8.5一元线性回归案例1

补充题： 1． 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:百万元)之间 有如下对应数据: (1)画出散点图;(2)判断广告费支出与销售额之 间是否高度线性相关。 x 2 4 5 6 8
y
30
40
60
50
70
施化肥量x 施化肥量 水稻产量y 水稻产量
15
20
25 365
30
35
40
45
330 345
405 445
450 455
定义： 定义：
自变量取值一定时， 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定 相关关系。 随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 注 1）：相关关系是一种不确定性关系； ）：相关关系是一种不确定性关系； ）：相关关系是一种不确定性关系 2）：对具有相关关系的两个变量进行 ）：对具有相关关系的两个变量进行 ）： 统计分析的方法叫回归分析； 统计分析的方法叫回归分析； 回归分析 3）：表示具有相关关系的两个变量的 ）：表示具有相关关系的两个变量的 ）： 一组数据的图形叫做散点图。 一组数据的图形叫做散点图。 散点图
（x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ),⋅ ⋅ ⋅, ( x n , y n ) 分散在一条上升的直线附近
（ 3 ） 当 rxy
< −0.8 时 ， x 增 加 ， y 倾 向 于减 少 ， 这 时数 据
（x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ),⋅ ⋅ ⋅, ( x n , y n ) 分散在一条下降的直线附近
X Y
2 30
4 40
5 50
6 60
8 70
（1）画出散点图； （2）求出 x 与 y 的相关系数
（五）课堂小结 通过本节课学习， 我们学习了相关性的几个基本概念与定义、 相关系数的计算方法。由于计算数据较为复杂，在求相关系 数时，最好列出表格，使数据一目了然，便于计算。
六、布置作业
课本 P95 习题 11 1（1）—（2）
750
图 8－5－1 发现这些点分布在一条直线的附近，且有上升的趋势。那么 第一个问题的回答就需要知道被撞死的海牛数与船只的数量的密 切程度，引入相关系数。
用 s x 表示 {xi }的标准差， s y 表示 {y i } 的标准差，定义
x1 y1 + x2 y2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xn yn s xy = − xy n
r xy = 0.9415 ，
2
169 441 576 256 576 400 225 1156 1089 1089 1521 1849 2500 2209
x = 567 .5 ， y = 29 .43
14
代入公式，利用计算器得到
= 247521
∑x y
i =1 i
则 {xi }和 {yi } 高度正相关，因此，被撞死的海 14 14
现实生活中存在着大量的相关关系。 现实生活中存在着大量的相关关系。 如：人的身高与体重； 人的身高与体重； 产品的成本与生产数量； 产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费； 商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。 家庭的支出与收入。等等
那么两个具有相关关系的量可以用什么来刻画它们之间的关系？
1982 512 20 1989 711 50
1983 526 15 1990 719 47
i
xi
447 460 481 498 513 512 526 559 585 614 645 675 711 719
yi
13 21 24 16 24 20 15 34 33 33 39 43 50 47
xi y i
选修2-3 高二数学 选修
8.5一元线性回归 一元线性回归 案例（ 案例（一）
2011-6-5
郑平正 制作
数学必修３ 数学必修３——统计内容 统计内容 1. 画散点图 2. 了解最小二乘法的思想 3. 求回归直线方程 y＝bx＋a ＋ 4. 用回归直线方程解决应用问题
复习 变量之间的两种关系
问题1：正方形的面积 与正方形的边长 与正方形的边长x之间 问题 ：正方形的面积y与正方形的边长 之间 的函数关系是 函数关系是 y = x2 确定性关系 问题2：某水田水稻产量y与施肥量 与施肥量x之间是否 问题 ：某水田水稻产量 与施肥量 之间是否 有一个确定性的关系？ 有一个确定性的关系？ 例如： 块并排、 例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验， 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得 到如下所示的一组数据： 到如下所示的一组数据：
y
500 450 400 350 300 10
15
20
25 365
30
35
40
45
330 345
405 445
450 455
15
20
25
30
35
40
45
x
2）检验相关系数 r 的显著性水平： i xi yi xiyi 1 15 330 4950 2 20 345 6950
7 i =1 2 i
3 25 365 9125
n

=
∑x y
i =1 i n
i
− nxy
n
∑
i =1
x i 2 − nx 2
∑
i =1
y i 2 − ny 2
有以下性质: 理论可以证明相关系数 rxy 有以下性质
中取值； （1） rxy 总是在区间 [− 1,1] 中取值； ）
增加， 也倾向于增加， （2）当 rxy > 0.8 时， x 增加， y 也倾向于增加，这时数据 ）
相关关系的测度
（相关系数取值及其意义）
完全负相关 无线性相关 完全正相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
rxy =
s xy sx s y
根据以上公式，我们可以解决案例一的问题。
解： （1）首先画出案例一相应的散点图：
60 50 40 30 20 10 0
400
450
现在问： （1）随着机动船的数量的增加，被撞死的海牛数是否会增加？ （2）当机动船增加到 750 只，被撞死的海牛会是多少？
显然，在这个案例中，被撞死的海牛数是随机数，无法与机 动船只数建立函数关系。画出这组数据的散点图：
60 50 40 30 20 10 0
400
450
500
550
600
650
700
4 30 405 12150
7 i =1 2 i
5 35 445 15575
6 40 450 18000
7 i =1
7 45 455 20475
x = 30 , y = 399.3 , ∑ x = 7000 , ∑ y =1132725 , ∑ xi y i = 87175
7
∑x y
r=
7 i =1 2 i i =1 i 2
5811 9660 11544 7968 12312 10240 7890 19006 19305 20262 25155 29025 35550 33793
xi
2
yi
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
199809 211600 231361 248004 263169 262144 276676 312481 342225 376996 416025 455625 505521 516961
i
i= i =1 牛数会随着机动船数的增加而增加。1
∑x
2
i
= 4618597
∑y
i
= 14056
例1
块并排、 在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验， 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得 到如下所示的一组数据： 单位 单位kg） 到如下所示的一组数据：(单位 ）
施化肥量x 施化肥量 水稻产量y 水稻产量
i
− 7 xy
7
(∑ x − 7 x )(∑ y i2 − 7 y 2 )
i =1
=
87175 − 7 × 30 × 399.3 (7000 − 7 × 30 )(1132725 − 7 × 399.3 )
2 2
≈0.9733
这说明水稻产量与施化肥量之间高度正相关存在线性相关关系.
（四）巩固练习
现对 x、y 有如下观测数据：
海牛是一种体型较大的水生哺乳动物， 案例 1 海牛是一种体型较大的水生哺乳动物，体重可达到 700kg， ， 以水草为食。美洲海牛生活在美国的佛罗里达洲， 以水草为食。美洲海牛生活在美国的佛罗里达洲，在船舶运输繁忙 季节，经常被船的螺旋桨击伤致死。 季节，经常被船的螺旋桨击伤致死。下面是佛罗里达洲记录的 1977 机动船只数目 的数据。 年至 1990 年机动船只数目 x 和被船只撞死的海牛数 y 的数据。
年份 船只数量 x 撞死海牛数 y 年份 船只数量 x 撞死海牛数 y 1977 447 13 1984 559 34 1978 460 21 1985 585 33 1979 481 24 1986 614 33 1980 498 16 1987 645 39 1981 513 24 1988 675 43 1982 512 20 1989 711 50 1983 526 15 1990 719 47
500
550
600
650
700
750
年份 船只数量 x 撞死海牛数 y 年份 船只数量 x 撞死海牛数 y
1977 447 13 1984 559 34