二叉树和三叉树的期权定价方法

第七章期权定价的二叉树和三叉树方法在这一章中，我们利用二叉树和三叉树方法为期权定价。在第2.1节中我们已经介绍了利用基础途径的二叉树方法解决期权价格不确定性的模型。二叉树方法依赖于对相关随机过程的离散化并利用计算和内存的结合以满足易于管理的要求。我们也在，我们必须把原来的单步格方法扩展到多步格方法，但是我们必须校对格使它能够反映出相关模型，且这个模型是连续时间、连续状态的随机微分方程。然后我们就可以推广到多步的二叉树格和三叉树格。

在7.1节中，我们从如何利用在离散概率分布的时刻下随机价格波动校准简单的二叉树格。从这点来看，弄清楚网格技术和蒙特卡洛模拟之间的联系是非常重要的，而利用时刻匹配技术缩减方差可以看作一种快捷的抽样排序。然后我们讨论内存效率的实现是如何设计的，美式期权定价是7.2节的主题。同时，还是要注重它和其他技术方法的联系。现在我们要做的本质上是一个非常简单满足动态规划原则的程序，我们将在第10章程序中进一步拓展。在7.3节中，我们把上述方法推广到双标的资产的情形，虽然这是一个最简单的情形，但是我们可以从这个情形中看出内存控制是这一情形的基础。另一种一般化的代表是三叉树格方法，三叉树格方法可以作为一种更普遍的有限差分方法（具体将在，最后，我们在7.5节中具体讨论网格化方法的优势和劣势。

期权定价的二叉树和三叉树格方法

图7.1 单时期二叉树格

7.1 二叉树定价方法

在，我们已经考虑过单步二叉树方法在无套利情况下的期权定价，这里我们为了方便直接利用图7.1。其主要思想是复制两个资产，一个是无风险资产，另一个是相关股票。利用这两项资产，我们可以通过它们的组合塑造任何收益率的资产。如果我们令u 和d 为任意两个价格的角标，我们可以看到期权的价格应该为0f 则，

])1([0d u t r f p pf e f -+=-δ （7.1） 在公式7.1中u f 和d f 是标的资产在涨跌两种情况的期权价格，p 是风险中性前提下相关资产升值的概率。

为了寻找一个更好的不确定性模型，我们可以增加分类的情况，复制期权收益，甚至我们可以使用更多的资产，或允许中间日期交易。第二种可能性更为实际，并且也是必不可少的，例如，对于在期权的存续期内可以随时执行的美式期权来说。对其求极限，就会得到连续时间模型，并且其最后收敛于Black —sholes 方程。当Black —sholes 方程没有解析解的时候，我们必须采取一些离散化的途径，比如说可以通过蒙特卡洛模拟从而估计出风险中性条件下预期收益，或者建立一个自适应网格的有限差分方法去解决相应的PDE 模型。就像我们在图7.2中展示的一样，多级二叉树格方法就是一种可以选择的离散化方法。我们也可以考虑利用树图，但是要注意使计算方法易于控制。

二叉树格定价

图7.2 新生成的二叉树图

这里我们为了方便令d u /1=。虽然这个不是必须的，但是在后面我们可以看到，这个假设令模型简化了很多即每上一步紧接着下一步都会得到相同的初始价格。

正如我们从图中看到的一样，我们仅用了有限个价格步。这个有可能就是实施该方法的优势。但是，我们该怎么恰当的确定u 和d 的值呢，我们应该利用近似相关的连续过程去校对网格。

二叉树格方法应该是风险中性过程一个良好的相似。

因此，我们应以这样的方式参数设置晶格，即保持着连续时间模型的一些基本属性，这一过程就叫做校准。从t S 开始，经过一个小的时间

步t δ，从2.5节我们可以看到新价格是一个随机变量t t S δ+，且

利用对数正态对数分布的特性，我们得到

t r t t t e S S E δδ=+]/[ (7.2)

和

)1(]/[22-=+t t r t t t e e S S Var δσδδ （7.3）

一个合理的要求是这些离散的动态点必须和它们的时刻相匹配。要注意的是，我们只有两个个等式，却有3个参数，p,u 和d,所以三个变量有一个为自由变量，我们令d u /1=，这样做是为了计算简便，但不是必须的。在网格点上，我们有：

t t t t S d p S pu S E .)1(.][-+=+δ，

和（7.2）联立得

注意，p 是风险中性条件下的概率，它不依赖于真实浮动，为了和方差匹配，在晶格上我们看到

从（7.3）中我们也可以看到

把最后两个等式联立可得

最终得到

将p 带入最后一个等式的右侧，化简得

最后我们得到这样的等式

其中，利用d u /1=，可以转化为二次方程：

方程的一个跟为

利用一阶条件拓展，只受t δ的影响，我们可以简化表达式，对平方根近似化简可得

因此 但是对于二阶条件，我们对t e δσ

拓展，最终获得参数 t e u δσ=， t e d δσ-=， d

u d e p t r --=δ， （7.4） 这就是著名的CRR 公示

这里强调一下：这个方法以及文献中所用的参数都不是唯一的，例如我们可以取5.0=p ，经计算可得：

5.0=p ， t t r e u δσδσ+-=)2(2

， t t r e d δσδσ--=)2(2

这就是杰诺-拉德参数，此外，我们一直在努力结束涉及计算以及线性方程组的计算，通过对数转换的方法，我们尽量的避免这些困难。在以后，我们都将采用这个方法。

假设无风险利率和波动是时间常数，我们所得的结果适用于整个晶格参数，为一个期权定价，我们需要对标的资产制定一个网格，然后从以往的时间倒推。事实上，期权价格在到期日的时候已经知道了，那时已经给出了期权的收益。因此，我们利用方程(7.1)按每一个时间步倒推递归，直到到达我们的初始节点。二叉树格方法在欧式看涨期权得到最佳的应用。

例7.1

假设我们假设为一个欧式看涨期权定价500==K S ，1.0=r ，4.0=σ，存续期为5个月，利用B-S 模型，我们知道结果是： >>)4.0,12/5,1.0,50,50(blsprice call =

>>1165.6=call

如果我们想用二叉树格方法逼近结果的话，我们首先就要定义格参数，假定每个时间步为一个月，然后

对股票价格产生的格和选项值显示在图7.3，在晶格的最右面是期权的价格，为了便于计算，让我们考虑如何从最后一层至第二层逐层倒推：

在递归后，我们看到，由此计算出的期权价格大约为 6.36，结果不太接近确切价格，一个更好的改进近似就是缩小时间步长。

为了更好的在MATLAB 中实现这一方法，我们需要一个向前倒推的代数式。令ij f 为在节点的期权的价值，其中j 为第j 个时期

)~0(N j =,i 表示为在j 时期内上升了i 。

我们利用倒推思想，N 是我们考虑的时间步，因此总共有N+1格，T t N =δ，即整个期权存续期。在这样的定义下，晶格点的标的资产价格即为i j i d Su -，在存续期内，我们有：

},0max{,K d Su f i N i N i -=- ， N i ,...,1,0=

时间逆推（下降时间标j ）,我们得到

].)1([1,1,1+++--+=j i j i t r ij f p pf e f δ （7.5） 这些工作在MATLAB 中生成非常简单，代码在图7.4给出，唯一要注