恒成立问题与有解问题的区别
“恒成立”问题的解法
三、解决恒成立问题常用的方法1ຫໍສະໝຸດ 函数性质法常用 方法
4
2
变量分离法
3
变换主元法
数形结合法
1.函数性质法 1. 函数性质法
（1）恒成立问题与一次函数联系：给定一次函数
y f ( x) ax b(a 0) ，若 y f ( x) 在
[m, n] 内恒有 f ( x) 0 ， 则根据函数的
解得 1 a 0 .
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f ( x) ax2 bx c(a 0) ，f ( x) 0 在区间 [ , ] 上恒成立问题： （1）当 a 0 时，f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立 b b b ， 2a 或 或 2a 2a f ( ) 0 0 f ( ) 0
变换主元法 3.变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些 问题时，若能适时的把主元变量和 参数变量进行“换位”思考，往往 会使问题降次、简化。
3. 变换主元法：
【例5】对任意 a [1,1] ，不等式 恒成立，求
解：令
x 2 (a 4) x 4 2a 0
x
的取值范围.
，则原问题转化为
f ( ) 0 f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立 f ( ) 0
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f ( x) ax2 bx c(a 0) ，f ( x) 0 在区间 [ , ] 上恒成立问题： （2）当 a 0 时，f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立
（2）恒成立问题与二次函数联系：
【例2】若函数
不等式恒成立、不等式有解、不等式无解三者的辨析
不等式恒成立、不等式有解、不等式无解三者的辨析江苏省句容市实验高级中学 张烊在不等式的综合问题中，经常涉及到与不等式恒成立、不等式有解、不等式无解等方面的内容，这种类型的问题既涉及到不等式、函数、方程等知识的综合，也涉及到数形结合、等价转换等方面的数学思想的灵活运用，同时也是培养学生逻辑推理等数学素养的绝佳的素材,因此在历届高考命题中常常为命题专家所青睐.如何解决这类问题呢？下面试图从逻辑上的等价转换的角度给出这类问题一般解法. 1、不等式恒成立问题 这类问题可分两种情况(1)当目标函数()f x 有对应最值时(2)当目标函数()f x 无对应最值时但如果此时能求出()f x 的值域为(,)m n (m <n，m ，n 为实常数)，不难得：例1、已知函数2()log ,f t t t =∈ (1)求()f t 的值域G ;(2)若对于G 的所有实数x,不等式2221x mx m -++≤恒成立,求实数m 的取值范围.解：（1）利用()f t 的单调性可得()f t 的值域G =1[,3]2.(2)解法一:以222()22()2g x x mx m x m m m =-++=--++为目标函数,根据m 和区间1[,3]2关系,得2132()21m g m m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=+≤⎩或3(3)891m g m >⎧⎨=-≤⎩或1211()3124m g m ⎧<⎪⎪⎨⎪=-≤⎪⎩ 解以上三个不等式组分别得,m φ∈,或m φ∈,或512m ≤,故所求m 的范围为5(,]12-∞.解法二:由于1[,3]2x ∈,将,x m 进行分离,得2121x m x +≤+,以212()(1)211x g x x x x +==++-++为目标函数,令31[,4]2t x =+∈, 得2()()2g x h t tt ==+-,因为22222()10t h t t t-'=-=>,所以()h t 在3[,4]2上是增函数,故min min 35()()()226g x h t h m ===≥,得m 的范围为5(,]12-∞.例2、已知函数()(),(0)f x g x x a a ==+>,若不等式()()||1()f x ag x f x -≤,在[1,4]x ∈时恒成立，求a 的取值范围.解:将原不等式化简, ()()()()()||11102()()()f x ag x f x ag x ag x f x f x f x --≤⇔-≤≤⇔≤≤,即202≤≤,又因为[1,4],0x a ∈>,20>,2220ax a ≤⇔-≤,以2()h x ax a =-为目标函数,令t =,则22()()2,[1,2]h x t at t a t ϕ==-+∈,由于0a >,故()t ϕ的最大值在1t =或2t =处取得,即有22(1)020(2)0440a a a a ϕϕ≤⎧+-≤⎧⇔⎨⎨≤+-≤⎩⎩,又0a >,解得01)a <≤. 例3、已知{|2}x x kx R >=，则k 的 范围是 .解:将集合语言进行转换,即当x R ∈时,不等式2xkx >恒成立,不难想到用数形结合的方法求解,令()2,()x f x g x kx ==,作出这两个函数的图像(见图),由图知，()g x 在切线l 与x轴之间时（不含切线l ）不等式2xkx >恒成立，设切线l 的切点但如果此时能求出()f x 的值域为(,)m n (m <n ，m ，n 为实常数) 以下以()f x a >有解为例,来说明将问题进行等价转换,先考虑()f x a >无解时的情况,即()f x a ≤恒成立,①当()f x 有最大值时, ()f x a >无解⇔()f x a ≤恒成立⇔max ()f x a ≤，故()f x a >有解⇔max ()f x a >;②当()f x 无最大值时, 如果此时能求出()f x 的值域为(,)m n (m <n ，m ，n 为实常数)或者(,)n -∞( n 为实常数)，得()f x a >无解⇔()f x a ≤恒成立⇔n a ≤，故()f x a >有解⇔n a >一般可得以下两种情况(1)当目标函数()f x 有对应最值时(2)当目标函数()f x 无对应最值时但如果此时能求出()f x 的值域为(,)m n (m <n ，m ，n 为实常数)例4、若存在a ∈[1，3]，使得不等式ax 2+(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是 .解：分清主元和次元（即参数），令22()(2)2()22f a ax a x x x a x =+--=+--，则根据以上结论得max ()0g a >，由于()g a 是a ∈[1，3]上的一条线段，它的最大值在a =1或a =3处取得，由()g a 的图像知，(3)0g >或(1)0g >（也可按()g a 的单调性讨论得20(3)0x x g ⎧+≥⎨>⎩或20(1)0x x g ⎧+<⎨>⎩），解得x ∈{x |23x >或1x <-}.例5、设函数f （x ）＝sin x ＋cos x 和g （x ）＝2sin x cos x ．若存在x 0∈[0，π2]， 使 | a f （x ）－g （x ）－3|≥12 成立，求实数a 的取值范围．解：令sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[1，2]，| a f （x ）－g （x ）－3|＝| a （sin x ＋cos x ）－2sin x cos x －3|＝| t 2－at ＋2|≥12，t ∈[1，2]，由题意知不等式| t 2－at ＋2|≥12在t ∈[1，2]中有解.又| t 2－at ＋2|≥12⇔t 2－at ＋2≥12，或t 2－at ＋2≤－12,而t ∈[1，2],所以a ≤t ＋32t，或a≥t ＋52t 在t ∈[1，2]中有解.令3()2h t t t =+,5()2l t t t=+,则有max ()h t a ≥或min ()l t a ≤,不难求得max 5()2h t =,min ()l t =故有a ≤52，或a ≥942． 对以上三类问题的冷思考：(1)对所研究的不等式要做好等价化简和参数分离工作,尽量使所构造的目标函数简单(即尽可能不含参数),便于求最值或者求值域;(2)如所研究的不等式的两边是基本初等函数,通过构造两个函数,用图像求解也是行之有效的方法.。
恒成立与有解问题
学员编号： 年 级： 课 时 数：学员： 辅导科目： 数学 学科教师：授课类型恒成立与有解问题授课日期及时段 教学内容恒成立问题【知识梳理】函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.〔一〕恒成立问题基本类型1：先别离参数，再求函数的最值〔或值域〕假设不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于:在区间D 上, 函数()A x f >min假设不等式()A x f <在区间D 上恒成立,则等价于:在区间D 上, 函数()A x f <max例1：〔1〕设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，假设0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是______〔2〕不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____〔3〕a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围______方程、不等式有解问题〔存在性问题〕（一）关于方程的实数解的问题方程0)(=x f 有解的问题实际上是求函数)(x f y =零点的问题，判断方程0)(=x f 有几个解的问题实际上就是判断函数)(x f y =有几个零点的问题，这类问题通常有以下处理方法：一、直接法通过因式分解或求根公式直接求方程0)(=x f 的根，此法一般适合于含有一元二次〔三次〕的整式函数，或由此组合的分式函数。
例1函数⎩⎨⎧>+-≤-+=)0(ln 2)0(32)(2x xx x x x f 的零点个数为〔 〕 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二、图象法对于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程0)()(=-x g x f ，可以先转化为方程)()(x g x f =，再在同一坐标系中分别画出函数)(x f y =和)(x g y =的图象，两个图象交点的横坐标就是原函数的零点，有几个交点原函数就有几个零点。
不等式有解_方程有解_不等式恒成立的区别与联系
2 2 2x x－ a+2
解：（1）函数（f x）的定义域为（1，+∞）.f （′ x）=
2.
x－1
2 2 ①当 a+2 >1，即a>0时，f （x） 在 1，a+2 上单调递减，在
2
2
2 2 a+2 ，+∞ 上单调递增. 2
②当 a+2 ≤1，即a≤0时，（f x）在（1，+∞）上单调递增. 2
2 2 （2）由（1）知a≥1时，（f x）min=f
一、不等式有解问题
若不等式（f x）>k在区间D上能成立（有解）圳（f x）max>k； 若不等式（f x）<k在区间D上能成立（有解）圳（f x）min<k.
二、方程有解问题
若方程k=（f x）在区间D上有解圳k∈{y|y=（f x），x∈D}.
三、不等式恒成立问题
若不等式（f x）>k在区间D上恒成立圳（f x）min>k；
（f x）min
已知函数（f x）=lnx，g（x）= 1 ax2+bx 2
y=k 图1
（a≠0）.若b=2，且h（x）=（f x）－g（x）存在单调递减区间，求a的取值
范围.
解：当b=2时，h（x）=（f x）－g（x）=lnx－ 1 ax2－2x. 2
h（′ x）= 1 －ax－2=－ ax2+2x－1 .
－ ≤ － ≤ g（x1）=g（x2）成立，只需
m 16
<
1 2
m－2，即 m － 16
1 2
m－2<0.
－ ≤ 为此令h（m）= m － 1 m－2，则h（m）在［2，+∞）上是增函数. 16 2
函数恒成立存在性与有解问题
函数恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈Bx f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；例题讲解：题型一、常见方法1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。
恒成立问题与有解问题的区别
恒成立问题与有解问题的区别恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。
它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。
本文就恒成立与有解问题做一比较。
1、恒成立问题1.1恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f 例1、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.1.2恒成立问题与二次函数联系若二次函数y=ax 2+bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例2、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
“恒成立”问题的(2)
“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一 次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、 图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程 等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起 到了积极的作用. 因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型: ①一次函数型； ②二次函数型； ③指数、对数型； ④三角函数型；⑤数列型等。解法通常使用: ①函 数最值法；②变量分离法；③数形结合法.
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图 象的关系再处理。 4、通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒
成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使
变换主元法 3.变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些 问题时，若能适时的把主元变量和 参数变量进行“换位”思考，往往 会使问题降次、简化。
3. 变换主元法：
【例2】对任意 a [1,1] ，不等式 恒成立，求
解：令
x 2 (a 4) x 4 2a 0
x
的取值范围.
，则原问题转化为
C<0 Δ=b -4ac<0 ______________________。
2
a=b=0
a >0
ａ≥[f (x)] max ３、ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________; ａ≤[f (x)] min ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_____________。
变量分离法 2.变量分离法
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围 已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个 变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成 函数的最值问题求解.
不等式恒成立与存在解的异同
不等式恒成立与存在解的异同通过多年的高中数学教学，笔者发现高中数学中的不等式恒成立与存在解问题是高考的热点，本文主要介绍高中数学中的常见的不等式恒成立与存在解问题习题类型及其解题策略，希望对学生的学习起到一些帮助。
标签：不等式；恒成立；存在解；解题策略；参数在近年高考中，不等式恒成立与存在解问题题型多样，形式灵活，解决的关键是要联系函数的性质和图像，灵活应用数学思想方法去分析和转化问题。
这类问题往往会涉及到参数，其破解方法主要有：分离参数法、主参换位法、数形结合法、构造函数法等。
本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。
1恒成立问题的解题策略1.1分离参数法分离参数法是根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性质就可以解决问题。
点评：将此类问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有f（x）g（a）恒成立，则g（a）f（x）；若对于取值范围内的任一个数都有f（x）g（a）恒成立，则g（a）f（x）mx。
1.2主参换位法对于含参不等式的恒成立问题，如果参数是一次的不等式在参数某一范围内恒成立，求参数的取值范围，可将变元与参数换个位置，再利用其他知识，往往能取得意想不到的效果.点评：在不等式中出现了两个字母：x及p，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个则作为参数。
显然可将p视作自变量，则上述问题可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。
1.3数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图像、图形较易画出时，可通过图像、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例3 关于x的不等式4x-x2ax的解集为[0，4]，求实数的取值范围，解析：令f（x）=4x-x2，g（x）=ax，根据题意可知，当且仅当x在区间[0，4]上取值时，f（x）的图像恒在g（x）图像的上方（或重合），如图3所示：因为函数飞f（x）的图像是以点（2，0）为圆心，2为半径的位于x铀上方的半圆（含与铀的交点），易知f（x）的定义域恰好为[0，4]，而函数g（x）则是经过坐标原点，斜率为a的一条动直线，由图3可知，欲使得题意成立，则动直线的斜率应该小于或等于0，即实数a的取值范围是[-∞，0]。
浅析“有解”与“恒成立”问题
浅析“有解”与“恒成立”问题作者：邓卫和来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2014年第24期摘要：在近年的高考中经常出现“有解”与“恒成立”问题，许多同学混淆了这两个概念，在解题时出错。
现对这两个概念进行阐述：“有解”是指“至少有一个满足条件的值使式子成立，则称该问题有解”。
“恒成立”是指“在某一范围内所有的变量值都使该问题成立，则称该问题恒成立”。
本文现通过具体问题进行阐述。
关键词：“有解”;“恒成立”;例析中图分类号：G427文献标识码：A ; ; 文章编号：1992-7711（2014）24-125-1一、有解问题例1方程x2-a|x|+4=0在x∈[-2，2]上有解，求a的范围。
分析：方程x2-a|x|+4=0在x∈[-2，2]上有解，可能有一解，也可能有两解，讨论比较复杂。
可通过分离变量a，转化为求函数的值域来解。
解：x2-a|x|+4=0当x=0时，方程不成立，因此x≠0故方程两边同除以|x|得a=|x|+4|x|≥2|x|·4|x|=4（当且仅当|x|=2时取到“=”）此时x=±2∈[-2，2]，所以：当a≥4时该方程x2-a|x|+4=0在x∈[-2，2]上有解。
点评：本题通过“分离变量a”求值域，方法简单易行，在以后的学习中经常用到这一方法。
例2（2013重庆.理.16）若关于x的不等式|x-5|+|x+3|<a无解，则实数a的取值范围是。
分析：要使|x-5|+|x+3|<a无解，只要求|x-5|+|x+3|<a有解时实数a的范围，然后求a的补集即可。
要使|x-5|+|x+3|<a有解，则至少有一个或一个以上的x值使要|x-5|+|x+3|<a成立，因此，只要求a大于代数式|x-5|+|x+3|的最小值。
解：函数y=|x-5|+|x+3|=2-2xx≤-38-3<x<52x-2x≥5由此可知，该函数的值域为[8，+∞），因此：当a>8时，不等式|x-5|+|x+3|<a有解。
高中数学不等式恒成立与有解问题
高中数学不等式恒成立与有解问题不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容. 它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，随着中学数学引进导数，它为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具. 在近几年的高考试题中，涉及不等式恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。
其中，特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题，将新增内容与传统知识有机融合，用初等方法难以处理，而利用导数来解，思路明确，过程简捷流畅，淡化繁难的技巧，它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法，而且还考查极限、导数等新增内容的掌握和灵活运用. 它常与思想方法紧密结合，体现能力立意的原则，带有时代特征，突出了高考试题与时俱进的改革方向. 因此，越来越受到高考命题者的青睐. 下面通过一些典型实例作一剖析.1．不等式恒成立与有解的区别不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团.（1）不等式f(x)<k 在x ∈I 时恒成立•k•x f ,)(max <⇔x ∈I. 或f(x)的上界小于或等于k ；（2）不等式f(x)<k 在x ∈I 时有解•k•x f ,)(min <⇔x ∈I. 或f(x)的下界小于k ；（3）不等式f(x)>k 在x ∈I 时恒成立•k•x f ,)(min >⇔x ∈I. 或f(x)的下界大于或等于k ；（4）不等式f(x)>k 在x ∈I 时有解•k•x f ,)(max >⇔x ∈I. 或f(x)的上界大于k ；解决不等式恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等.例1 已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数.（1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；（2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；（3）对任意x 1x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)，求k 的取值范围.解析 （1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x 2-3x 2-12x+k ，问题转化为x ∈[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故h m in (x)≥0.令h′ (x)=6x 2-6x-12=0，得x= -1或2.由h(-1)=7+k ，h(2)=-20+k ，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h m in (x)=-45+k ，由k-45≥0，得k≥45.（2）据题意：存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x ∈[-3，3]有解，故h m ax (x)≥0，由（1）知h m ax （x ）=k+7，于是得k≥-7.（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x 1x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x 1，x 2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：]3,3[,)()(min max ••x •x g x f -∈≤，由g′(x)=6x 2+10x+4=0，得x=-32或-1，易得21)3()(min -=-=g x g ，又f(x)=8(x+1)2-8-k ，]3,3[•x -∈. 故.120)3()(max k f x f -==令120-k≤-21，得k≥141.点评 本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件2.不等式有解问题例3 设x=3是函数f(x)=(x 2+ax+b)e x -3,x ∈R 的一个极值点.(1)求a 与b 的关系（用a 表示b ），并求f(x)的的单调区间；（2）设a>0，g(x)=x e a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4252，若存在S 1，S 2∈[0，4]，使得|f(S 1)-g(S 2)|<1成立，求a 的取值范围.解析 （1）x e a b x a x x f --+-+-='32])2([)(，由)3(f '=0得b=-2a-3. 故f(x)=(x 2+ax-2a-3)x e -3. 因为)(x f '=-[x 2+(a-2)x-3a-3] x e -3=-(x-3)(x+a+1) x e -3. 由)(x f '=0得：x 1=3，x 2==-a-1. 由于x=3是f(x)的极值点，故x 1≠x 2，即a≠-4.当a<-4时，x 1<x 2，故f(x)在(]3,•∞-上为减函数，在[3，-a-1]上为增函数，在[)+∞--,1•a 上为减函数.当a>-4时，x 1>x 2，故f(x)在(]1,--∞-a •上为减函数，在[-a-1，3]上为增函数，在[)+∞,3•上为减函数.(2)由题意，存在S 1，S 2∈[0，4]，使得|f(S 1)-g(S 2)|<1成立，即不等式|f(S 1)-g(S 2)|<1在S 1，S 2∈[0，4]上有解.于是问题转化为|f(S 1)-g(S 2)|m in <1，由于两个不同自变量取值的任意性，因此首先要求出f(S 1)和g(S 2)在[0，4]上值域.因为a>0，则-a-1<0，由（1）知：f(x)在[0，3]递增；在[3，4]递减. 故f(x)在[0，4]上的值域为[min{f(0),f(4)},f(3)]=[-(2a+3)e 3,a+6]，而g(x)=x e a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4252在[0，4]上显然为增函数，其值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++422425,425e a •a . 因为4252+a -（a+6）=⎪⎭⎫ ⎝⎛-21a 2≥0, 故4252+a ≥(a+6).|f(S 1)-g(S 2)|m in =4252+a -(a+6)从而解230,01)6(4252<<⎪⎩⎪⎨⎧><+-+a ••••a a a 得. 故a 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0••. 假若问题变成：“对任意的S 1，S 2∈[0，4]，使得|f(S 1)-g(S 2)|<1都成立，求a 的取值范围.”则可将其转化为|f(S 1)-g(S 2)|m ax <1点评 函数、不等式、导数既是研究的对象，又是决问题的工具. 本题从函数的极值概念入手，借助导数求函数的单调区间，进而求出函数 闭区间上的值域，再处理不等式有解问题. 这里传统知识与现代方法交互作用，交相辉映，对考生灵活运用知识解决问题的能力是一个极好的考查.3．不等式恒成立问题例2 设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有x≥0，都有f(x)≥ax 成立，求实数a 的取值范围.解析 构作辅助函数g(x)=f(x)-ax=(x+1)ln(x+1)-ax ，原问题变为g(x)≥0对所有的 x≥0恒成立，注意到g(0)=0，故问题转化为g(x)≥g(0)在x≥0时恒成立，即函数g(x)在[)∞+••,0为增函数.于是可通过求导判断g(x)的单调性，再求出使g(x)≥g(0)成立的条件.g′(x)=l n(x+1)+1-a ，由g′(x)=0，得x=e1-a -1. 当x>e 1-a -1时，g′(x)>0，g(x)为增函数.当-1<x<e 1-a -1时，g′(x)<0，g(x)为减函数.那么对所有的x≥0，都有g(x)≥g(0)，其充要条件是e 1-a -1≤0，故得a 的取值范围是(]1,••∞-.假若我们没有注意到g(0)=0，那么在解g(x)≥0对所有的x≥0恒成立时，也可转化为)0(0)(min ≥≥x x g ，再以导数为工具，稍作讨论即可得解.值得一提的是，本题还有考生采用参数分离法求解：由f(x)=(x+1)ln(x+1)≥ax 对所有的x≥0恒成立可得：（1）当x=0时，a ∈R . （2）当x>0时，.)1ln()1(x x x a ++≤设g(x)=xx x )1ln()1(++,问题转化为求g(x)在开区间（0，+∞）上最小值或下界，2)1ln()(x x x x g +-='，试图通过g′(x)=0直接解得稳定点，困难重重！退一步令h(x)=x-ln(x+1)，因为0,111)(>+-='•x •x x h ，故)(x h '>0，则h(x)在（0，+∞）单调递增，即h(x)>h(0)=0，从而)(x g '>0，于是g(x)在（0，+∞）单调递增，故g(x)无最小值，此时，由于g(0)无意义，g(x)的下界一时也确定不了，但运用极限知识可得：)(lim )(0x g x g x →>，然而求此极限却又超出所学知识范围，于是大部分考生被此难关扫落下马，无果而终. 事实上采用洛比达法则可得：1]1)1[ln(lim )1ln()1(lim )(lim 000=++=++=→→→x xx x x g x x x ，故x>0时，g(x)>1，因而a≤1.综合（1）（2），得a 的取值范围是：(]1,••∞-. 点评 采用参数分离法求解本题，最大的难点在于求分离后所得函数的下界.它需要考生拥有扎实的综合素质和过硬的极限、导数知识，并能灵活地运用这些工具来研究函数的性态，包括函数的单调性，极值（最值）或上下界.突出考查了函数与方程思想、有限与无限的思想.。
不等式有解与恒成立问题
不等式恒成立与能成立问题学号 姓名不等式恒成立指不等式对指定其间上的任意值都成立；不等式能成立指不等式在指定其间上至少有一个解（或称有解）。
下面从三个例子针对这两类问题的解决策略作比较说明。
例1.（1）若不等式()350x a -+<在[]1,1x ∈-内恒成立，求实数a 的取值范围。
（2）．若不等式()350x a -+<在[]1,1x ∈-内能成立，求实数a 的取值范围。
例２．（１）若不等式22310x x m ++-≥在[]0,1x ∈内恒成立，求实数ｍ的取值范围． （２）若不等式22310x x m ++-≥在[]0,1x ∈有解，求实数ｍ的取值范围．例３．（１）若不等式245462x x a x -+≤+-在[]3,5x ∈内恒成立，求实数ａ的取值范围． （２）若不等式245462x x a x -+≤+-在[]3,5x ∈内有解，求实数ａ的取值范围。
总结：１．不等式恒成立与能成立（有解）解法策略比较：2.恒成立的参数范围是有解的参数范围的子集。
3. 不等式恒成立与能成立（有解）问题都是转化为最值解决。
作业：1.已知关于x 的不等式2350x a +-<。
（1）若此不等式对[]1,5x ∈上恒成立，求实数ａ的取值范围。
（2）若此不等式对[]1,5x ∈上能成立，求实数ａ的取值范围。
2.已知关于x 的不等式20x a +>。
（1）若此不等式对[]1,2x ∈上恒成立，求实数ａ的取值范围。
（2）若此不等式对[]1,2x ∈上能成立，求实数ａ的取值范围。
3. 已知关于x 的不等式2+2310x x a -+>。
（1）若此不等式对[]0,1x ∈上恒成立，求实数ａ的取值范围。
（2）若此不等式在[]0,1x ∈上有解，求实数ａ的取值范围。
4. 若不等式4213a x x +≤+-在[]0,1x ∈内有解，求实数ａ的取值范围。
恒成立问题与有解问题的区别(2)
解： (1)由x 4 mx，变形得x +mx+4<0 2 设函数f(x)=x +mx+4,由题意,有 f(x)max 0, x [1, 2]
2 2
所以，m的取值范围是（-∞，-5]。
1、分离参数法：即把不等式首先变形为如下形式：
函数最值的方法，使 问题获解。
例４、已知a>0，函数f (x)=ax-bx2， （1）当b>1，证明对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件是: b-1≤a≤2 ； b
(2)奇偶性：只是奇函数。
的图象和性质
y
(3)图象： 双勾(对勾),有两条渐近线。 (4)图象的对称性： 是中心对称图形，对称中心是原点(0,0) 。 (5)单调性： 增区间： (, a ),( a , )
o
x
( a ,0),(0, a ) 减区间：
例5、 求下列各函数在区间[2,4]上的最值。 2 2 5 2x 2x 5 2x 2x 5 x 1 (1) y x (2) y (3) y (4) y 2 x x x 1 2x 2x 5
h(3)=k-9，故 h (x) min =-45+k，由 k-45≥0，得 k≥45. （2）据题意：存在 x [-3，3]，使 f（x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0 在 x [-3，
3]有解，故 h (x)
max
≥0，由（1）知 h（x） max =k+7，于是得 k≥-7。
综上可知:适合条件的m的范围是:
3 -11<m < 。 2
不等式恒成立与有解问题
常用的 ，但 因为 问题形 式千变万化 ，考 题亦常考常新 ，因此在 备 考的各个阶段都应 渗透恒成立 问题 的教与学 ，在平 时的训练
中不断领悟和总结 ，从而促使学生 在解 决此类 问题 的能力上得 到改善和提高．
例 ２ 已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝ 一 ＋ｍ （ ｍ∈ Ｒ） ， ｇ （ ｘ ） ＝ ＋２ １ ｎ ．
不 等 式 恒 成 立 与 有解 问题
李 芬 （ 贵 州省都 匀市第一 中学）
有 关 不 等 式 恒 成 立 与 有 解 的 问 题 历 来 是 高 考 的 热 点 ，有 时
分 析 ： 注 意 到 本 题 是 存 在 ∈［ １ ，２ ］ ，４ ￣ ｆ（ ｘ ）≤ ｇ （ ｘ ） ， 解 析 ： 由ｆ（ ｘ ） ≤ｇ （ ｘ ） 得 ｍ≤
所以ｇ （ ｘ ） 在（ １ ，＋ ） 上也是减 函数 ，ｇ （ ｘ ） ＜ｇ （ １ ） ＝一 １ ． 当 ０≥ 一 １时 ， ｆ （ ｘ ） ＜ 在（ １ ，＋ ） 上恒成立．
【 点评 】本 题是 不等 式 的恒 成立 问题 ，也就 是说 对 于
（ １ ，＋ 。 。 ） 上 的任 意 一 个 值 ， 厂 （ ） ＜ 都 要 成 立 ；将 不 等 式恒 成 立 广 ，解题方 法灵活多样 ，技 巧性强 ，难度 大等特点 ，要求有 较 问题 转 化 成 求 函数 的 最 值 问题 ，利 用 导 数 ，我 们 可 以 更 广 泛 ， 强 的思 维灵 活性和创造性 、较高 的解题 能力 ，上述方法 是 比较 更深 入 地 研 究 函 数． 二 、 不等 式 有 解 问题
极 大 的挑 战．
解 析 ：因 为 ｆ （ Ｘ ） ＜ ，所 以 Ｉ ｎ —ａ ＜ 。 ．
又 ＞１ ，所 以 ＞ｘ ｌ ｎ 一 ．
04高三一轮复习-恒成立有解问题-教师版
恒成立有解问题1、知识点分布：恒成立与有解问题一直是高考数学的重要内容。
它是函数、不等式等知识点与分类讨论、数形结合等思想方法较为频繁的结合，在近几年的高考试题中，越来越受到命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，恒成立与有解题型分布于等式与不等式之中，并非不等式的“专利”。
等式不等式有解√☆☆√☆恒成立√√☆☆备注：“☆”越多代表在考题中越重要。
2、考纲考点分析：1.能够利用函数与不等式思想解决简单恒成立问题2.充分理解恒成立与有解问题区别、练习3、细节易错关注：1.有解问题和有几个解问题解决方法不同2.关注自变量的范围例1： 有解题型 1. 等式中“有解”题型1.等式中有解题型： 例题：① 已知方程220x x a -+=在x R ∈有解。
求实数a 的取值范围。
答案：a ≤1② 已知方程220x x a -+=在[]2,3x ∈有解。
求实数a 的取值范围。
答案：[-3,0]③ 已知不等式220x x a -+=在x R ∈有1个解。
求实数a 的取值范围。
答案：a=1④ 已知不等式220x x a -+=在[]2,3x ∈-有1个解。
求实数a 的取值范围。
答案：[-8,-3 )∪{1}⑤（2017延安中学周考）若关于x 的方程1936(5)0xx k k k +⋅-⋅+-=在[0,2]x ∈内总有两个不同的实数解，那么k 的取值范围是____________.答案：1582⎡⎫⎪⎢⎣⎭，2.不等式中有解题型：“有x ∈（a,b ）型：解题方法：分离变量→数形x ∈R 型：解题方法：△与0的关系x ∈R 型：解题方法：考虑△x ∈（a,b ）型：解题方法：分离变量→求最值例题：① 已知不等式220x x a -+≤在x R ∈有解。
求实数a 的取值范围。
答案：结合图像，换言之，图像在x 轴下面有，所以△≥0，a ≤1. ② 已知不等式220x x a -+≥在[]2,3x ∈有解。
求实数a 的取值范围。
浅析“有解”与“恒成立”问题
Ｂ
２
ｆ Ａ＝ ０ ｆ Ａ＝０￣ ｆ Ａ＝１
ｉ Ｂ ： ０ 或ｌ Ｂ ： １ ｉ ‘ 】 ３ ： ０ ‘
因此 满 足条 件 的 数 列 有 三 个 ，它们 的 前 ｎ 项 和分别为Ｓ ＝
Ｏ， Ｓ ＝ ｎ， Ｓ ＝ ｎ 。 故 其对
，
＝
所以， 当ａ ≥４ 时， 方 程ｘ 。 一 ａ ｌ ｘ ｌ ＋ ４ ＝ Ｏ 在ｘ ∈Ｅ － ２ ， ２ ３ 上 有解 ． 点评 ： 本题通过 “ 分离变量ａ ” 求值 域 ， 方法 简单易行 ， 在 以
后 的学 习 中经 常 遇 到 这 一 方 法 ． 例２ ： （ ２ ０ １ ３ 重庆． 理． １ ６ ） 若 关于Ｘ 的不 等式Ｉ ｘ 一 ５ Ｉ ＋ ｌ ｘ ＋ ３ Ｉ ＜ ａ 无 解。 则实数ａ 的 取 值 范 围 是 ． 分析 ： 要 使Ｉ ｘ 一 ５ １ ＋ ｌ ｘ ＋ ３ １ ＜ ａ 无解 ， 只要求Ｉ ｘ 一 ５ １ ＋ ｌ ｘ ＋ ３ １ ＜ ａ 有 解 时 实数ａ 的范围 ， 然 后 求ａ 的补集 即可． 要使 Ｉ ｘ 一 ５ １ ＋ ｌ ｘ ＋ ３ １ ＜ ａ 有解， 则 至 少 有 一 个 或 一 个 以上 的Ｘ 值使 要Ｉ ｘ 一 ５ １ ＋ ｌ ｘ ＋ ３ １ ＜ ａ 成 立 ， 因此 只 要求 ａ 大 于代 数 式 Ｉ ｘ 一 ５ １ ＋ １ ｘ ＋ ３ １ 的 最小 值．
ａ ＝ Ｉ ｘ ｌ ＋ Ｉ ≥２ 、 ／ ・ 二＝ ４ （ 当且仅当Ｉ ｘ ｌ ＝ ２ 时取到“ ＝ ” ） ， 此时
ｘ ｌ Ｖ Ｉ ｘ ｌ
＝ Ａ
厂—
ｘ ＝ ± ２ ∈［ 一 ２ ， ２ ］ ．
上式对一切正整数ｋ 恒成立的充要条件是｛ ２ Ａ Ｂ ＝ ０ ， 解之得
数学中的恒成立与有解问题
数学中的恒成立与有解问题一、恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()max f x B < 常用方法1、分离变量法；2、数形结合法；3、利用函数的性质;4、变更主元等;1、由二次函数的性质求参数的取值范围例题1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立，求实数a 的取值范围. 解题思路:结合二次函数的图象求解解析：当0a =时，不等式220x +>解集不为R ，故0a =不满足题意；当0a ≠时，要使原不等式解集为R ，只需202420a a >⎧⎨-⨯<⎩，解得12a >综上，所求实数a 的取值范围为1(,)2+∞2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围例题2:已知二次函数满足(0)1f =，而且(1)()2f x f x x +-=，请解决下列问题 （1） 求二次函数的解析式。
（2） 若()2f x x m >+在区间[1,1]-上恒成立 ,求m 的取值范围。
解题思路：先分离系数，再由二次函数最值确定取值范围。
解析：(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =，故2()1f x ax bx =++. ∵(1)()2f x f x x +-= ∴22(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++=即22ax a b x ++=，所以22,0a a b =+=，解得1,1a b ==- ∴2()1f x x x =-+ (2）由(1）知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立，即231m x x <-+在[1,1]-恒成立。
令2235()31()24g x x x x =-+=--，则()g x 在[1,1]-上单调递减。
_恒成立问题_与_有解问题_的区分及解题策略
例 9 设 a ∈ R ，函数 f ( x) = ax3 − 3 x 2 ，若函数
∵ −1 ≤ a ≤ 1 ， ∴| x1 − x2 |= a 2 + 8 ≤ 3 ．
1] 恒成立， 所以 m 2 + tm + 1 ≥ 3 对任意 t ∈ [−1， 此时
采用“分离参数法”，即先把参数（所求的那个字母） 分离出来，然后利用下列原理： a > f ( x) 有解 ⇔ a > f ( x) min ；
a < f ( x) 恒成立 ⇔ a < f ( x) min ．
例 2 若不等式 2 x − 1 > m ( x 2 − 1) 对满足 m ≤ 2 的
所有 m 都成立，求 x 的取值范围． 解析 “ x ”是参数， “ m ”是变量． 显然“ x ”不好分 离，所以选用“构造函数法” ． 所以对满足 m ≤ 2 的 m ， f ( m ) < 0 恒成立，
a < f ( x) 有解 ⇔ a < f ( x) max ； a = f ( x) 有解 ⇔ a ∈ f ( x) 值域． 2) 有解， 求实 例 3 已知方程 − x 2 + x + a = 0 在 (1 ，
变量只剩“ t ”，考察“ t ”的函数． 设 g (t ) = m 2 + tm − 2 = mt + (m 2 − 2) 是关于 t 的一 次函数， 观察一次函数图形知道 g(−1) = m2 −维品质． 其次，在解题后进行反思，归纳解题规律．通 过多题同解、一题多变，做到举一反三，触类旁通． 最后，思考解题中涉及到哪些知识要点和数学 思想方法，解题方法能否推广，解题过程有没有漏 洞，解题结果是否正确、合理？通过解题反思，巩 固所学的知识，重构自己的认知结构，从而发展思 维，提高探索能力，引发再创造． 数学教育家弗赖登塔尔认为：反思是数学创造 性思维的重要表现，它是一种高层次的数学创新活 动，是数学活动的动力，必须教育学生对自己的判 断与活动进行思考并加以证实，以便他们学会反 思．教学实践表明：反思是学好数学的关键之一．
恒成立问题与有解问题的区别(1)
f(p)min >0(x∈[-2,2])
\
即
ìïïíïïî xxfx(-p1)<11m0i或n =xf(2)>10或或xxìïïíïïî
x-1＞0 f(p)min =f(-2)>0
或
ìïïíïïî
x-1＝0 f(p)=0>0
a 的取值范围
解：当 a 0 时,不等式 2x 2 0 解集不为 R ,故 a 0 不满足
题意;
当 a 0 时,要使原不等式解集为 R ,只需 a 0
解得 a 1
22 4 2a 0
2
综上,所求实数 a 的取值范围为 (1 , )
2
五、二次形（相对于变量为二次的）
值范围为 (2,+∞) 。
(5) 存在x [2,+∞)使不等式x<a成立,则实数a的取
值范围为 (2,+∞) 。
(6)存在x (2 ,+∞]不等式x<a成立,则实数a的取值
范围为 (2,+∞)。
三、含参数的不等式的恒成立与有解的区别，但可以互相转化 恒成立和有解是有明显区别的，但可以互相转化。 以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团。
（4）不等式 f(x)>k 在 xI 时有解? f(x)max k•,•xI. 或 f(x)的上界大于 k；
例5、已知|p|≤2,(1)对所有实数p,求使不等式x2+ px+1>p+2x都成立的x的取值范围. (2)存在实数p,求 使不等式x2+px+1>p+2x成立的x的取值范围。
“恒成立问题”与“有解问题”的区分及解题策略
质，必然使所求范围扩大，从而揭示问题的隐蔽性 ． 反思 ３ 那什 么时候 可 以多 次应 用 同向不等 式相 加这 一性 质 呢？还 有其他 解 法 吗？
笔 者认 为解题 后 ，不能停 留在所 得 出 的结 论 上 ， 而 应把 对 象 的 本质 抽取 出来 ，再 进 一 步推 广 为 这 一 类对 象所 具有 的普通 属 性 ，提 高 思 维的广 阔性 ．
解得 ＜ ＜ ．
所 以 ｍ ＋ｔ ＞Ｘ 一 Ｉ 任 意 “∈Ａ 恒 成 ｍ＋１ ｌ 对
断 与 活 动 进 行 思 考 并 加 以证 实 ， 以便 他 们 学 会 反 思 ．教 学实 践表 明 ：反思 是学 好数 学 的关键 之一 ．
参考文献 【］ １严士 健等 ． 学课 程标 准 （ 数 实验 ）解读 ．南京 ：江 苏教 育出版 社 ，２０ ０４
［】 ２郑菊 萍 ．反思 性学 习简 论 ．上海 教育 科研 ，２ ０ （） ，４ ０２ ８ ３
过 多题 同解 、一 题 多变 ，做 到举一 反三 ，触 类旁 通 ．
最后 ，思 考解 题 中涉及 到 哪 些 知识 要 点 和 数学
反 思 ２ 为什 么 会 出现 这 样 的错 误 呢 ？ 原 因 是
“ 向不等 式 两边分 别相 加所 得不 等 式与原 不等 式 同 同 向” 一 性 质 是 单 向 的 ，用它 来 做 变 形 为 非 同解 变 这 形 ．以上解法 为 了求得 ａ，ｂ范 围 ，多次应 用这 一性
构造关于ｍ的一次函数 ＝ 一）（ １， （） Ｉ １ 一 一 ）
所以 对满足Ｉ ２ ｍ 的ｍ，ｆ ｍ ＜ 恒成立， ｌ （） ０
方法 １（ 分离参数法） ，即先把参数 （ 分离出来， 然后利用下面原理 ：ａ ｆ ｘ 恒成立 《 ａ 厂 一 ； ＞ （） ＝ ＞ （） ＞
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恒成立与有解1恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f例1、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.2恒成立问题与二次函数联系若二次函数y=ax 2+bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例2、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题。
解：设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a.ⅰ)当∆=4（a-1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x ∈[-1,+∞)，F(x) ≥0恒成立； ⅱ）当∆=4（a-1)(a+2) ≥0时由图可得以下充要条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆,1220)1(0a f 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥+≥+-,1030)2)(1(a a a a得-3≤a ≤-2;综合可得a 的取值范围为[-3，1]。
1.3恒成立问题与变量分离联系若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例3、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。
解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a 解得485a ≤<。
注：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。
一、构造函数、区间最值求解例1、设124()lg,3x xa f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。
分析：如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，则可转化为1240x x a ++>恒成立，即参数分离后212(22)4xx x x a --+>-=-+，(.1)x ∈-∞恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。
解：如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义1240x x a ⇔++>，对(,1)x ∈-∞恒成立.212(22)4xx x x a --+⇔>-=-+(.1)x ∈-∞恒成立。
令2x t -=，2()()g t t t =-+又(.1)x ∈-∞则1(,)2t ∈+∞()a g t ∴>对1(,)2t ∈+∞恒成立，又()g t 在1[,)2t ∈+∞上为减函数，max 13()()24t g ==-g ，34a ∴≥-。
例2、设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2(1)(2)f ax x f a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为212ax x a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。
解：()f x 是增函数2(1)(2)f ax x f a ∴--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立212ax x a ⇔--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立210x ax a ⇔++->对于任意[0,1]x ∈恒成立，令2()1g x x ax a =++-，[0,1]x ∈，所以原问题min ()0g x ⇔>，又min(0),0()(),2022,2g a a g x g a a >⎧⎪⎪=--≤≤⎨⎪ <-⎪⎩即2min1,0()1,2042,2a a ag x a a a - >⎧⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪ <-⎪⎩ 易求得1a <。
例3、 已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。
方法一）分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，本题必须由x 的范围（x ∈R ）来求另一变量a 的范围，故可考虑将a 及x 分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a 的取值范围。
解：原不等式4sinx+cos2x<-a+5⇔当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max -a+5>(4sinx+cos2x)⇔设f(x)=4sinx+cos2x 则22f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin x+4sinx+1=-2(sinx-1)+3 3≤ ∴-a+5>3a<2∴方法二）题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若采用换元法把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。
解：不等式a+cos2x<5-4sinx 可化为 a+1-2sin 2x<5-4sinx,令sinx=t,则t ∈[-1,1],∴不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立⇔2t 2-4t+4-a>0,t ∈[-1,1]恒成立。
设f(t)= 2t 2-4t+4-a ，显然f(x)在[-1，1]内单调递减，f(t)min =f(1)=2-a,∴2-a>0∴a<2二、数形结合 、特值探求例4、 设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
分析：在f(x)≥a 不等式中，若把a 移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。
解：设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a.ⅰ)当∆=（-2a ）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x ∈[-1,+∞)，F(x) ≥0恒成立；ⅱ）当∆=4（a-1)(a+2) ≥0时由图可得以下充要条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆,1220)1(0af 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥+≥+-,1030)2)(1(a a a a 得-3≤a ≤-2;综上所述：a 的取值范围为[-3，1]。
例5、当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围。
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a 的取值范围。
解：设T 1:()f x =2(1)x -,T 2:()log a g x x =,则T 1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x ∈(1,2),()f x <()g x 恒成立即T 1的图象一定要在T 2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只需(2)(2)g f >故log a 2>1,a>1,∴1<a ≤2.例6、已知关于x 的方程lg(x 2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a 的取值范围。
分析：原方程可化成lg(x 2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x 2+20x=8x-6a-3>0,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x 2+20x 与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可。
解：令T 1：y 1= x 2+20x=（x+10）2-100, T 2：y 2=8x-6a-3,则如图所示，T 1的图象为一抛物线，T 2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T 1和T 2在x 轴上有唯一交点，则直线必须位于l 1和l 2之间。
（包括l 1但不包括l 2)当直线为l 1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=6163-;当直线为l 2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=21-∴a 的范围为[6163-，21-）。
三、正难则反、逆向思维例7、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个变量：x 、P ,并且是给出了p 的范围要求x 的相应范围，直接从x 的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量，x 看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题。
解：原不等式可化为 (x-1)p+x 2-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p ∈[-2,2]上恒成立，故有：方法一：10(2)0x f -<⎧⎨>⎩或10(2)0x f ->⎧⎨->⎩∴x<-1或x>3.方法二：(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.四、直接推理、顺理成章例8、已知5()62x f x m m =-+的反函数1()f x -的图像过点（5，2），且在区间23(,)4+∞内恒有1()0f x -<，求1()f x -。