线性代数证明题

线性代数证明题

1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知

0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系.

2.设A 是n 阶矩阵，且0n

A =，则A E n -必是可逆矩阵。

3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆.

5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1

PAP -的后n r -行全为零.

6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关.

7．如果,2

A A =称A 为幂等矩阵.设

B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB

8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11

,

证明：A 可逆且T

-+=）（C B A 1

。

10.设0=k

A

，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E ΛΛ

11.设方阵A 满足A 2

-A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求1

1

2--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， T

A A -为反对称矩阵。 13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量T

β，使T

A αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C A

B =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ⨯矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =⇔)( 16.向量组A 能 用向量组B 表示，则R(A)<=R(B)

17.设B A ,分别为m n n m ⨯⨯,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。 18、设，，，，144433322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组

4321ββββ，，，线性相关.

19．向量组123,,ααα与向量组123,,βββ等价的充分必要条件为： 123123123123(,,)(,,)(,,,,,)r r r αααβββαααβββ==

20. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，AB 为可逆矩阵，且m n ≠，则B 的列向量组线性无关。

21．{}

11211(,,),,,0T n n n V x x x x x x R x x ==∈++=L L L ，证明1V 是向量空间 22.设向量211ααβ-=，322ααβ-=,323ααβ-=,……, 1ααβ-=r r 且向量组

12,,,r a a αL 线性无关，证明向量组12,,,r b b b L 线性无关。

23. 设Ａ，Ｂ都是n 阶矩阵，且ＡＢ＝０。证明()()R A R B n +≤。 24. 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且m n >，证明0AB =。

25．已知向量组12,,m L ααα中任一向量i α都不是它前面i -1个向量的线性组合，且1≠0α，证明12,,m L ααα的秩为m ．

26．设有两个向量组12:,,,r A L ααα；112:B =-βαα，

223=-βαα,…,11r r r --=-βαα，1r r =+βαα，证明向量组A 的秩等于向量组B 的秩．

27．设有一个含m 个向量的向量组12,,,m L ααα(m ≥2),且12+++m =L βααα，证明向量组12,,,m L β-αβ-αβ-α线性无关的充分必要条件是12,,,m L ααα线性无关． 28． 设向量组12,,,m A :L ααα线性无关，向量1β可由向量组A 线性表示，而向量2β不能由向量组A 线性表示．证明向量组1212,,,,m l +L αααββ线性无关(其中l 为常数)． 29．设12,,s L ααα线性无关，12+++s s λλλ12=L βααα，其中i λ≠0，证明

11+1,,,,,i-i s L L ααβαα线性无关．

30．已知向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关，证明 (1) 1α可由23,αα线性表示； (2) 4α不能由123,,ααα线性表示．

31．设V 1是由T

1(1,1,0,0)=a ，T 2(1,0,1,1)=a 所生成的向量空间，V 2是由

T 1(2,1,3,3)=-b ，T 2(0,1,1,1)=--b 所生成的向量空间，试证V 1= V 2．

32．证明由T T T

123(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)===ααα所生成的向量空间就是3R ．

33.向量组A:n a a a Λ,,21；B:m βββΛ,,21 ；C:m n a a a βββΛΛ,,,,,2121，证明：

)()()())(),(max(B r A r C r B r A r +≤≤

33．设,A B 是同型矩阵， 证明()()()R R R +≤+A B A B ．

34．证明n 维向量组12n ,,,L a a a 线性无关的充分必要条件是，任一n 维向量都可由

12,,,n L a a a 线性表示．

35. 设n 阶矩阵A 满足A A =2，E 为n 阶单位阵，证明

n E A R A R =-+)()(

36. 设向量组r a a a ,,21Λ是齐次线性方程组AX=O 的一个基础解系，向量β不是方程组AX=O 的解，即βA ≠0，求证：r αβαββ++,,,1Λ线性无关。 37.对于矩阵s n n m B A ⨯⨯,，有n AB r B r A r ≤-+)()()(。

证明：构造如下矩阵⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=n E AB C 00,显然有n AB r C r +=)()(，对C 作如下变换：

用A 乘以第二行再加到第一行得到⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛n E A AB 0 用第一列减去第二列右乘B 得到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n E B A 0,而)()(0

B r A r E B A r n +≥⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-

故)()()()(B r A r n AB r C r +≥+=

38.设A ,B 均为n 阶矩阵,且A 与-E AB 都可逆, 证明-E BA 可逆.

39.设向量组;3;2;32133122211αααβαααβααβρ

ρρρρρρρρρ

ρ

++=--=-=。若已知向量组

321,,αααρ

ρρ线性无关，问向量组321,,βββρρρ是否线性相关，请证明之.

40.如果()I B A +=

2

1

,证明：当且仅当I B =2时，A A =2