平面直角坐标系重难点

平面直角坐标系基础知识及重难点归纳

一、本章的主要知识点

（一）有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对。 1、记作（a ，b ）； 2、注意：a 、b 的先后顺序对位置的影响。 （二）平面直角坐标系

1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形 ； 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；

2、坐标的定义；过点作x 轴的 线，垂足所代表的 是这点的横坐标；过点作y 轴的垂线，垂足所代表的实数，是这点的 。点的横坐标写在小括号里第一个位置，纵坐标写小括号里的第 个位置，中间用 隔开。如图点P 的坐标可表示为： （三）坐标方法的简单应用

1、用坐标表示地理位置；

2、用坐标表示移。

二、平面坐标系内特殊位置点的特殊坐标：

三、平行直线上的点

的坐标特征：

⑴在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；

点A 、B 的纵坐标都等于m ；

⑵在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；

点C 、D 的横坐标都等于n ；

坐标轴上 点P （x ，y ） 点P （x ，y ）在各象限 的坐标特点 象限角平分线上 的点

X 轴

Y 轴

原点

第一象限

第二象限 第三

象限 第四

象限 第一、

三象限 第二、四象限 (x,0) (0,y) (0,0) x ＞0 y ＞0

x ＜0

y ＞0

x ＜0 y ＜0 x ＞0 y ＜0

(m,m)

(m,-m)

X

Y

A B

m n X

Y

C

D -3 -2 -1 0 1 a

b

1

-1 -2

-3

P(a,b)

Y

x

四、对称点的坐标特征：

a) 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数； b) 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数； c) 点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；

关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称

五、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：

• 建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向； • 根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； •

在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

六、坐标系内的点到坐标轴的距离：

在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则

（1） 点P 到x 轴的距离为b ； （2）点P 到y 轴的距离为a ； （3） 点P 到原点O 的距离为PO ＝ 2

2

b a +

七、用坐标表示平移：见下图

基本练习：

练习1：在平面直角坐标系中，已知点P （2,5-+m m ）在x 轴上，则P 点坐标为 练习2：在平面直角坐标系中，点P （4,22

-+m

）一定在 象限；

练习3：已知点P （)9,12

--a a 在x 轴的负半轴上，则P 点坐标为 ；

练习4：已知x 轴上一点A （3，0），y 轴上一点B （0，b ），且AB=5，则b 的值为 ； 练习5：点M （2，－3）关于x 轴的对称点N 的坐标为 ； 关于y 轴的对称点P 的坐标为 ；关于原点的对称点Q 的坐标为 。

练习6：已知点P )3,32(-a 和点A )23,1(+-b 关于x 轴对称，那么b a += ；

向上平移a 个单位长

向下平移a 个单位长度

向右平移a 个单位长

向左平移a 个单位长

度

P （x ，y ） P （x ，y －a ）

P （x －a ，y ） P （x ＋a ，y ）

P （x ，y ＋a ）

X

y

P

1P

n

n -

m O

X

y

P

2P

m

m -

n

O

X

y

P

3P

m

m -

n

O

n -

a

P （b a ,） a

b x

y

O

b

D

C 3

-1

B

A O

x

y

练习7：如果点M 、N 的坐标分别是（2-，3）和（2-，3-）

，则直线MN 与y 轴的位置关系 是 ；

练习8：已知线段AB=3，AB ∥x 轴，若点A 的坐标为（1-，2），则B 点的坐标为 ； 练习9：已知点A （),4a -在第三象限的角平分线上，则=a ； 练习10：已知B （),2b -在第二象限的角平分线上，则=b ；

能力训练：

1、这是某市部分简图，请以火车站为坐标原点建立平面直角坐标系，并分别写出各地的坐标．

体育场

文化宫

医院

火车站宾馆

市场

超市

2、如图,A(1,0),B(3,0),C(0,3),D(2,-1),

（1）试在y 轴上找一点P ,使三角形ADP 的面积与三角形ABC 的面积相等. （2）如果第二象限内有一点P （a,1），使PAC ABC S S ∆∆=，求P 点坐标。

3、如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，

B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点

C ，

D ，连接AC ，BD ，CD ．

(1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积A B D C S 四边形

(2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使P A B S ∆＝A B D C S 四边形，

若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．

D

C

B A 213O

1

23-1

y

x