理论力学-第十三章动静法

§13-2 质点系的达朗贝尔原理
Fi(e)、Fi(i) 为质点 i 受的外力和内力
F(e) i
Fi(i)
FIi 0
0
F Ii
F i(e )F i(i)F I i 0 0
F (e) i
mi
F (i) i
M O F i ( e ) M O F i ( i ) M O F I i 0
MO(FFi(ie()e)) M FIiO(F 0Ii)0
FBz FRz 0
Mx 0, b F B ya F A yM xM Ix0
列平衡方程，可求出轴承约束力。
My 0,
a F A x b F B xM yM Iy0
联解方程组，可求出轴承约束力
F A x1 l M ybF R xM IybF Ix F A y1 l M xbF R yM IxbF Iy
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
MO(FFi(ie()e)) M FIiO(F 0Ii)0
作用在质点系上的所有外力（含约束力） 与虚加的惯性力系形式上组成平衡力系。
§13-3 刚体惯性力系的简化
★ 刚体惯性力系的特点 ★ 刚体惯性力系的简化结果 ● 刚体平移时惯性力系的简化 ● 定轴转动时惯性力系的简化 ● 平面运动时惯性力系的简化
求：大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。
CR W1
O
A W2
解：1、受力分析
考察整个系统，有4个 未知约束力。
如果直接采用动静法， 需将系统拆开。
CR W1 F
FN
所以考虑先用动能定理，求出加速度，
再对大圆轮应用动静法。
FOy FOx
O
vA
W2
2、运用动能定理，求加速度
设任意位置时A速度为v, 向下运动距离为s
考虑惯性力系向O点简化：主矩MIO
MIO=∑ri×FIi =－∑ri×miai =－∑miri×ai
FIR
=－∑miri×aC=－mrC×aC
得F：Ii 通过i ri刚OarCi体Ca质C 心当有的点M合OIC力和=0质心FCIR重＝合－时ma，CrC=0
计算 大小: FIR＝maC 方向: 和aC反向
M
＝－
IC
J C
（转轴垂直于对称面） 计算
a F a
t C
C
MMIIOC n
F
n I
t
O CI
大小
主矢
FIt maC t mrC
FInmaC nmrC2
方向 和加速度反向
大小 MIC JC
主矩 转向 和角加速度相反
★ 刚体惯性力系的简化结果
刚体运动
简化 中心
简化结果
平移 质心C 合力
大小 FIR＝maC
i
i
＝－m(aC t aC n)
主矩 MIO＝ MO(FIit )
＝－ ( miri2)＝－JO
● 定轴转动时惯性力系的简化
主矢 主矩
以O为简化中心
（转轴垂直于对称面）
F IR ＝ F Ii＝ (－ m ia i)＝ － m a C ＝－m(aC t aC n)
i
i
MIO＝ MO(FIit )＝－ ( miri2)＝－JO
vA
W2
3、对大圆轮应用动静法 加上惯性力系（向质心C简化） FI
FI
W1 g
a
MIC
1 W1 2g
R2
a R
C W1 FT
MIC
F FN
M C ( F ) 0 , F R M I C 0
F W2W1 2W2 3W1
§13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
1、轴承动约束力：刚体作绕定轴转动时，轴承处由 于转动引起的附加约束力。 2、用动静法求刚体定轴转动时的 轴承动约束力 建立坐标系 oxyz，在刚体的各点加上假 想的惯性力。 将惯性力系向转轴上的O点简化
1 2W g2v21 2(2 3W g1R 2)(R v)2T 0W 2s
2、运用动能定理，求加速度
12(W g223W g1)v2T0W2s
等式两边同时对t 求导得
CR W1 F
(W g2 32W g1)vddvt W2ddst
FN
ds v dt
a 2W2g 2W2 3W1
FOy FOx
O
O
求：角加速度α和O处的约束力。
分析：
法1. 动静法
法2. 由动能定理可求、α，由质心运
动定理可求约束力。
解：法1. 动静法
分析真实的受力和运动
加上惯性力系
主矢
FIn maCn FIt maCt
a
n C
12 2
l
a
t C
1 2
l
主矩 MIO JO
JO
1 3
m l2
MO 0， MIOmg2l sin0
主矢 F IF Ii m ia i m a C
主矩 M I O M O ( F I i) r i m ia i
F IF Ii m ia i m a C
M I O M O ( F I i) r i m ia i
式中： ai rivi
vi ri ri xiyjzk
M I o ( J x z J y z2 ) i ( J y z J x z2 ) j J zk
解：惯性力分析 ：
由于和所产生的惯性力分别
沿着AB方向和垂直于AB方向，合 力的方向斜向AB杆的左上方。
但是只有垂直于AB方向的惯性 力会在AB杆的横截面上产生弯矩。
动静法应用于弹性杆件 的动应力分析
应用截面法确定弯矩 ：
以A为原点、沿AO方向建立Ax坐 标系。从任意截面B(AB长度为x)处 截开。对AB段应用动静法：假设B 截面上的剪力和弯矩分别为为FQd 和Md。
分析：FAx 由二部分构成。
1
F A xl M ybF R xM IybF Ix
F A y1 l M xbF R yM IxbF Iy
避免出现轴承动约束力的条件为：
MIy 0, FIx 0 MIx 0, FIy 0
FIx 0 FIy 0
aCx 0 aCy 0
上式表明：转轴必须通过质心。
FOx
ml2mgcos
2
1mg(35cos)
2
FOy
mlmgsin
2
1 4
mgsin
解：法2.动能定理+质心运动定理
由动能定理得
11m l22m gl1cos
23
2
2 3g1cos
l
两边对时间 t 求导
A
a
t C
C
a
n C
O mg
2 3gsin
l
3g sin
2l
a
n C
12 2
l
源自文库
a
t C
1 2
§13-1 质点的达朗贝尔原理
根据牛顿定律
maFFN
z
F—— 主动力
FI
O
x
F N —— 约束力
F ma
A
移项 FFNma0 FR 令 FI ma
FN y
FFNFI 0 FI─惯性力（inertia force)
s
质点的达朗贝尔原理
作用在质点上的主动力和约束力与假想施加
在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。
a
t C
C
a
n C
MIO
O
F
n I
F
t I
计算 大小
主矢
FIt maC t mrC
FInmaC nmrC2
方向 和加速度反向
大小 MIO JO
主矩 转向 和角加速度相反
? 问题： 能否以质心C为简化中心
例13-2
A
均质杆OA，在铅垂位置时受微 小扰动运动到图示位置。
杆长为l,质量为m,θ已知。
m a C n m g c o s F O yc o s F O xsin
联解方程组得
A
a
t C
C
O
a
n C
mg
FOy FOx
F O x 1 4m gsin 2 1 0 c o s2 6 m gc o s
FOy1 4mgsin69cos
动静法应用于弹性杆件 的动应力分析
求：倾倒角度为 时的最大弯矩。
方向 与 a C 反向
转轴O 主矢｛大方小向FFItIt与 maCtrC反向FFInIn与 maCnrC反向 2
定轴转动
主矩 大小 MIO JO 转向与 反向
质心C 同平面运动
平面运动
质心C
主矢 主矩
大小 FI＝maC
大小MIC JC
方向与a C 反向
转向与 反向
A
Ma ICtO C
F
n I
a
n C
★ 刚体惯性力系的特点
● 刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及 刚体上各点的绝对加速度有关。
大小：FIi miai 方向：与加速度 a i 反向
● 对于平面问题(或者可以简化为平面问题)， 刚体的惯性力为面积力，组成平面任意力系。
● 对于一般问题，刚体的惯性力为体积力， 组成空间任意力系。
★ 刚体惯性力系的简化结果
M IxJxz Jyz 20
M IyJyz Jxz 20
JxzJyz0
表明：刚体对转轴的惯性积必须为零，
称转轴为惯性主轴。
转轴通过质心
中心惯性主轴
对转轴的惯性积为零
避免出现轴承动约束力的条件是: 刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴。
■ 轴承的动约束力
理想情形
FI1 m
偏心情形
FRA
FI1
2s
加速度方向与速度方向相反
F sA
F sB
惯性力为： FI ma
MB 0 m 2 F g Ih F lN l1 A l2 0
Fy 0 mg F N AF NB 0
解得： FNAmgl12ll2ah
FNBmlg11ll2ah
比较：
当轿车静止或匀速运动时
F 'NA
mgl2 l1 l2
F 'NB
l
解：法2.分析OA的受力和运动
A
或由定轴转动动力学方程得
1ml2mgl sin
3
2
即
3gsind
2l
d
a
t C
C
O
a
n C
mg
FOy FOx
2 3g1cos
l
a
t C
1 2
l
a
n C
12 2
l
解：法2. 由质心运动定理得
a
t C
1 2
l
a
n C
12 2
l
m
a
t C
mgsin
FOysin
FOxcos
对比重力系：pi＝ mi g 合重力：P＝mig=mg
例13-1
轿车以速度 v 行驶在水平 路面，因故急刹车，滑行距
离 s，设轿车在刹车过程中 作匀减速运动，求地面对前
后轮的法向约束力。
已知轿车总质量为m， 质心距地面高度为h， 距前后轴的水平距离 分别为 l1和 l2。
解：刹车中轿车加速度为
a v2
O
F
t I
以O为简化中心
主矢
FIn maCn FIt maCt
主矩 MIO JO
A
a
t C
MIC
C
a
n C
F
n I
F
t I
O
以C为简化中心
主矢
FIn maCn FIt maCt
主矩 MIC JC
例13-3 半径为R、重量为W1的均质大圆轮， 由绳索牵引，在重量为W2的重物A的作用下 ，在水平地面上作纯滚动，系统中的小圆轮 重量忽略不计。
3g sin
2l
MIO A
F
t I
a
t C
F
C
n
aCn
I mg
O
FOx FOy
解：法1. 动静法
A
3g sin d
MIO
2l
d
C
0d032glsind
2 3g1cos
F
t I
F
n
I
mg
O
l
Fx 0， F O xF In m g co s0 FOx FOy
Fy 0， F O yF Itm gsin0
m
FRB
A
m B
FI2 FI1＝FI2
A
m B
FI2
FI1>FI2
■ 轴承的动约束力
偏角情形
FI1 m
A
FRB
FRA
B
m FI2
一般情形
FI1
A
FRA m
m FRB
B
FI2
习题讨论课--题1
位于铅垂平面内长度都等于l，质量都等于m的均 质直杆OA和AB，在A处用销钉连接，在O处用铰 链支座固定如图所示。设两杆从水平位置由静止
mgl1 l1 l2
● 定轴转动时惯性力系的简化
仅讨论转动刚体具有质量对称平面、且转轴垂 直于质量对称平面的情形（如转子）。此惯性力系 可简化为对称平面的平面力系。
a
t i
F
n Ii
a a t
F
I
t i
C
C
n C
a
n i
mF iI n
O MIOF IR
F
t I
以O为简化中心
主矢
F IR ＝ F Ii＝ (－ m ia i)＝ － m a C
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运
动平面与质量对称平面互相平行。
以C为简化中心
主矢 FI＝-maC
aC
MICC
主矩 MIC JC
计算 主矢 大小 FI＝maC 方向 和加速度反向
FI
主矩 大小 MIC JC 转向 和角加速度相反
● 定轴转动时惯性力系的简化
主矢 主矩
以C为简化中心
FIR＝－maC
式中： JzxJxz m izx JyzJzy m iyz
称为惯性积（product of inertia )
列平衡方程，可求出轴承约束力。 设OA= a , OB= b , AB= l
Fx 0,
F A xF B xF R xF Ix0
Fy 0,
F A yF B yF R yF Iy0
Fz 0,
惯性力系的主矢：
F IR ＝ F Ii＝ (－ m ia i)＝ － m a C
i
i
惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心
加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
这一简化结果与运动形式无关。
惯性力系的主矩：惯性力系的主矩与刚体 的运动形式有关。
以下为针对三种刚体运动进行简化。
● 刚体平移时惯性力系简化
M B(x lW ) M B(F I)－ M d＝ 0
动静法应用于弹性杆件 的动应力分析
M B(x lW ) M B(F I)－ M d＝ 0
Md＝ 1 4Wslin(xl)2(－ 1xl)
dM d ＝0 , dx
x 2l 3
如何求B截面的轴力？剪力？
Mdmax217Wslin
● 平面运动时惯性力系的简化