半纯函数的无穷级数展开

亚纯函数的无穷级数展开

我们知道，如果ƒ()z 在0z 的邻域内全纯，则ƒ()z 在0z 的邻域内可展成Taylor 级数()n n n z z a 00-∑∞

=；如果z 。是ƒ(z)的一孤立奇点，

它可以在z 。的去心邻域展成Laurent 级数()n

n n z z a ∑+∞

-∞

=-0。

亚纯函数是一类非常重要函数，由于它的奇点为极点,我们从Laurent 级数的展开式中得到启发，可否将亚纯函数按其奇点的分布情况展开成无穷级数，答案是肯定的。这样亚纯函数的研究又有了一种工具，下面我们来研究这理论。

设)(z f 为区域D 内的亚纯函数,它可以表为两个全纯函数之比，即

)

()

()(z g Z h z f =

. 其中()()z g z h ,是D 内的全纯函数，且()z g 的零点是()z f 的极点，设想()z g 可分解因式如下

()()...)(21z z z z a z g --=

由此我们对上式施以对数运算，再施以微分运算，就将()z f 展开成如下的形式，

()()∑

∞

-=k n k k

k

z z a z f (其中k n 为与极点的级有关的正整数)

即我们依()z f 的极点展开成一分式型级数有关的理论我们不进行

深入讨论。下面我们以亚纯函数tgz 与ctgz 为例说明这种展开方法。由于tgz ＝ctg （2

π-z ），所以我们只研究ctgz 的展开方法

即可。

我们先研究用微积分学有关理论来展开ctgz 。这种方法的技巧性很强，它需要先把t sin 在实数域内展成无穷乘积,这样会减少在复数域内的许多繁杂的讨论。

因为()mx i mx x i x m sin cos sin cos +=+ 展开左边取实部得

()()⋅⋅⋅+⋅⋅⋅---⋅=--x x m m m x x m mx m m 331sin cos 3

2121sin cos sin (1)

若12+=n m 是奇数，用公式()k

k x x 22sin 1cos -=置换（1）中余弦函数

的偶次幂后，得

()()x

P x x n 2sin sin 12sin ⋅=+ （2）

其中()u P 为一个n 次幂整多项式。

如果用n u u u ,...,,21表这多项式的根,则此多项式可以用如下方法分解因式

()()()()⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=---=n n u u u u u u A u u u u u u a u P 1...11 (2121)

从（2）容易定出根n u u u ,...,,21,如果x 使()012sin =+x m ,但0sin ≠x ,则x 2sin 就一定是()u P 的根。1

2,...,1

22,12+++=n n n n x πππ介于0与2

π之间，

且为递增序列，从而

.1

2sin ,...,122sin ,1

2sin

22

22

1+=+=+=n n u n u n u n π

ππ

是()u P 的n 个相异根。而系数()0P A =可作为当0→x 时()x

x n sin 12sin +的

极限来确定,从而.12+=n A 我们得到 ()()⎪

⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛+-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-

+=+12sin sin 1...12sin sin 1sin 1212sin 2222n n x n x x n x n ππ

设1

2+=n x t ,上式化为

()⎪

⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

++-++=12sin 12sin 1...12sin 12sin 112sin

12sin 2222n n n t n n t n t n t ππ （3）

我们认定t 异于,...,2,,0ππ±±于是0sin ≠t .在条件()t k >+π1下取正整数k,并设.k n >现在把t sin 表为下面乘积的形状:

()()..sin n k n k V U t =

（4）

其中

()

()⎪

⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

++-++=12sin 12sin 1...12sin 12sin 112sin

122222n k n t n n t n t n U n k ππ

()

()⎪

⎪

⎪⎪

⎭⎫ ⎝

⎛++-⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛

+++-

=12sin 12sin 1...121sin 12sin 122

22n n n t n k n t V n k ππ 固定k,有

()t n t

n n =++∞

→1

2sin

12lim

(),,...,2,11

2sin

12sin 2

22

22

lim k h h t n h n t

n ==++∞

→ππ

故()

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∞

→22222221...411lim πππk t t t t U U n k

n k 由于（3）,()n k n k V V lim ∞→= 存在,且

..sin K k V U t =

下面确定k V 。

普通微分学中有不等式 θθθπ

<

0πθ<<

成立。所以

()2

2

2

1212sin +<

+n t n t

并且 ()

()n k h n h n h ,...,112.412sin 2

2

222

+=+>+πππ 于是()

()⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+->>222241...1411n t k t V n k （5）

取0

h 滿足2

20

4t h >,因为级数∑∞

=0.2

2

4h h h

t 收敛,故无穷乘积∏∞

=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-02241h h h t 收