AOB 外接圆的半径R ＝|OC |＝23|OD |＝2 2.又直线OC 的方程是y ＝x ，容易求得圆心C 的坐标为(2,2)，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8. 例3 (1)A (2)D解析 (1)对于直线方程2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R )，取y ＝3，则必有x ＝2，所以该直线恒过定点P (2,3)．设圆心是C ，则易知C (1,2)， 所以k CP ＝3－22－1＝1，由垂径定理知CP ⊥MN ，所以kMN ＝－1. 又弦MN 过点P (2,3)，故弦MN 所在直线的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径为r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，所以若四边形PACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r ·|PB |，即|PB |的最小值为2，此时|PC |最小，|PC |为圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ，此时d ＝|5|k 2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2.跟踪演练3 (1)A (2)C解析 (1)因为圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C (0，－1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，其方程为x ＋y －1＝0.圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22， 又坐标原点O 到线段AB 的距离为12，所以S △OAB ＝12×22×12＝1，故选A.(2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程分别为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4， 圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1， 所以|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝2＋1＝3， 即a 2＋b 2＝9. 由(a ＋b2)2≤a 2＋b 22，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时取“＝”．所以选C. 高考押题精练1．C [由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ， 则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33， 故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 故应选C.]2．C [圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，圆心M (a,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|2， 圆上的点到直线AB 的最短距离为d －1＝|a ＋2|2－1，(S △ABC )min ＝12×22×|a ＋2|－22＝3－2，解得a ＝1或－5.]3.102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a2＝5a(a >0)．故222－5a2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.二轮专题强化练答案精析专题五 解析几何 第1讲 直线与圆1．A [方法一 由题意可得l 的斜率为－32，所以直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.方法二 设直线l 的方程为3x ＋2y ＋C ＝0，将点(－1,2)代入，得C ＝－1， 所以l 的方程是3x ＋2y －1＝0.]2．C [由y ＝k (x ＋2)得直线恒过定点(－2,0)，因此可得点(－2,0)必在圆内或圆上，故有(－2)2＋02－2m ＋4≤0⇒m ≥4.又由方程表示圆的条件，故有m 2－4×4>0⇒m <－4或m >4.综上可知m >4.故选C.]3．B [由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a . 圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋(42)2得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.]4．C [圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，圆心C 的坐标为(－2,2)． 直线l 过OC 的中点(－1,1)，且垂直于直线OC ，易知k OC ＝－1，故直线l 的斜率为1，直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.故选C.]5．A [两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min＝|C 1′C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.] 6．4解析 圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1，而圆O 半径为5，所以圆O 上到l 的距离等于1的点有4个．7．2解析 依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点， 则∠AOB ＝90°.如图，此时a ＝1，b ＝－1， 满足题意，所以a 2＋b 2＝2.8．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1解析 (1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)方法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)． 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，得圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.9．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1,2)．①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点(4，52)，由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10．解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k ＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.11．D [设圆心坐标为C (a ，2a )(a >0)，则半径r ＝2a ＋2a ＋15≥22a ×2a＋15＝5，当且仅当2a ＝2a，即a ＝1时取等号．所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1,2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故选D.]12．D [依题意并结合图形分析可知(图略)，圆面C ：(x －a )2＋y 2≤a 2－1的圆心(a,0)应在不等式2x ＋y ≤4表示的平面区域内，且(a,0)不在直线2x ＋y ＝4上，即有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，2a ＋0<4，由此解得a <－1或1<a <2.因此，实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1,2)．] 13．2± 3解析 x 2＋y 2－4x －4y －10＝0， 即(x －2)2＋(y －2)2＝18，其圆心为C (2,2)，半径为r ＝3 2.圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上恰有三个不同的点到直线l ：y ＝kx 的距离为22，应满足图中A ，B ，D 到直线l ：y ＝kx 的距离为22，所以，C (2,2)到直线l ：y ＝kx 的距离为32－|2k －2|1＋k2＝22，整理得k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2± 3.14．(1)证明 方法一 在直线l 的方程中，分别取a ＝0，a ＝－1，得x ＋y －4＝0，－x ＋3＝0，联立方程得直线l 恒过定点N (3,1)． 因圆心C 的坐标为(1,2)， 圆C 的半径为r ＝5， |CN |＝－2＋－2＝5<5，故点N 在圆C 内，所以，不论实数a 取何值，直线l 和圆C 恒有两个交点． 方法二 直线l 的方程可以化为(2x ＋y －7)a ＋x ＋y －4＝0，由a 的任意性得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.所以直线l 恒过定点N (3,1)．下面的解答过程与方法一相同． (2)解 当l ⊥CN 时，直线l 被圆C 截得的线段最短． 因为k CN ＝2－11－3＝－12，所以－2a ＋1a ＋1＝2，解得a ＝－34，这时，直线l 的方程为2x －y －5＝0. 又|CN |＝5，r ＝5， 所以半弦长为52－5＝25， 最短的弦长为4 5.(3)解 因为(6－1)2＋(－4－2)2>25，所以M (6，－4)在圆外，过点M (6，－4)且与圆C 相切的直线有两条． 当斜率不存在时，所求的切线为x ＝6；当斜率存在时，设所求的切线方程为y ＋4＝k (x －6)， 即kx －y －6k －4＝0，由|k －2－6k －4|k 2＋1＝5，得k ＝－1160，这时，所求的切线方程为11x ＋60y ＋174＝0. 综上，所求的直线方程为x ＝6或11x ＋60y ＋174＝0.。
专题五 第一讲 直线与圆
(x－1)2＋y2＝1
点评：本题主要考查平面图形的折叠问题、二面角以及利 用代入法求圆的方程等知识，涉及空间与平面直角坐标系 与斜坐标系的转化．综合性强、创新角度新颖．
已知圆C：x2＋y2＝12.直线l：4x＋3y＝25.圆C上任意一点 A到直线l的距离小于2的概率为________．
解析：如图，设与直线 4x＋3y＝25 距离为 2 且与该直线平行的直线与 圆交于 P、Q 两点．因为点 O 到直线 PQ 的距离 d＝3.又 r＝2 3，∴∠ OPQ＝60° .若点 A 到直线 l 的距离小于 2，则点 A 只能在弧 PQ 上，∴ P＝ 60° 1 ＝ . 360° 6
[考题
查漏补缺]
(2011· 重庆高考)设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x
＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到
的最大值为________．
[解析]
依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件
的圆的半径最大，需圆与抛物线及直线 x＝3 同时相切，可设圆心 坐标是(a,0)(0＜a＜3)， 则由条件知圆的方程是(x－a)2＋y2＝(3－a)2.
结论：
l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1· 2＝－1. k (2)若给定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2： A2x＋B2y＋C2＝0，则有下列结论： l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；
l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
[做考题
查漏补缺]
答案：D
7．(2011· 湖北高考)过点(－1，－2)的直线 l 被圆 x2＋y2－2x－2y ＋1＝0 截得的弦长为 2，则直线 l 的斜率为________．
高三数学专题复习：第一部分专题五第一讲
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第一部分•专题突破方略
则 b－2 a ＝1
a b＋2 ＋ －5＝0 2 2
a＝3 ， 解得 ， ∴B(3,5)． b＝5
2x－y＋2＝0 x＝1 联立方程，得 ，解得 ， x＋y－5＝0 y＝4
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第一部分•专题突破方略
∴直线 2x－y＋2＝0 与直线 x＋y－5＝0 的交点 为 P(1,4)， ∴反射光线在经过点 B(3,5)和点 P(1,4) 4－5 的直线上，其直线方程为 y－4＝ (x－1)， 1－3 整理得 x－2y＋7＝0，故选 B.
【答案】
(1)A
(2)B
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第一部分•专题突破方略
【归纳拓展】
→ ＝4 相交于 A、B 两点， 若点 M 在圆 C 上，且有OM → → ＝OA＋OB(O 为坐标原点)， 则实数 k＝__________.
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第一部分•专题突破方略
解析：结合图形可知，当 A，B，M 均在圆上 时，平行四边形 OAMB 的对角线 OM＝2，此 时四边形 OAMB 为菱形，故问题等价于圆心 (0,0)到直线 kx－y＋1＝0 的距离等于 1. 1 只要 d＝ 2 ＝1，解得 k＝0. k ＋1
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第一部分•专题突破方略
【解析】
(1)∵抛物线 y2＝4x 的焦点是(1,0)，直线
3 3 3x－2y＝0 的斜率是 ，∴直线 l 的方程是 y＝ (x－ 2 2 1)，即 3x－2y－3＝0. (2)取直线 2x－y＋2＝0 上一点 A(0,2)，设点 A(0,2) 关于直线 x＋y－5＝0 对称的点为 B(a，b)．
【答案】
B
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第一部分•专题突破方略
高考数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆课件 理
0 的对称点仍在圆上，且圆与直线 x－y＋1＝0 相交的弦长为
2 2，则圆的方程是________.
解析 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 的对称点仍在圆上，说明圆心在直线 x＋2y＝0 上，即有
a＋2b＝0，又(2－a)2＋(3－b)2＝r2，而圆与直线 x－y＋1＝0 相交
考点整合
1.两直线平行或垂直 (1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存 在且l1与l2不重合时，l1∥l2. (2)两条直线垂直：对于两条直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2， 则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别地，当l1，l2中有一条直线的斜率不 存在，另一条直线的斜率为零时，l1⊥l2.
2.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半 径为 r. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心 为－D2 ，－E2，半径为 r＝ D2＋2E2－4F；对于二元二次方程 Ax2 ＋ Bxy ＋ Cy2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 B＝0， A＝C≠0， D2＋E2－4AF＞0.
探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直， 圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线 方程时主要选择点斜式. (2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定 理处理.
[微题型3] 与圆有关的弦长问题 【例 1－3】 (2015·泰州调研)若圆上一点 A(2，3)关于直线 x＋2y＝
5.直线与圆中常见的最值问题 (1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值. (2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值. (3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值. (4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值 问题. (5)两圆相离，两圆上点的距离的最值.
(浙江专版)高考数学二轮专题复习 第一部分 专题五 第一讲 直线与圆课件.pptx
解得xy＝＝－－11，，
即(1,0)，(－1，－1)为 l2 上两点， 可得 l2 的方程为 x－2y－1＝0. 答案：B
5
(2)设 m∈R，过定点 A 的动直线 x＋my＝0 和过定点 B 的动 直线 mx－y－m＋3＝0 交于点 P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值 是________． 解析：易求定点 A(0,0)，B(1,3)．当 P 与 A 和 B 均不重合时， 因为 P 为直线 x＋my＝0 与 mx－y－m＋3＝0 的交点，且两 直线垂直，则 PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以 |PA|·|PB|≤|PA|2＋2 |PB|2＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝ 5时，等号 成立)，当 P 与 A 或 B 重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最 大值是 5. 答案：5
1
二、经典例题领悟好
[例 1] (1)设直线 l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝
0.则“m＝2”是“l1∥l2”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)过直线 l1：x－2y＋3＝0 与直线 l2：2x＋3y－8＝0 的交点， 且到点 P(0,4)距离为 2 的直线方程为_____________________.
6
考点二 圆的方程
一、基础知识要记牢
(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半
径为 r.
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆
心坐标为－D2 ，－E2 ，半径 r＝
D2＋E2－4F
2
.
高考数学复习专题课件★第1讲直线与圆
设圆心到直线的距离为d，则d<r⇔相交，d>r⇔相离，d＝ r⇔相切．(主要掌握几何方法)
高考数学复习专题课件★第1讲直线与 圆
(3)两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系 设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2.(r1≠r2)
A．1
B．2
C．3
D．4
高考数学复习专题课件★第1讲直线与 圆
高考数学复习专题课件★第1讲直线与 圆
[解析] 方法一：由已知 d＝|cosθ－1m＋simn2θ－2|＝
1＋1 m2cosθ－
1＋m m2sinθ－
1＋2 m2＝
sinθ＋φ－ 1＋2 m2≤|sin(θ＋φ)|＋| 1＋2 m2|≤1＋2＝3.
②当两直线方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y ＋C2＝0时：
(ⅰ)l1与l2平行或重合⇔A1B2－A2B1＝0.
(ⅱ)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．圆的有关问题
(1)圆的三种方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 ①圆的标准方程：x2_＋_y_2_＋_D_x_＋_E_y_＋_F_＝__0_(D_2_＋_E_2_－_4_F_＞_0_)_. ②圆的一般方程： (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0
③两点式：_y_y2－_－_yy_11_＝_xx_2－－__xx1_1 ___________.
ax＋by＝1
④截距式：_____________(a≠0，b≠0)．
⑤一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
(5)直线的两种位置关系
高考数学总复习 热点重点难点专题透析 专题5 第1课时
心在 x 轴负半轴上，直线 l：y＝x＋1 被该圆所截得的弦长为 2 2，
则圆 C 的标准方程为________．
(2)抛物线 y2＝4x 与过其焦点且垂直于 x 轴的直线相交于 A、
B 两点，其准线与 x 轴的交点为 M，则过 M，A，B 三点的圆的
标准方程是( )
A．x2＋y2＝5
B．(x－1)2＋y2＝1
B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
(2)m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂 直的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析： (1)由直线 l 与直线 2x－3y＋4＝0 垂直，可知直线 l 的斜率是－32，由点斜式可得直线 l 的方程为 y－2＝－32(x＋1)， 即 3x＋2y－1＝0.故选 A.
直线的方程
(1)设A，B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若 直线PA的方程x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________． (2)记直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0 相互垂直时m的取值集合为M，直线x＋ny＋3＝0与直线nx＋ 4y＋6＝0平行时n的取值集合为N，则M∪N＝________.
解析： (1)因为 kPA＝1，则 kPB＝－1.又 A 点坐标为(－1,0)， 点 P 的横坐标为 2，则 B 点坐标为(5,0)，直线 PB 的方程为 x＋y
－5＝0.
(2)当直线(m＋2)x＋3my＋1＝0 与直线(m－2)x＋(m＋2)y－
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3＝0 相互垂直时，m 满足(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得 m
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表现形式 位置关系
几何表现：圆 心距d与r1，r2
的关系
代数表现：两圆方 程联立组成的方程
组的解的情况
相离 外切 相交
内切
内含
d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋
r2 d＝|r1－ r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－ r2|(r1≠r2)
无解 有一组解 两组不同实数解
有一组解
解析：由题意可设圆心A(a，a)，如图，则22＋a2 ＝2a2，解得a＝±2，r2＝2a2＝8.所以圆C的方程 是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.
答案：(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2
＝8
热点三 直线与圆的位置关系
例3 (2011年高考课标全国卷)在平面直角坐标
(2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0； l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－ a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.
()
A．2x＋y－6＝0
B．x－2y＋7＝0
C．x－y＋3＝0
D．x＋2y－9＝0
【解析】 (1)∵抛物线 y2＝4x 的焦点是(1,0)，直 线 3x－2y＝0 的斜率是32，∴直线 l 的方程是 y＝32 (x－1)，即 3x－2y－3＝0.
(2)取直线 2x－y＋2＝0 上一点 A(0,2)，设点 A(0,2) 关于直线 x＋y－5＝0 对称的点为 B(a，b)．
第一部分 方略
专题突破
专题五 解析几何
第一讲 直线与圆
主干知识整合
1．两直线平行、垂直的判定
(1)①l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直 线斜率存在，且不重合)，则有l1∥l2⇔k1＝ k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②若两直线的斜率都不存在，并且两直线不 重合时，则两直线平行；若两直线中，一条 直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在时 ，则两直线垂直．
系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都 在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且 OA⊥OB，求a的值．
【解】 (1)曲线 y＝x2－6x＋1 与 y 轴的交点为 (0,1)， 与 x 轴的交点为(3＋2 2，0)，(3－2 2，0)． 故可设 C 的圆心为(3，t)， 则有 32＋(t－1)2＝(2 2)2＋t2，解得 t＝1. 则圆 C 的半径为 32＋t－12＝3. 所以圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
离大于1，故圆的半径大于1，可排除D.故选C.
【答案】 C
【归纳拓展】 求圆的方程一般有两类方法： (1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆 与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程 ；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程 ，再由条件求得各系数．求圆的方程一般采用 待定系数法．
变式训练2 设圆C同时满足三个条件：①过原点 ；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4 ，则圆C的方程是__________．
(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注 意防止由于“无斜率”造成丢解．
变式训练1“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1 ＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线 3x＋ay＋3＝0垂直，则a×3＋(2a－1)×a＝0， 解得a＝0或a＝－1. 故a＝－1是两直线垂直的充分而不必要条件．
则2ba－＋a b2＋ ＝2 21－5＝0
，解得ab＝ ＝35 ，∴B(3,5)．
联立方程，得2x＋x－y－y＋52＝＝00 ，解得xy＝＝41 ，
∴直线 2x－y＋2＝0 与直线 x＋y－5＝0 的交点为 P(1,4)，∴反射光线在经过点 B(3,5)和点 P(1,4)的 直线上，其直线方程为 y－4＝14－－35(x－1)，整理 得 x－2y＋7＝0，故选 B.
无解
高考热点讲练
热点一 直线的方程
例1 (1)经过抛物线y2＝4x的焦点且平行于直 线3x－2y＝0的直线l的方程是( )
A．3x－2y－3＝0
B．6x－4y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0
D．2x＋3y－1＝0
(2)一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋
y－5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组
x－y＋a＝0，
x－3
2＋y－12＝9.
消去 y，得方程 2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式 Δ＝56－16a－4a2>0.
热点二 圆的方程
例2 已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为(
) A．(x± 33)2＋y2＝43
B．(x±33)2＋y2＝13
C．x2＋(y± 33)2＝43
D．x2＋(y± 33)2＝13
【解析】 依题意得，圆心C在y轴上(如图所示) ，故可排除A、B，又圆心C到圆上的点A(1,0)的距
方法 位置 关系
相交 相切 相离
几何法：根据 d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2 与 r 的大小关系
d<r d＝r d>r
2＋y－b2＝r2
消元得一元二次方程 的判别式 Δ 的符号
Δ>0 Δ＝0
Δ<0
3.圆与圆的位置关系 设⊙O1：(x－a)2＋(y－b)2＝r21(r1>0)， ⊙O2：(x－c)2＋(y－d)2＝r22(r2>0).
【答案】 (1)A (2)B
【归纳拓展】 (1)求直线方程的本质是确定方 程中两个独立的系数，其常用方法是：
①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式， 写出结果；
②待定系数法：即先由直线满足的一个条件设 出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由 题给的另一条件求出待定系数．
(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由 于“零截距”“无截距”造成丢解的情况．