人教版高中数学必修一1.2.2函数的表示法 (2)ppt课件
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人教版必修一1.2.2函数的表示法课件
提示：不能．并不是所有的函数都有解析式．
[导入新知]
[化解疑难]
三种表示方法的优、缺点比较
优点
缺点
解 析 法
一是简明、全面地概括了变量 间的关系；二是可以通过解析 式求出任意一个自变量所对应 的函数值
不够形象、直观，而且并 不是所有的函数都可以用 解析式表示
列 表 法
不通过计算就可以直接看出与 自变量的值相对应的函数值
例：求下列函数的解析式： (1)已知f1＋x x＝1＋x2x2＋1x，求f(x)； (2)已知f( x＋1)＝x＋2 x，求f(x)．
解：(1)法一：(换元法) 令t＝1＋x x＝1x＋1，得x＝t－1 1，则t≠1. 把x＝t－1 1代入f1＋x x＝1＋x2x2＋1x，得
f(t)＝1＋ 1t－112 2＋
y 0 －1 0 3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
[类题通法] 1．作函数图象的三个步骤 (1)列表．先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来． (2)描点．把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在坐标平面上描 出来． (3)连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连 接起来． [注意] 所选的点越多画出的图象越精确，同时所选的点应 该是关键处的点．
s_t函数图象与故事情节相吻合的是
()
解析：由于兔子中间睡了一觉，所以有一段路程不变，而乌龟的 路程始终在增加且比兔子早到终点，故选B. 答案：B
2.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义
域是
()
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
[导入新知]
[化解疑难]
三种表示方法的优、缺点比较
优点
缺点
解 析 法
一是简明、全面地概括了变量 间的关系；二是可以通过解析 式求出任意一个自变量所对应 的函数值
不够形象、直观，而且并 不是所有的函数都可以用 解析式表示
列 表 法
不通过计算就可以直接看出与 自变量的值相对应的函数值
例：求下列函数的解析式： (1)已知f1＋x x＝1＋x2x2＋1x，求f(x)； (2)已知f( x＋1)＝x＋2 x，求f(x)．
解：(1)法一：(换元法) 令t＝1＋x x＝1x＋1，得x＝t－1 1，则t≠1. 把x＝t－1 1代入f1＋x x＝1＋x2x2＋1x，得
f(t)＝1＋ 1t－112 2＋
y 0 －1 0 3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
[类题通法] 1．作函数图象的三个步骤 (1)列表．先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来． (2)描点．把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在坐标平面上描 出来． (3)连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连 接起来． [注意] 所选的点越多画出的图象越精确，同时所选的点应 该是关键处的点．
s_t函数图象与故事情节相吻合的是
()
解析：由于兔子中间睡了一觉，所以有一段路程不变，而乌龟的 路程始终在增加且比兔子早到终点，故选B. 答案：B
2.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义
域是
()
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
人教版高中数学必修一1.2.2函数的表示法(2)ppt课件
课堂小结
(1) 映射三要素: 原象、象、对应法则； (2) 取元任意性，成象唯一性；
课堂小结
(1) 映射三要素: 原象、象、对应法则； (2) 取元任意性，成象唯一性； (3) A中元素不可剩，B中元素可剩；
课堂小结
(1) 映射三要素: 原象、象、对应法则； (2) 取元任意性，成象唯一性； (3) A中元素不可剩，B中元素可剩； (4) 多对一行，一对多不行；
思 考： 你能说出函数与映射之间的异同吗? 1)函数是一个特殊的映射；
思 考： 你能说出函数与映射之间的异同吗? 1)函数是一个特殊的映射； 2)函数是非空数集A到非空数集B的映射，
而对于映射，A和B不一定是数集.
象与原象的定义：
给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B， 与b对应，则把元 素b叫做a在B中的象，而a叫做b的原 象.
③求正弦
1
2
30
2
45
2
60
3
90
2
1
观察下列对应，并思考：
①开平方
3
9
-3
4
2 -2
1
1
-1
1 ②求平方
-1 2 -2 3 -3
③求正弦
1
2
30
2
45
2
60
3
90
2
1
④乘以2 1
1
2 32Βιβλιοθήκη 4356
映射的定义：
一般地，设A、B是两个集合，如果 按照某种对应法则f，对于集合A中的任 一个元素，在集合B中都有唯一的元素 和它对应，那么这样的对应(包括A、B 以及A到B的对应法则f )叫做集合A到集 合B的一个映射.
人教版高中数学必修一1.2.2_函数的表示法_第二课时ppt课件
考点一
课堂互动讲练
考点突破 分段函数图象的画法
根据分段区间及各段解析式．常用描点法画图，注意区间 端点的虚实．
例1 已知函数 f(x)＝1＋|x|－ 2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 【思路点拨】 讨论x的取值范围
→ 化简fx的解析式
例2 从甲同学家到乙同学家的途中有一个公园 甲、乙两家到该公园的距离都是 2 km，甲 10 点钟 发前往乙家，如图表示甲从自家出发到乙家为止 过的路程 y(km)与时间 x(分钟)的关系．依图象回 下列问题：
(1)甲在公园休息了吗？若休息了，休息了多 长时间？ (2)甲到达乙家是几点钟？ (3)写出函数 y＝f(x)的解析式． (4)计算当 x＝50 分钟时，甲所走的路程．
x →y＝12x.
【思路点拨】 解答本题可由映射定义出发，观察A中任何一 个元素在B中是否都有唯一元素与之对应． 【解】 (1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对 值为0，而0∉B，故不是映射． (2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在 集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
问题探究
x x≥0 1．y＝|x|＝－x x＜0 可以说 y＝|x|是两 个函数吗？ 提示：y＝|x|，x∈R，仍是一个函数，只是 x ∈[0，＋∞)与 x∈(－∞，0)的对应关系不同， 对于具体 x 值，所用的对应关系是唯一的．
2．从定义上看，函数与映射有什么关系？ 提示：对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射， 是从非空数集到非空数集的映射．并非所有映射都为函数．
将(60,4)，(40,2)分别代入，得 k2＝110，b＝－ 2.
人教A版数学必修一1.2.2函数的表示法(二)课件.pptx
B.{ x | x 1}
C.{ x | x 0,且x 1} D.{ x | x 0}
解析:函数的定义域满足
x 1 | x | x
0, 0.
解之,得
x 1,
x
0.
即 x 0,且x 1.
【3】求函数 y x 1 x 的值域.
解：设 t 1 x ,
y
则 x = 1- t2且 t ≥ 0.
当 x ≤－5 时，
y = －( x + 5 ) －( x －1 )=－2x－4
当 －5 ＜ x≤ 1 时，
y = ( x + 5 ) －( x －1 ) = 6
当x ＞1 时，
y = ( x + 5 ) + ( x －1 ) = 2x + 4
2x 4 x 5
y
6
5 x1
－5
2x 4
x 1
当x＞1时, y ( x 1) [(1 x)] =2.
y 22x,,
x 1, 1≤ x ≤1,
y
2
2, x 1.
由图知:－2≤y≤2.
-1
o1
x
故函数的值域为[－2, 2 ].
-2
x 2, x ≤ 1,
【1】已知函数
f
(
x)
x2
,
1 x 2,
若 f(x)=3, 则x的值是……2…x,……x ≥(2D. ).
∴y = 1-t 2+ t
(t 1)2 5 .
o
t
24
由图知：
y
≤
5 4
5 4
].
换元法:利用换元化单一函数
求函数y 2x 3 4x 13 的值域.
高中数学人教A版必修一1.2.2函数的表示法(二) 课件(30张)
其图象为：
解：设里程为x公里
由题意，可得以下函数解析式：
2, 0 x 5, 3,5 x 10, y 4,10 x 15, 5,15 x 20.
其图象为：
分段函数定义
如果函数 y＝f(x)， x∈A， 根据自变量 x 在 A 中不同的 取值范围 ， 有着不同的 对应关系 ，则称这样的函数为分段函数．
注： (1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同
取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2) 分段函数是一个函数 , 其定义域、值域分别是各段函 数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
1．函数
2x y＝ －4
x>0， 的定义域为________． x<0
1 0<x<1， 1．作出函数 y＝x 的图象，并求其值域． x x≥1
1 解：当 0<x<1 时，y＝x的图象是双曲线的一部分． 当 x≥1 时，图象为直线 y＝x 的一部分． 如图所示，由此可知，值域 y∈[1，＋∞)．
题型二
分段函数求值
3x，－1≤x≤1， f(x) ＝ 2 x －4x＋6，1<x<5，
13 【答案】(1) 4 1 (2)1 或－2
题型三
映射概念及应用
【例 3】判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射： (1)A＝N*，B＝N*，对应关系 f：x→|x－3|； (2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系 f “作圆的内接矩形”； (3)A＝{高一(1)班的男生}， B＝{男生的身高}， 对应关系 f：每个男生对应自己的身高； (4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系 f：x→y 1 ＝2x.
人教版2017高中数学(必修一)1.2.2 函数的表示方法(第2课时)PPT课件
2、待定系数法 1、直接代入法 3、换元法 4、列方程组消元法 1 例4 (1)已知f ( x )满足f ( x ) 2 f ( ) x( x 0)，求f ( x ); x 1 解： 当x 0时，f ( x ) 2 f ( ) x (1) x 1 1 f ( ) 2 f ( x) (2) x x 2 x2 2 由(1) 2 (2)可得 3 f ( x ) x x x 2 x2 f ( x) ( x 0) 3x
1.2.2 1.2.2 函数的表示方法（第2课时）
四、函数解析式求法 1、直接代入法 例1(1)已知 f ( x) 3 x 6，求f (2 x 1)、f [ f ( x)].
解： f ( x )=3x +6, f (2 x 1) 3 (2 x 1) 6 6 x 9, f [f ( x )] 3 f ( x ) 6 3 (3 x 6) 6=9x +24，x R.
1、直接代入法
2、待定系数法 3、换元法：注意定义域
函数解析式求法
令t x 2 求t的取值范围 用t 表示x
例3 (1)已知f ( x +2)=2x +1，求f ( x ). 解：令t x 2，则t R，且x t 2, 故f (t ) 2 (t 2) 1 2t 3.
(3)二次函数 f ( x)满足f (0) 1，f ( x 1) f ( x) 2 x，求f ( x). 解：设f ( x) ax 2 bx c(a 0)，根据题意可得 f (0) 1, c 1, 则f ( x) ax 2 bx 1,
又 f ( x 1) f ( x ) 2 x,
人教版高中数学必修一1.2.2_函数的表示法_ppt课件
1．2 函数及其表示
1．2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数与映射
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻
研习新知
•新知视界
• 1．分段函数
• 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
• 分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并 集．
• ①映射的三要素：原象、象、对应关系； • ②A中元素不可剩，B中元素可剩；
• ③多对一行，一对多不行； • ④映射具有方向性：f：A→B与f：B→A一般是不同的映射
• 其次，要准确把握映射与函数的关系：
• (1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上 引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射 的语言来叙述函数的问题．
• (2)区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言， A和B不一定是数集．
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
x－1
－x
x<1
x≥1
＝(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
，则f(f
解析：f(1)＝ 1－1＝0， ∴f(f(1))＝f(0)＝0.
答案：A
3．设A＝{0,1,2,4}，B＝ 12，0，1，2，6，8
下列对应关系能构成A到B的映射的是(f：x→(x－1)2
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
1．2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数与映射
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻
研习新知
•新知视界
• 1．分段函数
• 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
• 分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并 集．
• ①映射的三要素：原象、象、对应关系； • ②A中元素不可剩，B中元素可剩；
• ③多对一行，一对多不行； • ④映射具有方向性：f：A→B与f：B→A一般是不同的映射
• 其次，要准确把握映射与函数的关系：
• (1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上 引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射 的语言来叙述函数的问题．
• (2)区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言， A和B不一定是数集．
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
x－1
－x
x<1
x≥1
＝(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
，则f(f
解析：f(1)＝ 1－1＝0， ∴f(f(1))＝f(0)＝0.
答案：A
3．设A＝{0,1,2,4}，B＝ 12，0，1，2，6，8
下列对应关系能构成A到B的映射的是(f：x→(x－1)2
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
人教A版高中数学必修一1.2.2函数的表示法 课件 (共27张PPT)
合作探究
探究点一 分段函数的概念
问题1：分段函数的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成
的吗？
提示：不是.分段函数的定义域只有一个，只不过在定义域的不同子
区间上对应关系不同而已，是一个函数.
合作探究
探究点一 分段函数的概念
问题2：分段函数的定义域和值域如何求？
提示：分段函数的定义域是各段自变量取值区间的并集.分段函数的 值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集.
归纳小结
2．对映射的定义，应注意以下几点： (1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其 他集合． (2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来 表达．
再见
课堂练习
解析：f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0. 答案：D
课堂练习
3．已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝6，则f(x)的解析
式为f(x)＝________.
[答案] 2x2－x
归纳小结
1．理解分段函数应注意的问题： (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域 是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏． (2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的 解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数 的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图 象．
[解析]
题后反思
[拓展提升] 1.求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.
当出现多层“f”的形式时，应从内到外依次求值母的取值范围分类讨论. (2)然后代入到不同的解析式中. (3)通过解方程求出字母的值. (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
(新)人教版高中数学必修一1.2.2《函数的表示法》课件(共23张PPT)
的一种“程序”或“方法”．因此要把“2x ＋ 1”及“ x ＋ 1”看成一个整体来求解．
1 1 (2)设f( ＋1)＝ 2－1，则f(x)＝________. x x (3)若对任意x∈R，都有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，则f(x)＝ ________.
[答案]
(1)D (2)x2－2x(x≠1)
6．(2012· 全国高考数学文科试题江西卷)设函数f(x)＝ x2＋1 x≤1 2 ，则f(f(3))＝( x>1 x 1 A.5 2 C. 3 B．3 13 D. 9 )
[答案] D
7．已知函数f(x)＝
2 x －4，0≤x≤2， 2x，x>2，
，则f(2)＝
2．作图时忘记去掉不在函数定义域内的点 [例5] 数的值域． [错解]
x，－1≤x≤1， 由题意，得y＝ －x，x<－1或x>1.
x|1－x2| 画出函数y＝ 2 的图象，并根据图象指出函 1－x
[例 5]
(1)已知 f(x)＝x2，求 f(2x＋1)；
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)． 1 (3)设函数 f(x)满足 f(x)＋2f(x )＝x (x≠0)，求 f(x)． [分析] 我们前面指出，对应法则“f”实际上是对“x”计算
5．(山东冠县武的高2012～2013月考试题)已知函数f(x)
x＋1x≥0 ＝ fx＋2x＜0
则f(－3)的值为( B．－1 D．2
)
A．5 C．－7
[答案] D
如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折 线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为 x，△APB的面积为y. (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)画出y＝f(x)的图象； (3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．
(新)人教版高中数学必修一1.2.2《函数的表示法》精品课件(共52张PPT)
换元法或配凑法求解析式
对于形如已知 f[g(x)]的解析式，求 f(x)的解析 式， 可采用配凑法或换元法： 配凑法是将 f[g(x)] 右端的代数式配凑成关于 g(x)的形式，进而求 出 f(x)的解析式； 换元法可令 g(x)＝t， 解出 x， 即用 t 表示 x， 然后代入 f[g(x)]中即可求得 f(t)， 从而求得 f(x)．
根据下列条件，求函数解析式． (1)已知 f(x)为一次函数，且 f[f(x)]＝9x＋4， 求 f(x)； (2)f(x )是二次函数， 且 f(2)＝－3， f(－2)＝－7， f(0)＝－3，求 f(x)．
例1
【 思 路 点 拨 】 → 代入、列方程组 → 得解析式
设出fx的解析式 → 求解待定系数
提示：y 不是 x 的函数，对于一个 x 值，y 的值 不唯一，如 x＝1 时，有 y＝± 1 与之对应，不符 合函数的定义． 2． 平行于 y 轴的直线与函数图象最多有几个交 点？ 提示：最多只有一个．
课堂互动讲练
考点突破 待定系数法求解析式 对于已知函数解析式的形式，先用含有字母 参数的形式设出，再根据其它条件求解待定 字母．
根据条件，求函数解析式． (1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)； 1 (2)f(x )－2f( )＝3x＋பைடு நூலகம்，求 f(x)． x
例2
【思路点拨】 把 x＋1 看作整体，换元 1 或配凑；把 x 与 看作两个变量进行互换． x
【解】 (1)法一：x＋ 2 x＝ ( x)2＋ 2 x ＋ 1 －1＝ ( x＋1)2－ 1， ∴ f( x＋ 1)＝ ( x＋1)2－ 1( x＋1≥1)， 即 f(x)＝ x2－1(x≥1)． 法二：令 t＝ x＋1，则 x＝ (t－1)2(t≥1)，代 入原式有 f(t)＝ (t－ 1)2＋ 2(t－ 1)＝ t2－ 2t＋ 1 ＋2t－ 2＝ t2－1. ∴ f(x)＝ x2－1(x≥1)．
(新)人教版高中数学必修一1.2.2《函数的表示法》优秀课件(共27张PPT)
单位：亿元
1990 1991 1992 1993 26651.9 34560.5 生产总 18598. 21662.5 再如，某天一昼夜温度变化情况如下表 4 值 时刻 0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00 24：00 -5 4 9 8.5 3.5 -1 温度/(OC) -2 数学用表中的三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表 等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表
请 思 考 并 分 析 右 边 给 出 的 对 应 关 系
练习 国内跨省市之间邮寄信函,每封信 函的质量和对应的邮资如表.
信函质 0<m≤ 20<m≤4 40<m≤6 60<m≤8 80<m≤1 20 0 0 0 00 量(m)/g
邮资 (M)/分
80
160
240
320
400
画出图像,并写出函数的解析式.
日常生活中存在着丰富的对应关系.
(1)对于高一八班的每一位同学,都有一个学 号与之对应.
(2)我国各省会，都有一个区号与之对应. (3)我国各大中小城市,都有一个邮政编码 与之对应.
初中数学中也学过一些对应. (1)对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的 点P和它对应.
(2)对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一 的有序实数对(x,y)和它对应； (3)对于任意一个三角形，都有唯一确定的面 积和它对应；
4 3 2 1 -1 0 1 2
y=x+2
3 x
函数的三种表示方法
1.解析法：就是把两个变量的函数关，用一 个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式， 简称解析式.
解析法的优点： • （1）函数关系清楚; • （2）容易从自变量的值求出其对应的 函数值； • （3）便于研究函数的性质。
高中数学人教A版必修一1.2.2 函数的表示法(2) 课件(50张)
映射 设 A、B 是两个 非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 任意一个 元素 x，在集合 B 中都有唯一确
定 的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合 A 到
集合 B 的一个映射.
分段函数求值
x＋2，x≤－1 2x，－1<x<2 已知函数 f(x)＝ 2 x ，x≥2. 2 (1)求
1.通过具体实例，了解简单的分段函 课标解读 数，并能简单应用．(重点、难点) 2．了解映射的概念．(易混点)
分段函数
【问题导思】 在现实生活中，常常使用表格描述两个变量之间的对应关 系．比如：国内邮寄信函(本埠)，每封信函的重量和对应邮资如 下表：
信函重量 0<m 20<m 40<m 60<m 80<m m/g 邮资 M/元 ≤20 ≤40 0.80 1.60 ≤60 2.40 ≤80 ≤100 3.20 4.00
映射
在某次数学测试中， 高一1班的 60 名同学都取得了较好的 成绩，把该班 60 名同学的名字构成集合 A，他们的成绩构成集 合 B.
1．A 中的每一个元素，在 B 中有且只有一个元素与之对应 吗？
【提示】 是的． 2．从集合 A 到集合 B 的对应是函数吗？为什么？ 【提示】 不是．因为集合 A 不是数集．
3 f f 2的值；
(2)若 f(a)＝2，求 a 的值．
【思路探究】
3 3 (1) 求f2 → 求f f 2
(2)就(a)的取值范围分三种情形分别求解． 3 3 3 【自主解答】 (1)∵－1< <2，∴f2＝2× ＝3. 2 2
(2)难点的解决：在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对 应入手，选择一些具体的生活例子，然后列举一些数学例子， 分为一对多、多对一、多对多、一对一四种情况，让学生认真 观察、比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映 射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认 识到理性认识，体会出映射是函数的推广，函数是一种特殊的 映射．
高中数学 1.2.2函数表示法(二)课件 新人教A版必修1
A 求 正 弦 B
1
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2
2
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h
2
A 求 平 方 B39－3来自24－2
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3
A 开 平 方 B
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1
1 －1
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4
A 乘 以 2 B
1
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h
5
A乘 以 4B
0
1
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12
4
5
20
h
6
映射f:A→B，可理解为以下4点：
函映数射
设A,B是两个非空的数集集合，如果按某一个 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集 合B的一个函映数射。
由此可知，映射是函数的推广，函 数是一种特殊的映射。
h
1
判断下列对应是不是映射？如果是，那这个映射 是函数吗？
若函数f(x)的定义域为[a,b]，则f(g(x))的定义 域应由不等式a≤g(x)≤b解出即得。
练习 若函数f(x)的定义域为[1，4]，则函数f(x+2)
的定义域为_[_-1_,_2_]_.
h
10
例 已知f(2x-1)的定义域是[0，3]，求f(x)定义域。
已知f(g(x))的定义域，求f(x)定义域的方法： 已知f(g(x))的定义域为D，则f(x)的定义域为
h
17
1、A中每个元素在B中必有唯一的象 2、对A中不同的元素，在B中可以有相同的象 3、允许B中元素没有原象 4、A中元素与B中元素的对应关系，可以 是：一对一，多对一，但不能一对多
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A 求 平 方 B39－3来自24－2
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A 开 平 方 B
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A 乘 以 2 B
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A乘 以 4B
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映射f:A→B，可理解为以下4点：
函映数射
设A,B是两个非空的数集集合，如果按某一个 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集 合B的一个函映数射。
由此可知，映射是函数的推广，函 数是一种特殊的映射。
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1
判断下列对应是不是映射？如果是，那这个映射 是函数吗？
若函数f(x)的定义域为[a,b]，则f(g(x))的定义 域应由不等式a≤g(x)≤b解出即得。
练习 若函数f(x)的定义域为[1，4]，则函数f(x+2)
的定义域为_[_-1_,_2_]_.
h
10
例 已知f(2x-1)的定义域是[0，3]，求f(x)定义域。
已知f(g(x))的定义域，求f(x)定义域的方法： 已知f(g(x))的定义域为D，则f(x)的定义域为
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17
1、A中每个元素在B中必有唯一的象 2、对A中不同的元素，在B中可以有相同的象 3、允许B中元素没有原象 4、A中元素与B中元素的对应关系，可以 是：一对一，多对一，但不能一对多
高中数学人教A必修一课件-1.2.2函数的表示方法(2)
3．A=Z，B=N*，集合A中的元素x按照对应法则 “求绝对值”和集合B中的元素对应．这个对应是 不是映射？
4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A中的元
素x按照对应法则“f ：ab=(a1)2”和集合B中
的元素对应．这个对应是不是映射？
五、扩充知识：求象与原象
已知(x,y)在映射f的作用下的象是： （x+y,x-y）,则点（3，4）在f下的象是 _（_7_，__-1_）__；
1、函数是从非空数集A到非空数集B的映射。
2、映射是从集合A到集合B的一种对应关系， 这里的集合A、B可以是数集，也可以是其他 集合。
3、函数是一种特殊的映射。
三、例题讲解：
例7、下列给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？
（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关 系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)其值域等于各段函数的值域的并集，
(3)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
例如：
x 2 , x 1
fபைடு நூலகம்
(x)
x2
, 1 x 2
2x , x 2
x 1 , x 2
例1.
f
(
x)
x
2
2x
,
2 x2
2x 1 , x 2
(1)求f (5)，f ( 3), f ( f ( 5))的值; 2
(2)对于坐标平面内任何一个点A，都有 唯一的有序实数对(x,y)和它对应；
(3)对于任意一个三角形，都有唯一确定的 面积和它对应；
二、新课讲解：
映射定义：设A、B是两个非空的集合，如果 按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中 的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定
4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A中的元
素x按照对应法则“f ：ab=(a1)2”和集合B中
的元素对应．这个对应是不是映射？
五、扩充知识：求象与原象
已知(x,y)在映射f的作用下的象是： （x+y,x-y）,则点（3，4）在f下的象是 _（_7_，__-1_）__；
1、函数是从非空数集A到非空数集B的映射。
2、映射是从集合A到集合B的一种对应关系， 这里的集合A、B可以是数集，也可以是其他 集合。
3、函数是一种特殊的映射。
三、例题讲解：
例7、下列给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？
（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关 系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)其值域等于各段函数的值域的并集，
(3)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
例如：
x 2 , x 1
fபைடு நூலகம்
(x)
x2
, 1 x 2
2x , x 2
x 1 , x 2
例1.
f
(
x)
x
2
2x
,
2 x2
2x 1 , x 2
(1)求f (5)，f ( 3), f ( f ( 5))的值; 2
(2)对于坐标平面内任何一个点A，都有 唯一的有序实数对(x,y)和它对应；
(3)对于任意一个三角形，都有唯一确定的 面积和它对应；
二、新课讲解：
映射定义：设A、B是两个非空的集合，如果 按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中 的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定
高中数学人教A版必修一1.2.2函数的表示法(2)课件(36张)
1.分段函数的对应关系不同，那么分段函数不
是由一个函数构成的，对吗？
提示：不对．分段函数的定义域只有一个， 只不过在定义域的不同区间上对应关系不同 而已，是一个函数．
2．映射
非空 集合，如果按某一个确 设 A ， B 是两个 ______ 定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个 唯一确定 元素x，在集合B中都有____________ 的元素y 与之对应，那么就称对应 f ： A→B 为从集合 A 到集合B的一个映射． 想一想 2.映射是函数吗？ 提示：不一定．
【名师点评】
对含有绝对值的函数，要作
出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝
对值符号，将函数转化为分段函数，然后分
段作出函数图象．由于分段函数在定义域的 不同区间内解析式不一样，因此画图时要特 别注意区间端点处对应点的实虚之分．
变式训练
2.如图为一分段函数的图象，则该函数的定义 域为______，值域为________．
(2)当 f(x)＝x＋ 2＝ 2 时，x＝ 0，不符合 x<0.7 分 当 f(x)＝x2＝ 2 时， x＝ ± 2，其中 x＝ 2符合 0≤x<2. 9分 1 当 f(x)＝ x＝ 2 时，x＝4，符合 x≥ 2.11 分 2 综上， x 的值是 2或 4.12 分
【名师点评】
(1) 求分段函数的函数值，一
定要注意所给自求得．
(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由 里到外”的顺序，层层处理．
变式训练
1 ． (2011·高 考 浙 江 卷 ) 设 函 数 f(x) ＝ － x， x≤ 0， 2 若 f(α)＝ 4，则实数 α＝( ) x ，x>0， A．－ 4 或－ 2 B．－ 4 或 2 C．－ 2 或 4 D．－ 2 或 2
是由一个函数构成的，对吗？
提示：不对．分段函数的定义域只有一个， 只不过在定义域的不同区间上对应关系不同 而已，是一个函数．
2．映射
非空 集合，如果按某一个确 设 A ， B 是两个 ______ 定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个 唯一确定 元素x，在集合B中都有____________ 的元素y 与之对应，那么就称对应 f ： A→B 为从集合 A 到集合B的一个映射． 想一想 2.映射是函数吗？ 提示：不一定．
【名师点评】
对含有绝对值的函数，要作
出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝
对值符号，将函数转化为分段函数，然后分
段作出函数图象．由于分段函数在定义域的 不同区间内解析式不一样，因此画图时要特 别注意区间端点处对应点的实虚之分．
变式训练
2.如图为一分段函数的图象，则该函数的定义 域为______，值域为________．
(2)当 f(x)＝x＋ 2＝ 2 时，x＝ 0，不符合 x<0.7 分 当 f(x)＝x2＝ 2 时， x＝ ± 2，其中 x＝ 2符合 0≤x<2. 9分 1 当 f(x)＝ x＝ 2 时，x＝4，符合 x≥ 2.11 分 2 综上， x 的值是 2或 4.12 分
【名师点评】
(1) 求分段函数的函数值，一
定要注意所给自求得．
(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由 里到外”的顺序，层层处理．
变式训练
1 ． (2011·高 考 浙 江 卷 ) 设 函 数 f(x) ＝ － x， x≤ 0， 2 若 f(α)＝ 4，则实数 α＝( ) x ，x>0， A．－ 4 或－ 2 B．－ 4 或 2 C．－ 2 或 4 D．－ 2 或 2
高中数学 1.2.2《函数的表示法》课件 新人教版必修1
个笔记本需要元。试用函数的三种表示法表示函数
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝ 用解析法可将函数y=f(x)表示为
y 5 x ,x 1 ,2 ,3 ,4 ,5
用列表法可将函数表示为
笔记本数 1 2 3 4 5 x
钱数y 5 10 15 20 25
2020/11/14
精选ppt
4
78▲♦.3
85.4 ▲80.3
♦
■♦
▲
▲
■♦
75.7
张城
82.6
■
■
70
■
赵磊
■
60 2020/11/14
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7
012 3456x Nhomakorabea例5 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如下：
x, x≥0, -x, x<0.
y
2020/11/14
5 4 3 2 1
-3 -2精选-1ppt0 1 2 3
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14
A 求 正 弦 B
1
30 0
2
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2 2
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2 1
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A 求 平 方 B
3
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－3
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－2
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－1
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A 开 平 方 B
3
9
－3
4
2 －2
1
1 －1
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17
A 乘 以 2 B
系中的点与它的坐标对应；
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝ 用解析法可将函数y=f(x)表示为
y 5 x ,x 1 ,2 ,3 ,4 ,5
用列表法可将函数表示为
笔记本数 1 2 3 4 5 x
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012 3456x Nhomakorabea例5 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如下：
x, x≥0, -x, x<0.
y
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A 求 正 弦 B
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A 求 平 方 B
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A 开 平 方 B
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A 乘 以 2 B
系中的点与它的坐标对应；
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解：设票价为y，里程为x，则根据题意， 如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行驶的里程约为20 公里，所以自变量x的取值范围是（0，20]
由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式：
2, 0<x<5
y=
3, 5≤x<10 4, 10≤x<15
5, 15≤20
x∈N*
根据函数解析式，可画出函数图象，如下图
例 某种笔记本的单价是5元，买x 试用函数不同表示法表示函数
x个笔1记,2本,3需,4要,5元。
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝用解析法可将函
数y=f(x)表示为
y 5x, x 1,2,3,4,5
用列表法可将函数表示为
用图象法可将函数表示为下图
y
．
25 20 15
10
．．．.
定义域要优先考虑 注意数学问题的实际背景
5
012345
x
例1 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学 测试的成绩及班级平均分表。
注意
1.本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究 成绩的变化特点； 2.本例能否用解析法？为什么？
并不是每个函数都一定能写出它的解析式.
80, x (0,20],
y
y
126400,,
x (20,40], x (40,60],
400 320
320, x (60,80], 这就是分段24函0 数
400, x (80,100].
160
80
20
40
60
80
x 100
又如 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
t=9s时,v(9)=3×9=27 (cm/s)
问题探究
2x+3, x＜－1,
4. 已知函数f (x)=
x2, －1≤x＜1,
x－1, x≥1 .
(1)求f{f[f(－2)]} ;（复合函数）
(2) 当f (x)=－7时,求x ;
提高训练
1.已知函数
f
(
x)
1 x
,
x2 ,
x 求0f(x+1)
引言
语言是沟通人与人之间的联系的,同样的话语又有着不同的表示方 法. 比如： 我爱你（中文） あいしてる （日语） I love you （英语） 사랑해（韩语）
那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢？
函数的常用表示方法
（1）解析法： 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 （2）图象法： 就是用图象表示两个两个变量之间的对应关系。 （3）列表法： 就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
有些函数在它的定义域中， 对于自变量的不同取值范围， 对应关系不同，这种函数通 常称为分段函数。
分段函数
象上面三例中的函数，称为分段函数． 注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而是写函数
值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部 分的自变量的取值情况．
作出下列函数的图像 （1）y=|x+2|-|x-5| (2) y=|x-5|+|x+3|
问题探究
3. 某质点在30s内运动速度vcm/s是
时间t的函数,它的
v
30
图像如下图.用解
析式表示出这个
函数, 并求出9s时
10
质点的速度.
t O 10 20 30
解 解析式为v (t)=
t+10, (0 ≤ t<5) 3t, (5 ≤ t＜10) 30, ( 10 ≤t ＜20)
-3t+90,(20 ≤ t≤30)
引例
国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超 过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0<x ≤ 100)的信函应付邮资为 （单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的 图像.
解：这个函数的定义域集合是{x|0<x≤100} ，函数的解析式为
函数的三种表示法的缺点：
1、解析法的缺点：有些问题有时很难用表达式来表示。 2、图象法的缺点：图像及相对应的点的坐标往往不准确。 3、列表法的缺点：有时应用有一定的局限性。
将三者合理的结合在一起，是我们学习的
主要内容。
例题讲解
1、设集合M={x|0≤x≤2}，集合N={y|0≤y≤2}，给出下列四个
x, x≥0, y= -x, x<0.
y
图象如下：
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
例6.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5 公里计算）。
已知两个相邻的公共汽车站间相距为1公里，如果沿途（包括起点 站和终点站）有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间 的函数解析式，并画出函数的图象。
图像，其中能表示集合M到N的函数关系的有
.
例题讲解
2、在某洗衣店中，每洗一次衣服（4.5kg以内）需付费4元，如果 在这家洗衣店洗衣满12次，则其后可以免费洗一次，如果某人在 这家店中洗了16次衣服.
（1）根据题意填写下表：
洗衣次数n 5 8 12 13 16
洗衣费c
（2）“费用c是次数n的函数”还是“次数n是费用c的函数”？
x0
2.已知函数
f
(
x)
x
1, x x 3,
求1f[f(2.5)] x 1
3．函数 f (x) x |的x图| 像是（ ） x
4.等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2，BC=1， ∠BAD=45°,直线MN交AD于M，交折线 ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于 直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出 函数的定义域。
（3）写出当n≤16时的函数的解析式.
例题讲解
3、某水库在防汛期间某一天24小时内的水位变化情况如图所示，该水库的 安全水位为50米，警戒水位为60米，纵轴表示实际水位相对于安全水位的 水深，根据图像回答下列问题：
（1）这一天水库的最高水位是多少？最低水位是多少？
（2）这一天中，该水库的水位何时是上升阶段？
函数的三种表示法的优点：
1、解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二 是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。
2、图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变 化的趋势，有利我们通过图象研究函数的某些性质。
3、列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对 应的函数值。