第二十一章 原子的量子理论123402教材
原子物理――量子力学初步精品PPT课件
海森伯不确定关系的讨论
• 经典粒子：可以同时有确定的位置、 速度、动量、能量…… 其运动是可以用轨迹来描述的。
• 经典波：有确定的波长，但总是在空 间扩展，没有确定的位置
• 波粒二象性：不可能同时具有确定的 位置和动量。如何来确定它们位置、 动量等物理量？
• 粒子在其中以驻波的形式存在 • 匣子壁是驻波的波节 • 匣子的长度是半波长的整数倍
匣子 长度
Ln
2
p h
p nh 22m
n2h2 8mL2
束缚粒子的能 量是量子化的
如果将匣子等效为核的库仑势场
• 其中的粒子就是核外电子，电子沿轨道运动一周后回到起点
• 轨道的周长为匣子长度的2倍
资料仅供参考约恩逊clausjnsson实验1961年50kv005a缝间距基本数据89年日立公司的电子双棱镜实验单电子干涉实验20029物理世界最美丽的十大物理实验让电子通过特制的金属狭缝资料仅供参考1989年日立公司的akiratonomura等人作了更精确的实实际测量证明每秒钟只有少于1000个电子入射到双棱镜中所以不可能有两个或两个以上的电子同时到达接收装置上因而不存在干涉是两个电子相互作用的结果20029物理世界最美丽的十大物理实验资料仅供参考如果让入射电子数减弱每次仅有一个电子射出经过一段时间后仍能得到稳定的双缝干涉花样
1926 年玻恩提出 德布罗意波是概率波 .
统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在该 处邻近出现的概率成正比的 .
概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不可能 精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率 .
三、量子态—波粒二象性的必然结果
高三物理 第二十一章 量子论初步
高三物理 第二十一章 量子论初步一、光电效应 光子1．光电效应⑴在光的照射下物体发射电子的现象，叫做光电效应。
右图装置中，用弧光灯照射锌板（弧光灯发出的光中含有紫外线），将有电子从锌板表面飞出，使原来不带电的验电器带正电。
发射出来的电子叫做光电子（区别于加热发出的热电子）。
⑵光电效应的规律。
研究发现，光电效应有以下规律：①极限频率的存在。
各种金属都存在极限频率ν0，只有ν≥ν0才能发生光电效应（与之对应的有极限波长λ0，只有λ≤λ0才能发生光电效应）；②瞬时性。
无论照射光强还是弱，只要超过极限频率，从光照射到有光电子产生，经历的时间不超过10-9s ，几乎是瞬时的。
这两条规律都无法用光的波动性来解释。
2．光子说⑴普朗克的量子理论。
普朗克在研究热辐射（电磁辐射的一种）时发现，只有认为电磁波的发射和接收不是连续的，而是一份一份地进行的，理论计算的结果才跟实验相符。
普朗克把这一份一份的能量叫做一个能量子。
普朗克还指出：每个能量子的能量等于h ν，其中ν是电磁波的频率，h 是一个常量，叫普朗克常量，h=6.63×10-34J s 。
⑵爱因斯坦的光子说。
光的波动说无法解释光电效应。
考虑到光和热辐射一样，也是一种电磁波，于是爱因斯坦把普朗克的量子理论应用到光学研究中来，提出了光子说。
光子说的内容是：光是不连续的，是一份一份的，每一份叫做一个光量子，简称光子。
光子的能量E 跟光的频率ν成正比：E=h ν。
爱因斯坦利用光子说解释了光电效应。
设每个光子只能被一个电子吸收（一个光子不能被多个电子分开吸收）；每个电子只能吸收一个光子（一个电子不能同时吸收多个光子）。
光电效应的物理过程如下：入射光照到金属上，有些光子被电子吸收，有些没有被电子吸收；吸收了光子的电子（a 、b 、c 、e 、g ）动能增大，将向各个方向运动；有些电子射出金属表面成为光电子（b 、c 、g ），有些没射出（a 、e ）；射出金属表面的电子克服金属中正电荷引力做的功也不相同；只有从金属表面直接飞出的光电子克服正电荷引力做的功最少（g ），飞出时动能最大。
波尔理论与物质波
h 25 1.3 10 nm 2mE k
在微观上，如电子m=9.110-31Kg，速度V=5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为：
1.4 10 nm
2
德布罗意还指出：氢原子中电子的圆轨道 运动，它所对应的物质波形成驻波，圆周 长应等于波长的整数倍。
h 再根据德布罗意关系 p
2r n
得出角动量量子化条件 h p n 2r
h L rp n n 2
E mc
2
电子驻波
德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。 光速c是个“大”常数；普朗克常数h是个“小”常数。
物质波的实验验证 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶， 电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和 衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。 A
2
赖曼系
109677cm-11
hcR=13.6eV
氢原子能级图
对玻尔理论的评价：
成功地解释了原子的稳定性、大小及氢原子 光谱的规律性。 为人们认识微观世界和建立近代量子理论打下了基础。 对应原理： 当量子数n趋于 无限大时，量 子理论得出的 结果与经典理 论的结果相一 致，这是玻尔 提出的。
h 16.7nm 2meU
2 arcsin 0.777 51
1.67 sin(2 ) k 2.15
o
k 1,2,
理论值比实验值稍大的原因是电子受正离子的吸引， 在晶体中的波长比在真空中稍小（动量稍大）。经 修正后，理论值与实验结果完全符合。
电子不仅在反射时有衍射现象， 汤姆逊实验证明了电子在穿过 金属片后也象X 射线一样产生 衍射现象。 戴维逊和汤姆逊因验证 电子的波动性分享1937 年的物理学诺贝尔奖金
第二十章 量子力学基础 讲稿
第二十章 量子力学基础§20-1 玻尔的氢原子理论自1897年发现电子并确定是原子的组成粒子以后，物理学的中心问题之一就是探索原子内部的奥秘。
人们逐步弄清了原子的结构及其运动变化的规律，认识了微观粒子的波粒二象性，建立了描述分子、原子等微观系统运动规律的理论体系量子力学。
量子力学是近代物理学中一大支柱，有力地推动了一些学科（如化学、生物、…）和技术（如半导体、核动力、激光、…）的发展。
本章介绍量子理论的一些基本概念。
一、原子光谱的实验规律光谱分为下面三类：线光谱：谱线是分明、清楚的，表示波长的数值有一定间隔。
（所有物质的气态原子（而不是分子）都辐射线光谱，因此这种原子之间基本无相互作用。
）带状光谱：谱线是分段密集的，每段中相邻波长差别很小，如果摄谱仪分辨本领不高，密集的谱线看起来并在一起，整个光谱好象是许多段连续的带组成。
（ 它是由没有相互作用的或相互作用极弱的分子辐射的。
）连续光谱：谱线的波长具有各种值，而且相邻波长相差很小，或者说是连续变化的。
（如：太阳光是连续光谱。
实验表明，连续光谱是由于固态或液态的物体发射的，而气体不能发射连续光谱。
液体、固体与气体的主要区别在于它们的原子间相互非常强烈。
）1．氢原子光谱19世纪后半期，许多科学家测量了许多元素线光谱的波长，大家都企图通过对线光谱的分析来了解原子的特性，以及探索原子结构。
人们对氢原子光谱做了大量研究，它的可见光谱如下图。
其中从光波向短波方向 数的前4个谱线分别叫做αH 、βH 、γH 、δH ，实验测得它们对应的波长分别为：A =H 6563α、 A =H 4861β、A =H 4340γ、A =H 4102δ。
在1885年从某些星体的光谱中观察到的氢光谱谱线已达14条。
这年，6 5 6 3 A4 8 6 1 A4 3 4 0 A 4 1 0 2 A oooo图 20-1瑞士数学家巴尔末(J.J.Balmer)，发现氢原子光谱在可见光部分的谱线，可归结于下式：，，，54321122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=n n R λ 式中λ为波长，1710097.1-⨯=m R 称为里德伯常数。
高三物理 第二十一章 量子论初步 知识精讲 人教版
高三物理 第二十一章 量子论初步 知识精讲 人教版一. 本周教学内容：第二十一章量子论初步第一节 光电效应第二节 光的波粒二象性第三节 物质波二. 知识要点：1. 了解光电效应，能解释光电效应现象。
掌握光电效应实验的四个规律。
知道光子说，并能解释光电效应。
2. 知道哪些光的现象说明光具有波动性，哪些现象能说明光的粒子性．正确了解光的波粒二象性。
3. 了解物质波。
了解牛顿力学的局限性三. 重点、难点解析：1. 光电效应：如下列图，在光的照射下，从锌板发射电子的现象叫光电效应，发射出的电子叫光电子。
锌板原来不带电，在光子的作用下，锌板内的电子受激而逸出外表，此时锌板带正电。
光电效应的规律是：〔1〕任何一种金属都有一个极限频率。
入射光的频率必须大于极限频率，才能产生光电效应；〔2〕光电子的最大初动能与入射光强度无关，只随入射光频率的增大而增大；〔3〕从入射光照射到光电子发射几乎是瞬时的，一般不超过10－9s ；〔4〕发生光电效应时，光电流的强度与入射光的强度成正比。
“入射光的强度〞指的是单位时间内入射到金属外表单位面积上的光子的总能量。
在入射光频率不变的条件下。
光强正比于单位时间内照射到金属外表上单位面积的光子数。
爱因斯坦提出光子说：在空间传播的光是不连续的，是一份一份的，每—份叫一个光子，每个光子的能量hv E =爱因斯坦光电效应方程为：W h mv m -=ν221，式中W 叫逸出功，是电子脱离某种金属外表引力所做功的最小值。
2. 不可把光当成宏观观念中的波，也不可把光当成宏观观念中的粒子。
大量光子产生的效果往往显示出波动性。
个别光子产生的效果往往显示出粒子性．频率越高的光，粒子性越明显，频率越低的光波动性越明显。
光在传播过程中往往显示出波动性，在与物质作用时往往显示出粒子性。
3. 任何运动的物体，小到根本粒子，大到宏观大体，都有—种波与它对应，波长ph =λ，这种波叫做物质波，也叫德布罗意波。
【典型例题】[例1] 入射光照射到金属外表上发生光电效应，假设入射光的强度减弱，而频率保持不变，那么〔 〕A. 从光照至金属外表上到光子发射出之间的时间将增加B. 逸出的光电子最大初动能将减小C. 单位时间内从金属外表逸出的光电子数目将减少D. 有可能不发生光电效应答案：C[例2] 在伦琴射线管两极间加6.63×104V 的电压，设从阴极发出的电子的初速度为零，加速到达阳极时具有的动能的10％变为伦琴射线的光子能量，试计算伦琴射线的波长。
大学物理：原子的量子理论
(a)
所以势阱 中电子能 量：
A
En
sin(ka
2 2
2ma2
)
n2
0
n
1,
2,
a 2mEn
2
3...
n
a
En为本征值
En
2 2
2ma2
n2
说明在势阱中电子 的能量按能级分布
E4 16E1
E3 9E1
对应能级 En 的波函数
n (x)
A sin( n
a
x)
0
因为粒子在势阱内出现的概率总和为1，有
E2 4E1
E1
ax
a
*
a A2 sin2 ( n x)dx 1
归一化条件
0 0
a
得，
A
2
a
n (x)
2 sin( n x)
aa
2
[ n (x)]2
2 a
sin
2
nx (15)
a
n (x)
4 ( x)
E4
E3
3 ( x)
2 ( x)
E2
1(x)
E1
0
[ n (x)]2 [ 4 (x)]2
3）磁量子数m 它决定于电子绕核运动的角动量在某一方向
的分量：
LZ ml ml 0. 1. 2. 3 l
4）自旋磁量子数mS 决定电子自旋角动量在某方向的分
原子的电子壳层结构
1、泡利不相容原理
1925年泡利在分析原子光谱等实验事实的基础上指出： 在一个原子系统中不可能有两个或两个以上的电子具有完 全相同的量子状态。即一个原子内任意两个电子不可能具
*,（x, t) 为共轭复数
大学物理课件分析
第二十一章量子力学简介1913年，玻尔在普朗克和爱因斯坦量子概念的基础上创造性的将量子概念应用到卢瑟福的原子模型，成功的解释了氢光谱。
玻尔理论为基础的量子理论称为旧量子理论。
1923年，德布罗意提出“物质德波粒二象性”为薛定谔建立波动力学方程打下基础。
1926 年玻恩提出波函数的统计解释。
1927年，海森伯提出了不确定原理…。
新量子理论逐渐形成。
本章将对量子力学基本概念做简单介绍。
§21-1 实物粒子的波动性一、德布罗意假设1924年，德布罗意在光的波粒二象性的启示下，提出实物粒子也应具有波动性的假设： 设实物粒子具有能量E 、动量P ，则它应具有相应的波长λ和频率ν： 2Emc hν==220221/m c E mc h h h c ν===-v 或： hp m λ==v2201/h h hc pm m λ===-v v v或： 上述与实物粒子相联系的波称为德布罗意波，相应的关系式称德布罗意关系式。
如v <<c 则：0h m λ=v⑴一质量m=0.05kg 的子弹，以速度v =300m/s 运动，其德布罗意波长是多少？⑵速率v =5000km/s 的α粒子的德布罗意波长是多少？例题1：解：⑴nm 26340104.430005.01063.6--⨯=⨯⨯==v m h λ远小于仪器的测量范围，不显示其波动性。
⑵α粒子的波长为：m=4×1.67 × 10-27kgnm 501098.1-⨯==vm h λα粒子的波动性已可以测量到。
二、德布罗意波的实验验证1926年，戴维孙、革末将电子枪射出的电子束投射到镍单晶体表面，得到电子衍射的实验现象，经计算证明德布罗意公式的正确性。
KU DBMGθθ电子晶体衍射实验示意图阴极K 电子经U 加速后，通过光阑D 成 一很细的平行电子射线，以θ角投射到镍单晶体M 上，反射后经B 收集。
电流强度I 由G 测出，调节U，可得U~I 曲线：图中当电势差由特定值时，电子流才有 极大值。
原子的量子理论
理解描述物质波动性、粒 2
子性的物理量之间的关系。
了解德布罗意的物质波假 3
设及电子衍射实验，理解 光和实物粒子的波粒二象 性。
理解氢原子光谱的实验规 4
律及玻尔氢原子理论,了 解此理论的意义及其局限 性。
1911年卢瑟福在 散射实验的基础上提出了原子的核模型，根 据原子的核模型，可以很好地解释大角散射。
（1） 粒子的动量不可能确定。 （2） 粒子的坐标不可能确定。 （3） 粒子的动量和坐标不可能同时准确确定。 （4） 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它
粒子。 其中正确的是： （A）（1），（2） （B）（2），（4）
（C）√（3），（4） （D）（4），（1）
例题21-1 设电子在原子中运动的速度为106m/s，原子半径约为
类似于驻波的振幅。
dd2x2 8h22mEk0 dd22x8h22m(EU)0
d2d(2xx)i2hp2Ai2hepx4h22p2(x)
上式为自由粒子的薛定谔方程 在有势力场中运动的粒子（非自由粒子）除有动能 Ek外，还有势能U，令 则（21-33）可推广到非自由粒子情形，即 （21-33）
推广到三维空间：
10-10m，电子位置的不确定量至少为10-11m，即△x=10-11m，
由不确定关系得：
vm h x9 .1 6 .1 6 3 1 0 1 3 1 04 1 01 7 .3 17m 0 /s
速度的不确定量在数量级上大于速度本身，在原子尺度上， 电子不再有确定的速度，也就不能用经典力学求解。
§ 21-4 不确定关系
一、不确定关系
由于微观粒子具有波粒二象性，所以它具有和经典力学中质点不 相同的性质，按照经典物理，每一时刻质点占有一定位置，并具有一 定动量，位置和动量可以同时准确测量。而微观粒子的波动性对确定 粒子的坐标和动量带来了某种限制。
第二十一章 原子的量子理论
第二十一章 原子的量子理论1897年，J.J.汤姆孙发现电子(1906奖)并确认电子是原子的组成部分 1913年,玻尔提出氢原子结构及量子理论(1922奖) 1914,夫兰克-赫兹实验证实(1925奖1924年，德布洛义提出了实物粒子的波粒二象性（1929奖） 1925,海森堡建立矩阵力学(1932奖) 1926,薛定谔建立波动力学(1933奖)1927,戴维孙和G.P. 汤姆孙,电子衍射实验证实粒子的波动性(1937奖)§21－1 玻尔的氢原子模型一．玻尔理论的实验基础1． 原子的有核模型原子是中性的，稳定的；核外电子绕核作圆周运动；2． 氢原子光谱的实验规律 ① 综合经验公式： ⋅⋅⋅++=-=,m ,m n ,)nm (R ~211122ν17100967761-⨯=m .R1=m ，赖曼系；2=m ，巴尔末系；3=m ，帕邢系；4=m ，布喇格系；5=m ，普芳德系；② 里兹并合原理)n (T )m (T ~-=ν式中：)n (T ),m (T 称为光谱项氢原子光谱：谱线是分裂的，线状的；原子光谱线的波数，由光谱项之差确定。
二． 经典电磁理论遇到的困难卢瑟福原子模型＋经典的电磁理论，必将导出： 1． 光谱连续2． 原子不可能是稳定的系统； 与事实不符！三． 玻尔理论 1． 基本思想：① 承认卢瑟福的原子天文模型 ② 放弃一些经典的电磁辐射理论 ③ 把量子的概念用于原子系统中2． 玻尔的三条假设① 原子系统只能处于一系列不连续的稳定态（电子绕核加速运动，但不发射电磁波的能量状态，简称能态）② 处于稳定态中，电子绕核运动的角动量满足角动量量子化条件,,,n ,nh hn L 3212==⋅=π③ 频率条件：当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，放出或吸收单色辐射的频率满足m n E E h -=ν3． 讨论：① 轨道量子化,稳定轨道半径公式,,,n ,mZe n h r n 3212220==πε对氢原子，Z ＝1,,,n ,men h r n 3212220==πε nm .r ,n 0529011==)nm (n .r n r n 21205290==② 能量量子化－能级（原子系统的总能量公式）,,,n ,nh me E n 3211822204=⋅-=ε eV .E ,n 61311-==eV n.n E E n 221613-==能级：量子化的能量状态（数值）③ 氢原子光谱hE E mn -=ν④ 当n 很大时，量子化特征消失，玻尔结果与经典结果同0211221==--=-=∞→-n)n (n E E E E E n n n n nn∆例（P241，例题21－1） 四． 玻尔理论的局限性 1． 成功之处① 能较好地解释氢原子光谱和类氢原子光谱； ② 定态能级假设； ③ 能级间跃迁的频率条件。
第二十一章 原子的量子理论
（1）玻尔的三个假设 电子在原子中， 假设一 电子在原子中，可以在一些特定的轨道上 运动而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态（定态）， 运动而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态（定态）， 并具有一定的能量. 并具有一定的能量. 假设二 电子以速度 v 在半径为 的圆周上绕核运 动时， 动时，只有电子的角动量 L等于 h 2π 的整数倍的那些 轨道是稳定的 .
跃 迁 系
1
ν
4
n =1
E
例
试由玻尔氢原子理论计算出巴尔末系第一条谱 线的波长。 线的波长。
13.6 由玻尔的氢原子能级公式： 解：由玻尔的氢原子能级公式： En = − 2 (eV ) n
知：当电子由n=3→ k=2时，发出光子的频率为： 当电子由 时 发出光子的频率为：
hν = En
13.6 13.6 − Ek = − 2 − 2 3 2
r
h 量子化条件 L = m v r = n 2π
n = 1, 2 ,3, L
量子数
假设三 当原子从高能量 Ei 的定态跃迁到低能量 Ef 的定态时，要发射频率为 的光子. 的定态时， 的光子. 频率条件
hν = Ei − E f
ν
（2）氢原子轨道半径的计算 ） 由玻尔假设及牛顿定律： 由玻尔假设及牛顿定律： h mvr = n 角动量量子化 2π
(n = 1,2,3L )
能量是量子化的
基态能量： 基态能量： n = 1 时, E1 = −13 ⋅ 6eV 对于其它激发态： 对于其它激发态：
En =
E1
n
2
玻尔理论对氢原子光谱的解释 me4 1 hν En = − ⋅ 2 2 2 8ε 0 h n
= Ei − E f
27原子的量子理论(2010).potm [修复的]
![27原子的量子理论(2010).potm [修复的]](https://img.taocdn.com/s3/m/331b92c56edb6f1afe001f05.png)
态叠加原理
1.电子双缝衍射实验 实 验 事 实
开1闭2，衍射花样（兰曲线）
1
1
P1
P
1 1 2
开2闭1，衍射花样（紫红曲线）
S•
D 2
2
2 2 2
P2
同时开1，2，衍射花样（黑曲线）
2 1 2 2
显然 1 2 2 2
1 2
0
U (x)
I II III
II区
d 2
dx2
2mE 2
0
d 2 k 2 0
dx2
o
a
x
k
(x) Acos kx B sin kx
2mE 2 0
(a x a)
式中，A 、B、k为常数，由边界条件（波函数的连续性要求）来确定。
( x) Acos kx B sinkx.
(a x a)
px 2 2
，
同理有
2 y 2
py2 2
2 z 2
pz 2 2
i E t
2 x 2
2 y 2
2 z 2
1 2
[ px2
p
2 y
pz2 ]
（1 ）
2
1 2
p2
或
2 2 p2
2m
2m
(2)
(1)–(2)式
(i 2 2 ) (E p2 )
t 2m
2m
对自由粒子，E p2 2m
所以
（三） 自由粒子满足的方程
描写自由粒子波函数:
A
exp
i
(
p
•
r
Et )
应是所要建立的方程的解。
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第二十一章 原子的量子理论1897年，J.J.汤姆孙发现电子(1906奖)并确认电子是原子的组成部分 1913年,玻尔提出氢原子结构及量子理论(1922奖) 1914,夫兰克-赫兹实验证实(1925奖1924年，德布洛义提出了实物粒子的波粒二象性（1929奖） 1925,海森堡建立矩阵力学(1932奖) 1926,薛定谔建立波动力学(1933奖)1927,戴维孙和G.P. 汤姆孙,电子衍射实验证实粒子的波动性(1937奖)§21－1 玻尔的氢原子模型一．玻尔理论的实验基础1． 原子的有核模型原子是中性的，稳定的；核外电子绕核作圆周运动；2． 氢原子光谱的实验规律 ① 综合经验公式： ⋅⋅⋅++=-=,m ,m n ,)n m (R ~211122ν17100967761-⨯=m .R1=m ，赖曼系；2=m ，巴尔末系；3=m ，帕邢系；4=m ，布喇格系；5=m ，普芳德系；② 里兹并合原理)n (T )m (T ~-=ν式中：)n (T ),m (T 称为光谱项氢原子光谱：谱线是分裂的，线状的；原子光谱线的波数，由光谱项之差确定。
二． 经典电磁理论遇到的困难卢瑟福原子模型＋经典的电磁理论，必将导出： 1． 光谱连续2． 原子不可能是稳定的系统； 与事实不符！三． 玻尔理论 1． 基本思想：① 承认卢瑟福的原子天文模型 ② 放弃一些经典的电磁辐射理论 ③ 把量子的概念用于原子系统中2． 玻尔的三条假设① 原子系统只能处于一系列不连续的稳定态（电子绕核加速运动，但不发射电磁波的能量状态，简称能态）② 处于稳定态中，电子绕核运动的角动量满足角动量量子化条件,,,n ,nh hn L 3212==⋅=π③ 频率条件：当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，放出或吸收单色辐射的频率满足m n E E h -=ν3． 讨论：① 轨道量子化,稳定轨道半径公式,,,n ,mZen h r n 3212220==πε 对氢原子，Z ＝1,,,n ,men h r n 3212220==πε nm .r ,n 0529011==)nm (n .r n r n 21205290==② 能量量子化－能级（原子系统的总能量公式）,,,n ,nh me E n 3211822204=⋅-=ε eV .E ,n 61311-==eV n .n E E n 221613-==能级：量子化的能量状态（数值）③ 氢原子光谱hE E mn -=ν④ 当n 很大时，量子化特征消失，玻尔结果与经典结果同0211221==--=-=∞→-n)n (n E E E E E n n n n nn∆ 例（P241，例题21－1）四． 玻尔理论的局限性 1． 成功之处① 能较好地解释氢原子光谱和类氢原子光谱； ② 定态能级假设； ③ 能级间跃迁的频率条件。
2． 局限性① 以经典理论为依据，推出电子有运动轨道、确定的空间坐标和速度 ② 人为引进量子条件，限制电子运动③ 不能自洽。
对稍微复杂些的系统，如氦和碱土金属的光谱（谱线的强度、宽度、偏振）等均无法解释例1．动能为2eV 的电子，从无穷远处向着静止质子运动，最后被俘获形成基态氢原子，求： 1. 在此过程中发射光波的波长？ 2. 电子绕质子运动的动能是多少？ 3. 势能？角动量？动量？角速度？速度？＊例2． 用13.0eV 的电子轰击基态的氢原子， 1） 试确定氢原子所能达到的最高能态；2） 氢原子由上述最高能态跃迁到基态发出的光子可能的波长为多少？ 3） 欲使处于基态的氢原子电离至少用多大能量的电子轰击氢原子？§21－2 实物粒子的波粒二象性一． 光的波粒二象性 波动性：干涉、衍射、偏振 粒子性：热辐射,光电效应,散射等 同时具有，不同时显现 二． 德布罗意假设1． 假设：质量为m 的粒子，以速度v 运动时，不但具有粒子的性质，也具有波动的性质； 粒子性：可用E 、P 描述νh mc E ==2, λhmv P ==波动性：可用νλ,描述22021βν-==h c m h mc ,v m h mv h021βλ-==------－德布罗意公式2． 电子的德布罗意波长加速电势差为U ，则：20221m eUv ,eU v m == Uem h eUm h v m h 122000⋅===λ nm U.2251=λ如：nm .,V U 10150==λ（与x 射线的波长相当）* )c m eU (eU hc 202+=λnm U .E E k 22510=⇒>>λ kk E hc E E =⇒>>λ0三． 电子的衍射实验－德布罗意假设的实验验证1． 戴维森－革末实验(1937年奖) 实验条件：nm .d 0910=,︒=65ϕ,V U 100=nm .sin d 16502==ϕλ nm .U.16702251==λ2． GP 汤姆逊电子衍射实验（1937年奖）,（JJ 汤姆逊发现电子）P246电子衍射与X 射线衍射照片* 历史附注：…* 西欧中心的正负电子对撞机LEP 高速电子的能量可达50GeV 例1． 求波长都等于0.2nm 的光子与电子的总能量和动量例2． 电子通过单缝的实验中，加速电压V U 100=，垂直穿过nm a 2=的单缝，求： ① 加速后的速率； ② 电子相应的波长； ③ 中央明纹的半角宽度ϕ 解：① s /m .meUv 610952⨯== ② nm .U.122502251==λ ③ o .)aarcsin(5123==λϕ§21－3 测不准关系一． 描述物体的运动状态1． 宏观：)P (v ,r，两者可同时准确测量；2． 微观粒子：)P (v ,r不能同时准确测量，原因是微观粒子具有波、粒二象性，有测不准关系：C P r ≥⨯∆∆ h P x x ≥⋅∆∆即：粒子有某方向的坐标测不准量与该方向上的动量分量的测不准量的积，必不小于普朗克常数；位置测得越准，动量测得越不准！ 现代量子力学证明：π∆∆4h P x x ≥⋅二．测不准关系的推证（1927年，海森堡）理想实验：一束平行电子射线垂直地射到宽度为a 的狭缝上，衍射 三．讨论1． 不确定关系式表示电子的坐标及相应的动量不能同时准确测量2． 不确定关系取决于电子本身的固有特性－波粒二象性，即精度、方法等都无济于事 3． 对宏观物体讲不受此限制四．其它表示：能量、时间：h t E ≥⋅∆∆ 角动量、角位移：h L ≥⋅ϕ∆∆ϕ例1．已知一个光子沿x 方向传播，其波长nm 500=λ，对波长的测量是相当准确的，nm 4105-⨯=λ∆，求该光子x 坐标的不确定度；)m .x (50≥∆例2．质量为m 的粒子位置的不确定量等于粒子的德布罗意波长λ，求x v ∆的最小值。
)v v (x ≥∆例3．氢原子中基态电子的速度大约是s /m 610，电子位置的不确定度可按原子大小估算cm x 810-=∆，求电子速度的不确定度。
⇒⨯≥)s /m .v (x 61037∆轨道概念在量子力学中无意义！§21－4 波函数 薛定格方程一． 波函数1．自由粒子的波函数 平面简谐波的波动方程)xt (cos A y λνπ-=2指数形式：)xt (i Aey λνπ--=2 （1）由此方程知：频率ν，波长λ，沿x 正方向传播设想：动量一定的自由粒子，沿x 正向传播，有波动性, 则：hE =ν，P h =λ令(1)式中)t ,x ()t ,x (y ψ−→−；0ψ−→−A则：)Px Et (ie )t ,x (--=ψψ 式中，)t ,x (ψ：自由粒子的波函数0ψ：波函数的振幅三维运动：)r P Et (ie )t ,r (⋅--=0ψψ 2． 波函数的物理意义 与光波类比：① 对光波，0=x 处（中央极大处）2E N ∝:光子数与振幅平方成正比②对比： 光强−→←物质波强度 2E −→←20ψ 光子数−→←粒子数 ③对物质波：★结论：某时粒子在某处出现的概率，与该时该处波函数的模的平方成正比；即：2ψ∝W −−←波函数的物理意义 物质波(德布罗意波)−→−概率波3． 概率密度（几率密度）ρ某点处单位体积元内粒子出现的概率；dV dW 2ψ=，dxdydz dV =2ψρ==dVdW4． ★波函数的性质（标准条件）① 单值性：某时某处概率唯一； ② 有限性：1<W ；③连续性：W 的分布是连续的。
波函数的归一化条件：12=⎰⎰⎰VdV ψ5． 德布罗意波与经典波的区别① 微观粒子运动的统计描述，不是某量周期性变化的传播；② 德布罗意波，有归一化条件，ψ与ψC 同。
经典波的I C 'I 2=二．薛定格方程（c v <<）1． 自由粒子的薛定格方程x 方向运动：)Px Et (ie --=ψψ r方向运动：)r P Et (ie⋅--=0ψψ ① 对z ,y ,x 求二级偏导，得：ψψ222P -=∇ （1）② 对t 求一级偏导，得：ψψψmP E t i 22==∂∂ （2） 将（1）式代入得：ti m ∂∂=∇-ψψ 222−→−自由粒子的含时薛定格方程2．非自由粒子的薛定格方程ti U m H ˆ∂∂=+∇-=ψψψψ 222−→−一般形式的含时薛定格方程3．定态薛定格方程设：)t (f )z ,y ,x ()t ,z ,y ,x (⋅=Φψ 定态波函数：iEte)z ,y ,x ()t ,z ,y ,x (-⋅=Φψ定态势场中运动粒子的薛定格方程ΦΦΦE U m=+∇-222例：求一维势井中粒子的能量、波函数及概率密度一维势井：)a x ,x ()a x ({U ≥≤∞<<=000解之得： ① 本征能量：2228n mah E n ⋅= 081221≠==mah E ,n (零点能)② 本征波函数：x an sin a )x (n πΦ⋅=2③ 概率密度：)axn (sin a )x (n n πψρ222⋅== 讨论：1. 对无限深势井来说，粒子只能在U ＝0的区域内运动，称为束缚态，所得到的定态方程的解，只能取一些驻波的形式2. 粒子在势井内各处出现的概率密度随量子数改变3. 相邻两能级间的距离:)n (mah E 12822+=∆ρ。