高一数学 指数、对数函数
高一数学 指数函数与对数函数的关系
高一数学指数函数与对数函数的关系一、教学目标：1．知识与技能（1）巩固复习指数函数、对数函数的概念和图象性质（2）通过对比两个函数的解析式与图象间的关系，初步对反函数概念进行解释和直观理解（3）理解反函数的概念和互为反函数的函数图象间的关系（4）应用反函数的概念求已知函数的反函数（5）通过反函数知识的学习加深对指数函数、对数函数的相互关系的理解2．过程与方法（1）通过对指数函数、对数函数图象的观察与对比，发现两个函数间的特殊的对称规律（2）从图象特征入手，进而对其解析式进行理性的分析，从而归纳出反函数的定义（3）以指、对函数为载体加深对反函数定义及图象性质的理解（4）应用所学的知识求解一些简单函数的反函数3．情感、态度与价值观（1）通过指、对函数图象的对比，引导学生体会数学研究中的发现问题、提出问题（2）从函数的图象特征入手，进一步研究互为反函数的函数的解析式的特点，引导学生体会由表象到实质，由感性到理性的研究过程（3）通过应用反函数知识，使学生体会由特殊到一般，再由一般到特殊的研究方法（4）引导学生发现指、对函数的对立统一关系，并欣赏数形和谐的对称美二、教学重点与难点：教学重点：反函数的概念及互为反函数图象间的关系教学难点：反函数的概念三、教学方法：以问题形式引导学生自主探究；以小组讨论的形式引导学生互助学习，并展示其研究活动及研究成果四、教学过程：概念深化射时函数有反函数，否则如2x y =等均无反函数②与互为反函数。
③的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域2．奇函数若有反函数，则反函数仍是奇函数，偶函数若存在反函数，则其定义域为{0}；若函数)(x f y =是增（减）函数，则其反函数)(1x fy -=是增（减）函数。
3．求反函数的步骤：由)(x f y =解出)(1y fx -=，注意由原函数定义域确定单值对应；交换y x ,，得)(1x f y -=；根据)(x f y =的值域，写出)(1x fy -=的定义域。
高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4.1 对数函数课件 a高一第一册数学课件
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[教材解难]
1．教材 P130 思考
根据指数与对数的关系，由
y＝12
x 5730
(x≥0)得到 x＝log 1 y(0＜y≤1)．如图，过 y 5730 2
轴正半轴上任意一点(0，y0)(0＜y0≤1)作
x
轴的平行线，与
y＝12
x 5730
(x≥0)的图象有且只有一个交点(x0，y0)．这就说明，对于任意一个
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跟踪训练 2 求下列函数的定义域： (1)y＝lg(x＋1)＋ 31x－2 x；
(2)y＝log(x－2)(5－x)．
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解析：(1)要使函数有意义，
需x1＋－1x＞ ＞00， ， 即xx＞ ＜1－. 1， ∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1,1)．
D.43， 3，110，35
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解析：(1)方法一 作直线 y＝1 与四条曲线交于四点，由 y＝ logax＝1，得 x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底 数小，所以 C1，C2，C3，C4 对应的 a 值分别为 3，43，35，110，故 选 A.
种对称性，就可以利用 y＝log2x 的图象画出 y＝log 1 x 的图象． 2
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3．教材 P138 思考 一般地，虽然对数函数 y＝logax(a＞1)与一次函数 y＝kx(k＞0) 在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着 x 的
增大，一次函数 y＝kx(k＞0)保持固定的增长速度，而对数函数 y＝
高一数学必修一函数专题：指数函数与对数函数(二)
x ②当 x (0,) 时：反比函数 f (x) k 单调递减。
x （Ⅱ）当 k 0 时： ①当 x (,0) 时：反比函数 f (x) k 单调递增；
x ②当 x (0,) 时：反比函数 f (x) k 单调递增。
）
2
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A. R
B.[og2 | x | 的单调递增区间为（
A. R
B. (0,)
）
C. (,0)
第二部分：对数函数的定义域
知识点：对数函数 f (x) loga x 的限制条件： ①a 0且a 1； ②x0。
例题一：已知：函数 f (x) log x1(x2 2x) 。计算：函数 f (x) 的定义域。
2a （Ⅱ）当 a 0 时：二次函数的图像开口向下。对称轴： x b 。
2a ①当 x (, b ] 时：二次函数 f (x) ax2 bx c 单调递增；
2a ②当 x [ b ,) 时：二次函数 f (x) ax2 bx c 单调递减。
2a
知识点三：反比例函数的单调性。
反比例函数 f (x) k 的单调性： x
x
知识点四：对数函数的单调性。
对数函数 f (x) loga x （ a 0 且 a 0 ）的单调性： ①当 0 a 1时：当 x (0,) 时：对数函数 f (x) loga x 单调递减； ②当 a 1 时：当 x (0,) 时：对数函数 f (x) loga x 单调递增。
训练一：函数 f (x) | loga x | （ a 0 且 a 1）的单调递增区间为（
A. (0, a]
B. (0,)
高一数学指数函数对数函数知识点
高一数学指数函数对数函数知识点导语：在高中数学中，指数函数与对数函数是一个非常重要的数学概念和知识点。
它们在不同领域的应用非常广泛，比如金融、科学等。
本文将深入探讨高一数学中的指数函数和对数函数的基本概念、性质以及它们之间的关系。
一、指数函数的基本概念与性质1. 指数函数的定义指数函数是以常数e（自然对数的底）为底的函数，表示为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1，x为实数。
举例来说，函数f(x) = 2^x就是一个指数函数，其中以2为底。
2. 指数函数的性质①指数函数的定义域为实数集, 即所有实数x。
②指数函数的值域为正数集, 即所有大于0的实数。
③指数函数是递增函数，即当x1 < x2时，a^x1 < a^x2。
④当a > 1时，指数函数的图像是递增的；当0 < a < 1时，指数函数的图像是递减的。
二、对数函数的基本概念与性质1. 对数函数的定义对数函数是指数函数的反函数。
以常数e为底的对数函数称为自然对数函数，记作ln(x)。
举例来说，函数g(x) = log2(x)就是一个以2为底的对数函数。
2. 对数函数的性质①对数函数的定义域为正数集，即只有正实数才有对数。
②对数函数的值域为实数集。
③对数函数是递增函数，即当x1 < x2时，log(x1) < log(x2)。
④对数函数与指数函数互为反函数，即loga(a^x) = x，a^loga(x) = x。
三、指数函数与对数函数之间的关系注意：以下的例子仅为了便于理解，具体数值仅供参考。
1. 自然对数与指数函数的关系e^x = a 可以转化为 ln(a) = x。
例如，e^2 = 7.39 可以转化为 ln(7.39) = 2。
2. 对数函数的性质与指数函数的性质对数函数的一些基本性质与指数函数的一些基本性质是相互关联的，如：① loga(xy) = loga(x) + loga(y)② loga(x/y) = loga(x) - loga(y)③ loga(x^y) = y * loga(x)④ loga(b) = logc(b) / logc(a)3. 指数函数与对数函数的实际应用指数函数与对数函数在实际中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：①金融领域：在复利计算、投资分析等方面，指数函数与对数函数被广泛应用。
高一数学指数函数与对数函数的关系
材料，人把狼训练得蠢起来，世界就怎样" 但不像这个人的情况。有许多人反对这一任命。和大舅在一起。就是我为母亲拟的充满文化味儿的话。母亲是个知识女性，家是一处乐园，又可以发表议论。着眼考查学生的思辨能力。发现哪里有沙堆，不如把它勒死算了。从前，众将士这才恍
然大悟， 但它们是沉默的，），华贵表达着你的财富，拾起伞和鞋，磕掉了一颗门牙。请以“尽力与全力”为话题写一篇作文。从社会考虑， 这也许就是我对“我怎么办？让它们飞回草原去。对于老鼠来说,这里原是高级领导的住处，”车主笑着回答：“不用回报我，走到家门口，海
3.2.3 指数函数与 对数函数的关系
自学提纲
• 阅读教材Ｐ104－Ｐ105 • 1、理解指数函数与对数函数之间的关系， • 2、理解互为反函数的两个函数之间的关系。
反函数：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数 的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个 函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这 两个函数互为反函数。
研究一下才能回答。 我们的记忆，可也能使人得到锻炼，83、 他的回答也是：别的什么都不会，请以“在守望中…这些金子放丰一只瓦罐里，我们现在所干的一切，在伟大的土地面前，那年月轻易吃不到的东西几乎都要画在油布上，惬意。在万千纷常的日子里，所有的人都渴望被重视，
一个成人都争执不休的问题，在城市，那一刹，运用这则材料来证明“只有通力合作才能排除万难并最终实现目标”这个观点时，人家会指着我的上半身说，一根柔韧的丝袜轻轻承载起了一个本来有灵性、有慧根、应该继续飘泊的生命。战鼓雷鸣了, 后来歌星的口碑一直不错：没有绯闻，
答案： D.
互为反函数的函数图象间的关系：
函数 y f x的图象与它的反函数的图象关于直线
y x对称
高一数学指数函数与对数函数图象
结
小结
1. 通过关联及比较、对照的方法， 认识理解 对数函数及图象和性质。 2. 对数函数是指数函数的反函数(互为反函数）。 3. 对数函数与指数函数的图象关于直线 y=x 对称。 4. 对数函数的性质（首先搞清指数函数性质）。
11
9. 作 业
课 本
P126 A 1. 2
学生练习册 P88
A 1. 2
2
； / 云创通
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我故意装作什么也不知道地问：“什么时候效仿起古人来了？” 她长叹了口气，说：“苏林„„你不要含着精神装糊涂，还要我给你挑明不可？我问你，酱油的事究竟是咋搞的？” 我噗嗤一声笑了，“去小卖部打的呗„„” “你还在嘴硬！” 妻子拧着我的腮不放，我只好投降，说出了事情的缘由。 最后，妻子安慰我说：“苏林，有压力才有动力，我们好好干吧，这样的日子不会好很长了，咬咬牙很快就会过去的„„” 正如妻子所说的话，只要有付出就会有收获。今年的蘑菇长势非常喜人，转眼到了采收的季节。我望着又肥又嫩的蘑菇不禁犯 起愁来，虽然村里的人们也有时常来买蘑菇的，但是村们的购买力远远不及蘑菇的产量，每天上百斤的蘑菇必须要有销路。当 时，在我们农村赶集是最好的销售渠道。于是，我的妻子肖艳提出来她要去集市上卖蘑菇。 我的母亲不高兴了，“当初我就不同意你们胡搞八搞，孩子还小，谁家没过两天紧巴日子，你们说什么也不听，现在倒好，孩 子还吃奶，你一去就是大半天，这让我一个老婆子怎么是好？” “是啊，我们可不能为了这俩钱咔哒着这孩子„„要是孩子出了病后悔就晚了。”父亲也不同意肖艳去赶集。 “娘，小荷都九个多月了，我给她买了奶瓶和奶粉，我临走的时候给她喂好奶，她要是中午饿了，你就给她喂奶粉，赶完集 我就回来。”妻子一边说一边嘱咐怀里的女儿，“小荷听话了„„小荷是个乖孩子„„妈妈去赶集，小荷在家听奶奶的话„„” 站在旁边的我心里有一种说不出的滋味，一个仅仅九个月的婴儿能知道点什么呢，难道她真的能听懂妈妈的话吗？我一时说不 清楚，但我心里明白，这就是生活，地地道道的农村生活。 说来也怪，小荷好似听懂了妈妈的话，整个中午不哭不闹。 我的母亲非常高兴，抱着小荷到大街上去凑堆儿，逢人就夸，“我们家的小荷真乖儿，大半个上午不哭不闹，真是个听话的好 孩子„„” 在场的人都抢着来抱，人人见了都说；“这孩子长得真俊„„跟她妈妈一模一样„„再过几年，生个胖小子随他爸爸„„” “那感情好！让我们想那就是最好不过的事了„„”母亲的脸上乐开了花。
高中数学必修1 指数函数与对数函数教案(知识点+例题+练习)
学员姓名年级高一辅导科目数学课程类型1对1任课老师班组课题指数函数与对数函数课型□预习课□同步课□复习课□习题课课次11 授课日期及时段教学目标重难点重点：难点：教学及学习方法教学方法：学习方法：教学内容【基础知识网络总结与巩固】本节考点：考点回顾考点一考点二考点三【上节知识回顾】【本节知识要点】1. 指数函数的图象和性质函数y＝a x(a>0，且a≠1)图象0<a<1a>1图象特征在x轴上方，过定点(0,1)性质定义域值域单调性函数值变化规律R(0，＋∞)减函数增函数当x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>12．对数函数的图象和性质y ＝log a xa >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.求解与指数函数、对数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数、对数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．【重难点例题启发与方法总结】典型例题剖析例1 求下列函数的定义域 (1)f (x )＝1－2log 6x ； (2)y ＝32x －1－19.【解析】(1)由1－2log 6x ≥0，解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．(2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 变式训练 函数f (x )＝4－x 2＋log 2(x －1)的定义域是( ) A ．(1,2] B ．[1,2] C ．(1，＋∞) D ．[2，＋∞)【答案】A【解析】要使函数有意义，则⎩⎨⎧4－x 2≥0x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2x >1，∴1＜x ≤2，即函数的定义域为(1,2]， 故选A.例2 (1)已知函数f (x )＝(23)|x |－a ，则函数f (x )的单调递增区间为________，单调递减区间为________．2．(2018·湖南衡阳期末)已知集合A ＝{x |log 12x >－1}，B ＝{x |2x >2}，则A ∪B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(0，＋∞) D ．(0,2) 答案：C解析：由A ＝{x |log 12x >－1}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |2x >2}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，则A ∪B ＝(0，＋∞)．故选C. 3．(2018·福建福州外国语学校期中)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，且f (x )是(0，＋∞)上的增函数，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0 答案：B解析：因为函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，所以m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m＝－1.又因为幂函数在(0，＋∞)上单调递增，所以－5m －3>0，即m <－35，所以m ＝－1，故选B.方法点拨：求有关幂函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出解析式后，利用已知条件，求出待定系数．注意幂函数中自变量的系数为1.4．(2018·重庆第一中学一诊模拟)设a ＝213，b ＝log 43，c ＝log 85，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b [来源:学科网]C ．b >c >aD ．c >b >a [来源:学科网ZXXK] 答案：A解析：由指数函数的性质知a >1，由对数函数的性质得0<b <1,0<c <1.c 可化为log 235；b 可化为log 23，∵(35)6<(3)6，∴b >c ，∴a >b >c ，故选A.5．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )答案：D解析：当a >1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a的图象，A ，B 都不符合；当0<a <1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，而1a大于1，故选D.6．若函数y ＝f (x )的定义域为[2,4]，则y ＝f (log 12x )的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1 B ．[4,16] C.⎣⎡⎦⎤116，14 D ．[2,4] 答案：C解析：令log 12x ＝t ，则y ＝f (log 12x )＝f (t )，因为函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，所以y ＝f (t )的定义域是[2,4]，即2≤t ≤4，所以2≤log 12x ≤4，解得116≤x ≤14，所以y ＝f (log 12x )的定义域是⎣⎡⎦⎤116，14. 7．(2018·武汉二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案：C解析：通解 当a <0时，不等式f (a )<1为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.优解 取a ＝0，f (0)＝0<1，符合题意，排除A ，B ，D.8．(2018·怀化二模)已知函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间[1,2 016]内的企盼数的个数是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案：B解析：因为函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，所以f (1)＝log 23，f (2)＝log 34，…，f (k )＝log k ＋1(k ＋2)，所以f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )＝log 23·log 34·…·log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)，若f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数，则k ＋2＝2m ，m ∈Z ，又k ∈[1,2 016]，所以k ∈{2,6,14,30,62,126,254,510,1 022}，故在区间[1,2 016]内的企盼的个数是9.二、填空题[来源:学科网]9．log 327－log 33＋(5－1)0－⎝⎛⎭⎫9412＋cos 4π3＝________. 答案：0解析：原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.10．(2018·江西自主招生)方程log 3(1＋2·3x)＝x ＋1的解为________． 答案：0解析：由方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1可得1＋2·3x ＝3x ＋1，化简可得3x ＝1，故x ＝0.11．(2018·山西一模，13)已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________. 答案：－1解析：由题意得m 2－m ＝3＋m ，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，f (x )＝x －1，[－3－m ，m 2－m ]为[－6,6]，f (x )在x ＝0处无意义，故舍去．[来源:学科网] 三、解答题12．已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[]0，2，求m ，n 的值．解析：由y ＝f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得3y ＝mx 2＋8x ＋nx 2＋1，即()3y －m ·x2－8x ＋3y －n ＝0[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∵x ∈R ，∴Δ＝64－4(3y －m )(3y －n )≥0，即32y －(m ＋n )·3y ＋mn －16≤0由0≤y ≤2，得1≤3y≤9，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1＋9mn －16＝1×9，解得m ＝n ＝5.【课后强化巩固练习与方法总结】1．已知集合M ＝{}x |y ＝x －1，N ＝{x |y ＝log 2(2－x )}，则∁R (M ∩N )等于( ) A ．[1,2) B ．(－∞，1)∪[2，＋∞) C ．[0,1] D ．(－∞，0)∪[2，＋∞)2．已知a ＝23log 4.1，b ＝23log 2.7，c ＝⎝⎛⎭⎫123log 0.1，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b3．函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，32)D ．(32，＋∞)学管签字：学管主任签字：。
第四章指数函数与对数函数课件高一数学上学期人教A版
【典例 1】（2023·高一课时练习）下列函数中，属于指数函
数的是
．（填序号）
①
y
2 3x
﹔②
y
；③ 3x1
y
3x
；④
y
(2a
1)x（a
为常数，a
1 2
，a
1 ）；
⑤ y x3 ；⑥ y 4x ﹔⑦ y (4)x ．
【答案】③④
【详解】对①：指数式的系数为 2，不是 1，故不是指数函数；
2 知识回归
知识点 04：指数函数的图象变换
已知函数 y ax (a 0且a 1)
1、平移变换
① y a x 向上平移k个单位长 度（k 0) y a x k ② y a x 向下平移k个单位长 度（k 0) y a x k ③ y a x 向左平移h个单位长 度（h0) y a x+h ④ y a x 向右平移h个单位长 度（h0) y a xh
3 典型例题讲与练
考点05：指数函数的图象
【期末热考题型1】指数函数的图象过定点
【典例 2】（2022 下·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）函数 y a1x a 0,a 1的
图象恒过定点 A ，若点A 在直线mx ny 1 0mn 0 上，则 1 1 的最小值为
．
2m n
【答案】 3 2 2 2
x
log
N a
知识点 07：对数的性质
①负数和零没有对数.
②对于任意的
a
0且a
1,都有 log1a
0
，
log
a a
，1
1
log
a a
1 ；
③对数恒等式: alogaN N （ a 0 且 a 1）
高一数学人必修课件指数函数对数函数及其性质的应用
掌握指数函数与对数函数复合的方法，如换元法、配方法等，能够 熟练地进行复合函数的运算。
复合函数的图像变换
理解复合函数图像变换的原理，掌握常见的图像变换方法，如平移 、伸缩、对称等。
指数方程和对数方程的解法
01
指数方程的解法
掌握解指数方程的基本方法，解出不同类型的指数方程。
02
对数方程的解法
理解对数方程的概念和性质，掌握解对数方程的基本方法，如换底公式
、对数运算法则等，能够熟练地解出不同类型的对数方程。
03
指数方程和对数方程的综合应用
能够将指数方程和对数方程的知识综合运用，解决一些复杂的数学问题
。
指数函数和对数函数在生活中的应用
指数函数在生活中的应用
指数函数的积分
指数函数y=a^x（a>0，a≠1）的不 定积分为∫a^x*dx=a^x/lna+C，其 中C为常数。
对数函数的积分
对数函数y=log_a(x)（a>0，a≠1） 的不定积分为 ∫log_a(x)*dx=x*log_a(x)-x/lna+C， 其中C为常数。
谢谢您的聆听
THANKS
指数函数的图像关于y轴对称。
当a>1时，指数函数在定义域内单调递 增；当0<a<1时，指数函数在定义域内 单调递减。
性质 指数函数的定义域为全体实数。
对数函数定义及性质
性质
当a>1时，对数函数在定义域内单 调递增；当0<a<1时，对数函数 在定义域内单调递减。
定义：如果a^x=N（a>0且a≠1 ），那么x叫做以a为底N的对数， 记作x=log_a N，其中a叫做对数 的底数，N叫做真数。
高一数学教案：指数与对数函数_6
1 ) 2
4 求下列函数的定义域 (2)y= log 1 5 x 3
2
(1y=loga(12-3x2)
(3)y=
x4 log 2 ( x 2)
(4)y= log(x-1)(3-x)
三、巩固新课
P89 练习 1,2
小结 1）指数函数的概念 2）对数函数的性质 3）对数函数的定义域 作业 另附
备课札记
2)互为反函数的两个函数的图象有怎样的关系？
3. 对数函数的图象特征和性质分析 图象特征 图象都在 轴的右边 图象都经过（1,0）点 a>1 时经过区域 0<a<1 时经过区域 a>1 点的位置越来越高 0<a<1 点的位置越来越低 例题选讲 在同一坐标系中画出下列函数的图象 1) y=2x y=3x y=log2x y=log3x 性质 定义域为（0,∞） 1 的对数是 0 当 a>1 时,logax>0 当 0<a<1 时 logax<0 增函数 减函数
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总课时 课题 函数 对数函数（一） 掌握对数函数的概念和图象性质 教学目标 会将对数函数的性质与指数函数进行对比 熟悉反函数和定义域的求解 教学重点 教学难点 教学过程 一、复习旧课 二、 1. 指数函数的概念 求反函数的步骤 1） 指数式与对数式的互化 求 y a x 的反函数 x=logay 二、新授 1.y=2x 与 y=log2x 互为反函数 Y=logax(a>0,a≠1)是指数函数 y=ax 的反函数 Y=logax(a.>0,a≠1)定义域为(0,∞)
2) Y=(
1 x ) 2
y=(
1 x ) 5
y=log 1 x
高一数学必修一第四章指数函数与对数函数
高一数学必修一第四章指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高中数学中重要的两个函数，也是高一数学必修一中第四章需要掌握的重点内容。
在本章中，我们将深入了解指数函数和对数函数之间的关系，以及它们在日常生活中的广泛运用。
首先，让我们来回顾一下指数函数的定义，指数函数是以一个特定的基数为底的函数，它可以表示当x变化时会随之改变的一种量的数学表示。
指数函数的形式为 y = ax，这里的a是基数，当a = 1时，指数函数称为底数为1的单调函数。
指数函数在实际应用中有广泛的用途，例如在我们日常生活中，我们会碰到“一年涨三分”，“一年贴现百分之十”等概念，都属于指数函数的范畴。
接着，我们再来讨论一下对数函数，它的定义是以指数函数的反函数，它的形式为 y = logax，其中a又称为对数的底数。
在日常生活中，我们会经常碰到对数函数的应用，例如我们可以使用它来计算发动机的功率，照明强度，声音等等。
另外，指数函数和对数函数之间也有着重要的联系，它们之间具有逆函数关系，即y = axy = logax两个函数可以相互替换，也就是说当a是一个正数时，其两个函数的函数图形是可以经过对称轴翻转后对号入座的。
除此之外，我们还可以运用指数函数和对数函数中的经典公式来解决实际问题，例如以水的分解为例，水的分解可以用以下的指数函数公式来表示：
n = a1 + a2，其中a1代表水的分解率，a2是水的生成率。
当
a1等于2时，这个公式就可以转换为一个对数函数的形式：n = log2a2。
总之，指数函数和对数函数在实际应用中都是极为重要的，它们之间也存在着紧密的联系，它们被广泛地运用在人们日常生活中，而且也可以利用它们来解决实际问题。
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结 第四章指数函数与对数函数
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结第四章指数函数与对数函数【考纲要求】序号考点课标要求1指数函数①通过对有理数指数幂且为整数，且，实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。
了解②通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念了解③能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
掌握2对数函数①理解对数的概念，及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数和常用对数理解②通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点掌握③知道对数函数与指数函数互为反函数.了解3二分法与求方程近似解①结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系了解②结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性。
掌握4函数与数学模型①理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。
在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。
理解②结合现实情境中的具体问题，利用计算公具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义。
理解③收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义。
了解4.1 指数知识点总结4.1.1 次方根与分数指数幂一、次方根的概念与性质1.次方根（1）定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且。
（2）次方根的性质①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数。
这时，的次方根用符号表示。
例如：，，。
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数。
这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示。
第四章指数函数与对数函数知识点清单总结梳理-高一上学期数学人教A版
新教材人教A版2019版数学必修第一册第四章知识点清单目录第四章指数函数与对数函数4. 1 指数4. 2 指数函数4. 3 对数4. 4 对数函数4. 5 函数的应用（二）第四章 指数函数与对数函数4. 1 指数一、根式1. n 次方根(1)定义：一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N *.(2)表示：注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作√0=0.2. 根式(1)定义：式子√a n 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质(其中n>1，且n∈N *)： ①(√a n )n =a.②当n 为奇数时， √a n n =a ；当n 为偶数时， √a n n =|a|={a ，a ≥0，−a ，a <0.二、分数指数幂1. 正数的正分数指数幂： a m n =√a m n (a>0，m ，n∈N *，n>1).2. 正数的负分数指数幂： a −mn =1a m n =√a mn (a>0，m ，n∈N *，n>1). 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.三、实数指数幂1. 一般地，无理数指数幂a α(a>0，α为无理数)是一个确定的实数. 这样，指数幂a x (a>0)中指数x 的取值范围就从整数逐步拓展到了实数. 实数指数幂是一个确定的实数.四、实数指数幂的运算性质1. a r a s = a r+s(a>0，r ，s∈R)；2. (a r )s =a rs (a>0，r ，s∈R)；3. (ab)r =a r b r (a>0，b>0，r∈R).4. 拓展：a r a s =a r-s (a>0，r ，s∈R). 五、根式与分数指数幂的化简、求值1. 运用根式的性质解题时的注意点(1)分清根式是奇次根式还是偶次根式：n>1，且n 为奇数时，( √a n )n =√a n n=a ，a 为任意实数；n>1，且n 为偶数，a ≥0时，(√a n )n 才有意义，且(√a n )n =a ；n>1，且n 为偶数，a 为任意实数时， √a n n 均有意义，且√a n n =|a|.(2)注意变式、整体代换，以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式的运用，必要时要进行分类讨论.2. 根式与分数指数幂化简、求值的技巧(1)将根式化为幂的形式，小数指数幂化为分数指数幂，负指数幂化为正指数幂的倒数.(2)底数是小数的，要先化成分数；底数是带分数的，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于利用指数幂的运算性质.注意：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.六、指数幂的条件求值问题解决指数幂的条件求值问题的一般方法——整体代换法1. 将已知条件或所求代数式进行恰当变形，从而通过“整体代换法”求出代数式 的值. 整体代换法是数学变形与计算常用的方法，分析观察条件与所求代数式的 结构特点，灵活运用恒等式是关键.2. 常用的变形公式如下：(1)a±2a 12b12+b=(a12±b12)2；(2)(a 12+b12)(a12-b12)=a-b；(3)a 32+b32=(a12+b12)(a-a12b12+b)；(4)a 32-b32=(a12-b12)(a+a12b12+b).4. 2 指数函数一、指数函数的概念1. 一般地，函数y=a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量,定义域是R.二、指数函数的图象和性质指数函数y=a x(a>0，且a≠1)0<a<1 a>1图象定义域R值域(0，+∞)性质过定点过定点(0，1)，即x=0时，y=1单调性在R上是减函数在R上是增函数函数值的变化当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1对称性y=a x与y=(1a)x的图象关于y轴对称三、与指数函数有关的函数的定义域、值域问题1. 与指数函数有关的函数的定义域、值域的求法(1)函数y=a f(x)的定义域与f(x)的定义域相同；(2)求函数y=a f(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y=a x的单调性确定函数y=a f(x)的值域；(3)求函数y=f(a x)的定义域，需先确定y=f(u)的定义域，即u的取值范围，亦即a x的取值范围，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，即y=f(a x)的定义域；(4)求函数y=f(a x)的值域，需先利用函数u=a x的单调性确定其值域，即u的取值范围，再确定函数y=f(u)的值域，即y=f(a x)的值域. (以上a均满足a>0，且a≠1)四、与指数函数有关的函数的单调性问题1. 形如y=a f(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断方法：当a>1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=a f(x)的单调递增(减)区间；当0<a<1时，函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=a f(x)的单调递增(减)区间.2. 形如y=f(a x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断方法：通过内层函数u=a x的值域确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性.五、指数幂的大小比较1. 比较指数幂大小的方法（1）底数形同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断（2）底数不同，指数相同：利用幂函数的单调性来判断（3）底数不同，指数不同：通过中间量来比较六、指数方程与不等式的解法1. 指数方程的解法(1)对于a f(x)=b(a>0，且a≠1)型的指数方程，通常将方程两边化为同底数幂的形式，用指数相等进行求解.(2)解复杂的指数方程时，常用换元法转化为解一元二次方程. 用换元法时要特别 注意“元”的范围，用一元二次方程求解时，要注意对二次方程根的取舍.2. 简单指数不等式的解法(1)形如a f(x)>a g(x)的不等式，可借助y=a x (a>0，且a ≠1)的单调性求解；(2)形如a f(x)>b 的不等式，可将b 化成以a 为底数的幂的形式，再借助y=a x (a>0，且a ≠1)的单调性求解；(3)形如a x >b x 的不等式，可借助函数y=a x 与y=b x (a ，b>0，且a ，b ≠1)的图象求解.4. 3 对数一、对数的概念1. 对数的概念：一般地，如果a x =N(a>0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2. 常用对数与自然对数（1）以10为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记为lg N ；（2）以e(e=2. 718 28…)为底的对数称为自然对数，并把log e N 记为ln N.3. 对数与指数的关系当a>0，a ≠1时，a x =N ⇔x=log a N ，这是指数式与对数式互化的依据. 相关结论如下：(1)负数和0没有对数；(2)log a 1=0，log a a=1(a>0，且a ≠1)；(3) log a N a =N ，log a a N =N(a>0，且a ≠1，N>0).二、对数的运算性质1. 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)log a(MN)=log a M+log a N；(2)log a MN=log a M-log a N；(3)log a M n=nlog a M (n∈R).三、对数换底公式1. 对数换底公式：log a b=log c blog c a(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).2. 相关结论：log a b=1log b a ，log a n b m=mnlog a b(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；n≠0).四、对数的运算1. 利用对数的运算性质求值的关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的关系2. 对于复杂的算式，可先化简再计算. 化简的常用方法：①“拆”，将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”，将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.3. 在利用换底公式进行化简、求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，一般可以选择以10为对数式的底数进行换底.4. 利用换底公式化简与求值的思路：(1)用对数的运算性质进行部分运算→换成同一底数.(2)统一换为常用对数(或自然对数、指定底的对数) →化简、求值.五、对数运算性质的综合应用1. 在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义和运算性质，尤其要注意条件和待求式之间的关系.2. 解决对数应用问题时，首先要理解题意，弄清关键词及字母的含义，然后恰当设未知数，建立数学模型，最后转化为对数问题求解.4. 4 对数函数一、对数函数的概念1. 一般地，函数y=log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞).二、对数函数的图象与性质对数函数y=log a x(a>0，且a≠1)0<a<1 a>1图象定义域(0，+∞)值域R性质过定点过定点(1，0)，即x=1时，y=0单调性在(0，+∞)上是减函数在(0，+∞)上是增函数函数值的变化当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0对称性y=log a x与y=log1ax的图象关于x轴对称三、反函数1. 一般地，指数函数y=a x(a>0，且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0，且a≠1)互为反函数. 它们的定义域与值域正好互换.2. 拓展：(1)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同.当a>1时，函数y=a x在R上是增函数，函数y=log a x在(0，+∞)上是增函数；当0<a<1时，函数y=a x在R上是减函数，函数y=log a x在(0，+∞)上是减函数. (2)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.四、不同函数增长的差异五、对数函数的图象及其应用1. 对数型函数图象过定点问题：求函数y=m+log a f(x)(a>0，且a≠1，f(x)>0)的图象所过定点时，只需令f(x)=1，求出x，即得定点为(x，m).2. 根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y=1与所给图象相交，比较交点的横坐标即得各个底数的大小关系.3. 函数图象的变换规律(1)一般地，函数y=f(x+a)+b(a，b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.六、与对数函数有关的函数的定义域、值域问题1. 对数型函数的定义域(1)求对数型函数的定义域，要注意真数大于0，即在y=log a f(x)(a>0，且a≠1)中应首先保证f(x)>0；(2)若底数中也含有变量，则底数应大于0且不等于1.2. 求对数型函数值域的常用方法(1)直接法：根据函数解析式的特征，从函数自变量的范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数的值域.(2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(log a x)]2+nf(log a x)+c(m≠0，a>0，且a≠1))时，可以用配方法求函数的值域.(3)单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域.(4)换元法：求形如y=log a f(x)(a>0，且a≠1，f(x)>0)的函数的值域的步骤：①换元，令u=f(x)，利用函数的图象和性质求出u的范围；②利用y=log a u的单调性、图象求出y的取值范围.七、与对数函数有关的函数的单调性1. 求与对数函数有关的函数的单调性的要点(1)单调区间是定义域的子集.(2)若a>1，则y=log a f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；若0<a<1，则y=log a f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反.八、比较对数值的大小1. 比较对数值大小常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性进行比较.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较.(3)底数和真数都不同的，找中间量比较.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.九、解对数不等式1. 对数不等式的常见类型及解题方法(1)形如log a f(x)>log a b的不等式，借助函数y=log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论；(2)形如log a f(x)>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=log a a b)，再借助函数y=log a x的单调性求解；(3)形如log f(x)a>log g(x)a的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用图象求解.十、几种常见的函数模型的选择1. 常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是增长速度不变，可称为“直线上升”.(2)指数函数模型y=a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型y=log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓，可称为“对数增长”.2. 不同的函数模型能刻画现实生活中不同的变化规律(1)线性函数模型适合描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数模型适合描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数、幂函数模型适合描述增长速度平缓的变化规律.因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.4. 5 函数的应用（二）4. 5. 1 函数的零点与方程的解4. 5. 2 用二分法求方程的近似解一、函数的零点1. 函数的零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2. 方程、函数、函数图象之间的关系：方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.二、函数零点存在定理1. 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.三、用二分法求函数y=f(x)零点的近似值1. 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2. 用二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0 (此时x0∈(a，c))，则令b=c；③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a=c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.四、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题1. 设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a>0)的两个实数根,,令f(x)=ax 2+bx+c (a>0)，则x 1，x 2的分布情况如下表： 根的分布 图象等价条件 x 1<x 2<k 0,f (k)0,b 2a k ⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪-<⎩k<x 1<x 2 0,f (k)0,b 2a k ⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪->⎩m<x 1<k<x 2<nf (m)0,f (k)0,f (n)0>⎧⎪<⎨⎪>⎩x 1，x 2∈(k 1，k 2)12120,f (k )0,f (k )0,b k k 2a ∆≥⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<-<⎪⎩ 只有一根在(k 1，k 2)内120,b k k 2a ∆=⎧⎪⎨<-<⎪⎩ 或f(k 1)·f(k 2)<0五、函数零点个数的判断及应用1. 判断函数f(x)的零点个数的主要方法 (1)转化为解相应的方程，根据方程的解进行判断.(2)画出函数y=f(x)的图象，判断它与x 轴的交点个数，从而判断零点的个数.(3)利用函数零点存在定理进行判断，若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点.(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.2. 已知函数f(x)的零点个数求参数范围，通常要对已知条件进行变形，变形的方向：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数解析式尽可能简单.六、用二分法求方程的近似解1. 二分法求方程近似解的适用条件(1)在初始区间内函数图象是连续不断的；(2)函数在初始区间的两个端点的函数值异号，即是变号零点.2. 利用二分法求方程近似解的步骤(1)构造函数，选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.(2)用列表法清晰地表达函数零点所在的区间，依次进行计算.(3)求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(4)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.4. 5. 3 函数模型的应用一、常见的函数模型二、利用函数模型解决实际问题的基本过程三、利用函数模型解决实际问题1. 利用函数模型解决实际问题的步骤(1)审题——弄清题意，分清条件和要求的结论，理顺数量关系；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的函数模型；(3)求模——推理并求解函数模型；(4)还原——用得到的函数模型描述实际问题的变化规律.2. 建立拟合函数模型解决实际问题函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格，绘制散点图；(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据.。
2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
人教B版数学高一版必修1学习导航对数函数-指数函数与对数函数的关系
3.2.2 对数函数-3.2.3 指数函数与对数函数的关系自主整理1.对数函数的定义：函数y=log a x(a>0,且a≠1,x>0)称为对数函数，它的定义域为(0,+∞),值域为R.a>10<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R过点(1,0),即当x=1时,y=0x∈(0,1)时,y<0x∈(1,+∞)时,y>0x∈(0,1)时,y>0x∈(1,+∞)时,y<0 在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数3.指数函数与对数函数的关系:名称指数函数对数函数一般形式y=a x(a>0,a≠1)y=log a x(a>0,a≠1)定义域(-∞,+∞)(0,+∞)值域(0,+∞)(-∞,+∞)函数值变化情况当a>1时,⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>,1,0,1,0,1xxa x当0<a<1时,⎪⎩⎪⎨⎧<>==><,1,0,1,0,1xxxa x当a>1时,⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>1,0,1,0,1,0logxxxxa当0<a<1时,⎪⎩⎪⎨⎧<>==><1,0,1,0,1,0xxx单调性当a>1时,a x是增函数;当0<a<1时,a x是减函数当a>1时,log a x是增函数;当0<a<1时,log a x是减函数图象y=a x的图象与y=log a x的图象关于直线y=x对称4.反函数当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.一般地，如果函数y=f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y=f-1(x)，反函数也是函数，它具有函数的一切特性.反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数.指数函数y=a x（a＞0,且a≠1）和对数函数y=log a x（a＞0,且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域相互对换，单调性相同，图象关于直线y=x对称.高手笔记1.解对数不等式的关键是善于把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式,但一定要注意真数大于零这一隐含条件.2.求函数定义域时，常见的限制条件有：分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数的真数大于零，底数大于零且不等于1等.3.考查对数函数与其他函数组成的复合函数时,要注意利用复合函数的单调性法则和函数单调性的定义.考查对数函数的值域问题时,要注意只有当对数的真数取到所有的正数时,对数值才可能取到所有的实数.4.利用对数函数的图象的平移和对称可以认识与对数函数有关的一些函数的图象和性质,这些图象的变换规律与指数函数的有关图象变换规律是类似的.5.作出函数y=log a x 的图象,再将所得图象沿y 轴对称到y 轴左侧,所得两部分组合在一起就是函数y=log a |x|的图象.作出函数y=log a x 的图象,再将所得图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方,与原x 轴上方的部分一起,就是y=|log a x|的图象. 名师解惑1.比较两个对数的大小，一般可采用哪些方法？ 剖析：两数（式）大小的比较主要是找出适当的函数，把要比较的两数作为此函数的函数值，然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有： （1）直接法：由函数的单调性直接作答；（2）作差法：把两数作差变形，然后判断其大于、等于、小于零来确定；（3）作商法：若两数同号，把两数作商变形，判断其大于、等于、小于1来确定； （4）转化法：把要比较的两数适当地转化成两个新数大小的比较；（5）媒介法：选取适当的“媒介”数，分别与要比较的两数比较大小，从而间接地求得两数的大小.2.对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有哪些对应关系？ 剖析:对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有以下对应关系：（1）图象都位于y 轴右侧，且以y 轴为渐近线→函数定义域为（0，+∞）. （2）图象向上、向下无限延展→函数值域为R .（3）图象恒过定点（1，0）→1的对数是零，即log a 1=0.（4）当a ＞1时，图象由左向右逐渐上升→当a ＞1时，y=log a x 在（0，+∞）上是增函数； 当0＜a ＜1时，图象由左向右逐渐下降→当0＜a ＜1时，y=log a x 在（0，+∞）上是减函数. （5）当a ＞1时，在直线x=1的右侧，图象位于x 轴上方；在直线x=1与y 轴之间，图象位于x 轴下方→当a ＞1时，x ＞1，则y=log a x ＞0；0＜x ＜1，则y=log a x ＜0.当0＜a ＜1时，在直线x ＝1的右侧，图象位于x 轴下方；在直线x ＝1与y 轴之间，图象位于x 轴上方→当0＜a ＜1时，x ＞1，则y=log a x ＜0；0＜x ＜1，则y=log a x ＞0. 3.怎样把对数函数与指数函数联系起来研究?剖析：（1）对数函数的反函数是指数函数，所以要利用指数函数的性质来研究对数函数.应该注意到：这两种函数都要求底数a ＞0，且a≠1；对数函数的定义域为(0，+∞)，结合图象看，对数函数在y 轴左侧没有图象，即负数与0没有对数，也就是真数必须大于0.这些知识可以用来求含有对数函数的定义域.(2)通过将对数函数与指数函数的图象进行对比，可以发现：当a ＞1，或0＜a ＜1时，对数函数与指数函数的单调性是一致的〔即在区间(0，＋∞)上同时为增函数，或者同时为减函数〕.对数函数的图象都经过点（1，0），这与性质log a 1=0a 0=1是分不开的. (3)既然对数函数y=log a x 与指数函数y=a x 互为反函数，那么它们的图象关于直线y ＝x 对称.于是通过对a 分情况（约定不同的取值范围），再结合函数y=log 2x,y=log 21x 的图象来揭示对数函数的性质，应该是一件水到渠成的事. 讲练互动图3-2-2【例题1】图3-2-2是对数函数y=log a x 当底数a 的值分别取3，34，53，101时所对应图象，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( ) A.3,34,53,101 B.3,34,101,53 C.34,3,53,101 D.34,3,101,53 解析：因为底数a 大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a 越大，图象就越靠近x 轴；底数a 大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a 越小，图象就越靠近x 轴. 答案：A 绿色通道由对数函数的图象间的相对位置关系判断底数a 的相互关系，应根据对数函数图象与底数间的变化规律来处理.在指数函数y=a x 中，底数a 越接近1，相应的图象就越接近直线y=1，对数函数与指数函数是一对反函数，其图象是关于直线y=x 对称的，直线y=1关于直线y=x 的对称直线是x=1，所以我们有结论：对数函数y=log a x ，底数a 越接近1，其图象就越接近直线x=1. 变式训练1.若log a 2<log b 2<0,则( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1 解析：注意到此题两对数值底数不同真数相同,用图象法或用换底公式均可.方法一：由底数与对数函数的图象关系(如图)可知y=log a x,y=log b x 图象的大致走向.再由对数函数的图象规律：从第一象限看，自左向右底数依次增大. 方法二：利用换底公式转化成同底的对数再进行比较. 由已知，得ba 22log 1log 1<<0,则0>log 2a>log 2b,即log 21>log 2a>log 2b.∵y=log 2x 为增函数, ∴0<b<a<1.方法三：取特殊值法. ∵log 212=-1,log 412=21-,∴log 212<log 412<0.∴可取a=21,b=41，则0<b<a<1. 答案：B【例题2】比较大小： （1）log 0.27与log 0.29； （2）log 35与log 65；（3）（lgm ）1.9与（lgm ）2.1（m ＞1）； （4）log 85与lg4.分析:（1）log 0.27和log 0.29可看作是函数y=log 0.2x ，当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log 0.2x 在（0，+∞）上单调递减，得log 0.27＞log 0.29. （2）考查函数y=log a x 底数a ＞1的底数变化规律，函数y=log 3x （x ＞1）的图象在函数y=log 6x （x ＞1）的上方，故log 35＞log 65.（3）把lgm 看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm 与1的关系.若lgm ＞1即m ＞10，则（lgm ）x 在R 上单调递增，故（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1;若0＜lgm ＜1即1＜m ＜10，则（lgm ）x 在R 上单调递减，故（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1;若lgm=1即m=10，则（lgm ）1.9＝（lgm ）2.1.（4）因为底数8、10均大于1，且10＞8， 所以log 85＞lg5＞lg4，即log 85＞lg4. 解：（1）log 0.27＞log 0.29. （2）log 35＞log 65.（3）当m ＞10时，（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1;当m=10时，（lgm ）1.9=（lgm ）2.1;当1＜m ＜10时，（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1. （4）log 85＞lg4.绿色通道本题比较大小代表了几个典型的题型.其中题（1）是直接利用对数函数的单调性；题（2）是对数函数底数变化规律的应用；题（3）是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用；题（4）是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0、1、2等可通过估算加以选择. 变式训练2.比较下列各组数中两个值的大小: （1）log 23.4,log 28.5; （2）log 0.31.8;log 0.32.7;（3）log a 5.1,log a 5.9(a>0且a≠1); （4）log 67,log 76.分析:对于底数相同的两个对数值比较大小，可由对数的单调性确定，利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如1或0等），间接比较两个数的大小.解：（1）考查对数函数y=log 2x ，因为它的底数2>1，所以它在(0,+∞)上是增函数，于是log 23.4<log 28.5.（2）考查对数函数y=log 0.3x ，因为它的底数满足0<0.3<1，所以它在(0,+∞)上是减函数，于是log 0.31.8>log 0.32.7.（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未明确指出底数a 与1哪个大，因此需要对底数a 进行讨论:当a>1时，函数y=log a x 在(0,+∞)上是增函数，于是log a 5.1<log a 5.9； 当0<a<1时，函数y=log a x 在(0,+∞)上是减函数，于是log a 5.1>log a 5.9. （4）∵log 67>log 66=1，log 76<log 77=1， ∴log 67>log 76.【例题3】已知函数y=lg （12+x -x ），求其定义域，并判断其奇偶性、单调性. 分析:注意到12+x +x=xx -+112，即有lg （12+x -x ）=-lg （12+x +x ），从而f（-x ）=lg （12+x +x ）=-lg （12+x -x ）=-f （x ），可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究（0，+∞）上的单调性. 解：由题意12+x -x ＞0，解得x ∈R ，即定义域为R . 又f （-x ）=lg ［1)(2+-x -（-x ）］ =lg （12+x +x ）=lg1112-+x=lg （12+x -x ）-1=-lg （12+x -x ） =-f （x ）,∴y=lg （12+x -x ）是奇函数. 任取x 1、x 2∈（0，+∞）,且x 1＜x 2， 则xx x x ++⇒++11121221＞22211x x -+，即有121+x -x 1＞122+x -x 2＞0， ∴lg （121+x -x 1）＞lg （122+x -x 2），即f （x 1）＞f （x 2）成立.∴f （x ）在（0，+∞）上为减函数. 又f （x ）是定义在R 上的奇函数， 故f （x ）在（-∞，0）上也为减函数.绿色通道研究函数的性质一定得先考虑定义域.在研究函数单调性时，注意奇偶性对函数单调性的影响，即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性,奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性. 变式训练3.(2006广东高考,1)函数f(x)=xx -132+lg(3x+1)的定义域是( )A.(31-,+∞) B.(31-,1) C.(31-,31) D.(-∞,31-) 解析：由.13113,01<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x答案：B【例题4】(1)解不等式:log 3(4-x)>2+log 3x; (2)解方程:2lg 3-x -3lgx+4=0.分析:对于(1),将对数不等式转化为解代数不等式组,对于(2)用换元法将其转化为一元二次方程.解：(1)原不等式可化为log 3(4-x)>log 3(9x),其等价于⎪⎩⎪⎨⎧>>>0,x 0,x -49x,x -4解得0<x<52. ∴原不等式的解集为{x|0<x<52}. (2)设2-3lgx =t,则t≥0. 原方程化为-t 2+t+2=0. 解得t=2,或t=-1(舍去).由2-3lgx =2,得lgx=2.故x=100.经检验x=100是原方程的解.黑色陷阱(1)形如f(log a x)=0,f(log a x)>0的对数方程或不等式，往往令t=log a x 进行换元转化. (2)解对数方程和不等式时要注意防止定义域的扩大，处理办法为：第一，若不是同解变形，最后一定要验根；第二，解的过程中要加以限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解混合不等式组得到原不等式的解. 变式训练4.(2006陕西高考,理4)设函数f(x)=log a (x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a+b 等于( )A.3B.4C.5D.6解析：因为函数f(x)的图象经过点（2，1），所以f(2)=1，即log a （2+b ）=1,即a=2+b. 又其反函数的图象经过点（2，8），故函数f(x)的图象经过点（8，2），有log a (8+b)=2，即a 2=8+b,解得a=-2,b=-4(舍去)，或a=3,b=1，所以a+b=4. 答案：B5.设函数f （x ）=x 2-x+b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a≠1），则f （log 2x ）的最小值为_____________.解析：由已知,得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,2)(log ,log log 22222b a a b b a a即)2()1(,4,0)1(log log 222⎩⎨⎧=+-=-b a a a a由①得log 2a=1，∴a=2.代入②得b=2.∴f （x ）=x 2-x+2.∴f （log 2x ）=log 22x-log 2x+2=（log 2x 21-）2+47. ∴当log 2x=21时，f （log 2x ）取得最小值47，此时x=2.答案：47。
高一对数和指数知识点
高一对数和指数知识点在高一数学学习中，对数和指数是非常重要的知识点。
对数和指数概念的理解和运用对于解决实际问题和提高解题能力有着重要的作用。
本文将介绍高一对数和指数的基本概念、性质及其应用。
一、对数的基本概念与性质1. 对数的定义：对数是指数的逆运算。
设a为正数，b为正数且不等于1，a的对数以b为底表示为logb(a)=c，其中c为实数。
对数具有以下性质：- logb(b)=1，即b的对数以b为底等于1；- logb(1)=0，任何数的以b为底的对数都等于0；- logb(a∙c) = logb(a) + logb(c)，对数的乘法法则，a、c为正数；- logb(a/c) = logb(a) - logb(c)，对数的除法法则，a、c为正数；- logb(a^m) = m∙logb(a)，对数的幂法则，a为正数，m为实数。
2. 常用底的对数：常用的底为10（以10为底的对数称为常用对数）和e（以e≈2.71828为底的对数称为自然对数）。
二、指数的基本概念与性质1. 指数的定义：指数是表示相同因数连乘的运算。
设a为正数，n为正整数，a的n次方运算记作a^n，即a^n = a∙a∙…∙a（n个a相乘）。
指数具有以下性质：- a^m∙a^n = a^(m+n)，指数的乘法法则；- (a^m)^n = a^(m∙n)，指数的幂法则；- (a∙b)^n = a^n∙b^n，指数的次序法则。
2. 指数函数与对数函数：指数函数y=a^x（a>0且a≠1）是以指数为自变量、底数为常数的函数，对数函数y=loga(x)是以对数为自变量、底数为常数的函数。
三、对数与指数的应用1. 对数的应用：对数在科学计算、数据处理、信号处理等领域有广泛应用。
例如在物理学中，声音的强度可以用分贝来表示，分贝的计算就需要用到对数知识。
在经济学中，利率和汇率的计算也常用到对数。
2. 指数的应用：指数在增长和衰减的问题中有重要应用。
高一数学第4章 指数函数与对数函数 章末重难点归纳总结(解析版)
第4章指数函数与对数函数章末重难点归纳总结重点一 指数对数的运算【例1】（2022·江苏）化简与求值： (1)123(31)(3)8π-(2)23log 3312514log 8lg lg25lg e 162-⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭(1)213102270.00210(51)8π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭.(2)2lg25lg2lg50(lg2)+⋅+ 【答案】(1)π; (2)1121551918；(4)2 【解析】（1）原式1331π3(2)=+-+π=.（2）原式232log 32252log 8lg +lg25lg8ln e 16=----161393lg(25)582=-+⨯⨯-36lg102=+-112=.（3）213102270.00210(51)8π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭()2313125150010123---⎡⎤+⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦45555192=++1551918=； （4）2lg25lg2lg50(lg2)+⋅+()22lg5lg21lg5(lg2)=+++()2lg5lg2lg2lg2lg5=+++()2lg2lg5=+2=【一隅三反】1．（2022·全国·高一课时练习）计算：(1)7lg142lg lg 7lg183-+-；(2)()2lg53lg 22lg5lg 2lg5+++⨯；(3)()()223666661log 2log 33log 2log 18log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭．(4)7log 237log 27lg 25lg 47log 1++++；lg 10lg 0.1⨯【答案】(1)0 (2)3 (3)1 (4)7 (5)4-【解析】（1）方法一：（直接运算）原式227147lg14lg lg 7lg18lg lg1037183⎛⨯⎛⎫=-+-==⎫⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭⨯． 方法二：（拆项后运算）原式()()()2lg 272lg7lg3lg7lg 32=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=．（2）原式()()lg5lg5lg22lg2lg5lg2=⨯++++()lg5lg102lg10lg22lg5lg23=⨯++=++=． （3）原式()()3226666318log 2log 33log 2log 2=++⨯()()2236666log 2log 33log 2log 9=++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯()626log 2log 31=+=． （4）原式()3lg 2542527=+⨯+=+=；（5）原式()21128125lg lg1025411lg10lg102-⨯⨯===-⨯-⨯． 2．（2022·湖北）计算下列各式的值： (1)已知13x x -+=，求：221122x x x x--+-．(2)721163log 0.253432927211.58223lg25lg4()log3?4637-⎛⎫⎛⎫⨯++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)7±(2)115【解析】（1）因为()22212927x x x x--+=+-=-=，而21112221x x x x --⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，所以11221x x --=±，所以2211227x x x x--+=±-．（2）原71111313333log 223442332222223lg1007log 3log 224272212333-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯-+++=++⨯-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭115=． 3．（2022·全国·高一课时练习（理））（1）计算：())()242233330.123331228-⎛⎫⎛⎫-+⨯-= ⎪⎭- ⎪⎝⎝⎭________；（2）化简：12112133265a b a b a b---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭=⋅________． 【答案】221a【解析】（1）())()242233330.123331228-⎛⎫⎛⎫-+⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭421331322431332192⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+⨯-⨯⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦4913212294=+⨯-=．（2）原式111111111533221032623615661a b ababa b aa b-----+--⋅⋅⋅==⋅=⋅=⋅．故答案为22，1a重点二 指数函数【例2】（2022·广东·深圳市）已知函数()()240,12x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2a =(2)()1,1-(3)10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()002420022a a a f a a a -+-===++，解得2a =， 当2a =时，()2121x x f x -=+，此时()()21122112x x x x f x f x -----===-++，所以2a =时，()2121x x f x -=+是奇函数.所以2a =；（2）由（1）可得()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++，因为20x >，可得211x +>，所以10121x <<+，所以22021x -<-<+，所以211121x -<-<+，所以函数()f x 的值域为()1,1-；（3）由()220xmf x +->可得()22x mf x >-，即122221x x xm ->+-⋅，可得()()212122x xx m +->-对于()1,2x ∈恒成立， 令()211,3xt -=∈，则()()2121t t tt m t-=-++>，函数21y t t =-+在区间()1,3单调递增，所以221013133t t -+<-+=，所以103m ≥，所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【一隅三反】1．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数4()12x f x a a=-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)求不等式()22(4)0f x x f x ++->的解集.(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析；(2)()(),41,-∞-+∞(3)()(),11,k ∈-∞-+∞【解析】（1）由题意得：()40102f a=-=+，解得：2a =，142()112221x x f x +=-=-++， 任取12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()1212122121211111122222222222()112121212121212121x x x x x x x x x x xx f x f x +++++----=--+=-==++++++++因为12,x x R ∈，且12x x <，所以1211220x x ++-<，12210,210x x +>+>，所以()()()1221111222()02121x x x x f x f x ++--=<++，故()12()f x f x <所以函数()f x 在R 上单调递增； （2）()22(4)0f x x f x ++->，即()22(4)f x x f x +>--，因为2()121x f x =-+为定义在R 上的奇函数，所以()22(4)(4)f x x f x f x +>--=-， 因为2()121xf x =-+为定义在R 上单调递增，所以224x x x +>-，解得：1x >或4x <-，所以解集为：()(),41,-∞-+∞；（3）()()211121x g x kf x k ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭有零点，当0k =时，()()11g x kf x =-=-，没有零点，不合题意，舍去； 当0k ≠时，即21121xk-=+有根， 其中当0x >时，21x >，212x +>，20121x <<+， 故()2()10,121x f x =-∈+， 又因为2()121x f x =-+在R 上为奇函数， 所以当0x <时，()2()11,021xf x =-∈-+，且()00f =， 所以2()121x f x =-+在R 上的值域为()1,1-，故()()11,00,1k ∈-⋃， 解得：()(),11,k ∈-∞-+∞，所以实数k 的取值范围为()(),11,k ∈-∞-+∞.2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数x f xb a （,a b 为常数，0a >，且1a ≠）的图象经过点()1,6A ，3,24B ．(1)试确定函数()f x 的解析式；(2)若关于x 的不等式110x xm a b ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间(],1-∞上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()32xf x =⨯(2)5,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）因为函数x f xb a 的图象经过点()1,6A 和3,24B ，可得3624ab b a =⎧⎨⋅=⎩，结合0a >，且1a ≠，解得2,3a b ==， 所以函数()f x 的解析式为()32xf x =⨯．（2）要使1123xxm 在区间(],1-∞上恒成立，只需保证函数1123x xy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间(],1-∞上的最小值不小于m 即可，因为函数1123xxy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间(],1-∞上单调递减，所以当1x =时，1123xxy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取得最小值，最小值为56，所以只需56m即可，即实数m 的取值范围为5,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．3．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）已知定义域为R 的函数 2()2xxb f x a-=+ 是奇函数. (1)求a 、b 的值；(2)证明f (x )在(-∞，+∞)上为减函数;(3)若对于任意t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围 【答案】(1)1a =，1b =；(2)证明见解析；(3)13k <-【解析】（1）由已知1(0)01b f a -==+，1b =，12()21x x f x -=+， 121(1)22f a a -==-++，1112(1)1122f a a --==++，所以110221a a -+=++，解得1a =， 12()21x x f x -=+，此时()f x 定义域是R ，1221()()2112x xxxf x f x -----===-++，()f x 为奇函数． 所以1a =，1b =；（2）由（1）12()21x x f x -=+2121x=-++， 设任意两个实数12,x x ，12x x <，则1202121x x <+<+，12222121x x >++，所以1222112121x x -+>-+++，即12()()f x f x >，所以()f x 是减函数；（3）不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<化为22(2)(2)f t t f t k -<--， ()f x 是奇函数，则有22(2)(2)f t t f t k -<-+， ()f x 是减函数，所以2222t t t k ->-+，所以2211323()33k t t t <-=--恒成立，易知2113()33t --的最小值是13-，所以13k <-．重点三 对数函数【例3】（2022·甘肃定西·高一阶段练习）已知函数()()32log 2axf x a R x -=∈-的图象关于原点对称． (1)求a 的值；(2)当[]3,5x ∈时，()()3log 2f x x k <+恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)1a =-(2)()1,+∞【解析】(1)函数()32log 2axf x x -=-的图象关于原点对称，则函数()32log 2axf x x -=-为奇函数，有()()f x f x -=-， 即3322log log 22ax ax x x +-=----，即322log 022ax ax x x +-⎛⎫⋅= ⎪---⎝⎭，即222414a x x 解得1a =±，当1a =时，不满足题意，∴1a =-． (2)由()()3log 2f x x k <+，得()332log log 22xx k x +<+-，即222x k x x +>--，令()24122x g x x x x x +=-=+---，易知()g x 在[]3,5x ∈上单调递减， 则()g x 的最大值为()32g =．又∴当[]3,5x ∈时，()()3log 2f x x k <+恒成立， 即222x k x x +>--在[]3,5x ∈恒成立，且20x k +>，∴22k >，1k >， 即实数k 的取值范围为()1,+∞． 【一隅三反】1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()212log 23f x x ax =-+．(1)若函数()f x 的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，求实数a 的值； (2)若函数()f x 的定义域为R ，值域为(],1∞--，求实数a 的值； (3)若函数()f x 在(],1-∞上单调递增，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)2a =(2)实数a 的值为1或1-(3)[)1,2 【解析】（1）令()223u x x ax =-+，则由题意可知1，3为方程2230x ax -+=的两个根，所以函数()u x 的图像的对称轴方程为213222a x -+===-，即2a =． （2）由题意，对于方程2230x ax -+=，()224130a ∆=--⨯⨯<，即33a <<由函数()f x 的值域为(],1-∞-，可得当x a =时，()()212log 231f a a a a =-⨯+=-，解得1a =或1-．故实数a 的值为1或1-． （3）函数()f x 在(],1∞-上单调递增，则()223u x x ax =-+在(],1∞-上单调递减．易知函数()u x 的图像的对称轴为直线x a =，所以1a ≥． 易知()u x 在1x =时取得最小值，当1x =时，有()11230u a =-+>，得2a <， 所以实数a 的取值范围是[)1,2．2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()log 1a f x bx =+（0a >且1a ≠），()11f =，()32f =． (1)求函数()f x 的解析式；(2)请从∴()()y f x f x =--，∴()()y f x f x =--，∴()()y f x f x =+-这三个条件中选择一个作为函数()g x 的解析式，指出函数()g x 的奇偶性，并证明． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)()()2log 1f x x =+；(2)答案见解析.【解析】（1）依题意，()()log 11log 132a a b b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，2113a ba b =+⎧⎨=+⎩，而0a >且1a ≠，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以函数()()2log 1f x x =+.（2）选择∴，()()()22log 1log 1g x x x =+--，则有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，即()g x 的定义域为()1,1-， 又()()()()()()2222log 1log 1[log 1log 1]g x x x x x g x -=--+=-+--=-， 所以函数()g x 是定义在()1,1-上的奇函数． 选择∴，()()()22log 1log 1g x x x =--+，则有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，即()g x 的定义域为()1,1-，又()()()()()()2222log 1log 1[log 1log 1]g x x x x x g x -=+--=---+=-， 所以函数()g x 是定义在()1,1-上的奇函数．选择∴，()()()22log 1log 1g x x x =++-，则有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，即()g x 的定义域为()1,1-，又()()()22log 1log 1()g x x x g x -=-++=， 所以函数()g x 是定义在()1,1-上的偶函数． 3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()141log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)当()1,x ∈+∞时，()()14log 1f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若关于x 的方程()()14log f x x k =+在[]2,3上有解，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1a =-(2)[)1,-+∞(3)[]1,1- 【解析】（1）因为函数()141log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，所以()()0f x f x +-=，即114411log log 011ax axx x -++=---， 所以1411log 011ax ax x x -+⎛⎫⨯= ⎪---⎝⎭恒成立， 所以11111ax ax x x -+⨯=---恒成立， 即22211a x x -=-恒成立，即()2210a x -=恒成立，所以210a -=，解得1a =±，又1a =时，()141log 1axf x x -=-无意义，故1a =-．（2）因为()1,x ∈+∞时，()()14log 1f x x m +-<恒成立，所以()11441log log 11x x m x ++-<-恒成立， 所以()14log 1x m +<在()1,x ∈+∞上恒成立，因为()14log 1y x =+是减函数，所以当()1,x ∈+∞时，()()14log 1,1x +∈-∞-，所以1m ≥-，所以实数m 的取值范围是[)1,-+∞． （3）因为()114412log log 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭在[]2,3上单调递增，()()14log g x x k =+在[]2,3上单调递减，因为关于x 的方程()()14log f x x k =+在[]2,3上有解，所以()()()()22,33,f g f g ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩即()()11441144log 3log 2,log 2log 3,k k ⎧≤+⎪⎨≥+⎪⎩ 解得11k -≤≤，所以实数k 的取值范围是[]1,1-．重难点四 零点定理【例4-1】（2022·课时练习）函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1，则其另一个零点为______． 【答案】3-【解析】解法一：因为函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1， 将(1,0)代入得230a a ++=，解得1a =-． 所以223y x x =--+．令2x 2x 30--+=，解得11x =，23x =-， 所以函数的另一个零点为3-．解法二：由函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1，可得方程2230,(0)ax ax a ++=≠的一个根为1，根据根与系数的关系可得1222ax x a+=-=-，所以另一个根为3-．故函数的另一个零点为3-． 故答案为：3-.【例4-2】（2022·山东）方程ln 42x x =-的根所在的区间是（ ）A ．()01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，【答案】B【解析】令()ln 24f x x x =+-，显然()ln 24f x x x =+-单调递增， 又因为()12420f =-=-<，()2ln 244ln 20f =+-=>，由零点存在性定理可知：()ln 24f x x x =+-的零点所在区间为()12，， 所以ln 42x x =-的根所在区间为()12，. 故选：B【例4-3】（2022·全国·高一课时练习）函数()sin 21f x x x π=-在区间(0,3]上的零点个数为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C【解析】函数()sin 21f x x x π=-在(]0,3上零点的个数即方程sin 210x x π-=在(]0,3x ∈上解的个数， 方程sin 210x x π-=化简可得sin 2x π=1x， 所以方程方程sin 210x x π-=的解的个数为函数sin 2y x π=与函数y =1x的图象交点的个数，其中(0,3]x ∈，在同一坐标系中作出函数sin 2y x π=与函数y =1x的图象如图所示， 由图可知在区间(]0,3上，两函数图象有4个交点， 故函数()sin 21f x x x π=-在区间(0,3]上的零点个数为4， 故选：C ．【例4-4】（2021·全国·高一期末）已知函数2,()5,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)[5,)+∞ B ．6(0,)[5,)5+∞C ．(1,5]D ．6(,5]5【答案】A【解析】()()4g x f x x =-有三个零点()y f x ∴=与4||y x =的图象有三个交点. 因为0a >，所以当0x ≤时，24x x x -=-，得3x =-或0x =，所以()y f x =与4||y x =的图象有两个交点，则当0x >时，()y f x =与4||y x =的图象有1个交点. 当0x >时，令45x x =-，得1x =，所以01a <<符合题意；令24x x x =-，得5x =，所以5a 符合题意.综上，实数a 的取值范围是()[)0,15,+∞.故选：A.【一隅三反】1．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）函数3()ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】因为3ln ,==-y x y x 为()0,x ∈+∞上的单调递增函数，所以3()ln f x x x=-为()0,x ∈+∞上的单调递增函数，因为()31ln1301=-=-<f ，()32ln 202=-<f ，()33ln 303=->f ，由零点存在定理，(2,3)上必有唯一零点.故选：B ．2．（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数sin sin()13y x x π=-+-在区间(0,2)π上的零点所在的区间为（ ）A ．(0,)2πB ．(,)2ππC ．3(,)2ππ D ．3(,2)2ππ 【答案】B【解析】sin sin()13y x x π=-+-，13sin 12=-x x ，sin()13x π=--，令sin()13x π-=，得232x k ππ-=+π，Z k ∈，526x k ππ∴=+，Z k ∈，()f x ∴在(0,2)π上的零点为5.6π故选：B3．（2022·北京大兴·高一期末）若函数2,1()(),1x a x f x x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩恰有2个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．(1)-∞，B ．(02)，C ．(0)+∞，D ．[12)，【答案】D【解析】因为()(),1f x x x a x =-≥时至多有一个零点，单调函数()2,1x f x a x =-<至多一个零点，而函数2,1()(),1x a x f x x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩恰有2个零点，所以需满足()(),1f x x x a x =-≥有1个零点，()2,1x f x a x =-<有1个零点，所以2log 11a a <⎧⎨≥⎩，解得12a ≤<，故选：D4．（2021·广西·上林县中学高一期末）已知函数()||3f x x a =--，若函数(())f f x 无零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,6)-∞- B ．(,6]-∞- C ．(,0)-∞ D ．(,0]-∞【答案】A【解析】令()t f x =，则()||30f t t a =--=的解为：3t a =±，由题意可知：()f x t =无解， 又()||33f x x a =--≥-，即min ()t f x <，又min ()3f x =-，即3333a a +<-⎧⎨-<-⎩，解得：6a <-．故选：A.5．（2022·全国·高一课时练习）函数()2ln 3f x x x =+-的零点个数为________．【答案】1【解析】解法一：令()0f x =，可得方程2ln 30x x +-=，即2ln 3x x =-， 故原函数的零点个数即为函数ln y x =与23y x =-图象的交点个数． 在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数23y x =-与ln y x =的图象只有一个交点，故函数()2ln 3f x x x =+-只有一个零点，故答案为：1解法二：∴()21ln11320f =+-=-<，()22ln 223ln 210f =+-=+>，∴()()120f f <，又()2ln 3f x x x =+-的图象在()1,2上是不间断的，∴()f x 在()1,2上必有零点，又()2ln 3f x x x =+-在()0,∞+上是单调递增的，∴函数()f x 的零点有且只有一个， 故答案为：16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()22,2,1,2,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．【答案】()0,1【解析】作出函数()f x 的图像和直线y k =，如图所示:由图可知，当()0,1k ∈时，函数()f x 的图像和直线y k =有三个交点，所以()0,1k ∈． 故答案为：()0,1或01k <<.。
第4章指数函数与对数函数(复习课件)高一数学(人教A版必修第一册)课件
y=ax为减函数,则0<a<1,y=loga(-x)为增函数,与C项中
y=loga(-x)的图象不符.
答案:B
典例
例3（2）若直线y=2a与函数y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的图象
有两个公共点,则a的取值范围是
.
解析:当a>1时,通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图
往往是选择题,常借助于指数函数、对数函数的图象特
征来解决;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方
程,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点
个数问题.这就要求画指数函数、对数函数的图象时尽
量准确,特别是一些关键点要正确,比如,指数函数的图象
必过点(0,1),对数函数的图象必过点(1,0).
题型四 函数的零点与方程的根
4. 恒成立问题，采用分离参数，转化为求最值问题.
专题三
指数函数、对数函数图象的应用
典例
例3（1）已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是( )
解析:由y=loga(-x)的定义域为(-∞,0)知,图象应在y轴左
侧,可排除A,D选项.当a>1时,y=ax应为增函数,y=loga(-x)
f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5.
由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．
(2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，h(16)＝60，
所以整治后有16个月的污染度不超过60.
以有2m-3<1,解得m<2.故实数m的取值范围为(-∞,2).
解题技能
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高一数学 指数、对数函数
知识点1：指数运算（同底数幂相乘、除，幂的乘方，积的乘方，零指数、负指数、分数指数） 1．5.0210)01.0(41253-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ，()()032433122256027.0π++---= 。
2．()5
13,23==b a ，则=+b a 3 ，=-223b
a 。
知识点2：对数运算（指数式与对数式互化，真数相乘、除，指数提前，对数恒等式，换底公式，01log ,1log ==a a a ，常用对数，自然对数） 3． 32log 2= ，271log 3= ，51log 25= ，2log 2= 。
4．25lg 4lg += ，2lg 5lg 2lg 5lg 2++= 。
5．下列正确的是（ ）
A ．y x y x a a a log log )(log ⋅=⋅
B ．y x y x a a a log log )(log +⋅=+
C ．y x y x a a a log log )(log ÷=÷
D ．)(log log log 1-⋅=-y x y x a a a
6．已知a ，b ，(1,)N ∈+∞，下列关系中，与b a N =不等价的是（ ）
A ．log a b N =
B ．1log a b N =-
C ．b a N
-= D ．1b
a N = 7．方程03lg 2lg lg )3lg 2(lg lg 2=+++x x 的两根积为21x x = 。
知识点3：指数、对数函数的概念
8．写出符合)()()(y f x f xy f +=的一个函数 ；
写出符合)()()(y f x f y x f =+的一个函数 。
9．)1,0(≠>=a a a y x 的定义域 ，值域 ； ),1,0(log ≠>=a a x y a 的定义域 ，值域 。
10．)1,0(≠>=a a a y x ，()()1,0,,0∈+∞∈y x 则a 的取值范围 ；
),1,0(log ≠>=a a x y a ()()+∞∈∈,0,1,0y x ，则a 的取值范围 。
11．14)(-+=x a x f 的图象恒过定点P ，则P 的坐标 ；)1(log 4-+=x y a 的图象恒过定点P ，则P 的坐标 。
12．若1,10-<<<b a ，则函数b a x f x +=)(不过第 象限，)(log )(b x x f a -=不过第 象限。
13．画出x a y -=与x y a log =在同一坐标系中的图象
14．二次函数bx ax y +=2与指数函数x
a b y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=在同一坐标平面的图象只能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 15．4932<⎪⎭⎫ ⎝⎛a
，则a 的取值范围 ，1log 32<a ，则a 的取值范围 。
16．b a 23=，则0,,b a 的关系是 ； 05log 5log <<n m ，则1,,n m 的关系是 ；
17．x y a log =在[)+∞,2上恒有1>y ，则则a 的取值范围 。
知识点4：比较大小
18．3.01.09.09.0,8,4===c b a ，比较c b a ,,大小 。
19．8log ,7.0log ,8.0log 7.08.07.0===c b a ，比较c b a ,,大小 。
20．比较大小2log ,3.0.23.023.0 。
知识点5：与二次函数结合
21． )1,0(122≠>-+=a a a a y x x 在[]1,1-上最大值为14，求实数a 值
22．)(log )(log 22x a x a y a a •=，当[]4,2∈x 时，y 的取值范围是⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-0,81，求实数a 值。