正弦、余弦函数图像

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
（一）
给定任意一个角，其正弦值、余弦值均存
在，且满足唯一性，即角与正弦、余弦值之间可以建立一一对应关系，符合函数的要求。

形如y=Asin(ωx+φ)（ω≠0）的函数称为正弦函数；
形如y=Acos(ωx+φ)（ω≠0）的函数称为余弦函数；
其中y=sinx、y=cosx是正弦函数与余弦函的基本形式：所有的正弦函数、余弦函数，通过“换元”思想，都可以转化为y=sinx与y=cosx的形式，故二者是研究正弦函数与余弦函数的基石。

（二）
在诱导公式的帮助下，我们可以将任意一个角的三角函数值转化为求某一个锐角的三角函数，再以有序实数对（角，三角函数）的形式在坐标系内描点，从而得到三角函数的图象；除了基础的描点法，我们也可以利用三角函数线，得到函数的图象。

做法：①等分单位圆O1：以单位圆O1与x 轴交点A为起点，将圆等分为12份；
②作正弦线：过单位圆的各分点作x
轴的垂线，得0，π
6，π
3
，π
2
，…，2π等角的
正弦线；
③平移画图：在x轴上等分0到2π为12份，将正弦线平移到相应的角上，连接正弦线的终点，从而得到0到2π的正弦函数图象。

（三）
0到2π，是任意角的冰山一角；0到2π一段上的函数图象，也仅仅是三角函数图象的一部分.另一方面，当角的终边旋转一周后继续旋转，角的大小在逐渐变化的同时，角的正弦线“玩接力”样依次重复出现，可以预见，2π到4π，4π到6π，6π到8π，…，是0到
2π一段上函数图象的“复制”与“粘贴”，每一段的首尾相接，便是函数图象的“真身”。

（四）
正弦函数、余弦函数的图象告诉我们：
①从自变量x的角度看，函数图象可沿着x
x轴上任何一个
故正弦函数、
R；
②从因变量y的角度看，正弦函数、余弦
y=1与y=−1两条互相
[−1，1]，好比正弦函数、余弦函数为一个“加工厂”，投入的角多大多小，产成品----“函数值”只能在[−1，1]；
③正弦函数、余弦函数的图象可以看作某一部分（如图中的阴影部分）的重复拼接，故画函数图象时，可以以此为单元。

（五）
基于正弦函数、余弦函数图象的特征，有了重复单元，就有了整个正弦函数、余弦函数的图象；在画函数图象时，重复单元的绘
制显得尤为重要。

我们往往选择区间[0，2π]上的图象，作为正弦函数、余弦函数图象的重复单元。

观察图象，发现函数 y =sinx 或y =cosx 在区间[0，2π]上的图，起关键作用的点有五个，为：①（0，0），（π
2
，1）,（π，0），（
3π2
，1），（2π,1）；
②（0,1），(π
2，0)，(π，−1)，
（3π2
，0）
（2π,1） ；
这种由五个关键点画正弦、余弦函数图象的方法，称为“五点法”。

五点法所涉及的五个点并不是一成不变的，其横、纵坐标均可能改变；五点法的实质是选取了五个特殊角，即0，π
2，π，
3π2
，2π，由此衍生出x
【例1】利用“五点法”画出函数y =sin⁡(1
2
x +
π6
)在长度为一个周期的闭区间的简图.
解析 五点法是以角为基础确定的，区分角与自变量，列表描点连线得函数的图象。

【类题突破1】用“五点法”作出函数 y =2sin⁡(2x −π
3) 的简图.
【例2】已知函数f (x )=√2sin (2x −π
4)+1，画出函数在区间[−π
2，π
2]上的图象. 解析 根据自变量x 的取值范围确定角的取值范围，并选择特殊性质的角；注意必须包含左右端点对应的角。

(3)连线得函数图象：
【类题突破2】函数y =sin⁡
(2x −π
3)在区间
[−π
2，π]
上的简图是下列选项中的
【例3】写出不等式sinx ≥1
2的解集. 解析 利用数形结合的思想，分别画出y =sinx 与y =1
2的图象，通过图象写出不等式的解；注意，函数y =sinx 的图象具有重复性，画出一个重复单元即可.
在同一坐标系中，作函数y =sinx ，x ∈1
O π6 5π6 13π6
17π6
25π6
29π6
在区间[0，2π]上有：sin π6
=sin
5π6
=
12
满足sinx ≥1
2的x 的取值为： ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡π
6≤x ≤
5π6
随着图象的无限延伸，[0，2π]上函数图象的重复拼接，满足上述不等式的解有：
[
13π6
，
17π6
]，[
25π6
，
19π6
]，…
符合[π6+2kπ，
5π6+2kπ]
故不等式sinx ≥12
的解集为： [π
6+2kπ，5π6
+2kπ] k ∈
Z
【类题突破3】写出cosx ≥
√3
2
的解集.
规律总结：①解三角函数不等式，可以利用三角函数的单调性；也可以根据函数的图象；
②三角函数图象具有重复性，画出一个重复单元即可.
1、，⁡x ∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点（ ）
A.(π
6，1
2） B.(π
2，1)
C.(π，0）
D.(2π，0） 2、在同一平面直角坐标系中，函数y =sinx
x ∈[0，2π] 与y =sinx ，x ∈[2π，4π]的图象（ ）
A.重合
B.形状相同，位置不同
C.关于y 轴对称
D.形状不同，位置不同 3、函数y =sin (−x )，x ∈[0，2π]的简图是（ ）
4、若sinx
=m +1且
x ∈R ，则m
的取值范
围是________________.
5、函数y =cosx ，x ∈[0，2π]的图象与直线y =−1
2的交点有__________个.
6、函数，2π]的大致图象为（ ）
C D 7、在(0，2π)内，使sinx >cosx 成立的x 的取值范围为（ ） A.(π
4，π
2）∪（π，5π
4
) B.(π
4，π）
C.(π
4，
5π4） D.(π
4，π)∪(5π
4，
3π2
)
8、利用余弦函数图象，写出满足cosx >0，x ∈[0，2π]的x 的区间为______________.
9、函数y =√log 12
sinx 的定义域为
______________________. 10、已知函数f (x )=2sin⁡(2x +π
3)
(1)画出函数在区间[−π6
，
13π12
]上的图象；
(2)若方程f (x )=a +1在区间[−π
6，13π12
]
上有两解，求a 的取值范围.
11、已知函数f (x )=sin⁡(2x +π
3
).画出函数
y =f(x)在区间[0，π]上的图象.。