第6章 信道编码和交织技术

戈雷码



前面讨论的生成多项式g(x)包含本原元a的根的BCH码， 称为本原BCH码。还有一种非本原BCH码，它的生成 多项式g(x)不含有本原元的根，它的码长n也不等于 2m-1，而是2m-1的一个因子。 著名的戈雷码(Golay Code)，是一个二元域内唯一已 知的能纠正多位错误的完备码，它的码参数为 (n,k,d)=(23,12,7),生成多项式为 g1(x) =x11+ x10+ x6+ x5 + x4 +x2+1 或g2(x) =x11+ x9+ x7+ x6 + x5 +x+1 g1(x)和g2(x) 都是x23+1的因式，且非本原多项式。 x23+1＝(x+1) g1(x)g2(x) 它的码长(n=23)不等于2m-1＝ 223-1＝2047，而是 2047的一个因子，即23*89＝2047，因此，它属于 非本原BCH码。
线性码也是分组码，它的码组中 监督码和信息码之间满足线性变换关系， 即它们之间由一线性方程来联系。对于 分组码（n,k），必须有（n-k）个独立 的线性方程。
循环码
循环码是线性分组码的一个重要子类，也是 目前研究最成熟的一类码。它不仅有封闭性，且还 有循环性。 (n，k)码组
Ca [Cn1Cn2 C1C0 ] 是许用码组。
第6章 信道编码和交织 技术
6.1 信道编码原理




根据一定的规律，在待发送的信息码元中加入一些 冗余的码元，以换取信息码元在传输中的可靠性。 称信源待发送的码元为信息码元； 称加入的冗余码元为监督（校验）码元。 信道编码的目的是以加入最少的冗余码元为代价， 换取提高最大的可靠性。 按照加入冗余码元的规律，信道编码可以分为线性 和非线性两大类，分别称为线性码和非线性码。 按照监督位完成的功能可划分为仅具发现差错功能 的检错码和具有纠正差错功能的纠错码两类。
Turbo 码 具有极大的编码增益 编码设计具有内在的交织 非常复杂且具有较大时延 在衰落信道中的性能尚不是很清楚
6.6 交织编码
Pe
nE ( R )
E（R）称为误差指数
纠错编码方法的分类 从差错控制角度看，按加性干 扰引起的错码分布规律不同，信道可 分为三类： 1) 随机信道：错码出现是随机的，统计 独立的。 2) 突发信道：错码成串集中出现，在很 短的时间出现大量错码，而过后又存 在较大的无错码位。 3) 混合信道：既存在随机错码，又存在 突发错码，两者均不能忽略。
码的主要特征







对于任何正整数m和t(m>=3,t<2m-1)，存在着能纠 正t个以内错误的BCH码，其参数为： 码长：n= 2m-1 监督元位数：n-k<=mt 最小码距：d>=2t+1 其生成多项式g(x)为GF(2m)上最小多项式m1(x), m2(x), …,m2t(x)的最小公倍式，即 g(x)=LCM[m1(x), m2(x), …,m2t(x)] 或者，考虑到m2(x)的根包括在m1(x)内, m6(x)的根 包括在m2(x)内，也就是一般来说，a2i的最小多项式 m2i(x)和ai的最小多项式mi(x)相同，偶数下标项可一 律取消，于是(6-28)可进一步简化为 g(x)=LCM[m1(x), m3(x), …,m2t-1(x)]
6.2 分组码


将信息码首先分成若干组，分别代表不同的含义， 然后为每个码组附加若干位监督码元，这种编码 方式称之为“分组码”。 在分组码中，监督码仅监督本码组中的信息码元。 与分组码相对应，存在非分组码，如卷积码。在 非分组码中，监督码元除了与本组信息元有关， 还与其它组的信息码元有关。由于卷积码充分利 用了各码组间的相关性，其性能要优于分组Fra Baidu bibliotek。 这里仅讨论分组码。
码 字 0000000 0011101 0100111 0111010 1001110 1010011 1101001 1110100
同一循环圈内，码字的 重量相同
（7，3）循环 码
BCH码

以发现着命名的BCH(Bose-
Chaudhurl-Hocquenghem)码，是自
1959年发展起来的一种能纠正多位错误的 循环码。由于码的生成多项式与码的最小 距离有关，容易根据纠错能力要求来直接 确定码的构造，因此，它是一类应用广泛 的差错控制码。
RS码

RS码是Reed和Solomon 二位研究者发明 的，故称为里德－索罗蒙码，简称RS码。 它是一种适合于多进制的、具有强纠错能 力的码，为非二进制的纠错码。
6.3 卷积码
6.4 编码增益
6.5 其他信道编码方法
网格码 通过信道编码和信号星座的联合设计，不增大传 输带宽而减小Pb 可设计成具有“内在”时间分集
d 0 e 1 d 0 2t 1
3)
若码组能检错个数为e，又能纠错t个， 则有
d 0 e t 1 (e t )
对任何纠错编码都适用。
编码效率 对于分组码（n,k），编码效率定义 为信息位在码字中所占的比重，按下 式计算： k r 1
n n
在信道中传送n个单位的时间 内，传输信息位占k个单位的时间。 因此，编码效率可看成是信道传送信 息码元的利用率。
在某种编码中，各码组间距离的 最小值称为最小码距，用d0表示。 最小码距的大小直接关系着这种 编码的检错和纠错能力，它是衡量各种 码抗干扰能力大小的标准。码组的最小 距离越大，抗干扰能力越强，这个结论 具有普遍性。
最小距离与检错和纠错能力之 间满足如下关系：
1)
2)
设码组能检错个数为e，则有
设码组能纠错个数为t，则有
编码效率是衡量码性能的一个重 要参量。但不难看出，编码效率与抗干 扰能力这两个参数是相互矛盾的。 编码的主要任务就是如何找到一 种方法，在满足一定编码效率的前提下， 使抗干扰能力尽可能大。
信道编码定理 有噪信道中信息传输的重要理 论是香农编码定理： 对于一个给定的有扰信道，若 信道容量为C，只要发送端以低于C的 速率R发送信息，则一定存在一种编 码方法，使编码错误概率P随着码长n 的增加，按指数下降到任意小的值：
分组码一般用符合（n,k）表示， 其中k表示每组码二进制信息码元的数目， n是码组的总位数或码组长度，则nk=r为每组码中的监督码元的数目，因 此分组码的结构通常可表示为
码长n=k+r
cn 1 cn2

cn r cr 1 cn2
r个监督位
c0
k个信息位
码组重量和距离 为了分析各种码的检错纠错能力， 引入码组重量和距离的概念。 码组中包含1的个数称为码组的权， 也称码组的汉明重量，用W表示。 两个不同的码组，其对应码位码元 不同的个数，称为汉明距离，用d表示。 例：C1＝{11001100}和 C2={10010111} 重量分别为W1＝4，W2＝5；它们的距 离为d(c1,c2)=5。
编码方法可分为分组码和非分组码，除 此外，还可以按如下方式分类：
1)
2)
3)
根据监督码与信息码之间是否存在线性关系分 为线性码和非线性码 按照码字的循环结构可分为循环码和非循环码 按照码元取值可分为二进制码和多进制码
线性分组码
分组码的码组由信息码和监督码 构成，其中监督码是根据一定规则由信 息码变换而得。规则不同，构成不同种 类的编码。
则将所有码元向左循环一位，得到的：
Cb [Cn2Cn3 C1C0Cn1 ] 也是许用码组。
即
C [Ci Ci 1
C0C1Cn1
Ci 1 ]
若线性分组码的 任一码组循环移位所 得码组仍在该码组集 中，则此码为循环码。
循环码的循环圈数≥2
0
4 2 1 3
W=0
W=4 7
5 6
序号 0 1 2 3 4 5 6 7