大学物理 127 动量和轨道角动量

可以证明，lˆx , lˆy , lˆz 不能同时取确定值，只有
角动量的平方lˆ 2和任意一个分量才能同时取确定
值。因此，轨道角动量只能用 lˆ2和任意一个分量 表达。习惯上选 lˆ2 , lˆz。
lˆ2表示角动量的大小；lˆz 表示角动量在 z 轴上 的投影。
可以证明，在球坐标系中
lˆ 2

用 pˆ x代表动量算符的 x 轴分量，应有
pˆ x (x) p (x)
为寻找动量的算符形式提供了线索
假设动量算符的
x
轴分量：pˆ x

i
x
pˆ x (x)

i
x

i
Ae
px


p (x)
量子力学假设动量算符的形式：
pˆ x

i
x
，pˆ
测量粒子的 lˆz ，结果： m
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
3. 角动量空间取向量子化 角动量的大小： L l(l 1) ，l 0,1,2, 角动量沿 z 轴投影只能取2l+1)个值：
Lz m，m 0,1,2,
与z轴的“夹角”只能取2l+1个值。 空间取向量子化 例： l = 1， m 0,1
0
0
A 1
2
2. lˆ2和 lˆz 的共同本征值问题的解 球谐函数 lˆ2 的本征方程的求解比较复杂，我们不加证
明地给出 lˆ2 和 lˆz 的共同本征值问题的解：
lˆ2Ylm ( ,) l(l 1) 2Ylm ( ,) lˆzYlm ( ,) mYlm ( ,)
ei

(

2
)

e
i
，
e
i 2

1
lˆz 的本征值：
m，m 0，1， 2，
lˆz 的本征波函数：
m ()
1 eim，m 0,1,2,
2
归一化因子是由归一化条件求出
2
2
1 () 2 d A 2 d 2 A 2
y

i
y
，pˆ
z

i
z
矢量形式： pˆ ipˆ x jpˆ y kpˆ z
12.7.2 轨道角动量 1. 轨道角动量 在原子中，电子绕核转动的角动量称为轨道 角动量。经典力学：
l r p
量子力学： p pˆ ， 轨道角动量算符为
lˆ r pˆ
在直角坐标系中

lˆ 2 2I
Ylm ( ,)

l(l
1) 2 2I
Ylm
( ,)
分子的转动能级： El

l(l 1) 2 2I
,l
0,1,2,
本征波函数：Ylm ( ,)
如果一个能级对应两个或两个以上的互相独 立的本征波函数，则称该能级是简并的。
互相独立的本征波函数的个数，叫做简并度。
El

l(l 1) 2 2I

(2l
1) 个独立波函数 Ylm ( ,)
分子转动能级的简并度：
2l 1
L 1(11) 2 Lz 0,
角动量只能有三种可能的取向
*12.7.3 分子的转动能级 表达分子绕质心转动能量的哈密顿量：
Hˆ lˆ2 ， 2I
lˆ 2：角动量平方算符 I ：分子的转动惯量
能量本征方程：Hˆ ( ,) E ( ,)
Hˆ Ylm
( ,)
12.7 动量和轨道角动量 12.7.1 动量 12.7.2 轨道角动量 *12.7.3 分子的转动能级
我们用哈密顿量来表达粒子的能量，并以一 维势场中的粒子为例求解了能量本征值问题。
在量子力学中，如何表达粒子的动量和轨道 角动量？
12.7.1 动量
自由粒子的动量取确定值，其波函数(x)应
该是动量算符的属于本征值 p 的本征波函数。
i jk lˆ r pˆ x y z
pˆ x pˆ y pˆ z
轨道角动量算符的三个分量：
lˆx ypˆ z zpˆ y， lˆy zpˆ x xpˆ z， lˆz xpˆ y ypˆ x
还要引入轨道角动量的平方
lˆ2 lˆx2 lˆy2 lˆz2
四个算符： lˆx , lˆy , lˆz , lˆ2

2

s
1
in


s in



1
sin 2
2
2

lˆz

i

角动量 z 轴分量 lˆz 本征方程的求解：
lˆz ()

()，
i
i

d () d

()
通解： () Ae
单值条件： ( 2 ) () ，即
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
l：角量子数，m：磁量子数，Ylm ：球谐函数
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Ylm ( , ) NPlm (cos )eim
Ylm ( ,)是 lˆ2 和 lˆz 的共同本征态 如果粒子处于用Ylm ( ,)描述的转动态上
测量粒子的 lˆ 2，结果：l(l 1) 2