弹性力学与有限元完整版ppt课件
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弹性力学及有限单元法PPT文档32页
二、课程建设
立体化教材建设
网络教学环境
网上资源：课程指导、力学漫谈、课后作业、典型例题 和习题分析等。 网络课程：《弹性力学简明教程》网络课程，供远程教 学和学生自学使用，已送高等教育出版社出版。
二、课程建设
教学内容的改革
1.《弹性力学及有限元法》课程包含弹性力学和有限 元法两部分内容，对教学内容进行了精选优化，在保证力 学知识结构完整性的前提下，强化工程应用和实践，引进 现代力学知识，充分体现基础性、先进性和前沿性。
题的简化。 4.圣维南原理及其应用 圣维南原理强调小边界和静力等效；注重理论的提升和推广应用能
力的培养，提高分析和实际应条件 比较理论力学、
材料力学和弹性力 学中平衡要求。
三、课程教学
若干知识点教学
6.位移单值条件 按应力求解时，对于多连体
须要校核位移的单值条件。
做法之二：半开卷考试，仅带教材。这种考试方式可减轻学 生在考前对弹性力学公式的死记硬背，学会灵活运用弹性力 学的解题思路和方法，有利于学生自主学习。
二、课程建设
教学内容的改革
2. 将力学分析的平衡律、协调律和本构律这个最基 本、最重要的理论工具进行了强化和贯通，始终贯穿于不 同材料、不同类型问题的分析求解过程中，突出了弹性力 学的基本理论。
二、课程建设
教学内容的改革
3. 有限元法中在注重基本理论的同时，安排学生课外 上机实习，并提供相关程序，培养学生利用有限元法解决 工程实际问题的能力。
弹性力学及有限单元法
《弹性力学及有限单元法》 课程建设与实践
河海大学 邵国建 二ＯＯ九年八月
二、课程建设
什么是精品课程？
据教育部相关文件，国家精品课程具有： 一流教师队伍 一流教学内容 一流教学方法 一流教材 一流教学管理等特点的示范性课程。
弹性力学边值问题及有限元法(PPT)
0
Ni y Ni x
N j x 0
N j y
0
N j y N j x
N m x 0
N m y
0
N m y N m x
ui
vi
u v
j j
um vm
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
B Bi B j
ui
bm 0 cm
0 cm bm
a
u
v
N
ae
INi
I
1 0
0 1
IN j INm ae
位移模式需满足以下三个条件： 1、位移模式必须反映单元的刚体位移 2、位移模式必须反映单元的常量应变 3、位移模式应尽可能反映位移的连续性
单元应变函数
u
x y
xy
x u
y
u y
v x
Ni
x
0
Ni
y
) xy
x
E
1 2
( x
y)
y
E
1 2
(
x
y)
xy
2(1 E
)
xy
E
1 2
1
2
xy
x y
xy
E
1 2
1
0
1 0
1
0
0
xxyy
2
D DBae
D
E
1 2
1
0
1 0
0
0
1
2
在数学上，要将某个微分方程的定解问题 转化为一个变分问题求解，必须针对已给的定 解问题构造一个相应的泛函，并证明定解问题 的解与泛函极值问题的解等价。
有限元经典PPT第4章
Pii Kiiui
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui K u i,i1 i1
ui
n
Kiiui Kiiui
Kiju j
4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法
v3 f3y
3
u3
f3x
f1y v1 u1
1 f1x
v2 f2y u2
2 f2x
给定一个三角形单元和作用在角点上 的六个力，要求得六个角点的位移。 或者是要求三角形角点发生指定的位 移，在三角形三个角点如何加力？
很显然，问题的精确解很困难。采用 瑞雷－里兹法求近似式解
e号单元的三个节点I,j,k的力对应的 力的平衡方程是第2i-1,2i;2j-1,2j;2k1,2k个平衡方程
e号单元的三个节点I,j,k的位移是第 2i-1,2i;2j-1,2j;2k-1,2k个未知数
弹性模量：E 横截面积：A
1
1 L
2
2L
3
局部系单元刚度阵：
k
1
EA L
1 -1
-1
1
2 集成总刚：
0 1
解得：
ux uy
L EA
3.8284L
EA
i
j
第一类位移条件：
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui Ki1ui1
ui 0
令： Kij 0 i j
m
vi 0
Kii 1
um 0
Pi 0
ui 0
第二类位移条件：um um
大数
充大数法： Kii Kii
第一步：求转换矩阵
k2
EA 1 2L -1
-1
1
P
cos 0
T sin
弹性力学有限元法.ppt
2021/3/11
13
在离散体中任取一个单元，三个节点按逆时针方向顺序编
号为i，j，m。节点坐标分别表示为（xi，yi），（xj，yj）， （xm，ym）。
2021/3/11
14
对于弹性力学平面问题，一个三角形单元上的每 个节点应有2个位移分量，则三角形单元共有6个自 由度： ui , vi ,u j , v j ,um , vm 。
u x
K
矩形单元：采用双线性位移模式，单元内的应力是线性
变化的。
u kx2 mx
(kx2 mx) x
3. 薄板弯曲单元和薄板单元
2021/3/11
7
4. 多面体单元
2021/3/11
8
5. 等参数单元：单元内任一点的位移与节点位移之间的关系 恰好和该点的坐标与节点坐标之间的关系相同。
任意四边形的边一般不平行于坐标轴，沿单元边的位 移将按抛物线变化，而不是线性变化。
2021/3/11
2
（2）分析单元的力学性质 列出单元节点和节点位移之间的关系式。应用几何方程和
物理方程来建立力和位移的方程式，导出单元刚度矩阵。
节点载荷和节点位移之间的关系式为：
Fe Kee
K e 为单元刚度矩阵。
（3）计算等效节点力：用等效的节点力来代替所有在单元 上的力。
2021/3/11
元位移模式。
u(x, v(x,
y) y)
Ni
(x, 0
y)
0 N j (x, y) Ni (x, y) 0
0 Nm (x, y) N j (x, y) 0
0
Nm
(
x,
y)
u Ne
2021/3/11
18
弹性力学与有限元完整版ppt课件
E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
弹性力学与有限元完整版
剪应力不再区分哪个是作用面或作用方向 。
x
y
•应力分量：
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
{
}
z xy
yz
zx
3 一点应变分量
①微分单元体的变形：
微分单元体棱边的伸长和缩短；正应变 棱边之间夹角的变化；剪应变
正应变分量 3个：
x、 y、 z
剪应变分量 3个：
xy、yz、 zx
第一篇 弹性力学
第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
第三章 弹性力学问题求解方法简述
第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
平面应力问题讨论的弹性 体为薄板。薄壁厚度远小于 结构另外两个方向的尺度。 薄板的中面为平面，其所受 外力，包括体力均平行于中 面O-xy面内，并沿厚度方向 z不变。而且薄板的两个表 面不受外力作用。
平面应力问题 ①几何特征
薄壁厚度为h远小于结构另外两个方向的尺寸 等厚度 中心层平直
②受力特征
•平面应力与平面应变问题的： 平衡方程、几何方程相同。
但物理方程不同。 从空间问题推得。
• ① 平面应力的物理关系
① 平面应力的物理关系
D
1 μ 0
E
[D]
1 μ2
μ
0
1 0
0 1 μ
2
• ② 平面应变的物理关系
z yz = zx 0
② 平面应变的物理关系
x
y
•应力分量：
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
{
}
z xy
yz
zx
3 一点应变分量
①微分单元体的变形：
微分单元体棱边的伸长和缩短；正应变 棱边之间夹角的变化；剪应变
正应变分量 3个：
x、 y、 z
剪应变分量 3个：
xy、yz、 zx
第一篇 弹性力学
第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
第三章 弹性力学问题求解方法简述
第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
平面应力问题讨论的弹性 体为薄板。薄壁厚度远小于 结构另外两个方向的尺度。 薄板的中面为平面，其所受 外力，包括体力均平行于中 面O-xy面内，并沿厚度方向 z不变。而且薄板的两个表 面不受外力作用。
平面应力问题 ①几何特征
薄壁厚度为h远小于结构另外两个方向的尺寸 等厚度 中心层平直
②受力特征
•平面应力与平面应变问题的： 平衡方程、几何方程相同。
但物理方程不同。 从空间问题推得。
• ① 平面应力的物理关系
① 平面应力的物理关系
D
1 μ 0
E
[D]
1 μ2
μ
0
1 0
0 1 μ
2
• ② 平面应变的物理关系
z yz = zx 0
② 平面应变的物理关系
弹性力学与有限元法1ppt课件
➢ 稳态分析 忽略时间效应。
➢ 瞬态分析 确定以时间为函数的温度等。 可模拟相变（融化及凝固）。
熨斗的瞬态热分析
28
本课程涉及到的高等数学及线性代数知识
1、泰勒级数
如果函数 f(x) 在点x0的某邻域内具有各阶导数 f ' (x), f '' (x),L , f (n) (x),L ，则可以将 f(x) 按照 泰勒级数展开为
应力种类
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
应力水平/MPa 限制值/MPa
41.12
167×1.5＝250.5
73.81
167×3.0＝511
评定结果 通过 通过
路径2
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
48.43 163.5
167×1.5＝250.5 167×3.0＝511
通过 通过
路径3
一次局部薄膜应 力
个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐
标轴正方向的为正，沿坐标轴负方向的为负。
B
y
40
第一章 绪论
弹性力学的基本方法
从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几 何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求 解，最后利用边界条件确定解中的常数。
按照方程中保留的未知量，求解方法可分为 应力法（以应力为未知量） 位移法（以位移为未知量） 混合法（同时以应力和位移为未知量）
zy x
b
xxyz zx
yz
y yx
B
o
A PA dx, PBz dy, PC dz y
x
同样，可以列出另两个力矩平衡方程。得出
yz zy , zx xz , xy yx
38
第一章 绪论
➢ 瞬态分析 确定以时间为函数的温度等。 可模拟相变（融化及凝固）。
熨斗的瞬态热分析
28
本课程涉及到的高等数学及线性代数知识
1、泰勒级数
如果函数 f(x) 在点x0的某邻域内具有各阶导数 f ' (x), f '' (x),L , f (n) (x),L ，则可以将 f(x) 按照 泰勒级数展开为
应力种类
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
应力水平/MPa 限制值/MPa
41.12
167×1.5＝250.5
73.81
167×3.0＝511
评定结果 通过 通过
路径2
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
48.43 163.5
167×1.5＝250.5 167×3.0＝511
通过 通过
路径3
一次局部薄膜应 力
个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐
标轴正方向的为正，沿坐标轴负方向的为负。
B
y
40
第一章 绪论
弹性力学的基本方法
从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几 何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求 解，最后利用边界条件确定解中的常数。
按照方程中保留的未知量，求解方法可分为 应力法（以应力为未知量） 位移法（以位移为未知量） 混合法（同时以应力和位移为未知量）
zy x
b
xxyz zx
yz
y yx
B
o
A PA dx, PBz dy, PC dz y
x
同样，可以列出另两个力矩平衡方程。得出
yz zy , zx xz , xy yx
38
第一章 绪论
弹性力学及有限元
第五章 用有限单元法解平面问题 第六章 空间问题的基本理论
2
3
第一章 绪 论
§1–1 弹性力学的研究对象
§1–2 弹性力学中的几个基本概念
§1–3 弹性力学中的基本假设 §1–4 有限元分析的基本思想
4
在未知领域 我们努力探索 在已知领域 我们重新发现
5
初中物理－力学
高中物理－力学
大学物理－力学
的形式和尺寸并选择适宜的材料提供必
要的理论基础和计算方法。
9
结构力学的研究对象、内容和任务
对象——杆件系统（结构）
梁、刚架、桁架、组合结构和拱
内容——结构的组成规律、特性和外来因素作用
下的内力、位移及其分布规律。 任务——校核结构是否具有所需的强度、刚度和
稳定性，并寻求和改进它们的计算方法 以实现安全和经济的最优化。 三部分——静力学、动力学和稳定学。
c
p y l xy m y n zy pz l xz m yz n zy
b
P
y
25
x
a
正负号规定：
正面：外法向方向和坐标轴正向一致的面 负面：外法向方向和坐标轴正向反向的面
正面上应力沿坐标轴正向为正 负面上应力沿坐标轴负向为正
i j
+ + + + －
+
力学，包括固体力学和流体力学中的许多学科，弹
性力学仅是其中的一个分支。
35
2) 线性完全弹性：引起物体变形的外力除去后物体能
恢复原状（完全弹性），应变与引
起该应变的应力分量之间的关系服
从胡克定律（线性），弹性常数与
应力、应变大小无关，无需考虑应
力历史。 完全弹性：弹性极限以下 线性弹性：比例极限以下 该假定使本构关系（物理方程）成线性方程。 线性关系的Hooke定律是弹性力学特有的规律，是弹性力 36 学区别于连续介质力学其它分支的标识。
2
3
第一章 绪 论
§1–1 弹性力学的研究对象
§1–2 弹性力学中的几个基本概念
§1–3 弹性力学中的基本假设 §1–4 有限元分析的基本思想
4
在未知领域 我们努力探索 在已知领域 我们重新发现
5
初中物理－力学
高中物理－力学
大学物理－力学
的形式和尺寸并选择适宜的材料提供必
要的理论基础和计算方法。
9
结构力学的研究对象、内容和任务
对象——杆件系统（结构）
梁、刚架、桁架、组合结构和拱
内容——结构的组成规律、特性和外来因素作用
下的内力、位移及其分布规律。 任务——校核结构是否具有所需的强度、刚度和
稳定性，并寻求和改进它们的计算方法 以实现安全和经济的最优化。 三部分——静力学、动力学和稳定学。
c
p y l xy m y n zy pz l xz m yz n zy
b
P
y
25
x
a
正负号规定：
正面：外法向方向和坐标轴正向一致的面 负面：外法向方向和坐标轴正向反向的面
正面上应力沿坐标轴正向为正 负面上应力沿坐标轴负向为正
i j
+ + + + －
+
力学，包括固体力学和流体力学中的许多学科，弹
性力学仅是其中的一个分支。
35
2) 线性完全弹性：引起物体变形的外力除去后物体能
恢复原状（完全弹性），应变与引
起该应变的应力分量之间的关系服
从胡克定律（线性），弹性常数与
应力、应变大小无关，无需考虑应
力历史。 完全弹性：弹性极限以下 线性弹性：比例极限以下 该假定使本构关系（物理方程）成线性方程。 线性关系的Hooke定律是弹性力学特有的规律，是弹性力 36 学区别于连续介质力学其它分支的标识。
弹性力学与有限元分析.ppt
上式建立了单元中任意一点的位移与节点位移的关系，
即通过单元节点位移 e 插值求出单元中任一点位移
f (x, y)，把位移函数的这种描述形式称为插值函数形
式。 形函数具有以下两个性质： 1、形函数 N i在节点 i处的值为1，而在其余两个节点 处的值为0。
2、在单元中任意一点，3个形函数之和为1，即：
差太大，即单元划分中不应出现过大的钝角或过 小的锐角，否则，计算误差较大。 在应力较大和应力集中的区域，单元应划分细一 些，以提高精度。 如果边界上有集中力作用，则该点应被划分为点。
单元的大小和数目应根据精度要求来确定，在保证
精度的前提下，力求采用较少的单元。
当物体的厚度有突变或物体由不同材料组成时，不 要把厚度不同或材料不同的区域划分在统一单元。
x y xy
且它们只是
x, y 的函数，与 z 无关。工程实际中，炮
筒、桥梁支座的柱形辊轴等都可简化为平面应变问题。
所以无论是平面应力问题还是平面应变问题，都只 需研究3个应力分量 x ,y ,xy，3个应变分量 x , y , xy
2个位移分量 U和 V。
四、单元划分
单元划分是有限元分析的基本前提，也是有限元 法解题的重要步骤。常用的单元类型有： 杆单元 平面单元 轴对称单元
空间单元 对平面问题，一般采用三角形单元，此时单元划
分应注意以下问题：
任一三角形单元的顶点必须同时也是其相邻三角
形单元的顶点，而不能是其内点。
三角形单元的3条边长（或3个顶角）之间不应相
x y xy
x y xy
弹性力学ppt课件(2024)
建立一维拉伸或压缩问题的数学模型
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
2024/1/25
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问 题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
介绍有限元方法在一维拉伸或压缩问题中的应用，包括网格划分、单元刚度矩阵和总体刚 度矩阵的建立、边界条件的处理等。
适用范围
适用于大多数金属材料在常温、静载 条件下的力学行为。对于非金属材料 、高温或动载条件下的情况，需考虑 其他因素或修正虎克定律。
2024/1/25
7
02
弹性力学分析方法与技巧
2024/1/25
8
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基 本方程
选择适当的坐标 系和坐标…
求解基本方程
件和载荷。
平面应变问题建模
02
探讨平面应变问题的特性，构建适当的力学模型，并确定边界
条件和载荷。
求解方法
03
介绍适用于平面应力和平面应变问题的求解方法，如有限元法
、有限差分法等，并讨论各种方法的优缺点和适用范围。
18
极坐标下二维问题处理方法
极坐标系的引入
阐述极坐标系的定义和性质，以及与直角坐标系的关系。
根据问题的实际情况，确 定位移边界条件、应力边 界条件以及初始条件。
通过与其他方法（如数值 法、实验法）的结果进行 比较，验证解析解的正确 性和有效性。
2024/1/25
9
数值法（有限元法）在弹性力学中应用
有限元法基本原理
有限元模型建立
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
2024/1/25
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问 题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
介绍有限元方法在一维拉伸或压缩问题中的应用，包括网格划分、单元刚度矩阵和总体刚 度矩阵的建立、边界条件的处理等。
适用范围
适用于大多数金属材料在常温、静载 条件下的力学行为。对于非金属材料 、高温或动载条件下的情况，需考虑 其他因素或修正虎克定律。
2024/1/25
7
02
弹性力学分析方法与技巧
2024/1/25
8
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基 本方程
选择适当的坐标 系和坐标…
求解基本方程
件和载荷。
平面应变问题建模
02
探讨平面应变问题的特性，构建适当的力学模型，并确定边界
条件和载荷。
求解方法
03
介绍适用于平面应力和平面应变问题的求解方法，如有限元法
、有限差分法等，并讨论各种方法的优缺点和适用范围。
18
极坐标下二维问题处理方法
极坐标系的引入
阐述极坐标系的定义和性质，以及与直角坐标系的关系。
根据问题的实际情况，确 定位移边界条件、应力边 界条件以及初始条件。
通过与其他方法（如数值 法、实验法）的结果进行 比较，验证解析解的正确 性和有效性。
2024/1/25
9
数值法（有限元法）在弹性力学中应用
有限元法基本原理
有限元模型建立
弹性力学与有限元完整版164页PPT
弹性力学与有限元完整版
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
有限元矩阵分析及弹性力学基础PPT课件
f
x1
f
x2
f
xn
2 2 2
n i 1 n i 1
n i 1
a1i xi a2i xi
ani xi
2
a11 a21 an1
a12 a22
an 2
x
对向量x各元素的偏导数
a1n x1
a2n ann
x2 xn
2 Ax
第11页/共53页
第9页/共53页
关于正定矩阵
• 正定矩阵是特殊的对称实矩阵 • 正定矩阵的对角元aii>0 • 正定矩阵的行列式|A|>0 • A为正定矩阵的充要条件是A的所有顺序主子式皆大于0
第10页/共53页
二次型的微商
n
f (x1, x2, , xn ) xT Ax aij xi xj i, j1
f x
11 1 11
11 ε 21
31
12 22 32
13 23 33
22 33 2 23 213
2
3 4
5
22
33 212
2
23
212 6 231
剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达式的需要。
第32页/共53页
弹 性 系 数 矩 阵 的 Vo i g t 标 记
f (x1, x2 , , xn ) a11x12
ann xn2 a12 x1x2 a13x1x3 a1n x1xn
a21x2 x1 a22 x22 a23x2 x3 a2n x2 xn
an1xn x1 an2 xn x2 an3xn x3 ann xn2
第8页/共53页
2.2 弹性力学基础
• 关于弹性力学 • 五个基本假定 • 外力和内力 • 应力、应变、位移 • 指标记法和求和约定 • 张量及Voigt标记 • 平面问题基本方程及边界条件 • 三维问题基本方程及边界条件
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当△S 趋近于0，则为P点的面力
•面力分量
•符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。
•面力的因次：[力]/[长度]^2
精品课件
14
③ 集中力
体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点
上，作用区域△V或△S很小，但数值很大，这种形式的
力可以认为是集中力。
• 集中力分量：集中力直接将其沿三个坐标轴分解， 用X0、Y0、Z0表示，即集中力力分量。
x、y、z
•剪应力分量 6个：
、
xy
、
xz
yx
、
yz
、
zx
zy
Z面 X面
精品课件
18
•②应力符号意义
•正应力： 由法线方向确定
x、y、z
正面 负面
Z面
•剪应力： xy
X面
作用面
作用方向
•符号规定： 正面上与坐标轴正向一致，为正；
负面上与坐标轴负向一致，为正。
精品课件
19
•③剪应力互等定理
相等
xy yx
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
精品课件
6
• 弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出
来的理想模型。
• 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的 应力和应变之间具有一一对应的关系。
• 应力—应变关系称为本构关系。
– 在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸 变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这 一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量， 使基本方程成为线性的偏微分方程组。
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9
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 • 体力的因次：[力]
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15
2 一点的应力状态
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16
• ①应力表示方法
材料力学中接触过斜截 面上的应力，斜截面上应 力可以分成正应力、剪应 力；
复杂物体任意截面上的应 力可分为
1个与平面垂直的正应力、 2个平面内剪应力。
精品课件
17
•正应力分量 3个：
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
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13
② 面力
与体力相似，在物体表面上任意一点P 所受面力的大小 和方向，在P点区域取微小面积元素△S ，
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8
3. 各向同性假设
– 假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，物体的弹性 常数不随坐标方向变化。
像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料，它们是复合材 料力学研究的对象。
4. 完全弹性假设
– 应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。满 足胡克定理。
5. 小变形假设
yz zy
xz zx
剪应力不再区分哪个是作用面或作用方向 。
x
y
•应力分量：
、 、 、 、 、 x y z x y y z zx
{
}
z
xy
yz
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z x 20
3 一点应变分量
• ①微分单元体的变形：
– 微分单元体棱边的伸长和缩短；正应变 – 棱边之间夹角的变化；剪应变
• 弹性力学的研究对象：
–是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料 力学和结构力学的研究范围更为广泛 。
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
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5
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
•符号规定：
正应变以伸长为正。
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23
•④剪应变（自学）
•符号规定：
正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。
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24
4 位移分量
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
精品课件
3
弹性力学基本内容
外界作用
弹性体
外力 温度变化
应力 应变 位移
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4
1.1 弹性力学绪论
• 弹性力学，又称弹性理论。
– 是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部 所产生的位移、变形和应力分布等。为解决工程结构 的强度，刚度和稳定性问题作准备 。
正应变分量 3个：
x、y、z
x
y
z
xy
剪应变分量 3个：
xy、yz、zx
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yz
z x 21
• ②应变的定义（自学）
Байду номын сангаас设平行六面体单元，3个轴棱边：
– 变形前为MA，MB，MC； – 变形后变为M'A'，M'B'，M'C'。
x、y、z
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22
•③正应变（小变形） （自学）
精品课件
10
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
压力，物体之间的接触力等。
• 集中力——作用物体一点上的力。（在弹性力学中一
般不用，而在有限元中经常出现）
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11
① 体力
物体任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点区域取
一微小体积元素△V， 设△V 的体力合力为△F，则
△V 的平均体力为
当△V 趋近于0， 则为P点的体力
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12
• 体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
• 材料模型包括：
–线性弹性体 –非线性弹性体
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7
1.2 弹性力学的基本假定
1. 连续性假设
根据这一假设，物体的所有物理量，例如位 移、应变和应力等均成为物体所占空间的连 续函数。
2. 均匀性假设
假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的， 物体各个部分的物理性质都是相同的，不随 坐标位置的变化而改变。在处理问题时，可 以取出物体的任意一个小部分讨论。。
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1
第一篇 弹性力学
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
• 第三章 弹性力学问题求解方法简述
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2
• 第一章 弹性力学基本方程
•面力分量
•符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。
•面力的因次：[力]/[长度]^2
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14
③ 集中力
体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点
上，作用区域△V或△S很小，但数值很大，这种形式的
力可以认为是集中力。
• 集中力分量：集中力直接将其沿三个坐标轴分解， 用X0、Y0、Z0表示，即集中力力分量。
x、y、z
•剪应力分量 6个：
、
xy
、
xz
yx
、
yz
、
zx
zy
Z面 X面
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18
•②应力符号意义
•正应力： 由法线方向确定
x、y、z
正面 负面
Z面
•剪应力： xy
X面
作用面
作用方向
•符号规定： 正面上与坐标轴正向一致，为正；
负面上与坐标轴负向一致，为正。
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19
•③剪应力互等定理
相等
xy yx
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
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6
• 弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出
来的理想模型。
• 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的 应力和应变之间具有一一对应的关系。
• 应力—应变关系称为本构关系。
– 在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸 变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这 一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量， 使基本方程成为线性的偏微分方程组。
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9
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 • 体力的因次：[力]
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2 一点的应力状态
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16
• ①应力表示方法
材料力学中接触过斜截 面上的应力，斜截面上应 力可以分成正应力、剪应 力；
复杂物体任意截面上的应 力可分为
1个与平面垂直的正应力、 2个平面内剪应力。
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•正应力分量 3个：
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
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② 面力
与体力相似，在物体表面上任意一点P 所受面力的大小 和方向，在P点区域取微小面积元素△S ，
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3. 各向同性假设
– 假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，物体的弹性 常数不随坐标方向变化。
像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料，它们是复合材 料力学研究的对象。
4. 完全弹性假设
– 应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。满 足胡克定理。
5. 小变形假设
yz zy
xz zx
剪应力不再区分哪个是作用面或作用方向 。
x
y
•应力分量：
、 、 、 、 、 x y z x y y z zx
{
}
z
xy
yz
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3 一点应变分量
• ①微分单元体的变形：
– 微分单元体棱边的伸长和缩短；正应变 – 棱边之间夹角的变化；剪应变
• 弹性力学的研究对象：
–是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料 力学和结构力学的研究范围更为广泛 。
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
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• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
•符号规定：
正应变以伸长为正。
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•④剪应变（自学）
•符号规定：
正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。
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4 位移分量
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
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弹性力学基本内容
外界作用
弹性体
外力 温度变化
应力 应变 位移
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1.1 弹性力学绪论
• 弹性力学，又称弹性理论。
– 是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部 所产生的位移、变形和应力分布等。为解决工程结构 的强度，刚度和稳定性问题作准备 。
正应变分量 3个：
x、y、z
x
y
z
xy
剪应变分量 3个：
xy、yz、zx
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yz
z x 21
• ②应变的定义（自学）
Байду номын сангаас设平行六面体单元，3个轴棱边：
– 变形前为MA，MB，MC； – 变形后变为M'A'，M'B'，M'C'。
x、y、z
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•③正应变（小变形） （自学）
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1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
压力，物体之间的接触力等。
• 集中力——作用物体一点上的力。（在弹性力学中一
般不用，而在有限元中经常出现）
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① 体力
物体任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点区域取
一微小体积元素△V， 设△V 的体力合力为△F，则
△V 的平均体力为
当△V 趋近于0， 则为P点的体力
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12
• 体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
• 材料模型包括：
–线性弹性体 –非线性弹性体
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1.2 弹性力学的基本假定
1. 连续性假设
根据这一假设，物体的所有物理量，例如位 移、应变和应力等均成为物体所占空间的连 续函数。
2. 均匀性假设
假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的， 物体各个部分的物理性质都是相同的，不随 坐标位置的变化而改变。在处理问题时，可 以取出物体的任意一个小部分讨论。。
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第一篇 弹性力学
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
• 第三章 弹性力学问题求解方法简述
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2
• 第一章 弹性力学基本方程