厄米算符本征函数的正交性
3.5厄米算符本征函数的正交性
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数 它们仍属于本征值 个独立的新函数,它们仍属于本征值 它们仍属于本征值λn 且满足正交归一化条件。 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
ψnj = ∑ Ajiφni
i =1
f
j = 1,2,L, f
(3.5-12） ）
可以满足正交归一化条件： 可以满足正交归一化条件：
∫ψ
nj
*ψnj′dτ = ∑∑ Aji Aj′i′ ∫ φni *φni′dτ = δ jj′
i =1 i′=1
f
f
j, j′ = 1,2,L, f
(3.5-13） ）
证明分如下 两步进行
的本征函数。 1. Ψnj 是本征值 Fn 的本征函数。 个新函数ψ 2. 满足正交归一条件的 f 个新函数ψn 可以组成。 可以组成。
综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函 都是正交归一化的，即组成正交归一系。
实例
（1）动量本征函数组成正交归一系
∞
∫
−∞
r r r r r ( r ) dτ = δ ( p − p′) ψ (r )ψ p
* r p′
（2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
简并情况
上面证明厄密算符本征函数的正交 性时，曾假设 这些本征函数属于不 同本征值，即非简并情况。
满足本征方程： 满足本征方程：
如果 F 的本征值λn是f度简并的，则对应λn 有f个本征函数： φn1 ,φn2 , ..., φnf
ˆ Fφni = λnφni
厄米算符本征函数的正交性
3.4 厄米算符本征函数的正交性 力学量算符本征值，本征函数,厄米算符 现讨论厄米算符的本征函数的基本性质，正交性 动量算符的本征函数pψ本征值为p32*1()(2)()i p rp p p r ce c d p p ψπψψτδ⋅'=='=-⎰*0p p p pd ψψτ''≠=⎰属于动量算符不同本征值的两个本征函数,p p ψψ'相互正交 厄米算符的特点：本征函数正交 证明：设力学量算符ˆF， 本征值 123,,,n λλλλ 本征函数 123,,,n φφφφ取属于不同本征值的任意两个本征波函数波函数k l λλ≠因为k lλλ≠所以 *0k l d φφτ=⎰以上证明过程对分立谱，连续谱都成立但注意：对分立谱k λ组成分立谱，波函数k φ已归一*1k kd φφτ=⎰由以上两式*k lkl d φφτδ=⎰ 其中1,0,kl k l k l δ=⎧=⎨≠⎩对连续谱λ 组成分立谱，波函数λφ归一为δ函数*()d λλφφτδλλ''=-⎰满足以上两式的函数系，称为正交归一系。
以上无简并情况简并情况---〉同一本征值对应多个波函数（状态）如力学量算符ˆF的一个本征值n λ是f度简并此处多讲！一般来说以上这些函数在满足本征方程外，还有更大的自由，所以并不一定相互正交 但我们总可以用个2f 常数,,1,2,,ij A i j f=把以上f个函数ni φ线性组合成f个新函数ni ψ相互正交上结论能否成立，关键是能否找到2f 个常数i j A ，使组成的新函数n i ψ满足正交归一即*n j n j j j d ψψτδ''=⎰即f 个新函数n i ψ相互组合，共有22(1)222ff f f f C -==-个类似以上的方程且''0j j j j δ≠=由归一性*11,2,,n j n j d j fψψτ==⎰ 共f个找到2f 个常数i j A ，使组成的新函数n i ψ 满足正交归一受限制方程数2222222ff f f N f f C f -=+=+=+ 系数i j A 有2f 个 ，大于方程的个数N ，所以总可以找到2f 个系数i j A 组成f个新函数n i ψ满足正交性且新函数是力学量ˆF的本征函数，本征值为n λ 即例：力学量算符ˆF某本征值λ2度简并本征函数1,2φφ本征值为λ设正交归一的波函数11111222211222c c c c ϕφφϕφφ=+=+由正交归一***1211220,1,1d d d ϕϕτϕϕτϕϕτ===⎰⎰⎰已作过的几个厄米算符的本征函数线性谐振子，能量算符222(1)(),2a x n n n n n n N eH ax E ψω-+== 角动量ˆzL20,0,1,2,()()im m m m mm e m m ϕππφφϕφϕδ''==±±=⎰角动量平方22,(,)(cos ),(1),(21)m im lm lm l L Y N P e l l l ϕθϕθ=++ 氢原子能量22222121212222222222s R s rZe H r r Ze H rM μμμ=-∇-∇----∇∇=- 内部运动能量波函数 3.5 算符与力学的关系 力学量 算符表示算符 厄米算符本征值方程 本征值、本征函数如果算符 F 表示力学量 F ，那么体系处于算符F 的本征态φ时，力学量F 有确定的值，这个值就是算符F 在φ态的本征值λ一般情况，体系并不在本征函数所描述的态上，而是一个任意的态ψ上 ？有确定值吗？ 测量该力学量得什么？ 波函数能给出给力学量的什么信息？态的叠加 假设体系处于1()r ψ，测量某力学量A,得1a假设体系处于2()r ψ，测量某力学量A,得2a则1122c c ψψψ=+也是体系的可能状态 （c 为任意复数）称1122c c ψψψ=+是 1()r ψ 和2()r ψ的叠加态在该态上测量力学量A 有时出现1a 有时出现2a出现的几率分别为 21c 22c力学量A 的平均值是：数学上已知证明 如ˆF是满足一定条件的厄米算符，它的正交归一本征函数nφ对应本值n λ，则任一函数可按n φ展开 式中ic 与x 无关，本征函数n φ的这种性质称完全性，即组成完全系其他例子：矢量表示r xi y j zk =++函数的级数展开00()0vs v f b b νρρ∞+==≠∑函数的三角函数展开()sin()n n f x A nx ∞==∑系数n c 如何求？***()m m n n nn m n n mn mnnx dx c dxc dx c c φψφφφφδ====∑⎰⎰∑∑⎰即*()m m c x dx φψ=⎰系数n c 的平方和等于 1 系数n c 物理意义？ 数学上n c 时含有n φ的大小物理上含有量子态份额的多少，2nc 是测量力学量ˆF得nλ的几率力学量与算符关系的一个基本假定表示力学量的算符ˆF都是厄米算符，它们的本征函数n φ组成完全系，当体系处于波函数()x ψ所描写的状态时，测量力学量F 所得的数值，必定是算符ˆF的本征值之一，测得的几率是2nc .正确性，由整个理论与实验结果符合而得到验证 由以上假定，力学量平均值2*n nnF c F F dx λψψ→==∑⎰证明*********2**()()()()m m n n mnm n m n m n m n n mnmnm n n m n m n n mnmnmnn n nF dx c F c dxc c F dx c c dx c c dx c c c FF x dx F x dxψψφφφφφλφλφφλδλψψψψ========∑∑⎰⎰∑∑⎰⎰∑∑⎰∑⎰⎰对含连续谱情况 ()()()n n nx c x c x d λλψφφλ=+∑⎰其中*()()c x x dx λλφψ=⎰由22*()()11nnx x dx cc d λψψλ=→+=∑⎰⎰对连续部分对含连续谱情况下2c d λλ是什么意义 是测力学量F 得值在范围d λλλ→+内的几率 平均值22n nn n nF c F c d λλλ=→=∑⎰*F Fdx ψψ=⎰有分立，连续22*n n n nF c c d F dx λλλψψ=+=∑⎰⎰例：求氢原子处于基态时，电子动量的几率分布分析基态1001()r a r eψ-=给出了随 r 的分积布,几率密度2100ψ按动量算符的本征函数展开，系数cλ 即为动量分布其中动量本征函数321()(2)i p r p r eψπ⋅=微元2sin d r drd d τθθϕ=orxyzpθ2322cos 2302201cos 23cos 12211sin (2)1sin (2)12cos (2)or i p r a p r ipr a r r ipr a r o c er drd d eer d d dra eer drd a ππθθϕθθθθϕπθθϕππθπ--⋅-∞-===-∞--===⋅==-⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰2323232222202[]/[](2)(2)2[](2)r i i pr pr a r o ri i pr pr a o r air ee epr dra a i reeedr a p a pπππ-∞-=-∞-==⋅--=-=⎡⎤+⎣⎦⎰⎰0032011()()320002[](2)2[00]11(2)()()ri i pr pr a r i i p r p r a a r r i ree e dra pi ee dr dri i a pp p a a ππ-∞-=-+--∞∞===-=--+-+--⎰⎰⎰0011()()0322200032220002[]11(2)()()211[]11(2)()()ii p r p r a a r i e e i i a p p p a a i i i a p p p a a ππ-+--∞=-=++--=++-322200000203222000222000322222003220003222222222000211[](2)()()2()11[]()()(2)2()()()()(2)2()4(2)()()(2)i ia p ia p a p a a i a ia p ia p a p i a ia p ia p a p a pi a i a p a a p a p a p πππππ+=++-+=++---+=+-==++()p c p 是p p=的函数，动量的几率密度352422228()o p a p c a p ωπ==⎡⎤+⎣⎦当氢原子处基态时，电子动量的绝对值在范围p p dp →+内的几率积分时利用公式224(1)32x dx x π∞=+⎰。
3.5厄密算符本征函数的正交性
ˆ )* d * d ( F k k l k l ˆ )d * d * (F
k
l
l
k
l
厄密算符定义:
* ˆ ˆ )* d ( F ) d ( F k l k l * * k k l d l k l d * 即 : (k l ) k l d 0 * k l : k l d 0
|m|
im
0
2
0
Y Y
* lm l m
sin d d ll mm
4/9
第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
§3.5 厄密算符本征函数的正交性
(4),氢原子的本征函数组成正交归一系
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
函数系φk或φλ构成正交归一系. [例](1),线性谐振子能量本征函数构成正交归一系
n ( x) Nne
Nn Nn e
2 x2
1 2 x2 2
H n ( x)
H n ( x) H n ( x)dx nn
3/9
第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
第三章 量子力学中的力学量
8/9
Quantum mechanics
本章目录
§3.5 厄密算符本征函数的正交性 Orthogonality of Hermitian operator eigenfunction §3.6 算符与力学量的关系 Relations of operator & mechanical quantity §3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 Commutation relation of operator Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation §3.8 力学量平均值随时间的变化守恒定律 Changing of average value of mechanical quantities with time Law of conservation
高二物理竞赛课件：厄密算符本征函数的正交性
ll
3.5-17
两式合并得
0
2
0
Ylm
, Ylm
, sindd
ll mm
（3）氢原子波函数
nlmr, , Rnl rYlm ,
组成正交归一系
3.5-18
r0
0
2
0 nlm
r, , nlm
r, ,
r 2 sindrdd
nn
跟3.5-18合并
r0
a03
代入得
cp
2
1 2a0
3 2
2
00
1
e
r a0
e
i
pr
cos
r
2
d
rdd
c
os
1
2
2a0
3 2
1
e
r a0
e
i
pr
cos
r
2
drd
cos
0 1
c p
p
2i 2a0
3 2
re
r a0
(e
i
pr
e
i
pr
)dr
0
2a0 32 a02 p2 2
2
此式仅与p的大小有关，与其方向无关。动量几率密度为
f
f
Fˆ nj Aji Fˆni n A ji ni n nj
i 1
i 1
举例：(1) 线性谐振子能量本征函数
n ( x) N ne 2x2 / 2 H n ( x)
组成正交归一系
Nn Nn
e 2x2
/
2
Hn
(
x ) H n
(
x)dx
nn
3.5-14
白痴物理学——量子力学、厄米算符本征函数的正交性
白痴物理学——量子力学——厄米算符本征函数的正交性厄米算符具有本征值和本征函数。
厄米算符的本征函数具有正交性这个基本性质。
1、什么是厄米算符？满足下面这个条件的就是厄米算符ττvd Fu vd F u **)(⎰⎰∧∧≡。
注：u 是一个函数v 是另一个函数*表示共轭符号，具体来说，就是在虚数单位i 前面加上—（负号，读作fu4声）。
虚数就是带有单位i 的数。
i 的平方等于-1（实数负一）。
如i 的共轭为-i 。
如P= -（ih ▽）/（2π）。
则*P =（ih ▽）/（2π）。
d 表示求微分τ（读作套）表示一个非常小的体积，理解为体积元，说白了就是一个极小的体积。
具体问题里是包裹着某个特定点的空间。
⎰表示积分，通常与d 搭配使用，也可以单独使用。
一般这样表示：“⎰Adx ”。
式子中A 是某个函数，dx 表示函数分成x 份，⎰表示将这个函数分成x 份后，再将这x 份加起来。
ττvd Fu vd F u **)(⎰⎰∧∧≡这个厄米算符不好记忆，可以这么理解。
小三（指的是u ）拿着一把刀（用*表示），闯进了夫妻（∧F 和v ）的家里（家指的是⎰d τ，⎰和d τ中间是空的 ），要夫妻（∧F 和v ）俩离婚，结果丈夫（∧F ）就和小三（u ）在一起了（“（∧F u ）”），并且拿着小三u 的刀（*），变成*)(∧Fu ，一起来对付自己的老婆（v ）。
2什么叫本征值？什么叫本征函数量子力学中若λϕϕ=∧F则称λ为本征值，ψ叫做本征函数。
注：∧F 是一张算符。
算符是将一种函数变成另一种函数的对应关系。
类似于函数，但函数是建立因变量和自变量的关系。
原理类似，作用对象不同，大同小异而已。
如医生之于兽医。
ψ是某个函数。
λ是本征值，一般来说，是一个数。
可以使实数，可以是虚数。
3、什么是正交性。
正交性是厄米算符的一种基本性质。
有什么用，我也不知道，就是量子力学这门游戏的玩法。
动量算符的不同本征值的两个本征函数ψ1和ψ2相互正交（记下来）。
量子力学算符本征函数正交归一性的探索
教改聚焦2014-06在量子力学中，表示力学量的算符必定都是厄密算符。
厄密算符对应的本征函数具有正交归一性，但在部分教材中没有给出详细的证明过程，给学习者研读带来困难。
在此，本人对一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算H 角动量平方算符L 的本征函数正交归一性证明如下，仅供学习量子力学者参考。
一、一维无限深势阱哈密顿算H 征函数的正交归一性任取两个一维无限深势阱哈密顿算符的本征函数[1]：则有：淤当m=n 时，上式为：即有，也就是一维无限深势阱哈密顿算H 本征函数具有正交归一性。
二、线性谐振子哈密顿算H 征函数的正交归一性线性谐振子哈密顿算H本征函数为[2]：其中任取两个函数和，令，所以，则有：上式第一项为，且最高次项的系数为2014-06教改聚焦当m ≥0时，；当m =0时，为关联勒让德函数：关联勒让德函数的正交性无法直接证明，在此，我们任取两个本征函数进行验证。
1.验证的正交性所以是相互正交的。
2.验证归一性至此，我们证明或验证了一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算H 角动量平方算L 2的本征函数的正交归一性。
参考文献：［1］陈鄂生.量子力学教程.山东大学出版社，2002-05.［2］周世勋.量子力学.高等教育出版社，1979-02.［3］大卫·J ·格里菲斯.量子力学概论.贾瑜，胡行，李玉晓，译.机械工业出版社，2013-03.（作者单位毕节职业技术学院）•编辑张珍珍语文在人际交往中有着特殊的作用，它是其他学科所替代不了的，同时也是工具性和人文性相结合的一门最基本的学科。
当前的语文教学以培养学生的实践能力为最终的目标，需要将所学的知识与实际生活更好地融合在一起来满足社会的需要。
一、在书写方面强化训练，促进学生逻辑思维的培养，为实践能力的提升提供条件在语文教学中，对学生的写字不仅要求美观，更深层次上是让学生有一个良好的学习习惯。
因为在书写的过程中可以不断培养学生的逻辑思维。
例如，在教学《荷塘夜色》时，其中包含很多优美的句子，教师可以要求学生对其进行仿写，在这个过程中可以进行创新。
35厄米算符本征函数的正交性
•
p
r
p'
r d
p
p ;
p
r
1
ei
p•r
3
2 2
一．两函数正交定义：如果两函数 1, 2 满足关系式
• 1
2d
0
，（3.5.1）
则称 1 和 2 相互正交。
二．定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数相 互正交。
设算符 Fˆ 是厄米算符，1,1,n 是它的本征函数，
（3.5.11）
如果 Fˆ 的本征值是f度兼并的的，属于它的本征
函数有f个： n1 ,n2 ,,nf ,
Fˆni nni ,i 1,2,, f ,
则上面的证明对于这些函数不适用，一般来说，这些
函数不一定相互正交，但是我们总可以用 f 2 个常数
Aji 把这f个函数线性组合成f个新函数 nj ：
的有
2
f f 1 ，
而系数 Aji 共有 f 2 个，当f>1时，
2
f
2
ff
1 ，
即待定系数 A ji
的数目大于方程的个数，
2
所以有许多种方法选择 Aji ，使得函数 nj 满足正
交归一化条件，显然 nj 仍是 Fˆ 的本征值 n 的本
征函数：
Fˆ nj Aji Fˆni n A ji ni n nj
上式右乘 l ，并积分，得
(Fˆk )•l d k k•l d
（3.5.6）
再以
• k
左乘（3.5.4）式，在积分，得
k • (Fˆl )d l k•l d
（3.5.7）
由厄米算符定义有， k • (Fˆl )d (FˆK )•l d
厄米算符
厄米算符量子力学中，可以观测的物理量要用厄米算符来表示。
算符的厄米性不仅对算符有了很大的限制，而且对波函数也有一些限制。
文章将首先介绍一下厄米算符的定义、性质以及与经典的对应，接着重点探讨一下算符的厄米性对波函数的限制。
1.厄米算符的定义及性质量子力学中的力学量用算符来表示，而实验上的可观测的物理量用厄米算符来表示。
因此，要弄清物理量的特点，研究厄米算符的性质就显得尤为重要。
此外，在很多量子力学教材中，算符的厄米性通常被认为主要是对算符的限制[1]，而很少关注或说明算符的厄米性对波函数的限制，甚至有很多不准确的表述（后文将细述）。
其实，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件。
厄米算符具有一些重要的性质：（1）在任何状态下，厄米算符的本征值必为实数；（2）在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符；（3）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交;（4）厄米算符的本征函数具有完备性。
2.量子力学中力学量用厄米算符来描述量子体系中的可观测量（力学量）用线性厄米算符来描述是量子力学的一个基本假设，其正确性应该由实验来判定。
“量子体系中的力学量用相应的线性厄米算符来描述”具有多方面的含义：其一，算符的线性是状态叠加原理所要求的；其二，实验上的可观测的力学量总是实数，力学量相应的算符必须是厄米算符；实际上，这种要求是有些过分了，即使某个力学量的算符不是厄米算符，只要它的本征值是实数即可，但是这样做的结果会使本征矢变成超完备的，以致不便于使用[2]。
其三，量子力学里测量值通常不是唯一确定的值，而是具有一定概率分布的一系列的值，这些测量值的平均值可用（ψ 已经归一化）来表示；其四，力学量之间的关系也可通过相应算符之间的关系（如对易关系）来反映出来。
基于以上三点，量子力学中的力学量用厄米算符来描述。
3.厄米算符与经典的对应我们知道算符的性质可用矩阵来表示，那么厄米算符对应怎样的矩阵呢？从厄米算符是定义出发：但是需要指出的是，以线性厄米算符表示力学量扩充了量子力学中力学量的范围，除了有经典的对应的力学量外，即使经典物理中没有相应的力学量，但只要是线性厄米算符，在微观世界中有意义，诸如宇称、自旋、同位旋等，也都是力学量[3]。
§4.9厄密算符的基本性质
§4.9厄密算符的基本性质一、厄密算符设u 和v 是任意两个函数，如果算符F ∧满足**()u F vdx F u vdx ∧∧=⎰⎰，式中x 代表u和v 的所有变数，积分是在所有变数的全部区域进行的，则称算符F ∧为厄密算符或自轭算符。
我们前面已讨论过的坐标算符、动量算符和 能量算符都是厄密算符 例：证明动量算符x p i x∂=-∂是厄密算符 证明：***()x u p vdx u ivdx i u vdx xx∧+∞+∞+∞-∞-∞-∞∂∂=-=-∂∂⎰⎰⎰**** =[()]=|i u v dx u vdx x xi u v i u vdx x+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞∂∂--∂∂∂-+∂⎰⎰⎰因为u 和v 都是满足波函数标准条件的波函数，它们在无穷远处的边界应为0，上式右边第一项为0，而第二项可写为**()()x iu vdx p u vdx x+∞+∞-∞-∞∂-=∂⎰⎰，所以有**()x x u p vdx p u vdx ∧+∞+∞-∞-∞=⎰⎰故动量算符x p 是厄密算符二. 厄密算符的性质1. 厄密算符的本征值都是实数，表示为*λλ=证明：设F 为厄密算符，λ表示它的的本征值，u 表示对应的本征函数，即：Fu u λ=由厄密算符的定义式可得：**()u F udx F u udx ∧∧=⎰⎰⇒**()u udx u udx λλ=⎰⎰，即***u udx u udx λλ=⎰⎰由此得：*λλ=即λ是实数。
2. 厄密算符的本征值代表力学量的确定值表示力学量的算符的本征值是测量该力学量可能得到的数值，这些数值必须是实数，因此表示力学量的算符必须是厄密算符。
根据波函数应满足态叠加原理的要求，表示力学量的算符还必须是线性的，因此表示力学量的算符应是线性厄密算符。
那么体系处于什么状态时，力学量具有确定的数值呢?设体系处于波函数(,)r t ψ所描写的状态。
测量力学量为F ，它是一个线性厄密算符。
厄米算符的本征值和本征函数
d r
*
（3.3.1）
*
它具有下述性质：
iii
i
2
dr 0
（3.3.2）
ii
若 C 1 、 2 为常数 C
C 1 1 C 2 2 C 1 1 C 2 2
1 O
2
O 1
2
2
2
O 1 O
1
因此， 必为厄米算符。得证。 O
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
性质④ 的证明：
O O
n
O n O m
n
m
m
且 O n O m ( m n ) ，因为 O 是厄米算符，它的本征函数 * O 是实数， m O m 。本征方程的共轭方程为
O
* *
m
O m
Om
*
m
由
O
m
n
m
n
的厄米性质，O m n 及O
m
O
n
，及
m O n On m n
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
得
(O m O n )
m
n 0
又因 O n O m
得
m n 0
对 1 和 2 作变换，令
1 1e
ia
,
2
2e
ib
（ a , b 为任意实数）
代入（3）式后得
e
i (b a )
11厄米算符的本征问题 坐标算符和动量算符
再利用 2 的归一化条件，得 取 c22 1/ 3
c22 1/ 3
于是
1 1/ 2u1 1/ 2u2 2 1/ 2u1 1/ 2u2
三、厄米算符本征函数的完备性
波函数是描述体系所处状态的，由全部波函数和零函数构成的 空间称为态空间。每一个波函数都是态空间中的一个元素，也称为 态矢量。
线性厄米算符的作用就是把态空间的一个元素变成另一个元素。 线性厄米算符的本征函数构成一个正交归一的函数系，简记 为 n (r ) ，它可以作为态空间中的一组基底。 (r , t ) 总可以向正交归一的基底 态空间中的任意一个态矢量 n (r ) 作展开，即 (r , t ) cn (t ) n (r )
px , py , pz (, )
方程的解
或
(r )
p
1 ipr / e 3/ 2 (2)
规格化
* (r ) p (r )d ( p p) p
n 1, 2,3,
1．讨论无简并的情况
定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。 ˆ ˆ 证明： A ( x) a ( x) A ( x) a ( x) a a
m m m
n
n
n
m
n
一方面
另一方面
* ˆ * m A n d an m n d
* n (r ) n (r ) (r r ) n
所以
此即本征函数的封闭关系。
§3-3 坐标算符和动量算符
一、坐标算符 二、动量算符
§3-3 坐标算符和动量算符
厄米算符的本征值与本征函数详解演示文稿
三、厄米算符的本征值与本征函数(5)
2、几个定理（1）
定理1：厄米算符的本征值必为实数。
设 Aˆ 为厄米算符， n 和 An 为该算符的本征态与本
征值，即：Aˆ n An n
【证明】：设 A 为 Aˆ 在本征态 m 下的平均值，即：
A
* m
Aˆ
md
3r
四、角动量的本征值与本征函数（1）
n
( Aˆ *
* m
)d
3r
n A~ˆ
* m
d
3r
* m
Aˆ
n
d
3r
* m
An
n
d
3r
An
m* nd 3r
即：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
An
m* nd 3r
已证明：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
Am
m* nd 3r
Am m* nd 3r An m* nd 3r
即( Am An ) m* nd 3r 0, Am An ,
*[( Aˆ A) ][( Aˆ A) ]* d 3r ( Aˆ A) 2 d 3r 0
( Aˆ A) 0, 或者Aˆ 常数
改记为： Aˆ n An n
三、厄米算符的本征值与本征函数(3)
1、本征函数（本征态）和本征值（2）
Aˆ n An n
n 0,1,2,3,
定Aˆ理和：厄(r)米，算若符Aˆ＋的平Aˆ均，值即为Aˆ 实 A~数ˆ * 。
则
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系分析
二式相 减 得：
(Fm Fn ) m *nd 0
(Fˆm )*nd m * Fˆnd Fn m *nd
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
若m≠Fn， 则必有：
m *nd 0
[证毕]
1. 分立谱正 交归一条 件分别为：
n *nd 1
m *nd 0
m *nd mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
c * d 2 * Fˆ 1 c d1 * Fˆ 2
式右 d (Fˆ )* d (Fˆ [ 1 c 2 ]) *[ 1 c 2 ] d (Fˆ 1 )* 1 | c |2 d (Fˆ 2 )* 2
c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
[ d1 * Fˆ 1 ]* | c |2 [ d 2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
Fˆni Fnni
i 1,2,, f
一般说来，这些函数 并不一定正交。
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数， 它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
二式相减得： d2 * Fˆ1 d (Fˆ 2 )*1
所得二式正是厄密算符的定义式， 故逆定理成立。实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须 是厄密算符。
（二）厄密算符的本征方程
（1）涨落
(F )2 (Fˆ F )2 *(Fˆ F )2d
证明：
Fˆ 因为是厄密算符 F 必为实数 因而 Fˆ F 也是厄密算符
根据定理 I
F d n * Fˆ n Fn d n * n Fn
. 厄米算符不同本征值对应的本征态正交
厄米算符不同本征值对应的本征态正交在量子力学中，厄米算符是一类非常重要的算符，它们具有许多重要的性质，其中之一就是不同本征值对应的本征态是正交的。
本文将围绕这一重要的性质展开讨论，并从浅入深地探究其背后的原理和意义。
1. 什么是厄米算符？在量子力学中，厄米算符是指其对应的物理量是可观测的，即可以通过实验进行测量的算符。
厄米算符在量子力学中扮演着非常重要的角色，它们的本征值和本征态有着许多重要的性质，其中就包括本征态正交的性质。
2. 厄米算符不同本征值对应的本征态为何正交？要解释厄米算符不同本征值对应的本征态正交的性质，我们可以从厄米算符的性质和本征态的定义入手进行说明。
由于厄米算符是可观测的物理量对应的算符，不同本征值对应的本征态在物理意义上代表了对应物理量的不同测量结果。
而正交性意味着不同测量结果所对应的本征态在彼此之间是相互垂直的，这也与物理上的实验结果相符。
3. 正交性的物理意义和实际应用厄米算符不同本征值对应的本征态正交性的物理意义在于，在进行量子力学的测量时，不同的测量结果是相互独立的，彼此之间不会相互干扰，这也为量子力学的实验结果提供了坚实的基础。
另外，正交性的性质也在量子力学的计算和求解中扮演着非常重要的角色，它为我们提供了在物理问题求解中的便利性和简化性。
4. 个人观点和理解作为一名研究量子力学多年的学者，我对厄米算符不同本征值对应的本征态正交性的深刻理解和应用经验使我深信这一性质的重要性。
正交性不仅为量子力学实验结果提供了坚实的基础，也在理论计算和物理问题求解中起到了非常重要的作用，这一性质对于深入理解量子力学的重要意义不言而喻。
总结回顾本文围绕厄米算符不同本征值对应的本征态正交这一重要性质展开了讨论，从厄米算符的定义和不同本征值本征态的物理意义入手，逐步深入探究了正交性的原理和意义。
正交性为量子力学实验结果提供了坚实的基础，也在量子力学的计算和求解中起到了非常重要的作用。
个人作为一名资深学者对于这一性质深刻的理解和应用经验更是加深了我对其重要性的认识。
量子力学 第三章3.5厄米算符本征函数的正交性
f
f
nj
'
d
i 1 i 1
'
A ji A
*
ji
' '
1, * ni ' d ni 0,
j j
'
f 个
'
j j
'
C f
2
个
j, j 1 , 2 , f
即待定系数 A j i 必须满足的条件有 中
j j
'
f ( f 1) 2
n3
本征函数
n1
,
,
, 都属于相同的本征值 nf
ˆ F
ni
，而且 n
是线性无关的，则有：
n
ni
i 1、 、 f 2
，
于是上面的证明不再成立。一般说这些函数并不一定正交。但 我们总可以用 f 2 个常数 A
ji
把这 f 个函数线性组合成 f 个新的
f
nj
线性独立的待定函数 nj ，即： 其中 nj 仍然是
Y m ( , ) N m P
m
(c o s )e
im
组成正交归一系：
0
2
0
Y m ( , ) Y
*
m
'
( , ) sin d d
'
②
把①②合写
0
2
0
Y m ( , ) Y
*
m
'
( , ) sin d d
第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系
d
d
1
ˆ d ( F ˆ ) * d * F *F 2 2 1 ˆ 1 ) * 2 d ( F 2 ˆ 1
ˆ d ( F ˆ ) * ] [ d ( F ˆ ) * d * F ˆ ] [ d 1 * F 2 1 2 2 1 2 1
（四）实例
（1）动量本征函数组成正交归一系 （2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
（3）角动量本征函数组成正交归一系
1. Lz 本征函数
2. L2本征函数
（4）氢原子波函数组成正交归一系
§6 算符与力学量的关系
（一）力学量的可能值
（1） 力学量算符本征函数组成完备系
（2） 力学量的可能值和相应几率
i 1 i 1
Fn nj
因为
j , j 1,2, , f
f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0，
算符 F 本征值 Fn简并的本质是： 当 Fn 确定后还不能唯一的确定状 态，要想唯一的确定状态还得寻找 另外一个或几个力学量算符，F 算 符与这些算符两两对易，其本征值 与 Fn 一起共同确定状态。
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
n * n d 1 m * n d 0
m
* nd 0
[证毕]
m
* n d mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
* d ( )
1. ψ nj是本征值Fn的本征函数。
2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。 为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。
厄密算符本征函数的正交课件
m
mm
(18)
3.角动量平方算符Lµ2z 的本征函数，属于本征
值 l l 1h2：
Ylm , Nlm Pl m cos eim
(19)
0
2 0
Ylm
,
Ylm
,
sin
d
d
ll
(20)
（20）缔合Legendre函数正交性：
2 Nlm Nlm Pl m Plm sin d d ll
而球谐函数：
r2 sin drd d nn
(22)
三个量子数均不同：
0
0
2
0 nlm
r, , nlm
r,,
r2 sin drd d nnllmm
(23)
四、简并态函数的正交性
当 Fµ 的本征值 n 是 f 度简并：n : n1,n2 ,n3 ,L nf
一般而言 ni 不正交，但可用 f 2 个常数将 f 个函数重新
新分类，可组合消除简并。
如nlm r,, 对 En 简并，但对 Hµ,lµ2,lµz 则不简
并，归一化为 nn ll mm 。
0
Y 2
0 lm
,
Ylm
,
sin d d llmm
(21)
4.氢原子波函数，算符：
Hµ h2 2
2
es2 r
h2
2
1 r2
r
r
2
r
lµ2
2r2
es2 r
nlm r,, Rnl rYlm ,
n不同:
0
0
2
0 nlm
r, , nlm
r, ,
(1)
当 pv pv :
pv , pv 0
厄米算符的本征函数具有正交性
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数， 它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
f
nj
Ajini
i 1
可以满足正交归一化条件：
j 1,2,, f
ff
nj * njd
引言
• 一切力学量均可用算符表示？ • 本章学习的主要问题是： • 1、算符的定义 • 2、算符的运算 • 3、QM与MA中的算符的区别 • 4、算符的本征值问题 • 5、算符随时间的变化 • 6、其它问题
本章是量子力学的基础
• 一个基本概念：厄米算符（作用与性质）
• 二个基本假定：力学量用算符表示；
[x , pˆ ] i
不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô +
(Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
~ Oˆ Oˆ *
(12) 厄密算符 返回
1. 定义:
满足下列*
或 Oˆ Oˆ
2. 性质
性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。
n0
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:
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c * d2 * Fˆ1 c d1 * Fˆ 2 c * d (Fˆ 2 )*1 c d (Fˆ1)* 2
c[ d1 * Fˆ 2 d (Fˆ1)* 2] c *[ d (Fˆ 2 )*1 d2 * Fˆ1]
令c = 1，得：
d1 * Fˆ 2 d (Fˆ1)* 2 d (Fˆ 2 )*1 d2 * Fˆ1
f
Fˆ nj Fˆ
Ajini
i 1
f
Aji Fˆni
i 1
f
Fn
Ajini
i 1
Fn nj
为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。
f
nj
Ajini
i 1
j 1,2,, f
方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。
设 1,2 ,n , 是厄米算符 Fˆ 的本征函数，它们所属的本征值
1, 2 ,n , 都不相等，证明当 k l 时有 k l d 0 证明：已知 Fˆk kk Fˆl ll
当
k l 时 k l
因为 Fˆ 是厄米算符，它的本征值都是实数，即 k k
共厄复式为 (Fˆk ) kk
以 l 右乘两边，并对变量变化的全部区域积分，得
则上面的证明不能使用，一般说来，这些函数并不一定正交。但可用
f 2 个常数 Aji 把这f个函数线性组合成f个新函数 nj
f
nj Ajini , j 1,2,, f i 1
使得这些新函数 nj 相互正交，显然，nj 仍是 Fˆ 属于本征值 n
的本征函数：
f
Fˆnj Aji Fˆni n Ajini n nj , i 1
ff
nj * njd
Aji Aji ni *nid jj
i1 i1
j, j 1,2,, f
因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0，
算符 F 本征值 Fn简并的本质是： 当 Fn 确定后还不能唯一的确定状 态，要想唯一的确定状态还得寻找 另外一个或几个力学量算符，F 算 符与这些算符两两对易，其本征值 与 Fn 一起共同确定状态。
0
2 0
Ylm
(
,
)Ylm
(
,
)
sin
dd
ll
4.氢原子的波函数： nlm (r, , ) Rnl (r)Ylm ( , )
组成正交归一系
0
0
2 0
nlm
(
,
)Ynlm
(
,
)
s
in
dd
nn mm ll
附： 几个定理及证明
（一）厄密算符的平均值
Байду номын сангаас
定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平均值必为实数。
可把常数记为Fn，把状态 记为ψn，于是得：
（2）力学量的本征方程
(Fˆ F ) 0
若体系处于一种特殊状态， 在此状态下测量F所得结果 是唯一确定的，即：
则称这种
(F )2 0 状态为力 学量 F 的 本征态。
或
Fˆn Fnn
Fˆ 常数
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态，上式即是算符F的本征方程。求解时， ψ 作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。
当
p
p
时，
对于动量的本征函数归一化为
p
(r)
p
(r)d
0
我们说：属于动量算符不同本征值的两个本征函数 p 和 p 相互正交。
一、定义
一般地，如果两个函数 1 和 2
12d 0
满足关系式
式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则称 1 和 2 相互正交。
二、属于不同本征值的情况
属于不同本征值的两个本征函数相互正交式是厄米算符的本征函数所共有的，就是 说，厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。
左式=右式 d1 * Fˆ1 | c |2 d2 * Fˆ 2 c * d2 * Fˆ1 c d1 * Fˆ 2
[ d1 * Fˆ1]* | c |2 [ d2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 )*1 c d (Fˆ1)* 2
因为对任 意波函数
F F*
所以左右两边头两项相等相消，于是有：
*d ( )
3. 正交归一系
满足上式的函数系 φn 或φλ 称为正交归一（函数）系。
（4）简并情况
上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设
这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。
如果 F 的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn有f个本征函数：φn1 ,φn2 , ..., φnf
满足本征方程：
Fˆni Fnni
i 1,2,, f
一般说来，这些函数 并不一定正交。
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数， 它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
f
nj
Ajini
i 1
可以满足正交归一化条件：
j 1,2,, f
Fˆn Fnn
n 1,2,
（三）厄密算符的本征函数的正交性
（1）正交性 定理III： 厄密算符属于不同本征值 的本征函数彼此正交
证： 设 Fˆn Fnn
Fˆm Fmm并设积分 n *nd 存在
两边右乘 φn 后积分
(Fˆm )* Fmm * 取复共轭，并注意到 Fm 为实。
(Fˆm)*nd Fm m *nd
① 分立谱：假定本征函数 k 已归一化： k l d 1
k l d
kl
1，当k l时， 0，当k l时。
② 连续谱：本征函数 k
可归一化为 函数，
③结论
d ( )
满足上述两式的函数 k 或 ，称为正交归一系。
三、属于相同本征值，即简并情况
如果 Fˆ 的一个本征值 n 是f度简并的，有f个本征函数：n1 ,n2 ,nf
ff
nj * njd
Aji Aji ni *nid jj
i 1 i1
j, j 1,2,, f
证明分 如下两 步进行
1. Ψnj 是本征值 Fn 的本征函数。 2. 满足正交归一条件的 f 个新函数ψn j可以组成。
1. ψnj是本征值Fn的本征函数。
2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。
所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我 们有多种可能来确定这 f 2 个系数使上式成立。f 个 新函数Ψnj 的确是算符 F 对应于本征值 Fn 的正交 归一化的本征函数。
综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时， 都是正交归一化的，即组成正交归一系。
定理II：厄密算符的本征值必为实。
证 当体系处于 F 的本征态ψn 时，则每次测量结果都是 Fn 。 由 本征方程可以看出，在ψn（设已归一）态下
根据定理 I
F dn * Fˆ n Fn dn * n Fn
F
必 为 实 ， 所 以 Fn 是 实 数 。
（3）量子力学基本假定III
(I) 量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。
二式相 减 得：
(Fm Fn ) m *nd 0
(Fˆm )*nd m * Fˆnd Fn m *nd
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
若m≠Fn， 则必有：
m *nd 0
[证毕]
1. 分立谱正 交归一条 件分别为：
n *nd 1
m *nd 0
m *nd mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
c * d2 * Fˆ1 c d1 * Fˆ 2
式右 d (Fˆ )* d (Fˆ [1 c 2 ])*[1 c 2 ] d (Fˆ 1 )* 1 | c |2 d (Fˆ 2 )* 2
c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
[ d1 * Fˆ1]* | c |2 [ d2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 )*1 c d (Fˆ1)* 2
（二）厄密算符的本征方程
（1）涨落
(F )2 (Fˆ F )2 *(Fˆ F )2d
证明：
Fˆ 因为是厄密算符 F 必为实数 因而 Fˆ F 也是厄密算符
厄密算符平方的平均值一定大于等于零
0 F 2 d * Fˆ 2 d (Fˆ )* Fˆ d | Fˆ |2
于是有：
(F )2 | Fˆ |2 d | (Fˆ F ) |2 d 0
§3.5 厄米算符本征函数的正交性
By Chang-Long Xia 2016.04.18
复习回顾：
• 定义：如果对于两任意函数 和 ，算符 Fˆ 满足下列等式 Fˆdx (Fˆ)dx
则称 Fˆ 为厄米算符。
（式中x代表所有变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。）
性质： ①厄米算符的平均值都是实数 ②平均值为实数的算符必为厄米算符。 ③厄米算符的本征值必为实数。
证： F d * Fˆ
逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。
d (Fˆ )*
证：
根据假定在任意态下有：
[ d * Fˆ ]*
F*
F F* 即
d * Fˆ d (Fˆ )*
取ψ=ψ1+cψ2 ，其中 ψ1 、ψ2 也是任意态的波函数，c 是任意常数。
式左 d * Fˆ d (1 c 2 )* Fˆ (1 c 2 ) d1 * Fˆ1 | c |2 d2 * Fˆ 2