微观经济学 生产(下)

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利润最大化（续十九）
• 性质7.中，矩阵Dy(p)的半正定性（它是 性质2.即π(·)凸性的结果）是供给法则的 一般数学表述。供给法则的内容是：数 量变化与价格变化是同方向的。根据符 号习惯，这意味着在其它条件不变时， 如果一种产品的价格上升，那么它的供 给也会上升；如果一种投入品价格上升， 则其需求量会下降。
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成本最小化（续九）
• 3.如果集合{z≥0: f(z)≥q}对于每一个q都 是凸的，那么Y={(-z,q): w· z≥c(w,q)对于 所有w» 0均成立}。 • 4. z(· )对w是零次齐次的。 • 5.如果集合{z≥0: f(z)≥q}是凸的，那么 z(w,q)是一个凸集。进而，如果{z≥0: f(z)≥q}是一个严格凸集，那么z(w,q)是单 值的。
图5.C.1 利润最大化问题
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利润最大化（续三）
• 图5.C.1描述了一个严格凸的利润最大化 供给。前面在介绍这类用生产集和转换 边界来分析问题的图（图5.B.1）时，我 们说过，图中横轴和纵轴各代表一种产 出。。原点并非位于横轴和纵轴的交点， 而在交点左下方。整个图表示给定投入 品种类（不止一种）及数量条件下的可 行生产集。在这里，我们作进一步说明：
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利润最大化（续二十）
• 与需求相比，供给法则不受预算约束， 也没有任何形式的补偿要求，即供给的 变化只会导致替代效应，而不会导致财 富效应。所以，对于任何价格变动，供 给法则都是成立的。 • 在不可微的情况下，供给法则可以表述 为 • (p- p')· (y- y')≥0 (5.C.3)
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成本最小化
• 为什么要研究成本最小化问题？ • 首先，成本最小化是利润最大化的一个 必要条件，厂商选择利润最大化生产集 就是因为没有其它方法以更低的总成本 生产出相同数量的产出。
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成本最小化（续）
• 其次，当在产出市场上厂商不再是价格 接受者时，我们不能再用利润函数来分 析。但只要厂商在投入品即要素市场上 是价格接受者，成本分析仍然可以应用， 成本最小化导出的结论依然成立。
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利润最大化（续四）
• 第一，总利润=总收益-总成本。 • 第二，由于在转换边界上，所有的投入 都得到充分利用，因此，在投入品价格 为既定的条件下，转换边界就代表了等 （总）成本线。
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利润最大化（续五）
• 第三，如图所示，图上两条直线的斜率 绝对值等于横轴和纵轴所代表产出的价 格比。这意味着在这两条直线上，产出1 每增加一个单位，厂商总收益增加p1； 同时产出2减少p1/p2单位，厂商总收益相 应减少(p1/p2)· p2= p1。两者相等。可见， 对厂商来说，这两条直线是等（总）收 益线。
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利润最大化（续十二）
• 如果Y对应的是某一具有可微生产函数f(z) 的单一产出技术，那么，可以把厂商决 策看成对投入水平z的选择。在此特殊情 况下，用标量p＞0代表产出品的价格， 用向量w» 0代表投入品的价格，给定(p, w)，如果投入品向量z*是以下问题的解： • 则可以说该向量z*使得利润最大化。
第5章 生产（下）
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目录
• • • • • 三、利润最大化 四、成本最小化 五、有效率的生产 六、企业目标 七、单一产出情况下成本与供给的几何 描述
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利润最大化
• 假设： • 1.存在一个涉及L种商品的价格向量，用 p=(p1,…,pL) » 0表示。 • 2.价格既定，单个厂商的产量/销售量变 动不影响价格。 • 3.再重复一次，厂商目标是利润最大化。 • 4.生产集满足非空的、闭的和自由处置的 性质。
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成本最小化（续四）
• 成本最小化问题的最优值由成本函数 c(w,q)给出。相应的投入或要素选择的最 优集合用z(w,q)表示，称为条件要素需求 对应。如果z(w,q)总是取单值，则称为条 件要素需求函数。之所以用“条件”一 词，是因为要素需求有赖于产出水平q。
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利润最大化（续）
• 在给定价格向量p» 0和以生产集Y表示的 技术约束，厂商的利润最大化问题 （PMP）可以表述为： • p· y • s.t. y∈Y • 用转换函数F(· )来描述，利润最大化问题 可等价表述为 • p· y • s.t. F(y)≤0
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利润最大化（续二）
• 给定生产集Y后，对应于价格向量p，厂 商试图找出利润函数π(p)最大值 π(p)=Max{ p· y: y∈Y}，这就是利润最大 化问题的解。 • 相应地，我们定义厂商在价格向量p上的 供给对应（用y(p)表示）为利润最大化向 量的集合y(p)={ y∈Y: p· y =π(p)}。
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利润最大化（续十七）
• 3.如果Y是凸的，那么Y={ y∈RL: p· y≤π(p)，对于所有p» 0}。 • 4. y(· )是零次齐次的。 • 5.如果Y是凸的，那么对于所有的p，y(p) 是一个凸集。进而，如果Y是严格凸的， 那么y(p)是单值的。
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利润最大化（续十八）
• 6.（霍特林/豪泰林引理）(Hotelling's lemma)如果y( )由一个单点组成，那么 π(·)在 处是可微的，且▽π( )=y( )。 • 7.如果函数y(· )在 处可微，那么 Dy( )=D2π( )是一个对称的半正定矩阵， 且Dy( ) =0。
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图5.C.1 利润最大化问题
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利润最大化（续十）
• 当L=2时，按照教材的说法，它的含义是 转换边界在代表利润最大化的点处的斜 率必须等于价格比率的负值。我认为， 转换边界代表的是总成本，其斜率则代 表边际成本；斜率绝对值为两轴所代表 产出价格之比的直线代表的是总收益， 其斜率则代表边际收益。在初级经济学 与中级微观经济学中，边际成本等于边 际收益被称为利润最大化条件。
• 如果转换函数F(· )是可微的，那么可以用 一阶条件来刻画利润最大化问题的解。 如果y*∈y(p)，那么，对于某一λ≥0，y* 必须满足一阶条件 • ，其中l=1,…,L • 或者，等价地写成矩阵形式 • p=λ▽F(y*) (5.C.1)
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利润最大化（续九）
• 换句话说，价格向量p与梯度▽F(y*)是成 比例的。 • 根据5.C.1式，可以得出以下比率等式： 对于所有的l和k，有pl/pk=MRTlk(y*)。
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成本最小化（续七）
• 与利润最大化问题一样，如果生产集Y是 凸的（即如果f(· )是凹的），则5.C.4式是 z*为成本最小化问题最优解的充要条件。 • 与利润最大化问题中的5.C.2式一样， 5.C.4式意味着，对于任意两种投入l和k， 若(zl, zk)» 0，那么，MRTSlk= wl/wk。 • 跟以往一样，拉格朗日乘子λ等于生产的 边际成本∂c(w,q)/∂q。
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利润最大化（续十三）
• 如果z*是最优的，那么对于l=1,…,L-1， 如下一阶条件必须得到满足： • ，当zl*＞0时，等号成立。 • 或者，写成矩阵形式， • p▽f(z*)≤w 且 [p▽f(z*)-w]· z*=0 (5.C.2)
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利润最大化（续十四）
利润最大化（续七）
• 利润最大化的生产向量未必只有一个， 因此供给对应中可能包含多个元素。 • 在厂商是价格接受者的假设下，不存在 利润函数最大化的生产向量也是可能的， 比如产品价格总大于投入价格，那么多 生产一单位产品就会增加利润，从而使 π(p)= +∞。
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利润最大化（续八）
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图5.C.2 成本最小化问题
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成本最小化（续五）
• 图5.C.2(a)描述了两种投入条件下，成本 最小化问题的解。图中的阴影区域代表 至少能生产出q数量产出品的投入向量z 的集合。它是至少生产q数量产出品的生 产集Y的投影（投影到投入空间的正象 限），如图5.C.2(b)所示。 • 图5.C.2(a)中，解z(w,q)位于等成本线{z: w· z=c(w,q)}与等产量曲线f(z)=q的切点上。
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利润最大化（续六）
• 第四，两条等收益线中，实线位于虚线 右上方。这意味着前者代表的总收益水 平比后者高。为了增加利润，厂商应该 选择与转换边界相交或相切的等收益线 中最右上方的一条。图5.C.1中的最优向 量y(p)就是位于生产集边界即转换边界与 等收益线的切点上。
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成本最小化（续二）
• 再其次，当生产集是规模报酬非递减时， 成本最小化问题的价值函数和最优向量， 比利润最大化问题的利润函数和供给对 应更有研究意义。
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成本最小化（续三）
• 我们集中分析单一产出的情况。令z为非 负的投入向量，f(z)为生产函数，q为产 出数量，w» 0为投入的价格向量。假设产 出可以自由处置，则成本最小化问题 (CMP)表述如下： • w· z • s.t. f(z)≥q
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成本最小化（续十）
• 6.（谢泼尔德引理）(Shepard's lemma)如 果z( ,q)由一个单点组成，那么c(· )在 处 对w是可微的，且▽wc( ,q)=z( ,q)。 • 7.如果函数z(· )在 处可微，那么 Dwz( ,q)=Dw2 c( ,q)是一个对称的半负定 矩阵，且Dwz( ,q) =0。