第九章欧氏空间习题答案

第九章欧氏空间习题答案

、填空题

............ Fbj

1.0;

2. X i, Jx； +x ；+ 二+x：；

3. A b2 ；

4. √13 ；

5.

';8. _6 ; 9. k .2 ; 10.线性变换在某基下的矩阵；11.0, 、2 ; 12.它们的维数相2

同；13. A，1; 14. -1 ; 15.正交；16. - ; 17.正定的。

3

、判断题

1-5 ××√√√6-10 √×√√√11-15 √√√×√16-20 √√×√×

三、选择题

A ;6. (2, -2,1); 7. 2、2 ,

1-5 CDBCC

四、计算题

6-10 CACB(BD) 11-15 BDAAA 16-18 ABB

1.

λ-2-2

由^E-A= —2 丸一1

0 2

2 =（人+2）（人一1）（几一4） = 0 ,故特征值为一2,1,4。

当彊=「2时，有

~4 X1 - 2 x^ — 0

-2 X1 — 3x2 + 2

X

=0 ,则基础解系为

12 2

十3,3,3

当’=1时，

∖2x2— 3x3 = 0

- x1- 2x2 = 0 有t

-2x1 +2x3 = 0，

2x2 +x3 =0

1=（-丄,1,1）',单位化

为

M 1

则基础解系为2 = （1,-一

2

,1）,'单位化为

2x1 - 2x2 = 0

当人=4时，有」-2x1 +3x2 +2x3 = 0 ,则基础解系为

2x2 +4x3 = 0

3 = （1,1厂丄）',单位化

为

2

2 2 _1_

3,3, 3

2

3

3

'l l l

(2)当 t=l 时，则 A= l l —l

订 —l l

l =(丸—2)2(人+l) = O ,特征值为2,2,—l 。故标 λ-l 准形为 f = 2y l 2

2y ； - y f 。

z

2 b O A

3.二次型矩阵为 A = 'b a 2。由于正交变换得到的标准形为

f = y 2 +2y ； +5y ；,

e 2 3」

则 A 的特征值为 l,2,5，故 2∙a ∙3=l2∙ 5

，A =l 2 5=l0 可得 a = 3,b=O 。

-x ∣ = O I

当λ =l 时，有＜ —2X 2—2X 3=0，则基础解系为气=（0,l,—1）'，单位化为

-2x 2 ^ 3x^ — 0

…X …2 X — 0

当慣-2时，有

2

3

,则基础解系为；=(l,0,0)',单位化为2 =(l,0,0)'；

-2x 2 -x^ 0

3x l = 0

当怎-5时，有2X 2 -2X 3 =0 ,则基础解系为 ^(0,1,1)',单位化为

- 2x 2 ■ 2X 3 = 0

l

l λ

(1) A = l

t -l ,由于二次型正定，则

-l t 丿

3 3

3 2

.

\>0 0

,即 t>2。

3

Jt —3t —2A 0

则令T =

,为正交阵，有T Jl AT = λ —l —

由 PE -A = -2-1 k-1

-l

l

4.设属于特征值1的特征向量为】=(>ς,X 2,X 3)',则C ,>ι)=O ,即×2

0 ,基

础解系为 >2=(1,0,0)' , ： 3=(0,-1,1)'。把 >2=(1,0,0)' , ： 3=(0,-1,1)'单位化

=1 、

1 。进一步得到

< b

=1

"

[1 0

、

A=T

1

T JL = 0

0 -1

J b

I 0

-1 °」

当j = k 时，则

6.令 R 2

的一组基为 M =

(1,0), ；2 =(0,1),则有

((X 1, yj,( X 2, y 2)) =2X 1X 2 —X2% -人丫2 2y°2

(2

-Γ)

可得在这组基下的度量矩阵为 A=

。

(T 2

J

由■ E - A =(■ -1)(' -3),特征值为 1,3。

…X 亠X 0

当& =1时，有§

1

2

,则基础解系为£

=(1,1)',单位化为n 1 “ _x 2 =0

则令T =

√2

2 √2 2 J

,为正交阵，有 T -AT 2

5

」

为(1,0,0)'，

"(0, —j ；2)'。: 1

2 2

0 1 0 令T =

√2 0至 2 2

√2

0虫

<2 2丿

5.

1

,二

TnkT COS(j k)x |

1

2二 1 2 二 cos(j k)x |

cos( j - k)x | 0

2(j ∙ k) ∣0

2( j -k)

∣0

2

兀 1 2

兀 1

2

兀

cos jx cos kxdx

2

π

(Sin jx,sin kx) = ° Sin jxsin kxdx =

(CoS jx,cos kx)

.2π

cos( j - k)x | = 0

2(j -k) 0

1 =(0,1,1)'单位化为

为正交阵，有T J AT