大学物理 127 动量和轨道角动量
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大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
第二项
与轴承约束力矩平衡。
M 2rF
方称为向力平对行于轴的轴矩，，其效表果为代是数改变量绕：轴M 转z 动 状r态，F
即： i j k
Mo rFx y z
Fx FyFz
i yFz zFy jzFxxFzk xFyyFx
Mz xFyyFx
由
rc
i
miri M
rc
i
miri M
ri m ivcM rc vc0
i
质心对自己的位矢
L r c m iv ir i m iv c r i m iv i
i
i
i
与 i 有关
第三项：
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
o ri
vi
mi
L io 大 方小 向 Lio ： ： rimiv沿 i miri2 即 L iomiri2
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量为:
LizLiom iri2
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体：
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
大学物理动量与角动量(PPT课件)
写成
Fi f i
内力之和
质点系 F
外力之和
二、 质点系的动量定理 动量守恒定律 方法: 对每个质点分别使用牛顿定律，然后利 用质点系内力的特点加以化简 到 最简形式。
第1步，对 mi 使用动量定理：
fi
t2
t2 Fi dt f i dt Pi Pi 0 t1
3)碰撞或冲击过程，牛顿第二定律无法直接使
用，可用动量定理求解。如：估算平均作用力
定义平均作用（冲）力:
p2 p1 p t1 F t f t2 t1 t2 t1 方向与 p 的方向相同
t2
f
F dt
将冲量定义式 t 中的积分用平 I F dt F t 均冲力代替: t
m1 1 例如如图，则 xc m1 m2 m3 2m 2 3m3 yc zc m1 m2 m3 m1 m2 m3
3 . m3 m1 . o 1 m .2 2 y
z
质量连续分布的物体， 分成N 个小质元计算：
rc m i ri
5. 当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞） 可认为动量近似守恒。
6. 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本， 在宏观和微观领域均适用。 7. 用守恒定律解题，应注意过程、选系统、 分析内外力、确定始末态。
三、火箭飞行原理——变质量问题
“神州”号飞船升空
变质量问题（低速，v << c）有两类：
N
m0 l x g l
(法二) 类似火箭飞行的方法求解
系统是：
动量定理 ( F mg)dt dm0
已提升的质量(主体) m 和将要提升的质量dm x m的动量 dm的动量 F m0 0 t x m d m t dt m g 0 0 0
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
大学物理动量与角动量
恒力的冲量：
I F (t2 t1)
运动员在投掷标 枪时，伸直手臂，尽 可能的延长手对标枪 的作用时间，以提高 标枪出手时的速度。
变力的冲量：
I
t
2
F
(
t
)
dt
单位：N·s
t1
牛顿运动定律：
F
ma
F
d(mv)
dp
dt dt
动量定理的微分式：
dp
解：(1) 设沙袋抛到船上后，共同运动的初速度为V， 并设此运动方向为x轴正方向，忽略沙袋撞击船时受 水的阻力，则可认为沙袋+船在沙袋落到船上前后水 平方向动量守恒，因而有
(M m)V mv0
3分
V m v0
2分
Mm
(2) 由 k d x (M m) d v 得 d x M m d v
动量与角动量
研究： 力的时间积累作用
对平动——动量定理 对转动——角动量定理
基础：牛顿定律（牛顿力学）
1 动量
2 动量定理
3 动量守恒定律
*4 火箭飞行原理
*5 质心与质心运动定理 6 质点的角动量
7 力矩
8 角动量定理 角动量 守恒定律
2-2 动量守恒定律
动量
车辆超载容易 引发交通事故
车辆超速容易 引发交通事故
t
v2 x
mv 2
sin
Ft sin105
sin 0.7866 51.86 51.86 45 6.86
动量守恒定律
质点系的动量定理： t t0
Fidt P P0
当 Fi 0 时,
I F (t2 t1)
运动员在投掷标 枪时，伸直手臂，尽 可能的延长手对标枪 的作用时间，以提高 标枪出手时的速度。
变力的冲量：
I
t
2
F
(
t
)
dt
单位：N·s
t1
牛顿运动定律：
F
ma
F
d(mv)
dp
dt dt
动量定理的微分式：
dp
解：(1) 设沙袋抛到船上后，共同运动的初速度为V， 并设此运动方向为x轴正方向，忽略沙袋撞击船时受 水的阻力，则可认为沙袋+船在沙袋落到船上前后水 平方向动量守恒，因而有
(M m)V mv0
3分
V m v0
2分
Mm
(2) 由 k d x (M m) d v 得 d x M m d v
动量与角动量
研究： 力的时间积累作用
对平动——动量定理 对转动——角动量定理
基础：牛顿定律（牛顿力学）
1 动量
2 动量定理
3 动量守恒定律
*4 火箭飞行原理
*5 质心与质心运动定理 6 质点的角动量
7 力矩
8 角动量定理 角动量 守恒定律
2-2 动量守恒定律
动量
车辆超载容易 引发交通事故
车辆超速容易 引发交通事故
t
v2 x
mv 2
sin
Ft sin105
sin 0.7866 51.86 51.86 45 6.86
动量守恒定律
质点系的动量定理： t t0
Fidt P P0
当 Fi 0 时,
大学物理学上册资料09 动量和角动量
冲量的方向就不能决定于某一瞬时外力的方向，然而总 决定于这段时间内动量增量的方向。 而冲量的量值，尽管在运动过程中外力随时改变， 质点的速度也逐点不同，冲量大小却完全决定于质点在 始末两点动量矢量差的绝对值，而与运动过程中物体在 各点处的动量无关。 ② 定理在碰撞、打击问题中的应用：求平均力 碰撞：力的作用时间很短 t 冲力：随时间变化很大又很复杂 t F d t 平均冲力：冲力对碰撞时间的平均值 F
例2 两个相互作用的物体A和B，无摩擦地在一条水平直 线上运动，A的动量是PA=P0-bt。在下列两种情况下，写 出B的动量：⑴开始时，若B静止,则PB1=＿＿＿＿＿＿; ⑵开始时，若B的动量为－P0 , 则PB2=＿＿＿＿。 易知 (A+B)系统动量守恒： 解：
P A PB P A 0 PB 0 P B P A 0 P B 0 P A
Px F x t Py F y t Pz F z t
p1 x t1
④ 当t 很小时，由于冲力很大，有时有的有限大小的 力（如重力）可忽略不计。 ⑤ 动量与参考系有关，但动量差值与参考系无关。因 此，动量定理适用于所有惯性系。
例1：质量为 2. 5g 的乒乓球以10 m/s v2 y 的速率飞来，被板推挡后，又以 20 m/s的速率飞出。设两速度在垂直于 板面的同一平面内，且它们与板面法 30o x ˆ O n 线的夹角分别为45o和30o，求： o 45 （1）乒乓球得到的冲量； （2）若撞击时间为0.01s，求板施于 v1 球的平均冲力的大小和方向。 解： （1）分量式法取挡板和球为研究对象，忽 略重力。 设挡板对球的冲力为F 则有： I m v 2 m v 1 取坐标系，将上式投影，有：
物理化学,轨道角动量
物理化学,轨道角动量
轨道角动量是物理化学中重要的概念之一。
它描述了电子围绕原子核运动时所具有的旋转性质。
根据量子力学的原理，电子的运动可以用波函数来描述，而波函数里的角动量又被称为轨道角动量。
轨道角动量的大小和方向由量子数l和ml来确定，l表示角动量的大小，ml表示角动量的方向。
角动量的大小只能是整数，而方向则可以取2l+1个离散的取值。
根据量子力学的理论，电子的轨道角动量在空间中是量子化的，即只能取特定的值。
这是由于电子在原子内部的轨道运动受到约束，只能处于特定的能量状态。
每个能量状态对应着一个特定的轨道角动量值。
轨道角动量的量子化为化学中的电子结构提供了重要的解释。
它决定了原子中电子的分布和化学性质。
不同的轨道角动量值对应着不同的轨道形状和分布特征，从而影响了电子的相对能量和电子之间的互斥效应。
总之，轨道角动量是物理化学中一个重要的概念，它揭示了电子在原子内部的旋转性质。
通过对轨道角动量的研究，可以更深入地理解和解释原子的电子结构和化学性质。
大学物理动量角动量
三、质点的角动量定理
L=r×pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dL dr dp = × p+r × dt dt dt
r × F =r ×
dP dt
0
υ
dL M = dt
注意： 注意： 1. M, L 必须对同一点 必须对同一点 2. M —合外力矩 合外力矩 3.惯性系成立 惯性系成立
∫t
t2
1
M dt =
∫L d L = L2 L1
M外 = 0 L总 = 常 量 矢
角动量守恒定律
M i = ri × ( Fi + ∑ f ij )
i≠ j
d 注意： M = ∑ ri × Fi = ( ∑ Li ) 注意： dt i i
F外
d P总 = dt
1.内力矩不改变质点系的总 内力矩不改变质点系的总 角动量， 角动量，但可以改变各质点 的角动量。 2. M = ∑ M i 必须对同一点。 必须对同一点。
∫v dv = u ∫M
0
v
M
0
dM M
M0 v = v0 + uln M
Fdt = (v u)dm vdm
u
= udm
它给火箭的推动力 指向前进方向
F ' = F > 0
dm dM F = u <0 =u dt dt
§3 质心运动定理 一 质心
N个粒子系统，可定义质量中心 个粒子系统， 个粒子系统
z mi
rc
ri
y
rc =
∑m r
i =1 N
N
i i
∑m
i =1
=
∑m r
i =1
N
i i
x
2019大学物理教学资料——动量与角动量.ppt
Fi d t d Pi i i
质点系的合外力 质点系的总动量 记作
F外 d t d P
质点系动量定理
（微分形式）
F外 d t d P
或
t2
t1
质点系动量定理 F外 d t P2 P1 （积分形式）
解：r1 R h1 6.64 103 km r2 R h2 8.20 10 km
3
h1
r1
角动量守恒： r1m v1 r2 m v2 r1 v2 v1 6.58km s 1 r2
h2
r2
例题：光滑的水平桌面上，放一质量为m0的木块，木块与轻 弹簧（k已知）相连，弹簧的另一端固定在O点。一质量为m 的子弹以初速度v0射向木块并嵌入其中，此时弹簧为原长L0， 求木块运动到b点（弹簧长度为L）时的速度。 o v 解：对子弹和木块，用动量守恒： b
mg
例：一枚静止的炸弹在水平面内爆炸，炸成三块，第 一块质量为m,速度v1=800m/s，向西；第二块质量为 m，速度v2=600m/s,向南；第三块质量为2m，求： 第三块弹片的速度大小和方向。
解：爆炸过程中，合外力为0，系统动量守恒， 如图建立坐标系 0 2mv 3 cos mv 1 y 0 2mv 3 sin mv 2
y
v2
0.1 2 9.8 1.6 2 9.8 2.5 0.01 126 N (负号表示什么意思?)
v1
质点系的动量定理
质点系 : 有相互作用的若干质点组成的系统。 内力 f : 质点系内质点之间的相互作用力。 外力 F : 质点系外 其它物体对质点系内 质点的作用力。 F2 先讨论由两个质点 组成的质点系的动量: f2 F1 f1 d P1 对第1个质点 F 1 f1 d t d P2 对第2个质点 F2 f 2 dt
大学物理12.7动量和轨道角动量
12.7.1 动量
自由粒子的动量取确定值，其波函数(x)应
该是动量算符的属于本征值 p 的本征波函数。
用 pˆ x代表动量算符的 x 轴分量，应有
pˆ x (x) p (x)
为寻找动量的算符形式提供了线索
假设动量算符的xຫໍສະໝຸດ 轴分量：pˆ xi
x
pˆ x (x)
i
x
i
Ae
px
p (x)
量子力学假设动量算符的形式：
0
0
A 1
2
2. lˆ2和 lˆz 的共同本征值问题的解 球谐函数 lˆ2 的本征方程的求解比较复杂，我们不加证
明地给出 lˆ2 和 lˆz 的共同本征值问题的解：
lˆ2Ylm ( ,) l(l 1) 2Ylm ( ,) lˆzYlm ( ,) mYlm ( ,)
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
l：角量子数，m：磁量子数，Ylm ：球谐函数
Ylm ( , ) NPlm (cos )eim
Ylm ( ,)是 lˆ2 和 lˆz 的共同本征态 如果粒子处于用Ylm ( ,)描述的转动态上
测量粒子的 lˆ 2，结果：l(l 1) 2
测量粒子的 lˆz ，结果： m
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
,l
0,1,2,
本征波函数：Ylm ( ,)
如果一个能级对应两个或两个以上的互相独 立的本征波函数，则称该能级是简并的。
互相独立的本征波函数的个数，叫做简并度。
El
l(l 1) 2 2I
(2l
1) 个独立波函数 Ylm ( ,)
分子转动能级的简并度：
2l 1
lˆz () ()， i
自由粒子的动量取确定值，其波函数(x)应
该是动量算符的属于本征值 p 的本征波函数。
用 pˆ x代表动量算符的 x 轴分量，应有
pˆ x (x) p (x)
为寻找动量的算符形式提供了线索
假设动量算符的xຫໍສະໝຸດ 轴分量：pˆ xi
x
pˆ x (x)
i
x
i
Ae
px
p (x)
量子力学假设动量算符的形式：
0
0
A 1
2
2. lˆ2和 lˆz 的共同本征值问题的解 球谐函数 lˆ2 的本征方程的求解比较复杂，我们不加证
明地给出 lˆ2 和 lˆz 的共同本征值问题的解：
lˆ2Ylm ( ,) l(l 1) 2Ylm ( ,) lˆzYlm ( ,) mYlm ( ,)
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
l：角量子数，m：磁量子数，Ylm ：球谐函数
Ylm ( , ) NPlm (cos )eim
Ylm ( ,)是 lˆ2 和 lˆz 的共同本征态 如果粒子处于用Ylm ( ,)描述的转动态上
测量粒子的 lˆ 2，结果：l(l 1) 2
测量粒子的 lˆz ，结果： m
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
,l
0,1,2,
本征波函数：Ylm ( ,)
如果一个能级对应两个或两个以上的互相独 立的本征波函数，则称该能级是简并的。
互相独立的本征波函数的个数，叫做简并度。
El
l(l 1) 2 2I
(2l
1) 个独立波函数 Ylm ( ,)
分子转动能级的简并度：
2l 1
lˆz () ()， i
大学物理 动量与角动量解读
t2 t1
F外
dt
P2
P1
—质点系动量定 理（积分形式）
系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。
用质点系动量定理处理问题可避开内力。 8
§3.2动量守恒定律 （law of conservation of momentum）
质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。
zC
mi zi m
质量为权重的平均值。 17
二.几种系统的质心
● 两质点系统
· · m1
C× m2
r1
r2
● 连续体
z
dm
r
×C
rc m
0
x
m1 r1 = m2 r2
rC
r dm
m
xC
xdm
……m
18
● 均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。
● “小线度”物体的质心和重心是重合的。
[例]如图示，求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心C应在x轴上。
2
3.1 冲量与动量定理
冲量：力和力作用时间的乘积 （单位：牛顿·秒 (N·s)）
恒力 变力
在 dt 时间内的元冲量： dI Fdt
在 t1至 t2 时间段内的冲量：
（力对时间的积累效应）
动量：质点质量 m 和速度 的乘积
P mv
单位：千克·米·秒-1 (kg·m·s-1) 3
一、质点的动量定理
经整理得： Mdv = -udM
d v u d M M
f
Mf dM
d v u
i
M Mi
速度公式：
vf
vi
§3.6轨道角动量
方括号中微分算符与拉普拉斯算符在球坐标表示的角度部 分仅差一因子1/r2(即轨道角动量与转动部分的动能相联系)
二、球谐函数
p2 2 d 2 d 1 1 2 1 [ V (r )] { { (r ) 2 [ 2 (sin )]} V (r )} 2m 2m dr dr r sin 2 sin 2 d 2 d L2 [ (r ) V (r )] E 2 2m dr dr 2m r
类似地，
六、CG系数的递推关系
由
得
用<j1j2;m1m2|左乘上式,得CG系数的递推关系：
上式给出了不同CG系数间的关系。除符号约定外，递推关系和 归一化条件完全确定了CG系数
由递推关系联系的CG系数
作业
3.16、3.20
作用于|x’y’z’>，有
正是绕z轴无穷小转动的结果。即若p是平移的生成元，则 L是转动的生成元。
一、坐标空间中的轨道角动量
对无自旋粒子的任意态|α>，其波函数为<x’y’z’|α>。绕z轴 转无穷小角δΦ 后，其波函数为 用球坐标：
r , , 1 i
Lz r , ,
可知只有m=m1+m2的CG系数才可能不为零 2) 由矢量叠加模型可知，只有满足 j1 j2 j j1 j2 的CG 系数才可能不为零。
3) CG系数约定取实数（可能性见下面的递推关系），故 <j1j2;m1m2|j1j2;jm>= <j1j2;jm|j1j2;m1m2> 4) 由于CG系数为两基组的变换矩阵，组成(实)幺正矩阵,即 正交矩阵：
大学物理第3章动量与角动量
§3.2 动量守恒定律
动量守恒定律的分量形式：
若 若 若
F F F
x
0, px 0, p y 0, pz
y z
m v m v m v
i i i
i ix i iy
常量 常量 常量
i iz
动量守恒可以在单一方向上守恒。 动量守恒定律在惯性系中成立。 动量守恒定律是自然界的普遍规律，它不依赖于牛顿 定律而成立。
微观粒子的实验（如电子转化为光子）
§3.2 动量守恒定律
t2
F外dt P P0
t1
动量定理
dP 微分形式？ F dt
可以写成
0 P 当F C 外
动量守恒定律
吗？ F m a
注意后面 的讲解。
讨论
1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。
m x m y m z x , y , z m m m
i i i i i i i i i C i C i C i i i i
z
C
质心的位置矢量表为
rC
m
i i
m i ri
i
x
O
r C
y
§3.4 质心
对连续质量的物体，质心位置可用积分式计算：
xdm ydm zdm x , y , z dm dm dm
C C C
rC
dm
r dm
质元dm视为质点
说明： 质心的位置由质点系各质点的相对位置决定，与 坐标原点的位置无关。 重力的着力点——重心，就在物体的质心上。
§3.4 质心
v
解：以M和dt时间里落到车厢 的煤粒dm为质点系。
动量守恒定律的分量形式：
若 若 若
F F F
x
0, px 0, p y 0, pz
y z
m v m v m v
i i i
i ix i iy
常量 常量 常量
i iz
动量守恒可以在单一方向上守恒。 动量守恒定律在惯性系中成立。 动量守恒定律是自然界的普遍规律，它不依赖于牛顿 定律而成立。
微观粒子的实验（如电子转化为光子）
§3.2 动量守恒定律
t2
F外dt P P0
t1
动量定理
dP 微分形式？ F dt
可以写成
0 P 当F C 外
动量守恒定律
吗？ F m a
注意后面 的讲解。
讨论
1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。
m x m y m z x , y , z m m m
i i i i i i i i i C i C i C i i i i
z
C
质心的位置矢量表为
rC
m
i i
m i ri
i
x
O
r C
y
§3.4 质心
对连续质量的物体，质心位置可用积分式计算：
xdm ydm zdm x , y , z dm dm dm
C C C
rC
dm
r dm
质元dm视为质点
说明： 质心的位置由质点系各质点的相对位置决定，与 坐标原点的位置无关。 重力的着力点——重心，就在物体的质心上。
§3.4 质心
v
解：以M和dt时间里落到车厢 的煤粒dm为质点系。
大学物理-动量与角动量
解：以小孔O为原点，绳对小球的拉力为有心力，其力矩为零。则小球对点的角动量守恒。
因：v = rw
则小球的动能增量为：
例3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。
太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：
角动量守恒：r1mv1=r2mv2 v1=(r2/r1)v2=1.2857v2
机械能守恒：
代入数据计算时，注意长度单位要统一使用m或km。
空间累积效应
时间累积效应
瞬时效应
动量定理
角动量定理
动能定理
功能定理
质点的角动量守恒定律
力
力矩
动量
角动量
冲量
冲量矩
力与动量
力矩与角动量
动量定理(冲量与动量)
角动量定理(冲量矩与角动量)
动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…
角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…
例2-17：将质量为m 的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O 用手拉住。先使小球以角速度 w1 在水平面上做半径为 r1 的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为 r2 ，求在此过程中小球的动能增量。
力矩
O
力矩的分量式:
对轴的力矩
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj = 0 ）
二、角动量定理
角动量 力矩
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）
由对称性分析，质心C应在x轴上。
因：v = rw
则小球的动能增量为：
例3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。
太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：
角动量守恒：r1mv1=r2mv2 v1=(r2/r1)v2=1.2857v2
机械能守恒：
代入数据计算时，注意长度单位要统一使用m或km。
空间累积效应
时间累积效应
瞬时效应
动量定理
角动量定理
动能定理
功能定理
质点的角动量守恒定律
力
力矩
动量
角动量
冲量
冲量矩
力与动量
力矩与角动量
动量定理(冲量与动量)
角动量定理(冲量矩与角动量)
动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…
角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…
例2-17：将质量为m 的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O 用手拉住。先使小球以角速度 w1 在水平面上做半径为 r1 的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为 r2 ，求在此过程中小球的动能增量。
力矩
O
力矩的分量式:
对轴的力矩
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj = 0 ）
二、角动量定理
角动量 力矩
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）
由对称性分析，质心C应在x轴上。
大学物理_第四章__动量和角动量
1
d (mv ) dm d v dm dv 0 F m v dt m dt dt dt dt ma
物理意义：物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量。
I mv2 mv1
——质点的动量定理
I x mvx 2 mvx1 I y mvy 2 mvy1 直角坐标分量式为 I z mvz 2 mvz1 注意： t2 １． I Fdt P2 P1 为矢量式，使用中
I x px mvBx mv Ax
mvB mv A cos45
vB
O
B
vA
x
0.683kg m s
1
A
I y p y mvBy mv Ay mv A sin45 0.283kg m s1
总冲量： 大小 I
2 0.739 N s Ix I2 y
球与棒脱离到飞至最高点过程机械能守恒
1 2 mv 2 mgh 2
v2 2 gh
２．据动量原理作矢量图：
３．解析式:
p2
2 2 I P P2 P 1
p I
7.3 (N S) 2 1 P 0 tan 1 34.99 P I 7.3 365N F 0.02 t
v1 0 P 1 0
l
２
T
m
１
mg
EP 0
v2 ?
1 2 机械能守恒 1 2 m 2gl(1 cos ) mv 2 mgl (1 cos ) 2
I合
P2 m v2
例2.一重锤从高度h=1.5m处自静止下落，锤与被加工的 工件碰撞后末速为０。若打击时间 t 为 10 1 s、 10 -2 s、 10 -3 s 和10 -4 s ，试计算这几种情形下平均冲击力与重力的比值.
d (mv ) dm d v dm dv 0 F m v dt m dt dt dt dt ma
物理意义：物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量。
I mv2 mv1
——质点的动量定理
I x mvx 2 mvx1 I y mvy 2 mvy1 直角坐标分量式为 I z mvz 2 mvz1 注意： t2 １． I Fdt P2 P1 为矢量式，使用中
I x px mvBx mv Ax
mvB mv A cos45
vB
O
B
vA
x
0.683kg m s
1
A
I y p y mvBy mv Ay mv A sin45 0.283kg m s1
总冲量： 大小 I
2 0.739 N s Ix I2 y
球与棒脱离到飞至最高点过程机械能守恒
1 2 mv 2 mgh 2
v2 2 gh
２．据动量原理作矢量图：
３．解析式:
p2
2 2 I P P2 P 1
p I
7.3 (N S) 2 1 P 0 tan 1 34.99 P I 7.3 365N F 0.02 t
v1 0 P 1 0
l
２
T
m
１
mg
EP 0
v2 ?
1 2 机械能守恒 1 2 m 2gl(1 cos ) mv 2 mgl (1 cos ) 2
I合
P2 m v2
例2.一重锤从高度h=1.5m处自静止下落，锤与被加工的 工件碰撞后末速为０。若打击时间 t 为 10 1 s、 10 -2 s、 10 -3 s 和10 -4 s ，试计算这几种情形下平均冲击力与重力的比值.
大学物理实验室中的动量与角动量研究
大学物理实验室中的动量与角动量研究一、引言在物理学中，动量和角动量是两个重要的概念。
在大学物理实验室中，通过实验研究动量和角动量，我们可以更好地理解这些概念，并对自然界中各种物理现象进行深入研究。
本文将重点介绍大学物理实验室中动量和角动量的研究方法和实验结果。
二、动量的研究动量是一个物体的质量乘以其速度，可用公式p = mv表示，其中p 表示动量，m表示物体质量，v表示物体速度。
在大学物理实验室中，我们可以通过以下实验来研究动量的相关性质。
1.1 碰撞实验碰撞实验是研究动量转移和守恒的常用方法。
在实验中，可以利用不同质量和速度的物体之间进行碰撞，观察碰撞前后动量的变化。
通过测量物体的质量和速度，可以验证动量守恒定律，即碰撞前后物体总动量保持不变。
1.2 动量守恒实验除了碰撞实验，大学物理实验室中还可以通过其他实验验证动量守恒定律。
例如，可以利用弹簧系统，将一个物体固定在弹簧上，并给该物体一个初速度，观察其是否能够回到原位。
如果物体回到原位且速度为零，说明动量守恒。
1.3 动量测量实验为了准确测量物体的动量，大学物理实验室中常使用气垫轨道和弹簧测力计等设备。
气垫轨道可以减小摩擦力对物体运动的影响，确保测量结果的准确性；弹簧测力计可以测量物体受到的作用力，从而进一步计算出物体的动量。
三、角动量的研究角动量是一个物体的质量乘以其角速度，可用公式L = Iω表示，其中L表示角动量，I表示物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
在大学物理实验室中，我们可以通过以下实验来研究角动量的相关性质。
2.1 转动惯量实验转动惯量是一个物体旋转时所表现出的惯性，是角动量的物理量之一。
在实验中，可以通过改变物体的形状和质量分布来测量转动惯量，并验证与实际值的一致性。
常用的实验设备包括旋转台、陀螺仪等。
2.2 角动量守恒实验角动量守恒是指在没有外力作用下，系统的总角动量保持不变。
在大学物理实验室中，可以通过如下实验验证角动量守恒定律。
天体运动轨道角动量
天体运动轨道角动量一、角动量的定义角动量是描述物体绕某一轴转动的物理量，它是衡量物体转动惯量和角速度之积的大小。
在经典力学中，角动量L的定义如下：L = Iω其中，L表示角动量，I表示物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
角动量的单位是牛顿·米·秒，通常用符号kg·m^2/s表示。
角动量是一个矢量量，它有大小和方向。
在天体运动中，角动量的定义也同样适用。
例如，行星围绕恒星公转的角动量可以表示为L = mvr，其中m是行星的质量，v是行星公转的速度，r是行星公转的半径。
角动量在解释行星公转轨道、星系旋转以及恒星自转等天体运动中起着重要作用。
二、角动量守恒定律角动量守恒定律是一个重要的物理定律，在天体运动中也同样适用。
根据角动量守恒定律，在一个封闭系统中，系统的总角动量保持不变。
这意味着，如果一个天体在运动过程中不受外界力矩的影响，其角动量将保持不变。
以行星绕恒星公转为例，根据角动量守恒定律可知，行星在公转过程中的角动量保持不变。
也就是说，当行星靠近恒星时，其公转速度加快，而当行星远离恒星时，其公转速度减慢，以保持角动量的守恒。
这正是太阳系行星绕太阳公转的基本规律。
三、天体运动轨道的角动量在天体运动中，角动量对天体轨道的形状和运动状态有着重要的影响。
以行星绕太阳公转为例，行星的轨道形状和大小与其角动量有着密切的关系。
根据开普勒定律，行星绕太阳的椭圆轨道面积速度是一个常数，即L = mvr = 常数。
而根据角动量守恒定律，行星的角动量保持不变。
因此，当一个行星靠近太阳时，由于与太阳的引力作用，行星的速度将增加，从而保持角动量守恒。
除了公转运动外，角动量还对天体的自转运动有重要影响。
例如，地球的自转轴倾角和自转周期都与地球的角动量相关。
地球的自转轴倾角约为23.5°，这是由于地球的自转角动量的方向与恒星引力的方向之间的角度决定的。
此外，地球的自转周期也受到地球的角动量的影响，地球的自转周期为约24小时，是由地球的转动惯量和角速度之积决定的。
大学物理课件第3章 动量与角动量
§3.3 动量守恒定律 质点系所受合外力为零， Σ 时间改变，即
Fi = 0 总动量不随
N P pi 常矢量
i 1
1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；
2. 合外力沿某一方向为零；
p i
i
const .
3. 只适用于惯性系； 4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
M r F
力
M F d F r sin
提问:力矩为0的情况?
力矩
Lrp
动量
N m 矢量性: r F
单位:
三、角动量定理
pr p v pr F Lr 角动量定理： r F M (力矩)
q
v
V
v sinq
v cosq V
解：设车相对地面的反冲速度为V，方向水平向左 炮弹相对地面的速度水平分量为 v cosq V mv cosq 水平方向动量守恒 m(v cosq V ) MV 0 解得V
炮弹相对地面的速度竖直分量为 v sinq
m M
v sinq tg v cosq V
t2
mg
3秒时物是否被拉起？
F cos f 0 N F sin mg 0 f N t1 1.9 s
I x 0.62 Kgm / s
t1
F
x
dt 1.12t (cos sin ) mg dt
3
I x mvx 0 0.62Kgm / s
6
h
v
0
N =
m 2gh
τ
m 工件
mg
大学物理上册课件：第4章动量和角动量
f2
F2
m1
m2
m2
: F2
f2
dp2 dt
F1
F2
d(
p1
dt
p2
)
n 个质点组成的质点系：
即：
F
外
dp dt
n d n
i1 Fi dt i1 pi
— 质点系的动力学方程
即∶质点系所受合外力等于系统总动量的时间变化率。
说明
内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量 的改变无贡献。
600
x | p || p1 || p2 |
p1
由动量定理，I p mvi
I
钢球 作用于 钢板的 冲量: I p mvi 方向沿x轴正向
解 法 2：在坐标系下将矢量转化为标量。
由动量定理，对小球：
I
I
y
xp2py2
x
p1py1
x
(mv cos ) mv cos mv
mv
cos
2) 平均冲力 : 冲力对碰撞时间的平均值。
F若 冲 力tt1很2 F大,d其t 它 外p2力可p忽1 略 时p, 则：F F
t2 t1
即： F
t
p
t
t
O t1
t2
p一定时，t越长，F越小 。
平均冲力示意图
若其它外力不可忽略时, 则 F 是合外力的平均。
注：讨论冲力时，由于冲力较大，一般可忽略其它外力。
力对时间的累积效应？
F dt
dv
m d t • dt mdv d(mv)
dP
t2
Fdt
t1
v2d(m v)
v1
m v2
m v1
大学物理 牛顿运动学定律 动量 动量守恒 角动量 角动量守恒
1 2
mv02[(
r0 r
)2
−
1]
>
0
例2. 用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二定律: 行星对 太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积,即行星的矢径 的面积速度为恒量。
解： 在很短的时间dt内，行星的矢径扫过的面积
dS
=
1 2
r
dr
sin α
=
1 2
r × dr
行星
α
r dS dr
面积速度
孔做圆周运动，半径为 r1 ，速率为 v1 ，当半径为 r2 时，求 小球的速率 v2
解：小球受力： f 拉 为有心力
L = r × mv
L2 = L1
r1mv1 = r2mv2
v2
=
r1 r2
v1
显然 v2 > v1
f拉
0 v1
r2
r1
利用动能定理，该力所做的功
W == ∆Ek
1 2
m= v2 − 12 mv02
p1
= p2 − p1 = mv2 − mv1
2. 动量守恒定律 （与外界没有质量交换的质点系）
∑ 当当 ∑FFixi = 0 时 时
∑ miv∑i =mimvix1v=1恒+矢m量2v2 + + mnvn = 恒矢量
当质点系所受的合外力为零时，系统的总动 量保持不变。
第7节 角动量定理 角动量守恒定律
t： t+dt ：
质量 m m + dm -dm
速度
v
v + dv
v'
动量 p1 = mv
p2
(此处dm<0)
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测量粒子的 lˆz ，结果： m
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
3. 角动量空间取向量子化 角动量的大小： L l(l 1) ，l 0,1,2, 角动量沿 z 轴投影只能取2l+1)个值：
Lz m，m 0,1,2,
与z轴的“夹角”只能取2l+1个值。 空间取向量子化 例： l = 1， m 0,1
2
s
1
in
s in
1
sin 2
2
2
lˆz
i
角动量 z 轴分量 lˆz 本征方程的求解：
lˆz ()
()，
i
i
d () d
()
通解： () Ae
单值条件： ( 2 ) () ，即
y
i
y
，pˆ
z
i
z
矢量形式： pˆ ipˆ x jpˆ y kpˆ z
12.7.2 轨道角动量 1. 轨道角动量 在原子中，电子绕核转动的角动量称为轨道 角动量。经典力学：
l r p
量子力学： p pˆ ， 轨道角动量算符为
lˆ r pˆ
在直角坐标系中
L 1(11) 2 Lz 0,
角动量只能有三种可能的取向
*12.7.3 分子的转动能级 表达分子绕质心转动能量的哈密顿量：
Hˆ lˆ2 ， 2I
lˆ 2：角动量平方算符 I ：分子的转动惯量
能量本征方程：Hˆ ( ,) E ( ,)
Hˆ Ylm
( ,)
ei
(
2
)
e
i
，
e
i 2
1
lˆz 的本征值：
m，m 0，1， 2，
lˆz 的本征波函数：
m ()
1 eim，m 0,1,2,
2
归一化因子是由归一化条件求出
2
2
1 () 2 d A 2 d 2 A 2
i jk lˆ r pˆ x y z
pˆ x pˆ y pˆ z
轨道角动量算符的三个分量：
lˆx ypˆ z zpˆ y， lˆy zpˆ x xpˆ z， lˆz xpˆ y ypˆ x
还要引入轨道角动量的平方
lˆ2 lˆx2 lˆy2 lˆz2
四个算符： lˆx , lˆy , lˆz , lˆ2
12.7 动量和轨道角动量 12.7.1 动量 12.7.2 轨道角动量 *12.7.3 分子的转动能级
我们用哈密顿量来表达粒子的能量，并以一 维势场中的粒子为例求解了能量本征值问题。
在量子力学中，如何表达粒子的动量和轨道 角动量？
12.7.1 动量
自由粒子的动量取确定值，其波函数(x)应
该是动量算符的属于本征值 p 的本征波函数。
0
0
A 1
2
2. lˆ2和 lˆz 的共同本征值问题的解 球谐函数 lˆ2 的本征方程的求解比较复杂，我们不加证
明地给出 lˆ2 和 lˆz 的共同本征值问题的解：
lˆ2Ylm ( ,) l(l 1) 2Ylm ( ,) lˆzYlm ( ,) mYlm ( ,)
El
l(l 1) 2 2I
(2l
1) 个独立波函数 Ylm ( ,)
分子转动能级的简并度：
2l 1
可以证明，lˆx , lˆy , lˆz 不能同时取确定值，只有
角动量的平方lˆ 2和任意一个分量才能同时取确定
值。因此，轨道角动量只能用 lˆ2和任意一个分量 表达。习惯上选 lˆ2 , lˆz。
lˆ2表示角动量的大小；lˆz 表示角动量在 z 轴上 的投影。
可Hale Waihona Puke 证明，在球坐标系中lˆ 2
用 pˆ x代表动量算符的 x 轴分量，应有
pˆ x (x) p (x)
为寻找动量的算符形式提供了线索
假设动量算符的
x
轴分量：pˆ x
i
x
pˆ x (x)
i
x
i
Ae
px
p (x)
量子力学假设动量算符的形式：
pˆ x
i
x
，pˆ
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
l：角量子数，m：磁量子数，Ylm ：球谐函数
Ylm ( , ) NPlm (cos )eim
Ylm ( ,)是 lˆ2 和 lˆz 的共同本征态 如果粒子处于用Ylm ( ,)描述的转动态上
测量粒子的 lˆ 2，结果：l(l 1) 2
lˆ 2 2I
Ylm ( ,)
l(l
1) 2 2I
Ylm
( ,)
分子的转动能级： El
l(l 1) 2 2I
,l
0,1,2,
本征波函数：Ylm ( ,)
如果一个能级对应两个或两个以上的互相独 立的本征波函数，则称该能级是简并的。
互相独立的本征波函数的个数，叫做简并度。
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
3. 角动量空间取向量子化 角动量的大小： L l(l 1) ，l 0,1,2, 角动量沿 z 轴投影只能取2l+1)个值：
Lz m，m 0,1,2,
与z轴的“夹角”只能取2l+1个值。 空间取向量子化 例： l = 1， m 0,1
2
s
1
in
s in
1
sin 2
2
2
lˆz
i
角动量 z 轴分量 lˆz 本征方程的求解：
lˆz ()
()，
i
i
d () d
()
通解： () Ae
单值条件： ( 2 ) () ，即
y
i
y
，pˆ
z
i
z
矢量形式： pˆ ipˆ x jpˆ y kpˆ z
12.7.2 轨道角动量 1. 轨道角动量 在原子中，电子绕核转动的角动量称为轨道 角动量。经典力学：
l r p
量子力学： p pˆ ， 轨道角动量算符为
lˆ r pˆ
在直角坐标系中
L 1(11) 2 Lz 0,
角动量只能有三种可能的取向
*12.7.3 分子的转动能级 表达分子绕质心转动能量的哈密顿量：
Hˆ lˆ2 ， 2I
lˆ 2：角动量平方算符 I ：分子的转动惯量
能量本征方程：Hˆ ( ,) E ( ,)
Hˆ Ylm
( ,)
ei
(
2
)
e
i
，
e
i 2
1
lˆz 的本征值：
m，m 0，1， 2，
lˆz 的本征波函数：
m ()
1 eim，m 0,1,2,
2
归一化因子是由归一化条件求出
2
2
1 () 2 d A 2 d 2 A 2
i jk lˆ r pˆ x y z
pˆ x pˆ y pˆ z
轨道角动量算符的三个分量：
lˆx ypˆ z zpˆ y， lˆy zpˆ x xpˆ z， lˆz xpˆ y ypˆ x
还要引入轨道角动量的平方
lˆ2 lˆx2 lˆy2 lˆz2
四个算符： lˆx , lˆy , lˆz , lˆ2
12.7 动量和轨道角动量 12.7.1 动量 12.7.2 轨道角动量 *12.7.3 分子的转动能级
我们用哈密顿量来表达粒子的能量，并以一 维势场中的粒子为例求解了能量本征值问题。
在量子力学中，如何表达粒子的动量和轨道 角动量？
12.7.1 动量
自由粒子的动量取确定值，其波函数(x)应
该是动量算符的属于本征值 p 的本征波函数。
0
0
A 1
2
2. lˆ2和 lˆz 的共同本征值问题的解 球谐函数 lˆ2 的本征方程的求解比较复杂，我们不加证
明地给出 lˆ2 和 lˆz 的共同本征值问题的解：
lˆ2Ylm ( ,) l(l 1) 2Ylm ( ,) lˆzYlm ( ,) mYlm ( ,)
El
l(l 1) 2 2I
(2l
1) 个独立波函数 Ylm ( ,)
分子转动能级的简并度：
2l 1
可以证明，lˆx , lˆy , lˆz 不能同时取确定值，只有
角动量的平方lˆ 2和任意一个分量才能同时取确定
值。因此，轨道角动量只能用 lˆ2和任意一个分量 表达。习惯上选 lˆ2 , lˆz。
lˆ2表示角动量的大小；lˆz 表示角动量在 z 轴上 的投影。
可Hale Waihona Puke 证明，在球坐标系中lˆ 2
用 pˆ x代表动量算符的 x 轴分量，应有
pˆ x (x) p (x)
为寻找动量的算符形式提供了线索
假设动量算符的
x
轴分量：pˆ x
i
x
pˆ x (x)
i
x
i
Ae
px
p (x)
量子力学假设动量算符的形式：
pˆ x
i
x
，pˆ
l 0,1,2, m l,l 1,,0,,l 1,l
l：角量子数，m：磁量子数，Ylm ：球谐函数
Ylm ( , ) NPlm (cos )eim
Ylm ( ,)是 lˆ2 和 lˆz 的共同本征态 如果粒子处于用Ylm ( ,)描述的转动态上
测量粒子的 lˆ 2，结果：l(l 1) 2
lˆ 2 2I
Ylm ( ,)
l(l
1) 2 2I
Ylm
( ,)
分子的转动能级： El
l(l 1) 2 2I
,l
0,1,2,
本征波函数：Ylm ( ,)
如果一个能级对应两个或两个以上的互相独 立的本征波函数，则称该能级是简并的。
互相独立的本征波函数的个数，叫做简并度。