概率论与数理统计1.3全概率公式与逆概率公式
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全一、概率基本公式1.事件的概率：对于事件A，在随机试验中发生的次数记为n(A)，则事件A的概率为P(A)=n(A)/n，其中n为试验总次数。
2.互斥事件的概率：对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.事件的余事件概率：设事件A为必然事件，全集的概率为P(S)=1，事件A的余事件为A'，则有P(A')=1-P(A)。
4.条件概率：对于两个事件A和B，假设事件B已经发生，事件A发生的概率记为P(A，B)，则P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
二、随机变量及其概率分布1.离散型随机变量：设X是一个离散型随机变量，其概率函数为P(X=k)，其中k为X的取值，概率函数满足P(X=k)≥0，且∑P(X=k)=12. 连续型随机变量：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，概率密度函数满足f(x)≥0，且∫f(x)dx = 13. 随机变量的数学期望：对于离散型随机变量X，其数学期望为E(X) = ∑k*P(X=k)；对于连续型随机变量X，其数学期望为E(X)=∫xf(x)dx。
4. 随机变量的方差：对于离散型随机变量X，其方差为Var(X) =E(X^2) - [E(X)]^2；对于连续型随机变量X，其方差为Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2三、常见的概率分布1.伯努利分布：表示一次实验成败的概率分布，概率函数为P(X=k)=p^k(1-p)^(1-k)，其中0≤p≤12.二项分布：表示n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布，概率函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
3. 泊松分布：表示单位时间或单位面积内发生事件次数的概率分布，概率函数为P(X=k) = (lambda^k)/(k!)*e^(-lambda)，其中lambda为平均发生率。
4.均匀分布：表示在一个区间内取值相等的概率分布，概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，其中[a,b]为区间。
概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理
《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数：363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质：知识归纳整理1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0）∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
第三节--全概率公式与逆概率公式
则有 P（A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An )
医药数理统计方法
例6 如果幼儿在学语前就失聪，则很难学会说话，故有 “十聋九哑”一说，表明失聪与失语的关系.那么，辨音能 力是否也影响辨色能力呢？临床积累的资料见表：
解 以A1、A2、A3分别表示取得这盒X光片是由甲厂、
乙厂、丙厂产生的，B 取得的X光片为次品
P
A1
5 10
，P
A2
3 10
,
P
A3
2 10
医药数理统计方法
例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知 其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生 产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次 为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再 从这盒中任取一张X光片，求取得的X光片是次品的 概率。
P(B | A) P( AB) P( A)
P(AB) =P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
若A ,B 相互独 立 P( AB) P( A) P(B)
*3、事件的独立性 例如 将一颗均匀骰子连掷两次，
医药数理统计方法
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然 P(A|B)=P(A)
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
医药数理统计方法
例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知 其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生 产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次 为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再 从这盒中任取一张X光片，求取得的X光片是次品的 概率。
概率论与数理统计全概率公式
对某种疾病的治愈率为0.8，现有10名患 者同事服用此药，求至少有6人治愈的概 率p.
• 例4 设某人射靶，命中率为0.001，现独立 地重复射击5000次，试求至少命中2次的概 率.
此例中，n=5000是个很大的数，在实际计 算中，常常用下列近似公式
• 全概公式
设 A1, A2, An 为一完备事件组，且P( 则对任何一事件B，恒有
Ai
)
0(i
1,
2,
n)，
P(B) P(A1)P(B | A1) P(A2)P(B | A2) P(An)P(B | An)
此式称为全概率公式，简称全概公式。
例6 有100张票，其中有戏票30张，甲乙两人先 后在其中各抽一张，试证明抽得戏票的概率与 抽票先后次序无关 。
p1 P2(2) P2(1) p
C
2 2
p2
C21 p(1
p). p
p2 2 p2(1 p).
(2) 采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛 3 局, 且最后一局必需是甲胜 ,而前面甲需胜二 局.
如：比赛3局，甲的胜局情况是: “甲甲甲”；
比赛4局，甲的胜局情况可能是 : “甲乙甲甲”“, 乙甲甲甲”“, 甲甲乙 在五局三胜制下,甲最终获胜 甲”的;概··率···为· :
（1）每次试验的条件都完全不一样，且可能 的结果为有限个；
（2）各次试验的结果不互相影响，或者说相 互独立。
满足条件（1）（2）的n次重复试验称为n 次独立试验概型。 特别，当每次试验的基本事件只有两个， 即事件A与，则称之为贝努里概型。
概率论与数理统计：全、逆概率公式3
解：A1, A2 分别表示第一，第二次取得一等品，则
P(
A1 )
1 2
10 50
1 2
18 30
0.4
；
P(
意取出一份药品，求其为次品的概率。
解 令 B={ 取 得 次 品 } ， Ai ={ 第 i 家 工 厂 生 产 的 药 品 } ，
（i=1,2,3），则 Ai 互不相容，由全概率公式得
3
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i1
=1 1% 1 2% 1 3% 0.017
2
3
6
n
n
证 将 B 写成 B B B( Ai ) BAi ，由假定和式中的事
i1
i1
件互斥，且由概率乘法公式得：
n
n
P(B) P(BAi )= P( Ai )P(B | Ai )
i1
i1
【例 2】设市场某药品产自三个不同厂家，其中各占比例为
1 , 1 , 1，已知三个厂家产品的次品率分别为 1%，2%，3% 。现任 236
显然，第二次取出的为新球概率 P(B)，与第一次取出 的是新球或是旧球有关。
若 第 一 次 取 出 的 为 新 球 (A) ， 则 第 二 次 取 出 的 为 新 球 概 率 是
1
P(B|A)=
；若第一次取出的为旧球A(
)，则第二次取出的为新
4
球概率是
P(B|
A
2 )=4
1 2
因此所求概率
P(
1-4节全概率与逆概率公式
P ( A B 1 ) 0 . 02 ,
P ( A B 2 ) 0 . 01 ,
P ( A B 3 ) 0 . 03 .
(1) 由全概率公式得
P ( A ) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B 2 ) P ( B 2 ) P ( A B 3 ) P ( B 3 )
P(A 3 )=
1 4
,P ( B / A 1 ) = 2 % ,P ( B / A 2 ) = 2 % ,
P ( B / A3 ) 4 % , P ( B ) 0 .0 2 5 .
所以
P ( A1 / B )
P ( A2 / B )
P ( A1 ) P ( B / A1 ) P(B)
的元件是由三家元 的数据 :
.根据以往的记录有以下
提供元件的份额 0 . 15 0 . 80 0 . 05 ,且
仓库中是均匀混合的
( 1 ) 在仓库中随机地取一只 概率 ;
元件 , 求它是次品的
( 2 ) 在仓库中随机地取一只 次品 , 为分析此次品出自何厂 三家工厂生产的概率分
元件 , 若已知取到的是 , 求此次品出由
0 . 02 0 . 3 0 . 01 0 . 5 0 . 01 0 . 2 0 . 013 .
1-4.2. 贝叶斯公式
定义 A1 , A 2 , , A n 为 的一个划分 P ( A i ) 0 ( i 1, 2 , , n ), 则 P ( Ai | B ) P ( B | Ai ) P ( Ai )
别是多少 .
" , B i ( i 1,2 ,3 )
".
解
设 A 表示 " 取到的是一只次品
高考数学知识点解析全概率公式与逆概率公式
高考数学知识点解析全概率公式与逆概率公式高考数学知识点解析：全概率公式与逆概率公式在高考数学中，概率是一个重要的考点，而全概率公式与逆概率公式更是其中的难点和重点。
理解并熟练运用这两个公式，对于解决复杂的概率问题具有关键作用。
首先，我们来认识一下什么是全概率公式。
假设事件B 可以在多种不同的情况下发生，而这些情况分别为A1，A2，A3，……，An ，且这些情况两两互斥，并且它们的并集构成了整个样本空间。
同时，已知在每种情况 Ai 下事件 B 发生的概率为P(B|Ai) ，以及每种情况 Ai 本身发生的概率 P(Ai) 。
那么事件 B 发生的概率 P(B) 就可以通过全概率公式来计算：P(B) ＝ P(A1)×P(B|A1) ＋ P(A2)×P(B|A2) ＋… ＋ P(An)×P(B|An)为了更好地理解全概率公式，我们来看一个具体的例子。
假设某学校有三个年级，高一年级有 500 名学生，高二年级有 600名学生，高三年级有 400 名学生。
在某次考试中，高一年级学生的优秀率为 30%，高二年级学生的优秀率为 40%，高三年级学生的优秀率为 50%。
现在随机抽取一名学生，求这名学生考试优秀的概率。
在这里，事件 B 就是抽取的学生考试优秀，情况 A1、A2、A3 分别是抽取到高一年级、高二年级、高三年级的学生。
P(A1) ＝ 500 ／（500 ＋ 600 ＋ 400) ＝ 5 ／ 15，P(B|A1) ＝ 30% ＝ 03 ；P(A2) ＝ 600／ 1500 ＝ 6 ／ 15 ，P(B|A2) ＝ 04 ；P(A3) ＝ 400 ／ 1500 ＝ 4 ／ 15 ，P(B|A3) ＝ 05 。
根据全概率公式，P(B) ＝（5 ／ 15)×03 ＋（6 ／ 15)×04 ＋（4 ／15)×05 ＝ 04 。
接下来，我们再看看逆概率公式，也称为贝叶斯公式。
全概率公式和逆概率公式
新乡医学院教案首页单位：计算机教研室基 本 内 容 备 注 1.4 全概率公式和逆概率公式一、全概率公式例1 现有10个阄，其中两阄为“有”，其余均为“无”。
试判断第一个抓阄者是否比第二个更合算。
解：设B={第一个抓得“有”}，A={第二个抓得“有”}，则P(B)=0.2,P(A|B)=1/9，(|)2/9.P A B =而,A AB AB =+ 于是()()()()P A P AB AB P AB P AB =+=+()(|)()(|)P B P A B P B P A B =+120.20.80.299=⨯+⨯=故先后抓阄者获得“有”的机会是相等的。
定理1 如果事件A 能且只能与互不相容事件B 1,B 2,…,B n 之一同时发生，则1()()(|)niii P A P B P A B ==∑证 令12,n C B B B =+++则12n B B B C U ++++=1212()n n A AU A B B B C AB AB AB AC ==++++=++++因为A 能且只能与B 1,B 2,…,B n 之一同时发生，故,AC V =即1,nii A AB ==∑且AB 1,AB 2,…,AB n 互不相容.于是由加法公式和乘法公式可得111()()()()(|).nnni i i i i i i P A P AB P AB P B P A B ======∑∑∑1()()(|).ni i i P A P B P A B ==∑在实际问题中，当计算P(A)比较困难，而计算P(B i )和P(A|B i )比较容易时，可用全概率公式求P(A).全概率公式,)n B)j。
概率论与数理统计公式整理(完整版)
概率论与数理统计 公式（全）
（13）乘法 公式
例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 …
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为
P( x1
X
x2 )
x2 b
x1 a
。
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概率论与数理统计 公式（全）
指数分布
f (x)
ex ,
0,
x 0, x 0,
其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
X 的分布函数为
正态分布
F(x)
函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F(x1) F (x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
x
x
4° F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；
布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
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概率论与数理统计 公式（全）
泊松分布
设随机变量 X 的分布律为 P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2， k!
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或
超几何分布 几何分布
者 P( )。
概率论与数理统计公式整理
概率论与数理统计公式整理概率论和数理统计是数学中重要的分支，广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
本文将对概率论和数理统计中常用的公式进行整理，以帮助读者更好地理解和应用这些概念和方法。
一、概率论公式1. 基本概率公式：P(A) = n(A) / n(S)其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间，n(S)表示样本空间中所有可能结果的个数。
2. 概率的加法公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)其中P(A ∪ B)表示事件A或B发生的概率，P(A ∩ B)表示事件A和B同时发生的概率。
3. 条件概率公式：P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)其中P(A | B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
4. 乘法公式：P(A ∩ B) = P(B) * P(A | B) = P(A) * P(B | A)其中P(A ∩ B)表示事件A和B同时发生的概率。
5. 全概率公式：P(A) = ∑[P(Bi) * P(A | Bi)]其中{Bi}为样本空间S的一个划分，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
二、数理统计公式1. 期望：E(X) = ∑[x * P(X = x)]其中X表示随机变量，x表示X可能取到的值，P(X = x)表示X取到x的概率。
2. 方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中E(X)表示随机变量X的期望。
3. 标准差：σ(X) = √(Var(X))其中Var(X)表示随机变量X的方差。
4. 协方差：Cov(X, Y) = E[(X - E(X)) * (Y - E(Y))]其中X和Y分别表示两个随机变量。
5. 相关系数：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))其中Cov(X, Y)表示X和Y的协方差，σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。
三、概率分布公式1. 二项分布：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n-k)其中X服从二项分布，n表示试验次数，k表示成功次数，p 表示每次试验成功的概率。
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。
在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。
以下是概率论与数理统计的完整公式。
一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。
4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。
2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。
全概率公式与逆概率公式
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概
率,这时称事件A、B独立.
医药数理统计方法
定义 若两事件A、B满足P(AB)= P(A) P(B)
则称A、B独立，或称A、B相互独立.
性质
1）设A、B是两事件，若A、B独立，则
P(A|B)= P(A) 或P(B|A)= P(B) .反之亦然.
2）若事件 A、B相互独立，则 A, B A, B A, B 也相互独立.
把 A1, A2, , An 看作该过程的若干个原 因，
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
即 PAn 已知
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PB An 已知
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
医药数理统计方法
例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知 其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生 产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次 为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再 从这盒中任取一张X光片，求取得的X光片是次品的 概率。
3）若n个事件 A1、A2、、An 是相互独立的，
则有 P（A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An )
医药数理统计方法
例6 如果幼儿在学语前就失聪，则很难学会说话，故有 “十聋九哑”一说，表明失聪与失语的关系.那么，辨音能 力是否也影响辨色能力呢？临床积累的资料见表：
色盲（B）
解 设 Ai {第i次买彩票中大奖}，i 1, 2…,520
p( Ai ) 105 ,
p( Ai ) 1 105 , i 1, 2,…520
p( A1 A2…A520 ) p( A1 ) p( A2 )… p( A520 ) (1 105 )520 0.9948
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。
2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。
概率论与数理统计考点与公式总结
第一章随机事件及其概率1）随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： 2）概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA实用中经常采用“排列组合”的方法计算例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：nn n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n nn A P !)(=∴例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A P A 2所含样本点数： 363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质： 1、0<P （A ）<1 2、P(Ω)=1，P(φ) =0 3）概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ） 推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n ) 推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：n n A A A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃......2121 n n A A A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2121)4）条件概率与乘法法则 条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0） P(B/A)=)()(A P AB P （P(A)≠0） ∴P （AB ）=P （A/B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
概率论与数理统计公式集锦完整版
概率论与数理统计公式集锦HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】概率论与数理统计公式集锦一、随机事件与概率二、随机变量及其分布1、分布函数2、离散型随机变量及其分布3、续型随机变量及其分布4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：()(),1,2,j ii j g x y P Y y p i ====∑，连续型：①分布函数法，②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=⋅=单调三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：(,),,1,2,i j ij P Xx Y y p i j ====分布函数(,)i i ijx x y yF X Y p ≤≤=∑∑边缘分布律：()i i ij jp P X x p ⋅===∑ ()j j ij ip P Y y p ⋅===∑条件分布律：(),1,2,ij i j jp P X x Y y i p ⋅====，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ⋅====2、连续型二维随机变量及其分布①联合分布函数及性质分布函数：⎰⎰∞-∞-=xydudvv u f y x F ),(),(=P （X<=x,Y<=y ）性质：2(,)(,)1,(,),F x y F f x y x y∂+∞+∞==∂∂((,))(,)GP x y G f x y dxdy ∈=⎰⎰②边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(③条件概率密度+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(，+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()( 3、随机变量的独立性随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=，离散型：..ij i j p p p = ，连续型：(,)()()X Y f x y f x f y =4、二维随机变量和函数的分布 离散型：()(,)i j kk i j x y z P Z z P X x Y y +=====∑连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰四、随机变量的数字特征1、数学期望①定义：离散型∑+∞==1)(k k k p x X E ，连续型⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(②性质：(),E C C =)()]([X E X E E =，)()(X CE CX E =，)()()(Y E X E Y X E ±=±b X aE b aX E ±=±)()( ，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E =2、方差①定义：222()[(())]()()D X E X E X E X E X =-=-②性质：0)(=C D ，)()(2X D a b aX D =±，),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=±当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D +=±3、协方差与相关系数①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X 、Y 相互独立时：0),(=Y X Cov ②相关系数：XY ρ，当X 、Y 相互独立时：0=XY ρ(X,Y 不相关)③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov =，),(),(X Y Cov Y X Cov =),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+，),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++4、常见随机变量分布的数学期望和方差五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ε有2)(})({εεX D X E X P ≤≥-2、大数定律： ①切比雪夫大数定律：若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且C i ≤2σ，则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11②伯努利大数定律：设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则0ε∀>，有：lim 1A n n P p n ε→∞⎛⎫-<= ⎪⎝⎭③辛钦大数定律：若1,,n X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，则μ∞→=−→−∑n P ni iXn113、中心极限定理①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量(1,2,)i X i =，均值为μ，方差为02>σ，当n充分大时有：1((0,1)~nn k k Y X n N μ==-−−→∑ ②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量),(~p n B X ，则对任意x 有：③近似计算：1()nk k P a X b =≤≤≈Φ-Φ∑ 概率论与数理统计公式整理1、总体和样本的分布函数 设总体()XF x ，则样本的联合分布函数)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量样本均值：∑==ni i X nX 11，样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11 样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11 ，样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXnA ni ki k样本k 阶中心距：11(),1,2,3n k k i i B X X k n ==-=∑3、三大抽样分布(1)2χ分布：设随机变量(0,1)i X N (1,2,,)i n =且相互独立，则称统计量222212n X X X ++=χ服从自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则)(~2n m Y X ++χ(2)t 分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则称统计量：nY X T =服从自由度为n 的t 分布，记为)(~n t T性质：①()0(1),()(2)2n E T n D T n n =>=>-②22lim ()()x n n f x x ϕ-→∞== (3)F 分布：设随机变量22~(),~()X m Y n χχ，且X 与Y 独立，则称统计量(,)X mF m n Y n=服从第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布，记为~(,)F F m n ，性质：设~(,)F F m n ，则1~(,)F n m F七、参数估计1.参数估计①定义：用12(,,,)n X X X θ∧估计总体参数θ，称12(,,,)n X X X θ∧为θ的估计量，相应的12(,,,)n x x x θ∧为总体θ的估计值。
全概率公式与逆概率公式
概率的基本概念
全概率公式与逆概率公式
1.1 全概率公式
定理 设事件 A1 ，A2 ， ，An 构成一个完备事
件组，即
（1） A1 ，A2 ， ，An 互不相容；
（ 2 ） A1 A2 An ， 且 P(Ai ) 0 (i 1， ，2 ，n ．)
组，则对任一事件 B (P(B) 0) 有
P(Ai | B)
P(Ai ) P(B | Ai )
n
(i 1，2， ，n) 。
P(Aj ) P(B | Aj )
j 1
n
证明 因为 P(B) P(Aj )P(B | Aj ) ，所以 j 1
P( Ai
|
B)
P( Ai B) P(B)
P(Ai ) P(B | Ai )
0.38% 。
P(B) P(A) P(B | A) P(A)P(B | A) 0.000 4 0.95 0.999 6 0.1
因此，当被检验者显阳性反应时，其患有肝癌的概率只有 0.38%。
概率论与数理统计
10 15 20
解 设 A1 {取到的产品是甲厂生产的}， A2 {取到的产品是乙厂生产的}， A3 {取到的产品是丙厂生
产的}， B {取到的产品是正品}，A1，A2，A3 是一完备事件组。显然，
P( A1) 0.5 ， P( A2 ) 0.3 ， P( A3 ) 0.2 ，
由全概率公式，得
P( A1
|
B)
P( A1 )P(B P(B)
|
A1 )
0.5 0.9 0.92
45 92
0.489
，
P( A2
概率论全概率公式
概率论全概率公式全概率公式是概率论中一条重要的公式，它用于计算一个事件的概率，当该事件可以通过多种不同的方式发生时，可以通过全概率公式来计算出最终的概率。
全概率公式的数学表达如下：P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)其中，A表示要计算的事件，B1、B2、..、Bn表示一系列互不相容的事件，也称为样本空间的一个划分。
P(A，Bi)表示事件A在给定事件Bi的条件下发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
全概率公式的理论基础是条件概率公式，即：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)根据条件概率公式，可以推导全概率公式。
假设事件A可以通过事件B1、B2、..、Bn发生，那么事件A的概率可以表示为：P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)又根据条件概率公式，可以将上式中的交集表示为：P(A∩Bi)=P(A，Bi)*P(Bi)将上式代入全概率公式中，得到：P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)这样就得到了全概率公式。
全概率公式的应用非常广泛。
通常情况下，我们可以将一个事件的发生看作是其他一些事件的组合。
例如，一个班级的学生参加数学考试，我们可以将该事件看作是三种不同的情况：优秀、及格和不及格。
根据这三种情况的可能性和对应的概率，可以使用全概率公式来计算整个班级的平均分数。
另一个经典的例子是生存分析。
在医学研究中，我们经常需要计算一个人在一些时间段内生存下来的概率。
然而，由于种种原因，我们可能无法直接获得该概率。
这时，可以通过观察与生存情况相关的一些因素，例如患者的年龄、性别、疾病严重程度等，然后根据这些因素的分布和相关性，使用全概率公式来计算生存的概率。
除了上述应用，全概率公式还可以用于统计学、工程学和经济学等领域的概率模型中。
在实际问题中，我们经常会遇到一些复杂的概率事件，这时使用全概率公式可以将问题化简为计算一系列简单的条件概率，从而更容易得到最终的概率结果。
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于是得证.
二、贝叶斯公式（逆概率公式）
定理 设事件B1，B2，„，Bn为样本空间Ω 的一个分割， n 即Bi两两不相容，P(Bi)>0 (i =1,2, „,n)，且 i1 Bi 则对任意事件A，若P(A)>0,则
P( Bi | A)
P( Bi ) P( A | Bi )
P( B ) P( A | B )
i i i 1
n
,
(i=1，2，„，n).
贝叶斯公式的应用
如果把样本空间的一个划分B1, B2, …, Bn看作是导致事 件A发生的各种原因，如果A发生了，求P(Bj|A)可以用贝叶斯 公式.
B1
B
2
…ห้องสมุดไป่ตู้
B3
A Bn …
P( Bi | A)
P( Bi ) P( A | Bi )
P( B ) P( A | B )
i i i 1
n
,
(i=1，2，„，n).
事实上，由条件概率的定义及全概率公式
P( Bi A) P( Bi ) P( A | Bi ) P( Bi | A) , P( A) P( A)
P( A) P( Bi ) P( A | Bi).
P(A)= P(B1 )P(A| B1 ) P(B2 )P(A| B 2 )
2 2 1 3 5 3 4 3 4 12
P( A) P( Bi ) P( A | Bi).
i 1 n
二、贝叶斯公式（逆概率公式）
定理 设事件B1，B2，„，Bn为样本空间Ω 的一个分割， n 即Bi两两不相容，P(Bi)>0 (i =1,2, „,n)，且 i1 Bi 则对任意事件A，若P(A)>0,则
P( A) P( Bi ) P( A | Bi).
i 1 n
B1 B3
B2 Bn A …
…
全概率公式
例1有两个口袋，甲袋中装有2个白球、 1个黑球，乙袋中 装有1个白球、 2个黑球.由甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋 中取出一球，问取得白球的概率是多少？
解 设A＝“从乙袋中取得白球”
B1＝“从甲袋中取出的是白球“， B2＝“从甲袋中取出的是黑球“ 2 2 P ( B1 ) P ( A | B1 ) 4 3 1 1 P ( B2 ) P ( A | B2 ) 4 3
1.3 全概率与逆概率公式
一、全概率公式
一个复杂事件A若能分解成若干个互不相容的简单事件的 和，则求得这些简单事件的概率，再利用可加性即可得到复 杂事件A的概率. 定理 设事件B1，B2，„， Bn为样本空间Ω 的一个分割， 即Bi两两不相容，P(Bi)>0 (i n Bi =1,2, „,n)，且 i 1 则对任意事件A，有