人教新课标版数学高二选修1-1讲义 变化率问题 导数的概念

3.1 变化率与导数

3.1.1 变化率问题

3.1.2 导数的概念

1.理解函数在某点附近的平均变化率.(重点)

2.了解导数的概念并会求函数在某点处的导数.(难点)

3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系.(易错点)

[基础·初探]

教材整理1 变化率问题

阅读教材P72～P74“思考”部分，完成下列问题.

函数的变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

(1)定义式：Δy

Δx＝

f(x2)－f(x1)

x2－x1

.

(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.

(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)Δx表示x2－x1是相对于x1的一个增量，Δx可以为零.()

(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零.()

(3)Δy

Δx表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率.()

【答案】(1)×(2)√(3)√

教材整理2 导数的概念

阅读教材P74导数的概念～P75例1以上部分，完成下列问题.

1.函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

(1)定义式：lim

Δx→0Δy

Δx＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx.

(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值.

(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢.

2.函数f(x)在x＝x0处的导数

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记

作f′(x0)或y′|

x＝x0，即f′(x0)＝lim

Δx→0

Δy

Δx＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关.()

(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量.()

(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零.()

(4)函数f(x)＝x在x＝0处的瞬时变化率为0.()

【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×

[小组合作型]

平均变化率

(1)00______，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________.

(2)已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上的一点A(－1，－2)及临近一点B(－1＋

Δx，－2＋Δy)，则Δy

Δx＝________.

【自主解答】(1)函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为

f(x0＋Δx)－f(x0)

(x0＋Δx)－x0

＝[3(x0＋Δx)2＋2]－(3x20＋2)

Δx

＝6x0·Δx＋3(Δx)2

Δx

＝6x0＋3Δx.

当x0＝2，Δx＝0.1时，

函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.

(2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)

＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)]

＝－(Δx)2＋3Δx，

∴Δy

Δx

＝

－(Δx)2＋3Δx

Δx

＝－Δx＋3.

【答案】(1)6x0＋3Δx12.3(2)－Δx＋3

求平均变化率的主要步骤

1.计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).

2.计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.

3.得平均变化率Δy

Δx

＝

f(x2)－f(x1)

x2－x1

.

[再练一题]

1.求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为1

3，在哪一点附近平均变化率最大？

【导学号：97792034】

【解】 在x ＝1附近的平均变化率为： k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；

在x ＝2附近的平均变化率为：

k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22

Δx ＝4＋Δx ；

在x ＝3附近的平均变化率为：

k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32

Δx ＝6＋Δx .

若Δx ＝1

3，

则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝13

3， k 3＝6＋13＝19

3. 由于k 1＜k 2＜k 3，

故在x ＝3附近的平均变化率最大.

求瞬时速度

若一物体的运动方程为s ＝⎩⎨⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，

3t 2＋2，t ≥3

(路程单位：m ，时间单位：s).求：

(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度. 【精彩点拨】

根据问题选择对应的函数解析式→根据平均速度和瞬时速度的概念求解