厄米算符本征函数的正交性

f
Fˆ nj Fˆ
Ajini
i 1
f
Aji Fˆni
i 1
f
Fn
Ajini
i 1
Fn nj
为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。
f
nj
Ajini
i 1
j 1,2,, f
方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。
c * d2 * Fˆ1 c d1 * Fˆ 2 c * d (Fˆ 2 )*1 c d (Fˆ1)* 2
c[ d1 * Fˆ 2 d (Fˆ1)* 2] c *[ d (Fˆ 2 )*1 d2 * Fˆ1]
令c = 1，得：
d1 * Fˆ 2 d (Fˆ1)* 2 d (Fˆ 2 )*1 d2 * Fˆ1
当
p
p
时，
对于动量的本征函数归一化为
p
(r)
p
(r)d
0
我们说：属于动量算符不同本征值的两个本征函数 p 和 p 相互正交。
一、定义
一般地，如果两个函数 1 和 2
12d 0
满足关系式
式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则称 1 和 2 相互正交。
二、属于不同本征值的情况
属于不同本征值的两个本征函数相互正交式是厄米算符的本征函数所共有的，就是 说，厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。
若力学量在经典力学中有对应的量则在直角坐标系下通过
F
来自百度文库
F (r ,
p)
如下对应 方式，改造为量子力学中的力学量算符：
r
rˆ
r
p
pˆ
i
F F(r,
p)
Fˆ
F (rˆ ,
pˆ )
若力学量是量子力学中特有的 (如宇称、自旋等），将由 量子力学 本身定义给出。
(II) 测量力学量F时所有可能出现的值 ，都对应于线性厄密算符 F的本征值 Fn （即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符 F的本征方程给出：
二式相 减 得：
(Fm Fn ) m *nd 0
(Fˆm )*nd m * Fˆnd Fn m *nd
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
若m≠Fn， 则必有：
m *nd 0
[证毕]
1. 分立谱正 交归一条 件分别为：
n *nd 1
m *nd 0
m *nd mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
c * d2 * Fˆ1 c d1 * Fˆ 2
式右 d (Fˆ )* d (Fˆ [1 c 2 ])*[1 c 2 ] d (Fˆ 1 )* 1 | c |2 d (Fˆ 2 )* 2
c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
[ d1 * Fˆ1]* | c |2 [ d2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 )*1 c d (Fˆ1)* 2
0
2 0
Ylm
(
,
)Ylm
(
,
)
sin
dd
ll
4.氢原子的波函数： nlm (r, , ) Rnl (r)Ylm ( , )
组成正交归一系
0
0
2 0
nlm
(
,
)Ynlm
(
,
)
s
in
dd
nn mm ll
附： 几个定理及证明
（一）厄密算符的平均值
定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平均值必为实数。
ff
nj * njd
Aji Aji ni *nid jj
i 1 i1
j, j 1,2,, f
证明分 如下两 步进行
1. Ψnj 是本征值 Fn 的本征函数。 2. 满足正交归一条件的 f 个新函数ψn j可以组成。
1. ψnj是本征值Fn的本征函数。
2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。
(Fˆk )l d k kl d
以 k 左乘两边，并对变量变化的全部区域积分，得
k (Fˆl )d l
kl
d
由厄米算符定义有 k(Fˆl )d (Fˆk )l d
则有 k k l d l kld
即
k l d 0
无论 Fˆ 的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理及证明都成立。
定理II：厄密算符的本征值必为实。
证 当体系处于 F 的本征态ψn 时，则每次测量结果都是 Fn 。 由 本征方程可以看出，在ψn（设已归一）态下
根据定理 I
F dn * Fˆ n Fn dn * n Fn
F
必 为 实 ， 所 以 Fn 是 实 数 。
（3）量子力学基本假定III
(I) 量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。
令c = i，得：
[ d1 * Fˆ 2 d (Fˆ1)* 2] [ d (Fˆ 2 )*1 d2 * Fˆ1]
二式相加得： d1 * Fˆ 2 d (Fˆ1 )* 2
二式相减得： d2 * Fˆ1 d (Fˆ 2 )*1
所得二式正是厄密算符的定义式， 故逆定理成立。实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须 是厄密算符。
左式=右式 d1 * Fˆ1 | c |2 d2 * Fˆ 2 c * d2 * Fˆ1 c d1 * Fˆ 2
[ d1 * Fˆ1]* | c |2 [ d2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 )*1 c d (Fˆ1)* 2
因为对任 意波函数
F F*
所以左右两边头两项相等相消，于是有：
（二）厄密算符的本征方程
（1）涨落
(F )2 (Fˆ F )2 *(Fˆ F )2d
证明：
Fˆ 因为是厄密算符 F 必为实数 因而 Fˆ F 也是厄密算符
厄密算符平方的平均值一定大于等于零
0 F 2 d * Fˆ 2 d (Fˆ )* Fˆ d | Fˆ |2
于是有：
(F )2 | Fˆ |2 d | (Fˆ F ) |2 d 0
① 分立谱：假定本征函数 k 已归一化： k l d 1
k l d
kl
1，当k l时， 0，当k l时。
② 连续谱：本征函数 k
可归一化为 函数，
③结论
d ( )
满足上述两式的函数 k 或 ，称为正交归一系。
三、属于相同本征值，即简并情况
如果 Fˆ 的一个本征值 n 是f度简并的，有f个本征函数：n1 ,n2 ,nf
§3.5 厄米算符本征函数的正交性
By Chang-Long Xia 2016.04.18
复习回顾：
• 定义：如果对于两任意函数 和 ，算符 Fˆ 满足下列等式 Fˆdx (Fˆ)dx
则称 Fˆ 为厄米算符。
（式中x代表所有变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。）
性质： ①厄米算符的平均值都是实数 ②平均值为实数的算符必为厄米算符。 ③厄米算符的本征值必为实数。
*d ( )
3. 正交归一系
满足上式的函数系 φn 或φλ 称为正交归一（函数）系。
（4）简并情况
上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设
这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。
如果 F 的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn有f个本征函数：φn1 ,φn2 , ..., φnf
满足本征方程：
ff
nj * njd
Aji Aji ni *nid jj
i1 i1
j, j 1,2,, f
因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0，
算符 F 本征值 Fn简并的本质是： 当 Fn 确定后还不能唯一的确定状 态，要想唯一的确定状态还得寻找 另外一个或几个力学量算符，F 算 符与这些算符两两对易，其本征值 与 Fn 一起共同确定状态。
Fˆn Fnn
n 1,2,
（三）厄密算符的本征函数的正交性
（1）正交性 定理III： 厄密算符属于不同本征值 的本征函数彼此正交
证： 设 Fˆn Fnn
Fˆm Fmm并设积分 n *nd 存在
两边右乘 φn 后积分
(Fˆm )* Fmm * 取复共轭，并注意到 Fm 为实。
(Fˆm)*nd Fm m *nd
例子
2x2
1.线性谐征子的能量本征函数： n Nne 2 H n (x)
组成正交归一系
N n N n
e 2x2 H n (x)H n (x)dx nn
2.角动量算符 Lˆ z 的本征函数 m
1 eim
2
m 0,1,2
组成正交归一系
2 0
m
(
)
m
(
)d
mm
3. Lˆ z 与 Lˆ2 的共同本征函数组成正交归一系
设 1,2 ,n , 是厄米算符 Fˆ 的本征函数，它们所属的本征值
1, 2 ,n , 都不相等，证明当 k l 时有 k l d 0 证明：已知 Fˆk kk Fˆl ll
当
k l 时 k l
因为 Fˆ 是厄米算符，它的本征值都是实数，即 k k
共厄复式为 (Fˆk ) kk
以 l 右乘两边，并对变量变化的全部区域积分，得
则上面的证明不能使用，一般说来，这些函数并不一定正交。但可用
f 2 个常数 Aji 把这f个函数线性组合成f个新函数 nj
f
nj Ajini , j 1,2,, f i 1
使得这些新函数 nj 相互正交，显然，nj 仍是 Fˆ 属于本征值 n
的本征函数：
f
Fˆnj Aji Fˆni n Ajini n nj , i 1
Fˆni Fnni
i 1,2,, f
一般说来，这些函数 并不一定正交。
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数， 它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
f
nj
Ajini
i 1
可以满足正交归一化条件：
j 1,2,, f
可把常数记为Fn，把状态 记为ψn，于是得：
（2）力学量的本征方程
(Fˆ F ) 0
若体系处于一种特殊状态， 在此状态下测量F所得结果 是唯一确定的，即：
则称这种
(F )2 0 状态为力 学量 F 的 本征态。
或
Fˆn Fnn
Fˆ 常数
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态，上式即是算符F的本征方程。求解时， ψ 作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。
所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我 们有多种可能来确定这 f 2 个系数使上式成立。f 个 新函数Ψnj 的确是算符 F 对应于本征值 Fn 的正交 归一化的本征函数。
综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时， 都是正交归一化的，即组成正交归一系。
证： F d * Fˆ
逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。
d (Fˆ )*
证：
根据假定在任意态下有：
[ d * Fˆ ]*
F*
F F* 即
d * Fˆ d (Fˆ )*
取ψ=ψ1+cψ2 ，其中 ψ1 、ψ2 也是任意态的波函数，c 是任意常数。
式左 d * Fˆ d (1 c 2 )* Fˆ (1 c 2 ) d1 * Fˆ1 | c |2 d2 * Fˆ 2