半纯函数的无穷级数展开
高等数学无穷级数
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R
正六边形的面积
a1
正十二边形的面积
a1 a2
正 3 形的2面n积
a1 a2 an
即 A a1 a2 an
2.
1 3
3 10
3 100
3 1000
3 10n
二、级数的概念
1. 级数的定义:
一般项
un u1 u2 u3 un
n1
(常数项)无穷级数
无穷级数
从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也 是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的 应用
本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展 开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题。
根据级数收敛的必要条件，
1
开式的成立范围——即连续区间，也即只要去
3; 4
但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有的却发散，
F由ouf(rxie) r单级调数减少知第一次分叉：
开式的成立范围——即连续区间，也即只要去
上满足Dirichlet 条件
②根据公式计算Fourier系数
4 Fourier系数，利用函数的奇偶性可简化Fourier系数计算，
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aq n a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aq n a aqn ,
1 q
1q 1q
当q 1时,
lim qn 0
第十五讲(无穷级数)ppt
x a 代入展开式
上的正弦或余弦级数 .
二 . 实例分析
例 1. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:Biblioteka 解 : (1) 令则
( P375 例 1 )
e n1 (n 1) ! n 1 (n 1) un 1 n e n! un nn
故
1 ( n 1, 2 , )
21?2???nnnn??n??n222112nnp393例6n??xn?n???021?xsnn??xnn??21??2x2???n?nxx??22???n?nxx??122?n?xx2212xx?1?221?1?02???????snnnn的收敛域为2设1?122???n??xnxxsn??????2112nnnxx??n????21121nnxx0?x????12nnnxx??n??321nnxx??n???1212nnxxx2212xxx??21?122???n??xnxxsn??n????1212nnxxxxs???1n?nnx???10n?2?1xnxdx??xdxx??0nn????11??01?xxxd1lnx??1421ln21???????xxxxxxs故????22211nnn例17
上展成付氏级数
ba 将z x 代入展开式 2
在 上的付氏级数 .
方法 2.
令x
z a , 即 z xa
F ( z ) f ( x ) f ( z a ) , z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
2) 利用拆项相消法 ( 也叫裂项法 ) 求和 .
n
例如
•
1 k 1 ( 2k 1)( 2k 1) 1 1 1 n 1 1 ] [ ] [1 2 2n 1 2 k 1 2k 1 2k 1
三角函数的无穷级数展开
收敛性：正切函 数的无穷级数展 开式是收敛的， 但收敛的速度取 决于x的取值。 在某些情况下， 可能需要更多的 项才能得到精确 的结果。
其他三角函数的无穷级数展开式
正弦函数的无穷级数展开式： sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! x^7/7! + ...
余弦函数的无穷级数展开式： cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
三角函数的无穷级数 展开
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目录 /目录
01
三角函数与无 穷级数
02
三角函数的无 穷级数展开式
03
无穷级数展开 式的应用
04
无穷级数展开 式的收敛性与 误差估计
05
三角函数无穷 级数展开式的 近似计算
01 三角函数与无穷级数
在物理中的应用
振动和波动：三角函数的无穷级数展开式可以用来描述振动和波动的规律，例如简谐振 动的运动方程。
电磁学：无穷级数展开式可以用来计算电磁波的传播和散射，例如电磁波在介质中的传 播和散射。
热力学：三角函数的无穷级数展开式可以用来描述热力学的某些现象，例如热传导和热 辐射。
光学：无穷级数展开式可以用来描述光波的传播和散射，例如光波在介质中的传播和散 射。
无穷级数展开可以 提供三角函数的近 似值，用于近似计 算和数值分析
无穷级数展开可以 揭示三角函数的内 在结构和性质，例 如周期性和对称性
02
三角函数的无穷级数展 开式
正弦函数的无穷级数展开式
定义：将正弦函数表示为无穷级数的方式 公式：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... 收敛性：级数在-π到π之间收敛 应用：在数学、物理和工程领域有广泛应用
高等数学基础第十四章 无穷级数
无穷级数前n项的和称为级数前n项的部分和，记作Sn， 即
Sn u1 u2 u3 un ui i 1
定义14.2 如果级数un 的部分和数列{Sn} 的极限存在，即 n 1
正项级数，如果
lim un l v x
n
则
n1
n1
（1）如果0<l<+ ∞ ，则级数 un 和级数 vn 收敛同时收
n1
n1
敛或发散；
（2）如果l=0且级数vn 收敛，则级数 un 收敛；
n1
（3）如果l=+∞ 且级数 vn发散，则级数 un 发散。
lim
n
Sn
S
则称级数un 收敛，S为级数的和，记为 n 1
ui u1 u2 u3 un S
i 1
如果
lim
n
Sn
不存在，则称级数 un发散。 n 1
当级数 un 收敛时，其部分和Sn是级数和S的近 n 1
似值，它们之间的差值
rn S Sn un1 un2
uk k n1
n1 n!
定理14.3(比较审敛法) 设级数 un 和 vn都是正项级数，
且unvn (n=1, 2, …)。
n1
n1
（1）若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
（2）若级数
n1
un
n1
发散，则级数
vn 发散。
n1
n1
由定理1可知，如果正项级数 un 发散，则它的部分 n1
和数列Sn →+∞ (n→+∞)，即
(微积分)9无穷级数
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定理2 (比较判别法) 设有两个正项级数 un 和 v n 如果存在正整数N,当n≥N时,有un≤vn,则有：
n 1
n 1
(1)若级数 v n收敛, 则级数 un也收敛； ( 2)若级数 un发散, 则级数 v n也发散.
n 1 n 1 n 1 n 1
1 1 1 s lim sn lim n n 3 n 3 3
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1 1 即 3 n 1 ( n 2)( n 3)
二、 数项级数的基本性质
性质1 在一个级数中增加或删去有限个项不改变级 数的敛散性,但一般会改变收敛级数的和． 证 设在
证
根据级数的性质,改变级数前面有限项并不改变
级数的敛散性,因此,不妨设对任意自然数n都有 un≤vn(n= 1,2,3,…)，
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设级数 un与 v n的部分和分别为 n与Bn，由 A 上面的不等式有
n 1 n 1
(1)若级数 v n收敛, 根据定理1的必要性, 数列Bn 有界,由不等式An Bn知, 数列An 也有上界, 于是 有 un收敛。
( 2) lim un 0
n
( 1) n1 un收敛,且其和s≤u1. 则级数
n 1
满足定理1的条件(1)和(2)的交错级数称为莱 布尼茨型级数．
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证
根据项数n是奇数或偶数分别考察sn． 设n为偶数,于是 sn=s2m=u1u2+u3…+u2m1u2m, 将其每两项括在一起 s2m=(u1u2)+(u3u4)+…+(u2m1u2m)． 每个括号内的值都是非负的.如果把每个括 号看成是一项,这就是一个正项级数的前m项部 分和.显然,它是随着m的增加而单调增加的． 如果把部分和s2m改写为 s2m=u1（u2u3)…(u2m2u2m1)u2m,
无穷级数——精选推荐
无穷级数用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过加法，即通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程，这就是无穷级数的思想出发点。
目录概述历史判断数项级数的性质幂级数泰勒展开式Fourier级数收敛与发散性质概述历史判断数项级数的性质幂级数泰勒展开式Fourier级数收敛与发散性质判别法展开无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。
只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。
算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。
包括数项级数、函数项级数（又包括幂级数、Fourier级数；复变函数中的泰勒级数、Laurent(洛朗)级数）。
英国曼彻斯特大学和埃克塞特大学的研究小组指出，喀拉拉学校也曾发现可用于计算圆周率的无穷级数，并利用它将圆周率的值精确到小数点后第9位和第10位，后来又精确到第17位。
研究人员说，一个极有说服力的间接证据是，15世纪，印度人曾经将他们的发现告知造访印度的精通数学的耶稣会传教士。
‚无穷级数‛可能最终摆到了牛顿本人的书桌上。
约瑟夫是在通读字迹模糊的印度文字材料时得出这些发现的，他的畅销著作《孔雀之冠：非欧洲的数学之根》(The Crest of the Peacock: the Non-European Roots of Mathematics)的第3版将刊登此次发现，该书由普林斯顿大学出版社负责出版。
他说：‚现代数学的起源通常被视为欧洲人取得的一项成就，但中世纪(14至16世纪)印度的这些发现却被人们忽视或者遗忘了。
17世纪末期，牛顿的工作取得了辉煌的成就。
他所做的贡献是不容人们抹杀的，尤其在提到微积分的运算法则时更是如此。
但喀拉拉学校的学者——特别是马德哈瓦(Madhava)和尼拉坎特哈(Nilakantha)的名字也同样不能忘记，他们取得的成就足以和牛顿平起平坐，因为正是他们发现了微积分的另一个重要组成部分——无穷级数。
无穷级数的概念与性质
无穷级数的概念与性质无穷级数是高等数学中的一个重要概念，它指的是无数项的和数。
无穷级数的数学公式一般写成∑n=1∞an，其中an表示每一项的系数。
无穷级数在物理、经济等领域应用广泛，是数学研究的重点。
一、收敛与发散在分步分析无穷级数性质前，我们必须先了解收敛与发散的概念。
在无穷级数中，若该级数的部分和Sn满足：Sn趋于某一固定的唯一数L，即limSn=L，则称该无穷级数收敛于L（或收敛于∞，收敛于-∞）。
反之，如果Sn的值不趋于任何一个常数，则称该无穷级数发散。
例如：1+1/2+1/4+···+1/2n+···，其中每一项的系数an=1/2n，这个级数收敛于2。
而1+2+4+···+2n+···，这个级数则是发散的。
二、正项级数正项级数指的是每一项的系数an均为非负数。
对于正项级数，一般用单个符号∑an表示，而不是∑n=1∞an。
正项级数的充分必要条件是部分和单调不降及有界或有上界。
即如果存在一个B使得Sn≤B，那么称该级数有上界，如果B不存在，则称该级数发散。
三、级数收敛判定法在判定一个级数的收敛或发散时，需要掌握一些常用的级数收敛判定法。
（一）比值判别法比值判别法即通过求出级数的相邻两项之比的极限值来判断级数的收敛性。
如果该极限值小于1，则该级数收敛；如果大于1，则该级数发散；如果等于1，则该级数不能判定。
例如：an=(n+1)/(2n+1) 则有limn→∞an+1/an=1/2 < 1，所以此级数收敛。
（二）根值判别法根值判别法实际上是比值判别法的特例，即通过求出级数的每一项的n次方根的极限值来判断级数的收敛性。
如果该极限小于1，则该级数收敛；如果大于1，则该级数发散；如果等于1，则该级数不能判定。
例如：an=1/n^2，则有limn→∞an^1/n=1，所以此级数收敛。
(完整版)无穷级数整理
1无穷级数整理一、数项级数（一） 数项级数的基本性质1•收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2•收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数 ，总存在N 使得对于任何两个 N大于的正整数 m 和n 总有S m S n•（即部分和数列收敛）3•收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛） ，而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散4•对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变 5•在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性 （二） 数项级数的性质及敛散性判断 1•正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛 （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数U nn 1V n 收敛时，级数 U n 亦收敛；若I ，则当级数1n 1n 散时，级数V n 亦发散•n 1V n 之间自某项以后成立着关系:n 1存在常数c0，使 U n CV n (n 1,2,），那么 （i ）当级数V n 收敛时，级数1U n 亦收敛;n 1（ii ）当级数U n 发散时，级数 n 1V n 亦发散•推论：设两个正项级数U n 和 n 1V n ，且自某项以后有1U n 1 U n4，那么V n（i ）当级数n V n 收敛时，级数1U n 亦收敛;n 1（ii ）当级数U n 发散时, n 1V n 亦发散•（3）比较判别法的极限形式 （比阶法）：给定两个正项级数Un n 1和 V n ，若 lim U nn 1nV n那么这两个级数敛散性相同（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若I 0,则当级数U n 发常用度量:①等比级数：q n，当q 1时收敛，当q 1时发散；n 01②P-级数：丄，当p 1时收敛，当p 1时发散（p 1时称调和级数）;n 1 n p1③广义P-级数：p，当p 1时收敛，当p 1时发散•n 2 n In n④交错p-级数：（1）n12，当p 1时绝对收敛，当Op 1时条件收敛•n 1 n pu（4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数u n，当lim 口r 1时n U nn 1级数u n收敛；当1血乩r 1时级数u n发散；当r 1或r 1时需进一步判断• n 1 n U n n 1（5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数u n，设r lim n u n，那么r 1nn 1时此级数必为收敛，r 1时发散，而当r 1时需进一步判断•（6 ）柯西积分判别法：设u n为正项级数，非负的连续函数 f （x）在区间［a,）上单调n 1下降，且自某项以后成立着关系：f（U n） U n，则级数U n与积分° f（X）dx同敛散.n 12•任意项级数的理论与性质（1 ）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然；②对于级数U n，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数V n，其中n 1 n 1 Un| U nV n 一!-------- ；将它的所有负项变号而将正项换为0,也组成一个正项级数W n ,其中2 n 1U n| U nW n 一!------- ，那么若级数U n绝对收敛，则级数V n和W.都收敛；若级数U n 2n 1 n 1 n 1 n 1条件收敛，则级数V n和W n都发散.n 1 n 1③ 绝对收敛级数的更序级数(将其项重新排列后得到的级数)仍绝对收敛，且其和相同④若级数 U n 和 V n 都绝对收敛，它们的和分别为 U 和V ，则它们各项之积按照任何方n 1n 1式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积 U nV n 也绝对收敛，且和也为UV .n 1n 1注:C nU nV n ，这里C nUN n U 2V n 1U n 1V 2 U n V 1n 1n 1n 1且U n 单调减少(即U n U n J,则 (1)"勺山收敛，其和不超过第一项，且余和的符号n 1与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值二、函数项级数(一)幕级数1•幕级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 (1)柯西-阿达马定理：幕级数 a n (x x 0)n 在x x oR 内绝对收敛，在 x x 0 Rn 0内发散，其中R 为幕级数的收敛半径•(2)阿贝尔第一定理：若幕级数a n (xx 0)n 在x 处收敛，则它必在x x 0 x 0n 0内绝对收敛；又若a n (x x 0)n 在x处发散，则它必在 x x 0 x 0也发散•n 0推论1：若幕级数a n x n 在x (0)处收敛，则它必在 x 内绝对收敛；又若幕n 0级数a n X n 在x( 0)处发散，则它必在 x 时发散•n 0推论2：若幕级数a n (x X 0)n 在x处条件收敛，则其收敛半径 R I X 。
高等数学训练之无穷级数.
第五讲无穷级数§1 概念及其性质∞无穷级数（简称级数）：∑un=u1+u2+ +un+ ，un称为第n项式通项一般项。
n=1n∞iSn=u1+u2+ +un=∑ui=1为∑un的前n项和。
n=1∞∞定义：若limSn=S（有限数），则称级数∑un收敛，S为其和，即∑un=S；n→∞n=1n=1∞若limSn不存在，则称级数∑un发散。
n→∞n=1例1：判别下列级数的敛散性，收敛时求其和。
∞（1）∑n=11∞；（2）∑n=1n∞(n+1)!；（3）∑n=11n(n+1)(n+2)；提示：将通项un写成两项差的形式，即un=vn-vn-1。
解：（1）un=Sn=∞=n1+)+ +=1→∞ (n→∞) ∴∑un=1发散。
（2）un=(n+1)-1=n+1!()1n!-1(n+1)!；⎛1⎫1⎫⎛11⎫11⎛=1-→1 (n→∞) Sn= 1-⎪+ -⎪+ + -⎪⎪2!2!3!n!n+1!n+1!()()⎝⎭⎝⎭⎝⎭∞∴∑un=1n=1。
⎤1⎡11=⎢- （3）un=⎥ n(n+1)(n+2)2⎣n(n+1)(n+1)(n+2)⎦1Sn=1⎡⎛11⎫⎛11-+-⎢⎪2⎢⎝1⋅22⋅3⎭⎝2⋅33⋅4⎣⎛⎫⎤11⎫+ +-⎥⎪⎪⎪⎭⎝n(n+1)(n+1)(n+2)⎭⎥⎦⎤1⎡111=⎢-→(n→∞) ⎥2⎣1⋅2(n+1)(n+2)⎦4∞∴性质：∑n=1un=14。
∞∞①设c≠0为常数，则∑cun与∑un具有相同的敛散性；n=1n=1∞∞∞②设∑un=S，∑vn=σ，则∑(un±vn)=S±σ；n=1n=1n=1∞∞∞设∑un收敛，∑vn发散，则∑(un±vn)发散；n=1n=1n=1∞∞∞设∑un与∑vn均发散，则∑(un±vn)具体分析。
n=1n=1n=1∞③ ∑un去掉或添加有限项不影响其敛散性，但收敛时其和可能要改变；n=1∞④设∑un收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍然收敛于原级数的和；n=1∞∞设有一个∑un，若对各项加括号后所得新级数发散，则原级数∑un发散；若对其n=1n=1各项任意加括号后收敛，则原级数敛散性要具体分析。
基本函数的傅里叶级数展开公式
基本函数的傅里叶级数展开公式
傅里叶级数展开公式是将一个周期函数表示为一系列正弦和余
弦函数之和的表达式。
对于基本函数而言，傅里叶级数展开公式可以写作：
f(x) = a0/2 + Σ(n=1 to ∞) [an*cos(nωx) + bn*sin(nωx)] 其中，a0、an、bn分别是傅里叶系数，ω是角频率，x是周期函数中的一点。
对于常见的基本函数而言，它们的傅里叶级数展开公式如下：
1. 正弦函数：
f(x) = Σ(n=1 to ∞) [bn*sin(nωx)]
其中，bn = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)sin(nωx)dx
2. 余弦函数：
f(x) = a0/2 + Σ(n=1 to ∞) [an*cos(nωx)]
其中，a0 = (1/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)dx
an = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)cos(nωx)dx
3. 三角函数：
f(x) = a0/2 + Σ(n=1 to ∞) [an*cos(nωx) + bn*sin(nωx)] 其中，a0 = (1/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)dx
an = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)cos(nωx)dx
bn = (2/T) * ∫(T/2 to -T/2) f(x)sin(nωx)dx
通过以上公式，我们可以将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数之和，从而更好地进行数学分析和计算处理。
基本函数的傅里叶级数展开公式
基本函数的傅里叶级数展开公式
傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为无限三角函数序列的方法。
在此基础上，我们可以将各种复杂的信号分解为简单的周期函数，从而更好地理解和处理信号。
基本函数的傅里叶级数展开公式如下：
1. 正弦函数的展开公式
对于周期为T的正弦函数f(x)=sin(2πx/T)，它的傅里叶级数展开式为：
f(x)=a0+∑(n=1)∞(an*sin(2πnx/T)+bn*cos(2πnx/T)) 其中，
a0=1/T∫(0~T)f(x)dx
an=2/T∫(0~T)f(x)sin(2πnx/T)dx
bn=2/T∫(0~T)f(x)cos(2πnx/T)dx
2. 余弦函数的展开公式
对于周期为T的余弦函数f(x)=cos(2πx/T)，它的傅里叶级数展开式为：
f(x)=a0+∑(n=1)∞(an*cos(2πnx/T)+bn*sin(2πnx/T)) 其中，
a0=1/T∫(0~T)f(x)dx
an=2/T∫(0~T)f(x)cos(2πnx/T)dx
bn=2/T∫(0~T)f(x)sin(2πnx/T)dx
以上就是基本函数的傅里叶级数展开公式。
需要注意的是，这些
公式仅适用于周期为T的函数，而且函数必须满足一定的条件才能进行傅里叶级数展开。
同时，傅里叶级数方法也有其局限性，不能用来处理所有类型的信号。
三角函数的级数展开与级数和计算
三角函数的级数展开与级数和计算三角函数是数学中重要的函数之一，可以通过级数展开的方式进行求解和计算。
在本文中，将介绍三角函数的级数展开方法以及如何计算级数和。
注意，本文的格式将以说明文的形式展示，并提供示例来帮助读者理解。
一、正弦函数的级数展开与级数和计算正弦函数可以用无穷级数展开，其级数展开形式如下：sin x = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - (x^7/7!) + ...其中，x为角度（弧度制），!表示阶乘。
根据该级数展开形式，我们可以计算正弦函数的级数和。
例如，给定角度为π/4，我们可以通过计算前n项的和来近似计算sin(π/4)的值。
具体计算过程如下：sin(π/4) ≈ π/4 - (π/4)^3/3! + (π/4)^5/5! - (π/4)^7/7! + ...二、余弦函数的级数展开与级数和计算余弦函数也可以用无穷级数展开，其级数展开形式如下：cos x = 1 - (x^2/2!) + (x^4/4!) - (x^6/6!) + ...同样地，我们可以根据该级数展开形式计算余弦函数的级数和。
例如，给定角度为π/3，我们可以通过计算前n项的和来近似计算cos(π/3)的值。
具体计算过程如下：cos(π/3) ≈ 1 - (π/3)^2/2! + (π/3)^4/4! - (π/3)^6/6! + ...三、正切函数的级数展开与级数和计算正切函数同样可以用无穷级数展开，其级数展开形式如下：tan x = x + (x^3/3) + (2x^5/15) + (17x^7/315) + ...根据该级数展开形式，我们可以计算正切函数的级数和。
例如，给定角度为π/6，我们可以通过计算前n项的和来近似计算tan(π/6)的值。
具体计算过程如下：tan(π/6) ≈ π/6 + (π/6)^3/3 + (2(π/6)^5/15) + (17(π/6)^7/315) + ...四、级数展开与级数和计算的应用三角函数的级数展开与级数和计算在数学和工程等领域中有着广泛的应用。
高数-无穷级数3
当 x R与x R 时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.收敛 区间可以是下列四种情形之一:
( R, R ), [ R, R ), ( R, R],
[ R, R].
规定 (1) 若幂级数只在 x 0 处收敛 ,则收敛半 径为 R 0, 收敛区间为一点x 0 ;
n 1
两边积分得
x
0
s( t )dt ln(1 x )
即 s( x ) s(0) ln(1 x )
s( x ) ln(1 x ),
又 x 1 时,
( 1)
n 1 n 1 n
( 1) n1
n1
1 收敛. n
x ln(1 x ). ( 1 x 1) n
(1) 加减法
n 0
n 0
an x bn x c n 0 n 0
n n
n 0
n
x .
n
x R, R
(其中 cn an bn )
(2) 乘法
( an x n ) ( bn x n ) cn x n . x R, R
思考题解答
不一定.
xn 例 f ( x) 2 , n 1 n ( n 1) x f ( x ) n n 2
x n 1 f ( x ) , n 1 n
n 2
, 它们的收敛半径都是1,
但它们的收敛域各是 [1,1], [1,1), ( 1,1)
n a x n 在x x0 处发散,则它在满足 n 0
无穷级数总结
无穷级数总结一、概念与性质 1. 定义：对数列12,,,nu u u ，1n n u ∞=∑称为无穷级数，n u 称为一般项；若部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞=，称级数收敛，否则称为发散.2. 性质①设常数0≠c ，则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n cu 有相同的敛散性；②设有两个级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v ，若∑∞==1n n s u ，σ=∑∞=1n n v ，则∑∞=±=±1)(n n n s v u σ；若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1n n v 发散，则∑∞=±1)(n n n v u 发散；若∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 均发散，则∑∞=±1)(n n n v u 敛散性不确定；③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数∑∞=1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定． ⑤级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞→n n u ；注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 未必收敛；③若∑∞=1n n u 发散，则0lim =∞→n n u 未必成立．二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法① 定义：若0n u ≥，则∑∞=1n n u 称为正项级数.② 审敛法： （i ）充要条件：正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.（ii ）比较审敛法：设∑∞=1n n u ①与∑∞=1n n v ②都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≤>成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≥>成立，则①发散；B. 设∑∞=1n n u 为正项级数，若有1p >使得1(1,2,)n p u n n ≤=，则∑∞=1n n u 收敛；若1(1,2,)n u n n≥=，则∑∞=1n n u 发散.C. 极限形式：设∑∞=1n n u ①与∑∞=1n n v ②都是正项级数，若lim(0)nn nu l l v →∞=<<+∞，则 ∑∞=1n nu与∑∞=1n n v 有相同的敛散性.注：常用的比较级数： ①几何级数：∑∞=-⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=11111n n r r r aar 发散；②-p 级数：∑∞=⎩⎨⎧≤>1111n p p p n 时发散时收敛；③ 调和级数：∑∞=++++=112111n nn 发散． （iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设∑+∞=1n n a 是正项级数，若①1lim1<=++∞→r a a n n n ，则∑+∞=1n n a 收敛；②1lim 1>=++∞→r a a n n n ，则∑+∞=1n n a 发散． 注：若1lim 1=++∞→n n n a a，或lim 1n =，推不出级数的敛散.例∑+∞=11n n 与∑+∞=121n n，虽然1lim 1=++∞→nn n a a，lim 1n =，但∑+∞=11n n 发散，而∑+∞=121n n 收敛. （iv ）根值判别法（柯西判别法）设∑+∞=1n n a是正项级数，lim n ρ=，若1<ρ，级数收敛，若1>ρ则级数发散．（v ）极限审敛法：设0n u ≥，且lim p n n n u l →∞=，则①0lim >=∞→l u n n p n 且1≤p ，则级数∑+∞=1n n u 发散；②如果1>p ，而)0(lim +∞<<=∞→l l u n n p n ,则其收敛．（书上P317-2-（1））注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．2.交错级数及其审敛法①定义：设0(1,2,)n u n ≥=，则11(1)n n n u ∞-=-∑称为交错级数.②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，若1+≥n n u u 且0lim =∞→n n u ，则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛.注：比较n u 与1+n u 的大小的方法有三种： ①比值法，即考察nn u u 1+是否小于1； ②差值法，即考察1+-n n u u 是否大于0；③由n u 找出一个连续可导函数)(x f ，使),2,1(),( ==n n f u n 考察)(x f '是否小于0． 3.一般项级数的判别法：①若∑∞=1n n u 绝对收敛，则∑∞=1n n u 收敛.②若用比值法或根值法判定||1∑∞=n n u 发散，则∑∞=1n n u 必发散.三、幂级数1. 定义：n n n x a ∑∞=0称为幂级数.2. 收敛性① 阿贝尔定理：设幂级数∑+∞=0n n n x a 在00≠x 处收敛，则其在满足0x x <的所有x 处绝对收敛．反之，若幂级数∑+∞=0n n n x a 在1x 处发散，则其在满足1x x >的所有x 处发散． ② 收敛半径（i ）定义：若幂级数在0x x =点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当R x x <-0时，幂级数收敛；②当R x x >-0时，幂级数发散；R 称为幂级数的收敛半径.（ii ）求法：设幂级数∑+∞=0n nn xa的收敛半径为R ，其系数满足条件l a a n n n =++∞→1lim，或l a n n n =+∞→lim ，则当+∞<<l 0时，lR 1=；当0=l 时，+∞=R ，当+∞=l 时，0=R ．注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．（iii ）收敛半径的类型 A.0=R ，此时收敛域仅为一点； B.+∞=R ，此时收敛域为),(∞+-∞；C.R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间． 3.幂级数的运算（略） 4.幂级数的性质①若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内连续．②若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可导，且可逐项求导，即∑∑∑+∞=+∞=-+∞=='='='0110)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x S ，收敛半径不变．③若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可积，且可逐项积分，即⎰⎰∑+∞===x xn nn dt t a dt t S 0)()(∑⎰+∞=-∈0)),((n xn n R R x dt t a ，收敛半径不变．5.函数展开成幂级数①若)(x f 在含有点0x 的某个区间I 内有任意阶导数，)(x f 在0x 点的n 阶泰勒公式为+-++-''+-'+=)(!)()(!2)())(()()(00)(200000x x n x f x x x f x x x f x f x f n)1(0)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ，记)1(0)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ介于0,x x 之间，则)(x f 在I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为I x x R n n ∈∀=+∞→,0)(lim .②初等函数的泰勒级数)0(0=x （i ）∑+∞=∞+-∞∈=0),(,!n nxx n x e ； （ii ）∑+∞=--∞+-∞∈--=1121),(,)!12()1(sin n n n x n x x ； （iii ）∑+∞=∞+-∞∈-=2),(,)!2()1(cos n nn x n x x ； （iv ）∑+∞=+-∈+-=+01]1,1(,1)1()1ln(n n n x n x x ； （v ）∑+∞=∈-∈+--+=+1)(),1,1(,!)1()1(1)1(n n R x x n n x ααααα；（vi ）∑+∞=<=-01,11n nx x x ；∑+∞=<-=+01,)1(11n n n x x x . 6. 级数求和①幂级数求和函数解题程序（i ）求出给定级数的收敛域；（ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数)(x s 与其导数)(x s '的关系），从而得到新级数的和函数； 注：系数为若干项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数． ②数项级数求和（i ）利用级数和的定义求和，即s S n n =∞→lim ，则∑∞==1n n s u ，其中∑==+++=nk kn n uu u u s 121 ．根据n s 的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法．A.直接法：适用于 ∑∞=1k k u 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除首尾两项外其余各项对消掉．（ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）∑∑∞=-→∞==010lim n nn x n n x a a ，其中幂级数∑∞=0n n n x a ，可通过逐项微分或积分求得和函数)(x S ．因此)(lim 10x s a x n n -→∞==∑．四、傅里叶级数 1. 定义①定义1：设)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-或]2,0[π上可积，则)2,1,0(,cos )(1cos )(120===⎰⎰-n nxdx x f nxdx x f a n πππππ， ),2,1(,sin )(1sin )(120===⎰⎰-n nxdx x f nxdx x f b n πππππ，称为函数)(x f 的傅立叶系数．②定义2：以)(x f 的傅立叶系数为系数的三角级数∑∞=++10)sin cos (21n n nnx b nx aa ．称为函数)(x f 的傅立叶级数，表示为∑∞=++10)sin cos (21)(n n nnx b nx aa ～x f ．③定义3：设)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则以 ⎰-==ll n n xdx ln x f la )2,1,0(,cos )(1 π， ⎰-==lln n xdx ln x f l b )2,1(,sin )(1π为系数的三角级数 ∑∞=++10)sin cos(21n n n x ln b x l n a a ππ 称为)(x f 的傅立叶级数，表示为∑∞=++10)sin cos(21)(n n nx ln b x l n aa ～x f ππ． 2.收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数)(x f 在区间],[ππ-上满足条件①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点， 则)(x f 的傅立叶级数在],[ππ-上收敛，且有∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±=-++-++-=πππx f f ；x f x x f x f ；x f x x f )],0()0([21)()],0()0([21)(),(000的第一类间断点是的连续点是. 3.函数展开成傅氏级数 ①周期函数（i ）以π2为周期的函数)(x f ：∑∞=++10sin cos 2)(n n nnx b nx aa～x f⎰-=πππ)(1x f a n ),2,1,0(cos =n nxdx ，1()n b f x πππ-=⎰),2,1(sin =n nxdx ；注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞=1sin )(n n nx b ～x f (正弦级数)，0=n a ),2,1,0( =n2()sin n b f x nxdx ππ=⎰),2,1( =n ；②若)(x f 为偶函数，则∑∞=+10cos 2)(n nnx aa～x f (余弦级数)，2()cos n a f x nxdx ππ=⎰),2,1,0( =n ，0=n b ),2,1( =n .（ii ）以l 2为周期的函数)(x f ：∑∞=+10cos2)(n n x l n a a～x f π+)sin x ln b n π ⎰-=ll n x f la )(1),2,1,0(cos=n xdx l n π，⎰-=l l n x f l b )(1),2,1(sin =n xdx ln π；注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞=1sin )(n n x l n b ～x f π(正弦级数)，0=n a ),2,1,0( =n 02()sin l n n b f x xdx l lπ=⎰ ),2,1( =n ； ②若)(x f 为偶函数，则∑∞=+10cos2)(n n x ln a a～x f π，(余弦级数) 02()cos l n n a f x xdx l lπ=⎰),2,1,0( =n ，0=n b ),2,1( =n . ②非周期函数（i ）奇延拓：A.)(x f 为],0[π上的非周期函数，令⎩⎨⎧<≤---≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为奇函数，∑∞=1sin )(n n nx b ～x f (正弦级数)，02()sin n b f x nxdx ππ=⎰),2,1( =n ；B. )(x f 为],0[l 上的非周期函数，则令⎩⎨⎧<≤---≤≤=0),(0),()(x l x f lx x f x F ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为奇函数，∑∞=1sin)(n n x l n b ～x f π(正弦级数)，02()sinl n n b f x xdx llπ=⎰),2,1( =n .（ii ）偶延拓：A.)(x f 为],0[π上的非周期函数，令⎩⎨⎧<≤--≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为偶函数，∑∞=+10cos 2)(n nnxaa ～x f (余弦级数)，2()cos n a f x nxdx ππ=⎰),2,1,0( =n .B.)(x f 为],0[l 上的非周期函数，令⎩⎨⎧<≤--≤≤=0),(0),()(x l x f lx x f x F ，则∑∞=+10cos2)(n n x l n a a～x f π(余弦级数)，02()cosl n n a f x xdx llπ=⎰),2,1,0( =n . 注：解题步骤：①画出图形、验证狄氏条件．画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性； ②求出傅氏系数；③写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于)(x f ．。
复变函数的级数展开和解析延拓
复变函数的级数展开和解析延拓复变函数是数学中的一个重要概念，它在实数域上的连续性和可微性不能直接应用于复数域。
复数函数的级数展开和解析延拓是研究复变函数性质的重要方法。
本文将介绍复变函数级数展开和解析延拓的基本概念、方法和应用。
一、级数展开的基本概念复变函数的级数展开是指通过无限项的级数来表示一个复变函数。
常用的级数展开方法有泰勒级数和洛朗级数。
1. 泰勒级数展开泰勒级数展开是将一个复变函数在某点z₀处展开成幂级数的形式，表示为：f(z) = ∑[n=0,∞] [f^(n)(z₀)/n!] × (z-z₀)^n其中，f(z)是复变函数，f^(n)(z₀)表示函数f(z)在点z₀处的n阶导数。
2. 洛朗级数展开洛朗级数展开是将一个复变函数在其奇点z₀的一个环域内展开成幂级数和幂函数的形式，表示为：f(z) = ∑[n=0,∞] a_n × (z-z₀)^n + ∑[n=1,∞] b_n × (z-z₀)^(-n)其中，a_n和b_n为展开系数，可通过计算获得。
二、解析延拓的基本概念解析延拓是指将一个复变函数在定义域外继续解析成一个更大的域内的函数。
解析延拓的基本方法是通过级数展开和幂函数来延拓函数定义。
1. 极限解析延拓对于某个定义在开集D上的函数f(z)，若存在开集G，使得开集D 包含在G中，且在开集G上存在一个函数F(z)，满足：F(z) = f(z)，z∈D则称F(z)是f(z)的解析延拓。
在实际操作中，可以通过级数展开或利用幂函数的性质来进行解析延拓。
2. 常用的解析延拓方法（1）洛朗展开法：根据洛朗级数展开的形式，将函数在解析延拓域内进行展开，得到解析延拓函数。
（2）泛函方程法：通过泛函方程求解得到解析延拓函数。
（3）全纯延拓法：将局部解析延拓到整个域内。
（4）反复延拓法：在已知的定义域上反复延拓，直到无法再延拓为止。
三、级数展开和解析延拓的应用级数展开和解析延拓在数学和物理学等领域具有广泛应用。
不定积分的无穷级数展开
不定积分的无穷级数展开在微积分学中，不定积分是一个重要的概念，它是对函数的一种运算，表示该函数的原函数。
而在数学中，无穷级数也是一个重要的概念，它是指由无穷多个数相加或相乘而得到的数列的极限值。
不定积分的无穷级数展开可以让我们更好地理解和运用这两个概念，下面就来详细探讨一下。
一、无穷级数的基本定义和性质无穷级数的基本定义是：对于一个数列{an}，它的无穷级数为∑n=1∞an，表示将数列中的所有元素按照一定的规律相加的结果。
其中，an可以是实数，复数或其他数学对象，如多项式、函数等。
无穷级数也有一些基本的性质，例如：1.如果对于所有的n，an≥0，则∑n=1∞an是收敛的；2.如果对于所有的n，an≤0，则∑n=1∞an是发散的；3.如果∑n=1∞an与∑n=1∞bn都是收敛的，则∑n=1∞(an+bn)和∑n=1∞(anbn)都是收敛的；4.如果∑n=1∞an收敛，则对于任意的ε＞0，存在一个正整数N，当n＞N时，有|an|＜ε。
二、不定积分的基本定义和性质不定积分在微积分学中有重要的作用，它是对函数的一种运算，表示该函数的原函数。
在不定积分中，有一些基本的定义和性质，例如：1.如果F(x)是函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，其中C为常数；2.如果f(x)在区间[a,b]上连续，则不定积分∫f(x)dx存在；3.如果f(x)在区间[a,b]上非负，则不定积分∫f(x)dx≥0。
三、我们知道，在微积分学中，一个函数的不定积分可以通过积分运算得到，但是有时候我们也需要使用无穷级数展开的方法来计算不定积分。
对于某些比较复杂的函数，我们无法使用一般的积分公式计算不定积分，而无穷级数展开就成为了一种重要的计算工具。
例如，对于e^x/x的不定积分，我们可以使用无穷级数展开的方法来计算，得到的结果是：∫e^x/xdx = C + ∑n=1∞(x^n/n!),其中C为积分常数。
半纯函数的无穷级数展开
亚纯函数的无穷级数展开我们知道，如果ƒ()z 在0z 的邻域内全纯，则ƒ()z 在0z 的邻域内可展成Taylor 级数()n n n z z a 00-∑∞=；如果z 。
是ƒ(z)的一孤立奇点，它可以在z 。
的去心邻域展成Laurent 级数()nn n z z a ∑+∞-∞=-0。
亚纯函数是一类非常重要函数，由于它的奇点为极点,我们从Laurent 级数的展开式中得到启发，可否将亚纯函数按其奇点的分布情况展开成无穷级数，答案是肯定的。
这样亚纯函数的研究又有了一种工具，下面我们来研究这理论。
设)(z f 为区域D 内的亚纯函数,它可以表为两个全纯函数之比，即)()()(z g Z h z f =. 其中()()z g z h ,是D 内的全纯函数，且()z g 的零点是()z f 的极点，设想()z g 可分解因式如下()()...)(21z z z z a z g --=由此我们对上式施以对数运算，再施以微分运算，就将()z f 展开成如下的形式，()()∑∞-=k n k kkz z a z f (其中k n 为与极点的级有关的正整数)即我们依()z f 的极点展开成一分式型级数有关的理论我们不进行深入讨论。
下面我们以亚纯函数tgz 与ctgz 为例说明这种展开方法。
由于tgz ＝ctg （2π-z ），所以我们只研究ctgz 的展开方法即可。
我们先研究用微积分学有关理论来展开ctgz 。
这种方法的技巧性很强，它需要先把t sin 在实数域内展成无穷乘积,这样会减少在复数域内的许多繁杂的讨论。
因为()mx i mx x i x m sin cos sin cos +=+ 展开左边取实部得()()⋅⋅⋅+⋅⋅⋅---⋅=--x x m m m x x m mx m m 331sin cos 32121sin cos sin (1)若12+=n m 是奇数，用公式()kk x x 22sin 1cos -=置换（1）中余弦函数的偶次幂后，得()()xP x x n 2sin sin 12sin ⋅=+ （2）其中()u P 为一个n 次幂整多项式。
无穷级数基本公式
常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nn n n q q qq q n n 1312112)1(32111112+++++=++++--=++++- 级数审敛法：散。
存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=⎪⎩⎪⎨⎧=><=⎪⎩⎪⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ。
的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n nn n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛１时发散ｐ 级数： 收敛； 级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。
收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p nn n n幂级数：0010)3(lim )3(1111111221032=+∞=+∞===≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x xx x x x x n n n n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。
，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散时，收敛于 ρρρρρ 函数展开成幂级数：+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-++=+--x n x x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n m 欧拉公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ixix ix ee x e e x x i x e 或三角级数：。
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亚纯函数的无穷级数展开我们知道，如果ƒ()z 在0z 的邻域内全纯，则ƒ()z 在0z 的邻域内可展成Taylor 级数()n n n z z a 00-∑∞=；如果z 。
是ƒ(z)的一孤立奇点，它可以在z 。
的去心邻域展成Laurent 级数()nn n z z a ∑+∞-∞=-0。
亚纯函数是一类非常重要函数，由于它的奇点为极点,我们从Laurent 级数的展开式中得到启发，可否将亚纯函数按其奇点的分布情况展开成无穷级数，答案是肯定的。
这样亚纯函数的研究又有了一种工具，下面我们来研究这理论。
设)(z f 为区域D 内的亚纯函数,它可以表为两个全纯函数之比，即)()()(z g Z h z f =. 其中()()z g z h ,是D 内的全纯函数，且()z g 的零点是()z f 的极点，设想()z g 可分解因式如下()()...)(21z z z z a z g --=由此我们对上式施以对数运算，再施以微分运算，就将()z f 展开成如下的形式，()()∑∞-=k n k kkz z a z f (其中k n 为与极点的级有关的正整数)即我们依()z f 的极点展开成一分式型级数有关的理论我们不进行深入讨论。
下面我们以亚纯函数tgz 与ctgz 为例说明这种展开方法。
由于tgz ＝ctg （2π-z ），所以我们只研究ctgz 的展开方法即可。
我们先研究用微积分学有关理论来展开ctgz 。
这种方法的技巧性很强，它需要先把t sin 在实数域内展成无穷乘积,这样会减少在复数域内的许多繁杂的讨论。
因为()mx i mx x i x m sin cos sin cos +=+ 展开左边取实部得()()⋅⋅⋅+⋅⋅⋅---⋅=--x x m m m x x m mx m m 331sin cos 32121sin cos sin (1)若12+=n m 是奇数，用公式()kk x x 22sin 1cos -=置换（1）中余弦函数的偶次幂后，得()()xP x x n 2sin sin 12sin ⋅=+ （2）其中()u P 为一个n 次幂整多项式。
如果用n u u u ,...,,21表这多项式的根,则此多项式可以用如下方法分解因式()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=n n u u u u u u A u u u u u u a u P 1...11 (2121)从（2）容易定出根n u u u ,...,,21,如果x 使()012sin =+x m ,但0sin ≠x ,则x 2sin 就一定是()u P 的根。
12,...,122,12+++=n n n n x πππ介于0与2π之间，且为递增序列，从而.12sin ,...,122sin ,12sin22221+=+=+=n n u n u n u n πππ是()u P 的n 个相异根。
而系数()0P A =可作为当0→x 时()xx n sin 12sin +的极限来确定,从而.12+=n A 我们得到 ()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+12sin sin 1...12sin sin 1sin 1212sin 2222n n x n x x n x n ππ设12+=n x t ,上式化为()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=12sin 12sin 1...12sin 12sin 112sin12sin 2222n n n t n n t n t n t ππ （3）我们认定t 异于,...,2,,0ππ±±于是0sin ≠t .在条件()t k >+π1下取正整数k,并设.k n >现在把t sin 表为下面乘积的形状:()()..sin n k n k V U t =（4）其中()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=12sin 12sin 1...12sin 12sin 112sin122222n k n t n n t n t n U n k ππ()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-=12sin 12sin 1...121sin 12sin 12222n n n t n k n t V n k ππ 固定k,有()t n tn n =++∞→12sin12lim(),,...,2,112sin12sin 22222lim k h h t n h n tn ==++∞→ππ故()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∞→22222221...411lim πππk t t t t U U n kn k 由于（3）,()n k n k V V lim ∞→= 存在,且..sin K k V U t =下面确定k V 。
普通微分学中有不等式 θθθπ<<sin 2 20πθ<<成立。
所以()2221212sin +<+n t n t并且 ()()n k h n h n h ,...,112.412sin 22222+=+>+πππ 于是()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+->>222241...1411n t k t V n k （5）取0h 滿足2204t h >,因为级数∑∞=0.224h h ht 收敛,故无穷乘积∏∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-02241h h h t 收敛。
因此余乘积 ∏∞+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=122___41k h kh t V1___lim =∞→V kk 。
如果使()VV kn k >>1.我们只加强了不等式（5）,在固定k 下令∞→n 得 .1V V k k >>由此得到,sin ,1lim lim t U V k k k k ==∞→∞→最后得到正弦函数的无穷乘积Euler 展开式...1...4111sin 22222221222⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∏∞=ππππn t t t t n t t t n （6）前面讨论中，我们将,...2,,0ππ±±=t 除外，实际上（6）式对这些值也成立,并且这恰好是正弦函数的全部零点，而（6）也正好是它的“因式分解”。
很显然，（6）式中的t 取一切实数。
下面我们设yi x z +=()∏∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=12221n n z z z f π （7）可见（7）式就是（6）式的解析开拓，由解析函数的唯一性知()∏∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==12221sin n n z z z z f π （8）如果(),...2,1,0±±=≠k k z π,我们对（8）式取对数得∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=12221ln ln sin ln n n z x z π 逐项微分就得∑∞=-+==122221sin cos n n z zz ctgz z z π （9）以上运算的合理性我们就不去验证了，只是对（9）右边的无穷级数的一致收敛性要在πk z ≠的情形下验证，这可以利用Weierstrass 判别法得到结果。
（9）式还可以写作∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=1111n n z n z z ctgz ππ（10）这就是我们需要的结果。
如果注意到⎪⎭⎫⎝⎛--=2πz ctg tgz∑∞=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---=121212121n n z n z tgz ππ 分析上面的求解过程可以看出，亚纯函数ctgz 的展开式是从实数域开拓到复数域得到的。
是否可以从复数或中直接得到?下面我们来讨论这个问题。
设()ctgz z f =zzsin cos =它的奇点为(),...2,1,0±±==k k z k π,即z sin 的零点为它的极点，又()()()1sin cos ,Re ='===kz z k k z z z z f s R即它的所有极点都是一级的，从而ctgz 在πk z =的Laurent 展开式的主要部分为().,...2,1,01±±=-k k z π（12）根椐（10）及（12）得到启示，我们考虑下面复积分 ζζζπd zctg i n C ⎰-21（13） n C为:π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n z 这样的圆周正向, n 为正整数。
这就使1+n 个奇点()n k z k±±±=,...,2,1,0π全在n C 内部。
由（13）知，被积函数zctg -ζζ在n C 内有一级极点()n k z k ±±±=,...,2,1,0π外，还有奇点z 点，z 是n C 内异于k z 的任一点，且ctgz z z ctg s =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-,Re ζζzz z zctg s k k -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1,Re ζζ 利用留数基本定理，得到ζζζπd zctg i n C ⎰-21=∑∑-=-=--=-+nn k nn k k k z ctgz z z ctgz π11 （14）我们要对上式左边积分值进行估计，下面对（14）进行如下的处理,令0→z ,（14）化为∑⎰≠-=→+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nk n k z C k z ctgz d ctg i n0,01121lim πζζζπ其中 01lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛-→z ctgz z （可用L ’Hospital 法验证）从而得到∑⎰≠-==nk n k C k d ctg i n0,121πζζζπ （15）（14）减（15）得()∑⎰≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-no k n k C k k z z ctgz d z ctg i z n,1112ππζζζζπ （16）显然,我们要证∞→n 时，（16）左边的积分趋于零。
下面我们来估计这个积分，这需要先验证ctgz 有界性。
设ρπρ=-k z C k :,其中20πρ<<,即这些小圆互不相交，且每一个小圆ρk C 内只有一个奇点πk ，我们将证明除去所有的ρk C ,ctgz 在z 平面有界。
如果注意到ctgz 以π为周期,所以只考虑它在一个单叶性区域内的有界性即可。
比如带形域π≤≤z D Re 0:去掉ρρ10,C C 在D 内的部分。
在带形域D 的每一个有限部分上，函数ctgz 都是连续的，因ctgz 是有界()yi x z +=。
我们只需证明，当π≤≤x 0而+∞→y 或-∞→y 时, ctgz 有界,由于ixy ixy ixy ix y iz iz iz iz e e e e e e e e i e e e e i ctgz -------+=-+=经过简单的变换有:yyyy e e e e ctgz ---+≤而1lim =-+--±∞→y y yy y ee e e ,因此，当y 的绝对值充分大时，完全可以设2≤ctgz 。